2017年广州一模(文数)试题及答案
2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案
2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数21i+的虚部是（ ）A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3．已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则c o s 2θ=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-4．阅读如图的程序框图. 若输入5n =，则输出k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数()122,0,1l o g,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f （ ）A ．43 B ．23 C ．43-D ．3- 6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ，1F ,2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．14 B ．716C ．12 D ．9168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1-或()1,1-10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面 积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π11．已知函数()()()()s in co =+++ωϕωϕfx x x是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的值为（ ） A ．2016 B ．1008 C ．504 D ．0 第Ⅱ卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分 13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -，则a b ⋅= 14．若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点，圆的标准方_____15．满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-a x y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_____ 16．在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+，当ABC ∆的周长最短时，BC 的长是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*N n ∈）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？ （Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b cd 为样本容量） 19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； （Ⅱ）若1=AD ，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离 20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且过点)1,2(A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 21．（本小题满分12分） 已知函数)0(ln )(>+=a xax x f （Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当e a 2≥时，xex f ->)(请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为B3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2c o s .4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,≥∈a x R ，求证：()2≥f x .2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C（7）B （8）D （9）D （10）C （11）D （12）B 二、填空题（13）52- （14）()2212x y +-= （15）3 （16）12+三、解答题 (17) 解:（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-， (1)分 解得12a =． ………………………………………………………2分当2n ≥时，11(22)n n n n a S S a --=-=-， ………………3分即12n n a a -=， ………………………………………………………4分所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．……………………………………5分所以122n nn a -=⨯=（n ∈N *）． ………………………………………………6分 (Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-， ………………………………………………8分所以12n n T S S S =++⋅⋅⋅+ ………………………………………………9分2312222n n +=++⋅⋅⋅+- ………………………………………………10分()412212n n ⨯-=-- ………………………………………………11分2242n n +=--． ………………………………………………12分 (18) 解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()(0.480.0120.0320.05250.50.0=++⨯<<+，………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………5分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． …………………………8分（Ⅲ）列联表:…………………………10分 则()2210035060041.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .......................................2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, (3)分所以AB ⊥平面A D. …………………………………4分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分 依题意6tan ==∠AD CDCAD ， 因为1A D ,=所以6=CD . …………………………6分设()0AB x x =>，则12+=x BD ,因为△ABD ～△BDC ，所以BDDCAD AB =， ………………………………7分即1612+=x x ，=，故3. …………………，AB ⊥AC , E 为BC 由平面几何知识得AE 322BC ==, 同理DE 322==BC ,所以22=∆ADS .…………………………9分因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-AB DBC D A S CD V . ………………………10分设点B 到平面ADE 的距离为d , 则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ,…………………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分 (20) 解:(Ⅰ) 因为椭圆C, 且过点()2,1A ,所以22411a b +=,2c a =. ………………………………………………2分因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分所以21614P Q kx x k-=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P A Q k k=-, 即1112y x --22102y x -+=-,① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=, 得()111112241y x x y -+=--+, ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+,⑤ (7)分由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………8分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分 ②-③得22221212082x x y y --+=,得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………11分所以直线PQ 的斜率为121212PQy y k x x -==-为定值. …………………………………12分法3：设直线PQ 的方程为y k x b=+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PAy k x -=-, 直线QA 的斜率2212QAy k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P Ak k =-, 即1112y x --2212y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=.把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440k x x bk x x b +--+-+=.