运筹学课件1.8工作指派问题
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运筹学指派问题
n
n
总成本最小
每项任务由一人完成 每人只承担一项任务
解矩阵的特征
• 全部元素仅取0或1 • 每行有且仅有一个1 • 每列有且仅有一个1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
例如，n=5时， X xij
数学模型 : m in z cij xij j 1 i 1
n xij 1, j 1,2 ,...,n i 1 n s .t . xij 1, i 1,2 ,...,n j 1 x 0 ,1 i , j 1,2 ,...,n ij
在C中找出最多独立0的步骤
• 设Wi表示第i行0的数目,Lj表示第i列0的数目.
• 1.统计Wi和Lj（i,j=1,2,…n）.
• 2.按W1，W2，…,Wn,L1,L2,…,Ln顺序找出 第一个最小正数，选中该行（列）首个0. • 3.删除该0所在的行与列,对应的Wi=0,Lj=0. • 4.重复步骤1~3，直到全部Wi=0为止.
0
0
这样就找到 4个独立0
如果按自上而下从左到右顺序找
0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
• 这样，4条线就覆盖了全部0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0
运输任务指派技术.ppt
运输管理
运输任务指派技术
五、运输任务指派技术
物流资源分配问题也称指派问题 (assignment problem)，属于0-1整数规 划问题。典型的指派问题是指：有n项不 同的工作要做，恰好有n个人（或设备） 可以分别完成其中的一项工作，但由于 任务性质和个人专长不同，因而由不同 的人去完成不同的工作的效率（或所需 的资源）是不一样的。如何安排才能使 工作总效率最高（或所需总资源最少）？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、运输任务指派技术
一种物流资源分配问题的简便算法——匈牙利法
（一）从矩阵（n×n）的各行（列）减去该行（列）的
最小元素。 （二）从所得矩阵的各列（行）减去该列（行）的最小 元素，使每行、每列都出现0元素。至此所得价值系数矩 阵称为简约化的价值系数矩阵。
（三）以最少的m条直线（水平的或竖直的）去覆盖简约
化价值系数矩阵中的所有0元。
五、运输任务指派技术
（四）若m=n,可从上述简约化的价值系数矩阵的0元中找 到一组位于不同行且不同列的0元。令这些元素对应的变 量xij=1,其余的变量xij=0，就得到了一个最优解。 若m<n，从未被直线覆盖的元素中找出最小元素，从所有 未被覆盖的元素中将它减去， 并在所有位于水平、垂直覆 盖线相交处的元素上加上这个最小元素，其余被覆盖的元 素保持不变，再回到步骤（三）。
运输任务指派技术
五、运输任务指派技术
物流资源分配问题也称指派问题 (assignment problem)，属于0-1整数规 划问题。典型的指派问题是指：有n项不 同的工作要做，恰好有n个人（或设备） 可以分别完成其中的一项工作，但由于 任务性质和个人专长不同，因而由不同 的人去完成不同的工作的效率（或所需 的资源）是不一样的。如何安排才能使 工作总效率最高（或所需总资源最少）？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、运输任务指派技术
一种物流资源分配问题的简便算法——匈牙利法
（一）从矩阵（n×n）的各行（列）减去该行（列）的
最小元素。 （二）从所得矩阵的各列（行）减去该列（行）的最小 元素，使每行、每列都出现0元素。至此所得价值系数矩 阵称为简约化的价值系数矩阵。
（三）以最少的m条直线（水平的或竖直的）去覆盖简约
化价值系数矩阵中的所有0元。
五、运输任务指派技术
（四）若m=n,可从上述简约化的价值系数矩阵的0元中找 到一组位于不同行且不同列的0元。令这些元素对应的变 量xij=1,其余的变量xij=0，就得到了一个最优解。 若m<n，从未被直线覆盖的元素中找出最小元素，从所有 未被覆盖的元素中将它减去， 并在所有位于水平、垂直覆 盖线相交处的元素上加上这个最小元素，其余被覆盖的元 素保持不变，再回到步骤（三）。
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运筹学指派问题课件
c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 i 1 n st . xij 1 (i , j 1, 2, ..., n) j 1 x 1or 0 ij
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
运筹学教程
指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
运筹学教程
匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
0 11 8 7 7 3 3 2 1 C ' 5 0 4 3 4 0
第二步 圈0 寻找不同行不同列的0元素，圈之。 所在行和列其它0元素划掉
0 0 0 0 0 3 0 11 8 第三步 打 无的行打，打行上0列打 ， 1 7 7 3 打列上行打，打行上0列打 ' 2 3 2 1 C 0 5 0 4 0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 2 3 4 0 C ' 0 2 3 2 1 第四步 确定方案划线 0 0 5 0 4 没有打行上画一条横线； 0 2 3 4 0 有打列上画一条竖线；
15 120 15 12 0 14 100 14 100 8 7 0 0 8 7
运输问题与指派问题讲义(PPT 40页)
§3 Transportation Network 运输问题的网 络表示
销地
供应量
产地
B1
B2
B3
B3
ai
A1
6
7
5
3
25
A2
8
4
2
7
10
A2
5
9
10
16
15
需求量 bj
13
21
9
7
Transportation Network 运输问题的网络表示
sources
运价
Destinations 需求地
