人教版B数学选修2-1第三章章末综合检测

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高二数学选修2-1第三章章末测试卷

高二数学选修2-1第三章章末测试卷考试时间：60分钟命题人：杨波备课组长：姓名：___________班级：___________一、选择题（本题共7道小题，每小题7分，共49分）1.一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A ．B ．C ．D ．2.已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为A ．AB α⊥ B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α 3.已知平面α内有一点)2,1,1(-M ，平面α的一个法向量为)6,3,6(-=n ，则下列点P 中，在平面α内的是（）A. )3,3,2(PB. )1,0,2(-PC.)0,4,4(-PD.)4,3,3(-P4.已知O （0，0，0），()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（） A. 66± B. 66 C. 66- D. 6± 5.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则( )A B 1:1:1 C －:1:1 D 3:2:46.已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）A ．34B ．54C ．74D ．347.三棱锥错误！未找到引用源。

三条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，三角形ABC 的面积为S ，则顶点P 到底面的距离是（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

二、填空题（本题共3道小题，每小题7分，共21分）8.在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，则M 到空间直角坐标系Oxyz 的点N （2，3，1）的最小距离为．9.已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则x = ．10.在四面体ABCD 中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD 与BC 成角60°，且AD=，则BC 等于．三、解答题（本题共2道小题，每小题15分，共30分）11.如图，几何体EF ﹣ABCD 中，CDEF 为边长为1的正方形，ABCD 为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°（Ⅰ）求成：BD⊥AE（Ⅱ）求二面角B ﹣AE ﹣D 的大小．12.已知长方体1AC 中，棱1AB BC ==，棱12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F 。

2018年秋人教B版数学选修2-1练习：第三章检测含答案解析

第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.A.1 B∴x=1,y=z x+y+z=2,故选C.2.已知i,j,k为单位正交基底,a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于()B.-5C.-3D.-1=(3,2,-1),b=(1,-1,2),故5a=(15,10,-5),3b=(3,-3,6),∴5a·3b=45-30-30=-15.3.已知向量a b=(x,1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为()A.8B.4C.2D.1∥b⇔存在λ∈R使a=λb⇔4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是() ABCDD中的三个系数M与点A,B,C一定共面.5.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是()A.(a·b)c=(b·c)aB.若a·b=-|a|·|b|,则a∥bC.若a·c=b·c,则a∥b·a=b·b,则a=ba·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值A.2B.-2C.-2<a,b>解得x=-2或x7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角⊥平面ABCD.8.下面命题中,正确的命题有()①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1个B.2个D.4个9.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()AC.10.已知向量n=(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到α的距离为()AC又n与α垂直,所以P到α的距离故选B.(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,A1M与DN所成的角的大小为90°.°12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x=,y=,z=.∵BH⊥OA,∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.又OH∥OA,∴(x,y,z)=k(-1,1,0),联立解得x=|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b=.a·c+b·c+a·b=x,则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,解得x=a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),|a+b||a-b|所以S15.给出命题:①在▱ABCD中②在△ABC中,△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,以上命题中,正确命题的序号是.满足向量运算的平行四边形法则,故正确;·cos A>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,△ABC是否是锐角三角形无法确定,故错误;③符合梯形中位线的性质,故正确.(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长..∴==1+22+32+2·cos·cos·cos=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×3cos 60°=23,∴AC117.(8分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sin θ=|cos<n即直线AD与平面MBC所成角的正弦值18.(9分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,P A⊥底面ABCD,且P A=AD=DC(1)证明平面PAD⊥平面PCD;(2)求AC与PB所成角的余弦值;(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值.PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以可以以A为坐标原点,AD长为单位长度,建系使用向量求解.(1,建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C (1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M.∵=(0,0,1),=(0,1,0),=0,∴AP⊥DC.又由题设知:AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD内,故面PAD⊥面PCD.(2(1)可=(1,1,0),=(0,2,-1),∴||=,||=,=2,∴cos<,>==.由此得AC与PB所成角的余弦值.(3MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,=λ,=(1-x,1-y,-z),=,∴x=1-λ,y=1,z=λ.要使AN⊥MC,只=0,即x-z=0,解得λ=.可知当λ=,N点坐标,能=0.此时,=,=,=0.=0,=0,得AN⊥MC,BN⊥MC.∴∠ANB为所求二面角的平面角.∵||=,||=,=-,∴cos<,>==-.故所求的二面角的余弦值为-.。