(*) …………………………………7分由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=, (**)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-. ……………………………………………10分若12b k =-, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. ………………………………11分 若12k =时, 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 (21) 解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln af x x x=+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时,()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分当x a =时,()minln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2：函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分 故1x e=时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e<≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 要证明当2a e≥时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x ax e x-+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………6分 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>.所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e=时,()min1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分于是,当2a e≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分 令()xx xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时,()max1x eϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分于是,当0x >时,()1.x e ϕ≤② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e≥时,()->x f x e . ……………………………………………………12分 （22）解： (Ⅰ)由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ,……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分(Ⅱ)法1:设曲线C上的点为()1c o ,12s i nααP , ………………………………6分 则点P 到直线l的距离为2s i n 4-=d …………………………7分=………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C 相切时,得=, ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去), 所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分所以直线l 与直线l '的距离为d ==. …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分（23）解： (Ⅰ)因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(Ⅱ) 因为1,≥∈a x R , 所以()()()121=+-fxx……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试(文数)试题及参考答案
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试文科数学2016.12 本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则()U A B ð= (Ａ) {}4 (Ｂ) {}0,1,2,3 (Ｃ) {}3 (Ｄ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22221x y a b-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A)31 (B)83 (C)21 (D)85 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6OyOxO（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)（8）曲线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为(A) 2 (B)23(C) 1 (D) 1- （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 （10）若将函数()f x =则ϕ的最小正值是(Ａ)8π （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f x=(A) (]1,∞-753686943859467830975457032417332649858765432甲城市乙城市 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(一)文科数学试
2017年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.D.23.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ）A.2sin CB.2cos BC.2sin BD.2cos C4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-=B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-=D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.26.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）Ks5u7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ）A.M NB.M NC.MD.N8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ） A.18B.14C.34D.789.设a 、b 是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ） A.a b = B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分） 11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是.图2侧（左）视图正（主）视图13.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x的模x 的最小值为 . Ks5u（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率. Ks5u17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-. （1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足PM MH，证明点H恒在一条定直PN HN线上.。
【广东省广州市】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案
广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷答 案一、选择题1~5．BACBA6~10．CBCDC11~12．DB二、填空题13．52-14．()2212x y +-= 15．316．1+ 三、解答题17．解：（Ⅰ）∵S n =2a n ﹣2（n ∈N *），∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为：a n =2a n ﹣1，∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∴a n =2n ．所以1222n n n a -=⨯=（n ∈N *）．（Ⅱ）S n ==2n +1﹣2．∴数列{S n }的前n 项和T n =﹣2n=2n +2﹣4﹣2n ． 18．解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= 解得390019x =． （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． （Ⅲ）22⨯列联表：…………………………10分则()221003506004 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． 19．解：（Ⅰ）证明∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ．因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CD CAD AD ∠=因为1,AD =所以CD =设()0AB x x =>，则BD =因为△ABD ～△BDC ，所以AB DC AD BD=，即1x =，解得x ，故3AB BD BC ==．