Warehouses
Destinations目的地
Output from a cannery
Supply from a source运出量
Allocation to a warehouse
Demand at a destination需求量
Shipping cost per truckload from a Cost per unit distributed from a
Eugene
125 truckloads
Salt Lake City
Albert Lea
100 truckloads
Rapid City
Total
300 truckloads
Albuquerque
Total
总产量=总的需求量=300车，产销平衡
分配量Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
运输模型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
运筹学 指派问题课件 PPT
产品1 产品2 产品3 产品4
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
返回总目录
例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
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第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
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数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
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例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
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第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
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产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
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数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
运输问题和指派问题_图文
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作 业法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”还是采用 “单纯形法”来求解。
例4.1的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
工厂1 工厂2 工厂3 需求量
表4－7 产品生产的有关数据
产品1 41 40 37 20
单位成本（元）
产品2 27 29 30 30
产品3 28 － 27 30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3.3 各种运输问题变形的建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件x23＝0 ；并 且，总供应（ 75+75+45=195）>总需求 （20+30+30+40=120）。 其数学模型如下： 设xij为工厂i生产产 品j的数量
《指派问题》课件
指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源 分配等
解决方法：线性规划、启发 式算法等
定义：指派问题在多个目标 下的扩展
挑战：如何在多个目标之间 找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定 义
动态指派问题的应 用场景
动态指派问题的求 解方法
动态指派问题的优 化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模 指派问题是指在给 定一组任务和一组 资源，如何将任务 分配给资源，使得 总成本最小化或总 收益最大化。
混合算法
混合算法的概念： 将多种算法进行 组合，以获得更 好的优化效果
混合算法的优点： 能够充分利用各 种算法的优点， 提高优化效果
混合算法的应用： 在指派问题中， 混合算法可以结 合多种算法，如 遗传算法、模拟 退火算法等，以 提高优化效果
混合算法的挑战： 如何合理选择和 组合各种算法， 以获得最佳的优 化效果
应用场景：大规 模指派问题广泛 应用于物流、供 应链、生产调度 等领域。
研究方法：大规 模指派问题的研 究方法包括启发 式算法、遗传算 法、神经网络等。
挑战与展望：大规 模指派问题的挑战 在于如何设计高效 的算法，以及如何 解决大规模问题中 的优化问题。未来 的研究方向包括分 布式计算、并行计 算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式 方法，也称为元启发 式算法，是一种基于 启发式策略的优化方 法。
特点：元启发式方 法具有自适应性、 鲁棒性和易于实现 等特点。
应用：元启发式方法 在指派问题、路径规 划、调度等问题中都 有广泛的应用。
实例：遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算 法等都是元启发式方 法的典型代表。
《指派问题》课件
的专业知识，让大家更好地 了解和应用指派问题的解决方法。
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
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c1n c2 n cnn
关于模型的讨论