2019-2020学年高中数学(人教B版选修2-1)：第三章章末综合测评 Word版含答案

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1 D ．⎝⎛⎭⎫2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22C.3 D ．32【解析】两平面间的距离d ＝|OA →·n||n|＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC1→＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A→，则abc 的值等于( ) 【导学号：15460084】A.16 B ．56C.76 D ．－16【解析】 ∵AC1→＝AB →＋AD →－A1A →＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB→＝－C1D1→B ．AB →·BC →＝0C.AA1→·B1D1→＝0 D ．AC1→·A1C→＝0 【解析】如图，AB→∥C1D1→，AB →⊥BC →，AA1→⊥B1D1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD→＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝错误!＝3，即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11【解析】因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B ．255C.155D ．105【解析】以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC1→，AC →〉＝BC1→·AC →|BC1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105.【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33C.23 D ．13【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·DC →|n||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋m AB →－n AA1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD1→)＝AD →＋12AB →＋12AA1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，0，－453，BD→＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n·PB →＝0，n·BD→＝0，得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，34，543. 又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n1·n|n1||n|＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】16－3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC→＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC→＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC→＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA→为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18.(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】因为BA1→＝BA →＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB1→·BA → ＝BB1→·BC→＝0，所以BA1→·AC →＝(BA →＋BB1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB1→·BC →－BB1→·BA → ＝－1. 又|AC →|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB→＝(3，0,0)，CP→＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧CB →·n1＝0，CP→·n1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x1＝0，y1＋z1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．因为AP→＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →·n2＝0，AB→·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z2＝0，3x2－y2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.20.(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC ；(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC -D 的余弦值．【解】 (1)证明：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC→＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP→＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .①PD→＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE→＝(1,1,0)． (1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC1→＝(－2,0,2)．所以BC1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧FE →·n＝0，FP→·n＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。

人教版高中数学选修2-1知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第03章章末检测高二数学(理)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-= A ．OA B ．AB C ．OCD ．AC2．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝－2，则x 的值是 A ．6 B ．5 C ．4D ．33．与向量(2,3,6)=a 共线的单位向量是A ．236(,,)777 B ．236(,,)777--- C ．236(,,)777--和236(,,)777-D ．236(,,)777和236(,,)777---4．设l 1的方向向量为a ＝(1，2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．1D ．125．已知++=0a b c ，2=a ，3=b ，4=c ，则向量a 与b 之间的夹角,<>a b 为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上都不对6．已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则OP =A ．111663++a b c B ．111633++a b c C ．111333++a b cD ．111366++a b c7．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()DB DC DA AB AC +-⋅-0=，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为 A ．a B ．a C ．aD ．a9．已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,,λ=-=--=a b c 若,,a b c 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为 A ．0 B ．357 C ．9D ．65710．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是A ．2B ．3C ．5D ．711．已知空间四个点A (1，1，1)，B (－4，0，2)，C (－3，－1，0)，D (－1，0，4)，则直线AD 与平面ABC所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别为_________________、_________________． 14．已知向量(4,,1)k k =-a ，3(2,1,)2=-b ，若ab ，则k =_________________．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为_________________． 16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面； ③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中不正确的命题为_________________．（填序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{,,}i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．18．如图所示,四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,试判断与是否共线.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M ，N ，E ，F ，S 分别为1CC ，11B C ，BC ，11C D ，11A B的中点，求证：（1）直线SE ∥平面1A BD ；（2）平面MNF ∥平面1A BD ．20．如图，已知P A 垂直于正方形ABCD 所成平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A =AD =2．（1）求M ，N 两点之间的距离；（2）求证：MN ⊥平面PCD ；（3）求直线P A 与MN 所成的角．21．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒．（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值．22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．设2AB =．（1）求二面角1E AC D --的大小；（2）在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=．故选C ． 2．【答案】D【解析】a ·b ＝－3＋2x －5＝－2，∴x ＝3．故选D ． 3．【答案】D 【解析】2222367=++=a ，∴与a 共线的单位向量是17±(2，3，6)，故选D ． 4．【答案】B【解析】∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由已知++=0a b c ，得+=-a b c ，则2222()2+=++⋅=a b a b a b c ，由此可得32⋅=a b ．从而1cos ,4⋅==<>a b a b a b ．故选D ． 6．【答案】B7．【答案】B【解析】∵2()()DB DC DA DB DA DC DA AB AC +-=-+-=+，∴22(2)()()()0DB DC DA AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅-=+⋅-=-=， ∴AB AC =，故ABC △是等腰三角形，故选B ． 8．【答案】D【解析】由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1,则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离.显然A 1C ⊥平面AB 1D 1,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则易得平面AB 1D 1的一个法向量为n =(1,-1,1),A (a ,0,0),B (a ,a ,0),=(0,-a ,0),则两平面间的距离为d =|3|33a BA a ⋅==n n .9．【答案】D10．【答案】C【解析】因为11EF EA AA A F=++，所以222221111()2EF EA AA A F EA AA A F EA =++=+++⋅ 2221111221210211cos12005AA EA A F AA A F +⋅+⋅=++++⨯⨯⨯︒+=，所以||5EF =，即EF =5．故选C ．11．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =n ，∵()5,1,1AB =--，()4,2,1AC =---，由0AB ⋅=n 及0AC ⋅=n ，得50,420,x y z x y z --+=⎧⎨---=⎩ 令z ＝1，得12x =，32y =-，∴n ＝(12，32-，1)．()2,1,3AD =--，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则31312sin 214142AD AD θ-++⋅===⨯n n，∴θ＝30°．故选A ． 12．【答案】B【解析】过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．故选B ．13．【答案】(1，－2，1) (－5，7，7)【解析】依题意知，a ＝(－1，1，3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2，1)，a －2b ＝(－1，1，3)－2(2，－3，－2)＝(－5，7，7)． 14．【答案】2-【解析】由(4,,1)kk =-a ，3(2,1,)2=-b 及a b ，可知存在实数λ满足λ=a b ，即(4,,1)k k-=3(2,1,)2λ-，即42λ=-且kλ=且312kλ-=，解得2k=-．故填2-．15．【答案】60°【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，16．【答案】①②③④【解析】①a，b所在的直线可能重合，所以①错；②空间任意两个向量均共面，所以②错；③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错；④当a，b，c共面时，不成立，所以④错．故不正确的命题为①②③④．17．【解析】存在，理由如下：假设a4＝a a1＋b a2＋c a3成立，由已知可得a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，a4＝(3，2，5)，可得(2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c)＝(3，2，5)，∴22332235a b ca b ca b c+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，解得a ＝－2，b ＝1，c ＝－3，故a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3，所以a ，b ，c 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3．19．【解析】如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D ，1(2,0,2)A ，(2,2,0)B ，(2,1,2)S ，(1,2,0)E ，(0,2,1)M ，(1,2,2)N ，(0,1,2)F ．（1）易得1(0,2,2)A B =-，1(2,0,2)A D =--，设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则11AB A D ⎧⎪⎨⎪⎩⊥⊥n n ，即11220220A B y z A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n n ，取1x =，得1y =-，1z =-，所以平面1A BD 的一个法向量为(1,1,1)=--n ．又(1,1,2)SE =--，所以(1,1,2)(1,1,1)0SE ⋅=--⋅--=n ，所以SE ⊥n ，显然SE 不在平面1A BD 内，所以SE ∥平面1A BD ．20．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ．由题意易得(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(2,2,0)C -，(0,0,2)P ，(0,1,0)M ，(1,1,1)N -，（1）由题易得(1,0,1)MN =-，故M ，N 两点之间的距离为222||(1)012MN =-++=．（2）由题易得(2,0,2)PD =--，(0,2,0)CD =-．因为0MN PD ⋅=，所以MN PD ⊥，即MN PD ⊥，因为0MN CD ⋅=，所以MN CD ⊥，即MN CD ⊥，又PDCD D =，所以MN ⊥平面PCD ．（3）由题易得(0,0,2)AP =，因为(1,0,1)MN =-，所以22222cos ,2||||2(1)1AP MN AP MN AP MN ⋅===-+<>，所以,45AP MN =︒<>，故直线PA 与MN 所成的角为45︒．21．【解析】（1）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF⊥平面EFDC ．（2）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（1）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz ．所以(1,0,3)EC =，(0,4,0)EB =，(3,4,3)AC =--，(4,0,0)AB =-．设(,,)x y z =n 是平面BCE 的法向量，则00EC EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,3)=-n ．设m 是平面ABCD 的法向量，同理可取(0,3,4)=m ，所以219cos ,19⋅==-<>m n m n |m ||n |，易知二面角E BC A --为钝角，故二面角E BC A --的余弦值为21919-． 22．【解析】（1）设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，1112cos ,==2D ED E D E ⋅∴⋅m m m ，。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3章末

