专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”，证明函数不等式

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

类型一设而不求，应用函数零点存在定理

例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；

（2）求证：时，．

类型二设而不求，应用不等式性质

例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）

（1）讨论的单调性；

（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：．

类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系

例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个相异零点，求证：.

类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围

例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数．

(1)判断的单调性；

(2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1．

【规律与方法】

应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一

类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系.

1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”．

2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段.

【提升训练】

1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数，

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点、，求证：．

2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点．

求实数a的取值范围；

若函数的两个零点分别为，，求证：．

3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．

4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．

5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1．

（1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间；

（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明．

6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．

7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值

为.

（1）求实数的值； （2）若

，证明：

.

8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数)，

．

(I)记，讨论函单调性；

(II)令

，若函数G(x )有两个零点．

(i)求参数a 的取值范围； (ii)设

的两个零点，证明

．

9．已知函数()()()2

ln 10f x x a x a =+->.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3

12

0e

x e -

-<<.

10．已知函数()1x

f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈ （I ）若a e =，函数()()2

g x e x =- ①求函数()()()

h x f x g x =-的单调区间 ②若函数()()(),{

,f x x m F x g x x m

≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围

（II ）若存在实数[]

12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证： 21e a e e -≤≤-