由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点，由平面几何知识得AE 322BC ==， 同理DE 322BC ==， 所以． 因为DC ⊥平面ABD ，所以133A BCD ABD V CD S -=⋅=． 设点B 到平面ADE 的距离为d ，则113326ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====， 所以62d =，即点B 到平面ADE 的距离为62． 20．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的离心率为3，且过点()2,1A ， 所以22411a b +=，3c a =． 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （Ⅱ）解法一：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为()12y k x -=-，直线AQ 的方程为()12y k x -=--．设点(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ， 由()2212,1,82y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点()2,1A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k --=+， 所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k +-=+． 所以21614P Q k x x k-=-+． 又()28414P Q P Q k y y k x x k -=+-=-+． 所以直线PQ 的斜率为12P QPQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即1112y x --22102y x -+=-，① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上， 所以2211182x y +=，② 2222182x y +=．③ 由②得()()22114410x y -+-=，得()111112241y x x y -+=--+，④ 同理由③得()222212241y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++， 化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=，⑥由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=，⑦⑥-⑦得()12122x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值． 法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ，则1122,y kx b y kx b =+=+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即1112y x --2212y x -=--， 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=．把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式，并化简得()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=．（*） 由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=，（**） 则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++， 代入（*）得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++，整理得()()21210k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．解：（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为()0,+∞． 由()ln a f x x x =+，得()221a x a f x x x x -'=-=．因为0a >，则()0,x a ∈时，()0f x '<；(),x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．当x a =时，()min ln 1f x a ⎡⎤=+⎣⎦．当ln 10a +≤，即0a <≤1e时，又()1ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 法2：函数()ln a f x x x =+的定义域为()0,+∞． 由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+． 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<． 所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 故1x e =时，函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10a e<≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． （Ⅱ）要证明当2a e≥时，()x f x e ->， 即证明当0,x >2a e ≥时，ln x a x e x -+>，即ln x x x a xe -+>． 令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10x e <<时，()0f x '<；当1x e>时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 当1x e=时，()min 1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦．于是，当2a e≥时，()11.h x a e e ≥-+≥① 令()x x xe ϕ-=，则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．当1x =时，()max 1x eϕ⎡⎤=⎣⎦． 于是，当0x >时，()1.x e ϕ≤② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2a e≥时，()x f x e ->． 22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程3,1,x t y t =-⎧⎨=+⎩消去t 得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 2cos 2sin 44ππθθθθ⎫=+=+⎪⎭， 得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=． （Ⅱ）法1：设曲线C上的点为()1,1P αα， 则点P 到直线l的距离为d == 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为法2：设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=，当直线l '与圆C =解得0b =或4b =-（舍去），所以直线l '的方程为0x y +=．所以直线l 与直线l '的距离为d ==所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为23．解：（Ⅰ）因为()13f <，所以123a a +-<．①当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤； ②当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<； ③当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<； 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为1,a x ≥∈R ，所以()()()1212f x x a x a x a x a =+-+-≥+---31a =-31a =-2≥．广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷解 析一、选择题1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i 的虚部是﹣1．故选：B．2．【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，4．【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题13．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：=×2×1=1，不合题意，当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为： +1．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．18．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅰ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅰ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅰ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅰ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅰ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅰ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅰ）基本基本不等式的性质证明即可．。