3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2，由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。

高中数学人教版选修2-3 章末综合测评3 Word版含答案

章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且y 关于x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a^，b ^叫做回归系数 D ．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系【解析】任何一组(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都能写出一个线性方程，只是有的不存在线性关系．【答案】 B2.如图1所示，有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大( )图1A ．EB ．C C ．DD ．A【解析】由题图易知A ，B ，C ，D 四点大致在一条直线上，而E 点偏离最远，故去掉E 点后剩下的数据的线性相关性最大．【答案】 A3．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2,3,4,5，则y 与1x 的回归曲线方程为( )A.y ^＝1x ＋1B.y ^＝2x ＋3C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1【解析】由数据可得，四个点都在曲线y ^＝1x ＋1上．【答案】 A 4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R 2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．【答案】 D5．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )A BC D【解析】在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．【答案】 D6．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大()A.aa＋b与cc＋dB.ac＋d与ca＋bC.aa＋d与cb＋cD.ab＋d与ca＋c【解析】当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a＋b与cc＋d相差越大．【答案】 A7．如图2,5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()图2A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．【答案】 B8．(2016·安庆一中期中)在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是()A.在此次调查中有B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【解析】由表中数据得k ＝30×(6×9－8×7)214×16×13×17≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D. 【答案】 D9．某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10.5亿D ．9.5亿【解析】代入数据得y ＝10＋e ，∵|e |<0.5， ∴|y |<10.5，故不会超过10.5亿．【答案】 C10．(2016·合肥高二检测)废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元D ．废品率不变，生铁成本为256元【解析】回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^个单位，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．【答案】 C11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′【解析】由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b^＝∑i ＝16x i y i －6x －y －∑i ＝16x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b^<b ′，a ^>a ′.【答案】 C12．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 附：【解析】 2×2故K 2的观测值k ＝31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知一回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y ＝________.【解析】因为x＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且y＝1.5x＋45，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.514．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：．【解析】根据列联表中的数据，得到k＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.76.【答案】10.7615．(2016·深圳高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.．【解析】由表知x＝30，设模糊不清的数据为m，则y＝15(62＋m＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y＝0.67x＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.【答案】6816．某地区恩格尔系数Y(%)与年份x的统计数据如下表：从散点图可以看出Y与x线性相关，且可得回归方程为y＝b x＋4 055.25，据此模型可预测2017年该地区的恩格尔系数Y(%)为________．【解析】由表可知x＝2 007.5，y＝44.25.因为y＝b^x＋4 055.25，即44.25＝2 007.5b^＋4 055.25，所以b^≈－2，所以回归方程为y^＝－2x＋4 055.25，令x＝2 017，得y^＝21.25.【答案】21.25三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表.(1)①y＝0.429 4x－25.318，②y＝2.004e0.019 7x.通过计算，得到它们的相关指数分别是：R21＝0.9311，R22＝0.998.试问哪个回归方程拟合效果更好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？【解】(1)∵R22>R21，∴选择第二个方程拟合效果更好．(2)把x＝175代入y＝2.004e0.019 7x，得y＝62.97，由于7862.97＝1.24>1.2，所以这名男生偏胖．18．(本小题满分12分)关于x与y有如下数据：为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y^＝6.5x ＋17.5，乙模型y^＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．【解】R21＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1551 000＝0.845，R22＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1801 000＝0.82.又∵84.5%>82%，∴甲选用的模型拟合效果更好．19．(本小题满分12分)为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在生产现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件；甲不在生产现场时，510件产品中合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响？【解】(1)2×2列联表如下：度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为k＝1 500×(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系．20．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a均为大于0.1的前提下认为x与y之间有关系？【解】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝65×[a(30＋a)－(20－a)(15－a)]2 20×45×15×50＝65×(65a－300)220×45×15×50＝13×(13a－60)260×90.故k≥2.706，得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．21．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y－)∑ni＝1(t i－t)2，a^＝y－－b^t.【解】(1)由所给数据计算得t＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑7i ＝1 (t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．。