指派问题是运输问题的特殊情况 当n=m时，平衡指派问题 当 n m 时，不平衡指派问题，此时， 可设置虚工作或虚工作人员，将其化为 平衡指派问题。 对指派矩阵C，任意行（列）减去它的最 小元素后，所构成的指派问题最优解与 原指派问题相同。
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
0 20 40 60 95
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
回到第一步：圈零得新最优解
4 0 2 0 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 ( xij ) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
最小的总工作时间：z=7+5+5+3=20。该问 题有多个最优解，请求出其它的最优解。
第八节 工作指派问题
工作指派问题及其数学模型 求解工作指派问题的匈牙利法 工作指派问题的应用举例
工作指派问题的数学模型
•例1-12
•指派问题数学模型 •指派矩阵 •对数学模型的讨论
匈牙利法
•匈牙利法的基本原理
•匈牙利法的计算步骤
•减数得零—求最优匹配
•圈零划线—查是否最大匹配
•找数调整—求新的最优匹配
ห้องสมุดไป่ตู้
指派问题一般模型
min z cij xij
j 1 i 1 n n
n xij 1, j 1,2, , n i n1 s.t. xij 1, i 1,2, , n j 1 xij 0,1
指派矩阵
c11 c12 c c 21 22 C cn1 cn 2
例1-12的匈牙利解法
10 3 C 2 4 7 6 2 6 0 0 1 0 ( xij ) 0 0 0 1 9 4 1 3 8 5 1 5
0 0 1 0
3 0 1 1 1 0 0 0
2 1 0 0
1 2 0 2
0 3 1 3
4
120 220 200 180 190
5
145 160 165 135 100
求指挥飞机总架数最大的管制员安排方案
首先将效率最大问题转化为时间最短问 题：用一个不比指派矩阵中最大元素小 的数减去指派矩阵的所有元素。即令
则有
n
M max( cij ),bij M cij
n n n ij ij n ij ij n n
•求最大值的匈牙利法
工作指派问题的应用举例
例1-14
400 435 505 495 450
315 220 120 145 295 240 220 160 370 320 200 165 310 250 180 135 320 310 190 100
例1-12
0 20 40 60 95
50 0 45 65 50 55 60 0 0 0 0 40 0 50 60 50 45 40 0 40
0 20 35 55 90
0 0 ( xij ) 0 1 0
例1-13和解法
有四项任务，分别由四个人去完成。他们 每个人完成不同的工作所需时间如表1-44 所示，求使总工作时间最少的任务安排。
M J 甲 乙 丙 丁 1 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
第一步：求初始最优解
10 5 C 5 2 9 8 4 3 7 7 6 4 8 7 5 5 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 2 2 0 1 0 2
机器安装选点问题
地 点 机器 1 2 3 4 需求量 1 10 3 2 4 1 2 9 4 1 3 1 3 8 5 1 5 1 4 7 6 2 6 1 机器 总数 1 1 1 1
数学模型
min z cij xij
j 1 i 1 4 4
4 xij 1, j 1,2,3,4 i 41 s.t. xij 1, i 1,2,3,4 j 1 xij 0,1
b x (M c ) x
i 1 j 1 i 1 j 1 n n n i 1 j 1 i 1 j 1
M xij cij xij nM cij xij
i 1 j 1
问题转化，取M=505
400 435 C 505 495 450 315 220 120 145 295 240 220 160 370 320 200 165 310 250 180 135 320 310 190 100 105 190 70 210 0 135 10 195 55 185
例1-14 求最大效率问题
华东空管局管制中心将上海机场进近区划分为5个 扇区，由五个管制员管理。每个管制员对不同扇区 单位时间内能安全指挥飞机的架数如表1-50所示。
扇区 管制员 甲 乙 丙 丁 戊
1
400 435 505 495 450
2
315 295 370 310 320
3
220 240 320 250 310
第二步：找划去零的最少直线
3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 2 2 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 2 2 0 1 0 2
第三步：找调整量，并调整
3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 2 2 0 1 调整 0 2 4 0 2 0 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1
285 385 360 265 285 345 185 305 340 255 325 370 195 315 405
用匈牙利法求最优解
40 65 0 0 0 0 55 55 0 20 0 50 45 90 85 0 100 105 100 105 0 45 0 45 95
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
最大总飞机架数= 145+220+370+495+310=1540
习题
第一版：
P.261，习题15 P.262，习题16。 P.280，习题18 P.280，习题19。
第二版：
40 65 0 0 0 0 55 55 0 20 0 50 45 90 85 0 100 105 100 105 0 45 0 45 95
40 65 0 0 0 0 55 55 0 20 0 50 45 90 85 0 100 105 100 105 0 45 0 45 95