2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 文科数学
（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水 线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生 产出不合格品约多少件？ (2)由甲,乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线 生产的不合格品有15件, 则甲流水线生产的产品为不合 15 3 格品的概率为P甲 , 50 10 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
文科数学
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 1.复数 的虚部是( B ) 1 i A. 2 B. 1
C .1
D.2
2 2(1 i ) 2(1 i ) 2(1 i ) 2 2 1 i 1+i (1 i )(1 i ) 1 i 2
虚部为 1
2.已知集合 x x 2 ax 0 0,1 , 则实数a的值为( A ) A. 1 B.0 C .1 D.2
2 x | x ax 0 x | x( x a ) 0 0, a 0,1
a 1,即a 1
1 1 f ( x )的对称中心为 , 2 2
2016
k 1
k 1 f 2 1008 1008 2017 2
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。 13.已知a (1, 2), b ( x, 1), 若a //(a b) , 则a b
所有人都站着，共1种; B 只有一个人站着，有4种; 只有两个人站着，共有AC,BD, 共2种。 如果有三个以上人站着，则不符合题意
1 4 2 7 P 16 16
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某 几何体的正视图(等腰直角三角形 )和侧视图, 且该几 8 何体的体积为 , 则该几何体的俯视图可以是( C ) 3
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试-文数
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试文科数学2016.12 本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则()U AB ð=(A ) {}4 (B ) {}0,1,2,3 (C ) {}3 (D ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22221x y a b-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A)31 (B)83 (C)21 (D)85 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6OyOxO（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)（8）曲线xy 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为(A) 2 (B)23(C) 1 (D) 1- （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 （10）若将函数()f x =则ϕ的最小正值是(Ａ)8π （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f x=(A) (]1,∞-527536869438594678309754570324173326498598765432甲城市乙城市 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(文数)试题
绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) 45- （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ) 43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (Ｄ) 3-（6）已知双曲线C 222:14x ya -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10(Ａ) 0,0 (Ｂ) 1,1- (Ｃ) 1,1- (Ｄ) 1,1-或1,1-（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π（11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年度广一模文科数学
2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC 边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣3【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为 3 ．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．…（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（Ⅲ）2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100…则，…因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k ﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ 的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直线PQ的斜率为．…所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…②﹣③得，得．…所以直线PQ的斜率为为定值．…解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…代入（*）得，…整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…故当时，f（x）＞e﹣x．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月27日。
2017年广东省广州市普通高中毕业班综合测试广州一测文科试题及参考答案
绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
(1)复数21i+的虚部是 (A)2- (B) 1- (C)1 (D)2 (2)已知集合}{}{2001x x ax ,+==,则实数a 的值为(A) 1- (B)0 (C)1 (D)2 (3)已知tan 2θ=,且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,则cos 2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) (4)阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(5)已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (Ｄ) (6)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF (A)4 (B)6 (C)8 (D)10(7)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,2P A A B==,4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为(A)8π (B)12π (C)20π (D)24π(11)已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数,直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π,则(A)()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 (B)()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 (C)()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 (D)()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 (12)已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 (A)2016 (B)1008 (C)504 (D)0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广州一模试题和标准答案(文科数学)
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (（6）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F , 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的()1,1-（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π（11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科试题及答案
绝密★启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2•回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合、选择题：本小题共题目要求的。