人教版B数学选修1-2：第三章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数1＋2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.32 B.32i C.12 D.12解析：选C.1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2＝32＋i 2，所以虚部是12，选C. 2.设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.(a ＋i)2i ＝[(a 2－1)＋2a i]i ＝(a 2－1)i －2a ，因为(a ＋i)2i 是正实数，所以a 2－1＝0且2a ＜0，所以a ＝－1.3.使复数z 为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4.已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C.m 1＋i ＝m （1－i ）2＝m 2－m 2i ＝1－n i ，可以解得m ＝2，n ＝1.选C. 5.在复平面内，复数1＋i （1－i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ， ∴其对应的点位于第二象限．6.复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．7.设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1.8.已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y 的值为( )A ．－4B ．4C ．－1D ．1解析：选A.由(x －1)i －y ＝2＋i ，得x ＝2，y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.9.已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.10.在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D.CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.11.定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝（4＋2i ）（－1－i ）2＝－1－3i. 12.已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －i ，x ∈R ，1x，x ∉R ，则f [f (2)]在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由函数的解析式知：f (2)＝2－i ，f [f (2)]＝f (2－i)＝12－i ＝2＋i 5＝25＋15i ，所以 f [f (2)]在复平面内的对应点位于第一象限．二、填空题(本大题共4小题，把正确答案填在题中横线上)13.计算(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝________．解析：(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝(2－i)－(2i 2)11＝2－i －i 11＝2－i ＋i ＝2. 答案：214.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2015.若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是________．解析：复数z 对应点的坐标为(m －1，m ＋2)，该点在直线2x －y ＝0上，得到m ＝4. 答案：416.给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；③若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；③z ＝1ii ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确．答案：③三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.当m 为何实数时，复数z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i ，(1)当m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)当m ≠1且m ≠2时，z 是虚数．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）（m －2）≠0，（2m ＋1）（m －2）＝0，即当m ＝－12时，z 是纯虚数． 18.已知z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i. (1)求|z |；(2)z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝6－3i －2i －15＝1－i ， ∴(1)|z |＝|1－i|＝ 2.(2)由z 2＋az ＋b ＝1＋i 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即a ＋b ＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－2－a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4. 19.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．20.如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．解：(1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ，∴AO →表示的复数－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋（－2）2＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.21.已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解：(1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)，由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12. 所以sin 2θ＝14，则sin θ＝±12. 由于θ∈(0，2π)，所以θ＝π6，56π，76，116π. 22.已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值．解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b .解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-2-第三章章末综

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.2－3iB.2＋3iC.3＋2iD.3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3.若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()【导学号：37820051】A.2B.3C.4D.5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋（－3）2＝5.【答案】 D4.已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i，故选D.【答案】 D5. “m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.【答案】 C6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上B.虚轴上C.直线y ＝±x (x ≠0)上D.以上都不对【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C7.设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( )A.0B.1C. 2D.2【解析】 ∵1－z1＋z＝i ， ∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D10.当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( )A.1B.－1C.iD.－i 【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A.3＋iB.3－iC.1－3iD.－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )，则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1，2). ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2， ∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3). 【答案】 D12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形（图略）易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.) 13. i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________. 【解析】由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】－214.复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.【解析】 ∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，∴PQ →＝(3，1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.【解析】由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－85i.【答案】 15－85i16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.【导学号：37820052】【解析】复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92，因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i －2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.(2)当⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）2＋i＝3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【导学号：37820053】【解】设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴复数z 对应的点Z 的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值， ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.。