(A) 2 (B)(C) 1 (D)(2 )已知集合(A) 1 x2ax 0 0,1 则实数a的值为(B)(C) (D)(3)已知tan2，且0,2，则cos243(C)3(A)-(B )-555(4)阅读如图的程序框图.若输入n 5,则输出k的值为(A) 2(B) 3(C) 4(5 )已知函数f2x1,x 0,x则f f31 log2x,x 0,42(C )4(A)-(B )-—33322(6)已知双曲线C：x r1的一条渐近线方程为2xa43y 是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且PF1 (A) 4 (B) 6 (C) 82,x y 0 ,则点P 的坐标为(10)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P A B C 为鳖臑,P A 丄平面A B C ,PA AB 2,AC 4，三棱锥PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球0的表面积为(A ) 8(B ) 12(C ) 20(D ) 24(11)已知函数fx sin x cos x 0,0是奇函数，直线x的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则(7)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币, 硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来 有相邻的两个人站起来的概率为;若硬币正面朝下 所有人同时翻转自己的 ,则这个人继续坐着•那么，没1(C ) 2(8)如图，网格纸上小正方形的边长为 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，8且该几何体的体积为 1,粗线画出的是(A)(B )(9)设函数f xx 3 ax 2，若曲线y(D )f x 在点P x 0, x 0处的切线方程为(A )0,0 (B ) 1, 1(C ) 1,1(D ) 1, 1 或1,1 (A ) f x 在上单调递减(B) f3 上单调递减8(C ) f x 在'4上单调递增(D) f3 上单调递增8(12 )已知函数fx cos x 2x12016则k 1k 2017的值为(A) 2016 (B) 1008 (C ) 504 (D) 0(C )本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．设集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ，则 S∩T=（ ） A． { x | ﹣7＜x＜﹣ 5} B．{ x | 3＜x＜5} C． { x| ﹣5＜x＜3} D．{{ x| ﹣7＜x ＜ 5}
A． 6x﹣5y﹣ 14=0 B．6x﹣ 5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D． 6x+5y﹣14=0
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．若复数 a+i 是纯虚数，则实数 a= ．
14．曲线 y=sinx+1 在点（ 0，1）处的切线方程为
．
15．已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x）满足 f（x+2） =﹣ f（x ），当 0≤
2017 年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．设集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ，则 S∩T=（ ） A． { x | ﹣7＜x＜﹣ 5} B．{ x | 3＜x＜5} C． { x| ﹣5＜x＜3} D．{{ x| ﹣7＜x ＜ 5} 【考点】 交集及其运算． 【分析】 利用交集定义和不等式性质求解． 【解答】 解：∵集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ， ∴ S∩ T={ x| ﹣7＜x＜﹣ 5} ． 故选： A．
的焦点，设 P 为两曲线的一个公共点，则△ PF1F2 的面积为（
）
2017年广州市番禺区高考数学一模试卷(文科) 有答案
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x＜5}2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．365．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．26．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x＜5}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，∴S∩T={x|﹣7＜x＜﹣5}．故选：A．2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之．【解答】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；故选C．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．36【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意，=6，p=12，双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），∴△PF1F2的面积为=36，故选D．5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABO），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，关于命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），将函数f（x）=sinx在[0，]，sinA+sinB+sinC，得到所求．【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC=3sin=；所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为；故选D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，•=（﹣）•（﹣）=•﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．【解答】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，∴该容器的体积为==9．故选：D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（﹣1，0），∵点C（0，﹣2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心∴=﹣1，=0∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①∵，，∴两式相减得： +=0将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，∵直线l 过AB中点（﹣，1）∴直线l的方程为y﹣1=（x+）故答案为6x﹣5y+14=0，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=0．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．故答案为：0．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．【解答】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为2π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n﹣m的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．∵最小正周期为π，即T=π，∴，可得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．此时n﹣m可得最小值为2π．故答案为2π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sinB==，sinC==所以sinBsinC=×=．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，2a n=a2n﹣1．取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴S n=2﹣．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，∴由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为==67，乙校的平均值为=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，其中2 人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，∴两人来自同一学校的概率p=．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC 中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA=PC ，∴PO ⊥AC ，又∵底面ABC 为正三角形，∴BO ⊥AC ， ∵PO ∩OB=O ，∴AC ⊥平面POB ，则AC ⊥PB ；（Ⅱ）解：∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC=AC ， PO ⊥AC ，∴PO ⊥平面ABC ，又AB=2，PA ⊥PC ，可得PO=1，且．∴．21．已知圆C ：（x ﹣6）2+y 2=20，直线l ：y=kx 与圆C 交于不同的两点A 、B ． （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l 的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C （6，0）到直线l ：y=kx 的距离小于半径，由此求得k 的范围．（Ⅱ）把直线l ：y=kx 代入圆C ，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x 2=2x 1，从而求得k的值，可得直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C （6，0）到直线l ：y=kx 的距离小于半径，即＜，求得﹣＜k ＜．（Ⅱ）把直线l ：y=kx 代入圆C ：（x ﹣6）2+y 2=20，化简可得（1+k 2）x 2﹣12x +16=0，∴x 1+x 2=，x 1•x 2=．若=2，则x 2=2x 1，则x 1=，x 2=，∴则x 1•x 2=•=，∴k=±1，故直线l ：y=±x ．22．已知函数f （x ）=alnx +x 2﹣x ，其中a ∈R ． （Ⅰ）若a ＜0，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，结合f （x ）的定义域得出f′（x ）的符号变换情况，从而得出f （x ）的单调性；（II ）对a 进行讨论，判断f （x ）在[1，+∞）上的单调性，得出f （x ）在[1，+∞）上的最小值f min （x ），即可得出结论．【解答】解：（I ）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）==，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，解得x 1=，x 2=，∵a ＜0，∴x 1＜0，x 2＞0，∴当0＜x ＜时，f′（x ）＜0，当x ＞时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II ）若a=0时，f （x ）=x 2﹣x ，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意．若a ＜0，由（I ）可知f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当≤1即﹣1≤a ＜0时，f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意，当＞1即a ＜﹣1时，f （x ）在[1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （）＜f （1）=0，不符合题意．若a ＞0，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，∴当△=1﹣8a ≤0即a时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意．若0，则2x 2﹣x +a=0有两正实数解，x 1=，x 2=，∴f （x ）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∵＜1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．。
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2017年广州一模（文数）试题及答案2017年广州市一模(文科数学)第I卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数右的虚部是(B) 135(4)阅读如图的程序框图. 的值为(A) 2(D)(5)已知函数f x2 2 （6）已知双曲线cA (C)1(2)已知集合(A) 1(D) 22x x ax 0 0,1 ,贝V实数a的值为(B) 0(C)(3)已知tan(D ) 22，且0,2，则cos21Jlog2 x,(C )输(B)x35x(A ) 3( B ) 2 ( c )2七i 的一条渐近线方程为a 42x 3y 0,»F 2分另U是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上, 且I PR 2,则PF 2等于（A ）4（ B ）6（ C ）(D)10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放 着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若 硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么，没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A） I（ B ）16（C）（D）97（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线 画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是（A）（B）（c）（D）（9）设函数f x X3ax2，若曲线y f x在点P x。
, f x。
处的切线方程为x y 0，则点P的坐标为（A ）0,0 （B ）i, i（C ）1,1 （D ）i, i 或i,i（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥P ABC为鳖臑,PA丄平面ABC,PA AB 2 , AC 4,三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(A)8(B) 12 (C ) 520（ D ） 24（11）已知函数fx sin x cos x 0,0奇函数，直线y .2与函数f x 的图象的两个相邻交点的 横坐标之差的绝对值为q 则 （A ） f x 在o,-上单调递减 （B ） f x在8令上单调递减8 8（C ） f x 在0,-上单调递增 （D ） f x在«，3T 上单调递增8 8（12）已知函数fX cos X,则―f盏的 值为（A ） 2016（B ） 1008（C ）504（ D ） 0第H 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第 13〜 21题为必考题，每个考生都必须作答。
第22〜23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
(13)已知向量a1,2， b x, 1，若a II(a b)，则(14)若一个圆的圆心是抛物线x2 4y的焦点，且该圆与直线y x 3相切，则该圆的标准方程是____________ .(15)满足不等式组X y 1 X y 3 °，的点x,y组成0 x a的图形的面积是5,则实数a的值为 __________ .(16) 在^ ABC 中,ACB 60 ,BC 1,AC AB P 当^ ABC的周长最短时,BC的长是_______ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且S n 2a” 2 (n N*).(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )求数列｛S n｝的前n项和T n .(18)(本小题满分12分)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各• •抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值•若该项质量指标值落在195,210内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图.质量指标值(190,1表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图(I)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（U ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出 不合格品约多少件？（皿）根据已知条件完成下面 2 2列联表，并回答是否有85%的把握认为该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关” ？abed a e b d本容附:（19）（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD中，AD〃BC, AB丄BC , BD 丄DC,点E是BC边的中点,将△ ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，连接AE , AC , DE ,得到如图2所示的几何体.(I)求证：AB丄平面ADC ；(U )若AD 1, AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面°ADE的距离火厶[Z '、B EB E C图1图2(20)(本小题满分12分)已知椭圆C:与£ 1a b 0的离心率为二，且过a b 2 7点 A 2,1 .(I )求椭圆C的方程；(n )若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于X轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(21)(本小题满分12分)已知函数f X In x a a 0 .x(I )若函数f X有零点，求实数a的取值范围；(n )证明：当a£时，fx e x.请考生在第22〜23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为x 3 t，(t为参数).在以坐标原点为极点，y 1 tx轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C: 2'cos 7.(I)求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(H )求曲线C上的点到直线|的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f X x a 1 x 2a .