人教版B数学选修2-1：模块综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x <5，则x <2C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0解析：选D.A 中，若x 取负数，x ≥0不成立，故A 错；B 中，若取x ＝4<5，x <2不成立，故B 错；C 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 错；D 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故x 2＋1≠0成立．2.“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的对称轴为直线x ＝a ，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．3.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.因为当x ∈(－∞，0)时，2x >3x，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以¬p 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．4.以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 解析：选D.双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D.渐近线方程为：y ＝±12x ，∴b a ＝12，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴e ＝52.故选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：选A.∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 7.下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④解析：选C.①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．8.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 是准线l 上的点，且|MF |＝4(如图)，则线段MF 与抛物线的交点的横坐标为( )A ．3 B.13C.12D.14解析：选B.易得∠MFO ＝60°，那么直线MF 的方程为y ＝－3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，则x ＝13，或x ＝3(由题图舍去)．9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值是( )A ．－15 B.15C.265D.25解析：选B.取DD 1的中点H ，连接AH ，设正方体的棱长为2，则在△AEH 中，AH ＝AE ＝5，HE ＝22，所以cos ∠EAH ＝5＋5－82×5＝15.10.已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F (0，1)，准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义，得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.11.在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.33C.21060D.21030解析：选D.∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 设AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0. 设OP ＝h ，则P (0，0，h )，∵PA ＝2a ，∴h ＝72a ＝142a .∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－24a ，0，144a .可以求得平面PBC 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，77，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.12.设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析：选C.双曲线方程化为x 24a －y2a＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ，②又∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.条件甲：“k <－66或k >66”；条件乙：“kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．解析：当k ＝0时，kx 2－2x ＋6k ＝－2x ，不满足题意，当k ≠0时，若kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 所以命题甲的条件中需删除的一部分是k >66. 答案：k >6614.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．解析：由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，b 2a 2＝2·ca，即c 2a 2－2ca－1＝0.∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 215.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为________．解析：根据题意知A 点为直线y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2与抛物线y 2＝2px 的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x 1＝16p ，x 2＝32p ，故点A 坐标为⎝⎛⎭⎫32p ，3p ，则|OA →|＝94p 2＋3p 2＝212p . 答案：212p16.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M (1，12，1)，N (1，1，12)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25答案：25三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知p ：方程x 2k －4＋y 2k －6＝1表示双曲线，q ：过点M (2，1)的直线与椭圆x 25＋y 2k＝1恒有公共点，若p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．解：由p 得：(k －4)·(k －6)<0，∴4<k <6，由q 得：⎩⎪⎨⎪⎧225＋12k ≤1，k ≠5，∴k >5.又p ∧q 为真命题，则5<k <6，所以k 的取值范围是(5，6)．18.已知p ：x 2－6x －27≤0，q ：|x －1|≤m (m >0)，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由p 得－3≤x ≤9，由q 得－m ＋1≤x ≤m ＋1， ∵q 是p 的必要而不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－31＋m ≥9得m ≥8. 又因为m ＝8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8. 19.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥平面AB 1C ；(2)求EF 与CG 所成的角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，G (2，2，1)．(1)证明：EF →＝(1，1，－1)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)， ∵EF →·AC →＝0，∴EF ⊥AC ， ∵EF →·AB 1→＝0，∴EF ⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，∴EF ⊥平面AB 1C .(2)∵CG →＝(2，0，1)，∴cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1515，所以EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.20.已知抛物线C ：y 2＝ax 的焦点与双曲线x 22－y 221的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点A (2，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线C 交于M 、N 两点，判断∠MON 是否为直角．若∠MON 为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．解：(1)∵双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故a4＝2，∴a ＝8.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线的斜率为tan π4＝1，∴直线方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝x －2，消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则可知x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4. 又OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－12， ∴OM →·ON →≠0，∴OM ⊥ON 不成立，即∠MON 不是直角．21.如图，正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； (3)求锐二面角A -BE -C 的大小．解：依题可知，CA ，CB ，CD 两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz ，设正方形边长为1，则AC ＝BC ＝1.C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，0，1)，E (1，0，1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12.(1)证明：AM →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12， CB →＝(0，1，0)，CE →＝(1，0，1)， ∴AM →·CB →＝0，AM →·CE →＝0，∴AM →⊥CB →，AM →⊥CE →， ∴AM ⊥CB ，AM ⊥CE 且CB ∩CE ＝C ， ∴AM ⊥平面EBC .(2)由(1)知AM →为平面EBC 的一个法向量，AB →＝(－1，1，0)，设所求角大小为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝12，∴直线AB 与平面EBC 所成的角的大小为30°.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面AEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0m ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，z ＝0.取m ＝(1，1，0)，则|cos 〈AM →，m 〉|＝12，所以锐二面角A -BE -C 的大小为60°.22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，解得c ＝ 2.由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32，可得m 2＝34(k 2＋1)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，(*)∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6 ＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.经检验，k ＝±33满足(*)式．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上可知|AB |max ＝2，∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取最大值S ＝12×2×32＝32.。

(人教版)高中数学选修2-1检测章末质量评估3 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )①＋＋＋；②＋＋＋＋；③＋＋；④－＋＋.．②③．①②．①④．②④解析：①中，原式＝＋＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝(＋＋＋)＋(＋＋)＝；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝.故选.答案：．已知向量＝()，＝(，，)分别是直线，的方向向量，若∥，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝解析：∵∥，∴∥，则＝＝，∴＝，＝.答案：．在下列四个命题中，真命题为( )．已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则空间任意一个向量总可以写成＝＋＋．若，，不共面，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则＋＋＝的充要条件是＝＝＝解析：对于空间作为基底的三向量，，必须要有限制，即不共面，故正确．答案：．若两点(－－)，(，＋－)，当取最小值时，的值等于( )．－．解析：＝(－－，－＋)，则＝＝＝.故当＝时，取最小值．答案：．已知(，－)，(，－)，(，－)，则与的夹角为( )．°．°．°．°解析：＝()，＝(－)，＝，＝，·＝，∴〈，〉＝＝，∴〈，〉＝°.答案：．已知向量＝，＝，则平面的一个法向量是( )．(，－)．(－，－)．(－，－，－)．(－，－)解析：设平面的法向量＝(，，)，则(\\(·(,\(→))＝，·(,\(→))＝，))即(\\(＝－()，＝()，))令＝，则＝(，－)，由于(－，－)＝－(，－)，可知选项符合．答案：．已知空间三点()，(－)，(，－)．若＝，且分别与，垂直，则向量为( )．()．(－，－，－)或()．(，－)或(－，－)．(－，－，－)解析：设＝(，，)，＝(－，－)，＝(，－)，则(\\(＋＋＝，,－－＋＝，－＋＝，))解得＝()或(－，－，－)．答案：．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则·的值为( )．解析：如下图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)。

数学高二-选修2-1 第3章单元综合检测1

第三章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43C ．54D ．32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝ca ＝32＋423＝53. 答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.① 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知ba ＝3，② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A ．xy －2x －4y ＝0B ．xy ＋2x ＋4y ＝0C ．xy －2x ＋4y ＝0D ．xy ＋2x －4y ＝0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )2＋2(y －n )2＝a (x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB·k PM＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m ＝－x －2y －2⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫34π，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，34π C ．⎝⎛⎭⎫π2，πD ．⎝⎛⎭⎫π2，34π解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2014·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．1－ 3C ．1＋32D ．1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．125B ．65C ．2D ．55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.答案：A9． [2014·辽宁高考]已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A ．12B ．23C ．34D ．43解析：易知p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF＝8－08－2＝43，故选D. 答案：D10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：若设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ·40,2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．方程不同主要是因为讨论的焦点不同．答案：C11．[2014·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.答案：D12．[2014·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是__________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12＝22. 答案：2216．[2014·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为____．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)，当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k3，此时焦点为(0，±4k 3)，由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k3，此时焦点为(± －4k3，0)，由题意得3＝－4k2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1. ∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2014·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2，2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线PA 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)，①直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)．②∵M (x ，y )是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，PA 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，PA 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)．经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)，消去y ，得x 2－6x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22．(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点．(1)当λ＝3时，过点P (0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF |的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程．解：(1)当λ＝3时，椭圆方程为x 2＋y 23＝1，直线EF 方程为：y ＝3x ＋1.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x －1＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2153.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋3，代入3x 2＋y 2＝λ，得(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－λ＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3，且Δ＝4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0.②由N (1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2＝2. ∴k (k －3)＝k 2＋3解得k ＝－1代入②得λ>12.∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x －y ＋2＝0.。

高中数学(人教B版选修1-2)-第三章章末综合测评 Word版含答案

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )，，－.－，，－【解析】(＋)＋(－)＝－＝＋，所以＝，＝－.【答案】.若复数＝(－)(是虚数单位)，则＝( )＋－－＋【解析】∵＝(－)＝－＝＋，∴＝－.【答案】.若(＋)＝＋(，∈)，则复数＋的模是( )【导学号：】【解析】由(＋)＝＋，得－＋＝＋，解得＝，＝－，所以复数＋的模为＝.【答案】.已知复数满足(－)＝，则＝( ).－－.－＋－＋【解析】由(－)＝，得＝＝＝＋，故选.【答案】.“＝”是“复数＝(＋)(＋)(∈，为虚数单位)为纯虚数”的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件【解析】＝(＋)(＋)＝＋＋－＝(－)＋(＋)，若＝，则＝为纯虚数；若为纯虚数，则＝.故选.【答案】.设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( ).实轴上.虚轴上.直线＝±(≠)上.以上都不对【解析】设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴∴＝±，即在复平面上的对应点在直线＝±(≠)上.【答案】.设复数满足＝，则＋＝( )【解析】∵＝，∴＝＝＝－，∴＋＝－＝.【答案】.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若·＋＝，则＝( )＋－.－＋.－－【解析】设＝＋(，∈)，由·＋＝，得(＋)(－)＋＝(＋)，即(＋)＋＝＋，由复数相等的条件得得∴＝＋.【答案】.若＝θ＋θ(为虚数单位)，则使＝－的θ值可能是( )【解析】＝( θ＋θ)＝(θ－θ)＋θθ＝θ＋θ＝－，∴θ＝，θ＝－，))∴θ＝π＋π(∈)，∴θ＝π＋(∈)，令＝知选.。

2017-2018学年人教B版高中数学选修2-1检测：第三章质量评估检测含答案

第三章质量评估检测时间:120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A,B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（)①错误!＋2错误!＋2错误!＋错误!；②2错误!＋2错误!＋3错误!＋3错误!＋错误!；③错误!＋错误!＋错误!；④错误!－错误!＋错误!－错误!。

A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①中，原式＝错误!＋2错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!，不符合题意;②中，原式＝2（错误!＋错误!＋错误!＋错误!)＋(错误!＋错误!＋错误!）＝0;③中，原式＝错误!,不符合题意；④中，原式＝（错误!－AD，→)＋(错误!－错误!)＝0。

故选C。

答案：C2．已知向量a＝(2，4，5)、b＝(3,x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2,则（)A．x＝6，y＝15 B．x＝3,y＝错误!C．x＝3,y＝15 D．x＝6，y＝错误!解析：∵l1∥l2,∴a∥b,则错误!＝错误!＝错误!,∴x＝6,y＝错误!.答案：D3．已知空间三点O(0，0，0)，A（－1，1,0）,B（0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（) A．(－2，2，0）B．(2,－2,0)C.错误!D.错误!解析：由错误!＝（－1，1,0）,且点H在直线OA上，可设H（－λ，λ，0），则错误!＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH，→·错误!＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1,0）＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝错误!，∴H错误!，故选C.答案:C4．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4),C（1,－4，1)，则AB，→与错误!的夹角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析:错误!＝(0，3，3），错误!＝(－1，1,0),｜错误!｜＝3错误!,｜错误!｜＝错误!，错误!·错误!＝3，∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!，∴〈错误!，错误!〉＝60°。

人B版数学选修2-1：第3章章末综合测评3

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1. 【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22 C. 3 D ．3 2【解析】两平面间的距离d ＝|OA →·n ||n |＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA→，b ＝CB→，则a ＋b 为( ) A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc的值等于( )【导学号：15460084】A.16B ．56 C.76 D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－A 1A →＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→B ．AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D ．AC 1→·A 1C →＝0【解析】如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B。

2012年人教B数学选修1-2：第3章章末综合检测

(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能是实数也可能是虚数D ．纯虚数解析：选B.由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．2．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|A B→|＝( )A.2B ．2C.10D ．4解析：选B.由题意知OA →＝(1,1)，OB →＝(1,3)∴AB →＝OB →－OA →＝(0,2)，∴|AB →|＝2.3．使复数为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.5．|z |＝1，要使1－i ＋z 的模最大，则z 等于( )A.22＋22i B ．－22＋22i C ．－22－22i D.22－22i 解析：选D.设ω＝1－i ＋z ，则z ＝ω－(1－i)．又|z |＝1，∴|ω－(1－i)|＝1，∴ω对应的点在以1－i 对应的点为圆心，以1为半径的圆上．如图，由平面几何知识知|ω|的最大值为2＋1，此时ω＝(2＋1)(22－22i)＝1＋22－(1＋22)i ， ∴z ＝22－22i.6．在复平面内，复数1＋i(1－i )2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i (1－i )2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ，∴其对应的点位于第二象限．7．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．8．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 解析：选D.z 100＋z 50＋1＝(－1－i 2)100＋(－1－i 2)50＋1＝(1－i )100250＋(1－i )50225＋1＝(－2i )50250＋(－2i )25225＋1＝－i.9．设集合A ＝{z |z ∈C 且1＜|z |≤10}，则在下列四个复数中，不属于A 的复数的是() A ．z 1＝cos60°＋isin30°B ．z 2＝cos30°＋isin60°C ．z 3＝10cos60°＋(10sin30°)iD ．z 4＝10cos60°＋(10sin60°)i解析：选A.由于z 1＝cos60°＋isin30°＝12＋12i ，∴|z 1|＝22＜1，所以z 1∉A . 10．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4(1－i 9)1－i ＝i 4(1－i )1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1. 11．已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.12．定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝(4＋2i )(－1－i )2＝－1－3i. 二、填空题(本大题共4小题．把正确答案填在题中横线上)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2014．已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为__________，虚部的最大值为__________．解析：z 1·z 2＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)．实部为cos θsin θ＋1＝1＋12sin2 θ≤32，所以实部的最大值为32；虚部为cos θ－sin θ＝2sin(π4θ)≤2，所以虚部的最大值为 2. 答案：32 2 15．已知f (z )＝|1＋z |－z 且f (－z )＝10＋3i ，则复数z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则－z ＝－x －y i ，由f (－z )＝10＋3i ，得|1＋(－z )|－(－z )＝10＋3i ，|(1－x )－y i|－(－x ＋y i)＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧ (1－x )2＋y 2＋x ＝10，－y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3. 答案：5－3i16．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②不符合实数不等式的性质，错误；③若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；④z ＝1i＝－i ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得 a 2＋b 2＝1.由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0，且4a ＋3b ≠0. 由⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，∴z ＝45－35i 或－45＋35i. 18．复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0、z 、z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i) ＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4. ①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ② 又∵z 对应的点在第一象限，∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1. 故所求的值为a ＝－3，b ＝－1.19．已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根(a ，b ∈R )．(1)求a ，b 的值；(2)结合根与系数的关系猜测方程的另一个根，并给予证明．解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0，得－(a －b )＋(a －2)i ＝0，∴a ＝2，b ＝2.(2)由根与系数的关系可设方程的另一个根为z 2，∴i －1＋z 2＝－2，∴z 2＝－1－i ，把z 2＝－1－i 代入方程得左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴z 2＝－1－i 是方程的另一个根．20．是否存在实数x ，使得(x ＋3i)3＝log2124成立？如果存在，求出x 的值；如果不存在，说明理由．解：∵(x ＋3i)3＝log 2124＝－8，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3i －23＝1， ∴x ＋3i －2＝1或ω或ω⎝⎛⎭⎫其中ω＝－12＋32i . 若x ＋3i －2＝1，则x ∉R ；若x ＋3i －2＝ω＝－12＋3i 2，则x ∉R ；若x ＋3i －2＝ω＝－12－3i 2，则x ＝1. 综上，存在实数x 且x ＝1.21．已知两个复数集合M ＝{z |z ＝cos θ＋(4－m 2)i}，N ＝{z |z ＝m ＋(λ＋sin θ)i}(m ，θ∈R )，且M ∩N ≠∅，求实数λ的取值范围．解：∵M ∩N ≠∅，则集合M ，N 中至少有一个相等元素，即有cos θ＋(4－m 2)i ＝m ＋(λ＋sin θ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝m ，4－m 2＝λ＋sin θ，则λ＝4－cos 2θ－sin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ－122＋114.sin θ∈[－1,1]，由二次函数区间最值求法可知，当sin θ＝12时，λmin ＝114；当sin θ＝－1时，λmax ＝5，所以λ∈[114，5]． 22．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值； (2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值．解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b . 解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。

高中数学(人教B版选修2-1)第三章章末综合测评 Word版含答案

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．与向量＝(，－)平行的一个向量的坐标是( )．(－，－)．【解析】＝(，－)＝－.【答案】．两平行平面α，β分别经过坐标原点和点()，且两平面的一个法向量＝(－)，则两平面间的距离是( )．．【解析】两平面间的距离＝＝.【答案】．已知(，－，－)，(－)，(，－)，()，令＝，＝，则＋为( )．(，－) ．(－，－)．(，－) ．(，－，－)【解析】＝＝(－，－)，＝＝(－)，∴＋＝(－，－)．【答案】．在平行六面体-中，若＝＋＋，则的值等于( )【导学号：】．．－【解析】∵＝＋－＝＋＋，∴＝，＝，＝－，∴＝－.【答案】．在棱长为的正方体-中，下列结论不正确的是( )＝－．·＝·＝．·＝【解析】如图，∥，⊥，⊥，故，，选项均正确．【答案】．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“·＝，且·＝”是⊥α的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若⊥α，则垂直于α内的所有直线，从而有·＝，·＝.反之，由于，是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】．已知△的三个顶点为()，(，－)，()，则边上的中线长为( )．．．．【解析】设的中点为，则()，∴＝(－，－)，∴＝＝，即边上的中线长为.【答案】．若向量＝()，＝(，－)，且与的夹角的余弦值为，则＝( )．．－．－．或－【解析】因为·＝()·(，－)＝－＋＝＋，且与的夹角的余弦值为，所以＝，解得＝或－(舍去)，故选.【答案】.如图，在长方体-中，＝＝，＝，则与平面所成的角的正弦值为( )。

人教版数学选修2—1第三章测试题

数学选修2—1第三章测试题考试时间：120分钟总分：150分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、在以下命题中：①假设向量a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设向量a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为〔〕A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===那么=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，那么顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，假设b a ⊥，那么x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，假设b a //，那么m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，那么a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、假设斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，那么AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、a ＝〔2，－1，3〕，b ＝〔－1，4，－2〕，c ＝〔7，5，λ〕，假设a 、b 、c 三向量共面，那么实数λ等于〔〕A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，那么PC 与平面ABCD所成的角是( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 那么△BCD 是〔〕 A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，那么直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为( )A ．21B ．36C ．33D ．23二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13、向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，那么〔2a －b 〕·a =____________．14、)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，那么平面ABC 的一个法向量为____________． 15、平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),那么平面α与平面β所成二面角的大小为____________．16、以下命题中：(1)0=⋅b a 那么a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)假设a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，那么它们必垂直．其中真命题的序号是____________．数学选修2—1第三章测试题第II 卷班级：姓名：总分：一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分〕 123456789101112二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分〕13. 14.15. 16.三、解答题〔本大题共6小题，总分值70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤〕 17、〔总分值14分〕如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、〔总分值14分〕如下图，空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.〔1〕求MN的长；〔2〕求异面直线AN与CM夹角的余弦值.19、〔总分值14分〕在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1的夹角大小.20、〔总分值14分〕棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1, DD1的中点.求证:(1) FC1∥平面ADE(2)平面ADE∥平面B1C1F21、〔总分值14分〕如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中, AB= AA1=1,BC=,M是AD中点,N是B1C1中点.(1)求证: NA1∥CM.(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。