(I )若f 1 3，求实数a的取值范围； (n )若 a 1,xR ,求证：f X 2.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题答案及评分参考评分说明:1 •本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3•解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.•、选择题(1) B(2) A(3) C(4)B (5) A(6) C(7) B(8) C(9) D(10)C (11) D(12) B1、填空题(13) 5 ( 14) x2y 122( 15)3 (⑹1乎三、解答题(17) 解:(I )当 n 1 时，S !2a !2,即a i 2a 2, (1)分 解得a 12．2分n 2时a n S n S n1(2a n 2) (2a n 12) 2a n 2a n1，a n2 an 1, ................... 4分所以数列 {a n} 是首项为 2，公比为 2的等比数列. ............................ 5分所 以a n 2 2n 1 2n(n N *). ................................. 6分 (n )因 为S n 2a ” 2 2n1 2 ,..................................................................... 8分T n S S2 S n192 3 n 12 2 2 2n …......... 10分4 1 2n2n1 2............ 11分2n 2 4 2n . ............................................ 12分(18)解：(I)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为X，因为0.48 0.012 0.032 0.052 5 0.5 0.012 0.032 0.052 0.076 5 0.86，............................ 1分则0.012 0.032 0.052 5 0.076 x 205 0.5, ....................................... .......3分解得T n S S2 S nX越.....19(H)由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件, 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率1550 10'乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P乙0.012 0.028 5 -，* ... 6分5于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：3 15000 =1500,5000 -=100010 5……8分(川)2 2列联表:10分K2 100 350 600 24 1.3 ,50 50 75 25 3 ‘............ 11分因为 1.3 2.072,所以没有85%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”............... ...................... 12分(19)解：(I ) 因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD I平面BCD BD ,又BD丄DC , 所以DC丄平面ABD .............................................................................■1分因为AB 平面ABD , 所以DC 丄AB ................................. …2分又因为折叠前后均有AD丄AB , DC P AD D , 3 分所以AB 丄平面ADC . ........................... ............... 4分(fl )由(I)知DC丄平面ABD ,所以AC在平面ABD 内的正投影为AD ,即/ CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所2 6成角.依题意 tan CAD CD -.6 , CD AB ADAB 因V6.•… 设AB 因DCBD ‘即x 1解2,BD AD 1,,则 BDx 2 1, ABD〜△ BDCx 23,BC6 1， 得3x .2…8分由于AB 丄平面ADC , 由平面几何知识得 AB AE BC 2 AC , E 为BC 的中点, 32 ,同理DE -BC2所1 S)ADE =仓M2 V A BCD鼢-|2 = 鼢桫2 9分 因为DC X CD S ABD —. 3 3 ABD, 所以 ……10分设点B 到平面ADE的距离为 d ,则3d S ADEVB ADEVA BDE—V A BCD11分所以d £ ,即点B 到平面ADE 的距离为............... 12分(20) 解: (I )因为椭圆C 的离心率为于，且过点A2,1,b 2 1c 43 ..................................................................................a 2....... 2分因为 a 2b 2c 2,解 得a 2 8,圧2,............ 3分所以椭圆C 的方程为.... 4分(n )法 1：因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所 以PA 与AQ 所在直线关于直线x 2对称•设直线PA 的斜率为k ,则直线AQ 的斜率 为k . ....................... 5分所以直线PA 的方程为y 1 k x 2 ,直线AQ 的方、一68 2y p y Qk x pX Q 48k 1 4k 2程为y 1 k x 2 .设点 P X p,y p, Q x Q ,y Q,y 1 k x 2 , t »鳥 1,消去 ¥,得14k2 x2①因为点A 2,1在椭圆C 上，所以x 2是方程①的一 216k 16k 41 4k 2................ 7分 同8 k 2 8k 2 1 4 k 216k 1 4k 2.............. 9分 又2 216k 8k x 16k16k 4.个根,则2xpxP8k 2 8k 2 1 4k 2X p1.③•••11 分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴,所以PA 与 AQ所在直线关于直线x 2对称.因为点P ,Q X 2,y 2在椭圆C 上,2 2所以中岁1，②由②得X 24 4 y 21 0 ,得=k pQ........ 10分 所以直线PQ的斜率为法2:设点P X 1,y 1 ,Q X 2,y 2则直线PA 的斜率kpA% 1 x 1 2直线QA 的斜率y 2 1 x 2 2kPA kQAy 1 X | 2y 2 1 x 2 2X 1 2 4 y 1 1y P yX211.③④ ................. 6分同 理 由 ③ 得y 1X 2 2 x 2 24 y 2 1化简4 y 1 14 y 2 1得 約2 沁X 1 X 2 2⑥…8分由①得X 1 y 2 X ? yx 1 x 2 2⑦…9分 ⑥⑦2 y i y 2.x-i 2 X x 2y 210分y 1 y为 X21 x , X 24 y 1y 22 '11分所以直线PQ 的斜率为k pQx 1 x 2值 .................................................. 12分法3：设直线PQ 的方程为y kx b ，点P X 1,*1,Q X 2,*2,贝y y 1kx1b, y 2 kx ? b,直线PA 的斜率k pA:^ ,直线QA 的斜率X i由y 2 x kx b,y 2消去y 得4k 28 2 1，则8kb i4b 2 8x-1 x 2,X X ,4k 2 1 4k 2 1 1....... 8分代入(*)得—4b 4 04k 214k 21J (9)分b 2k 1因为PAQ 的角平分线总垂直于x 轴,所以PA 与AQ所在直线关于直线x 2对称. 所以k pAk QA, 即卩y 1 y 2 1 .......................................................................................x ( 2x 2 2 J6分 化简得 x 』2X2% 为 X 22 % y 24 0.把y kx ,b,y 2kx 2b 代入上式，并化简得2k^x 2 b 1 2k x , x 2 4b 4 0.(*) ......................... 7 分y 2 1.......................................................x 2 2 '1x 2 8kbx 4b 2 8 0,22k 4b 8 8kb b 1 2kb 1 2k............ 10分若b 1 2k ,可得方程(**)的一个根为2，不合题意 ........................................... 11分若k 1时,合题意.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12分 (21) 解： (I )法1:函数fx ln x —xx lnx a的定义域为0,x‘ 1 a x a f x2 —.x x x…1分因为a 0,则 所以函数f 调递增.•……当时,f x 0 ； x a,时，f 在0,a上单调递减,在a, 2分时0,ax 0.上单x In a 1 .min当Ina 1 0即0 a 1时,又f 1 ln1 a a 0,则函) e数f x有零点•…4分所以实数a的取值范围为0,-e法2：函数f x lnx a的定义域为0,xaf x In x 0a xl nx .................................................■……1分令g x xlnx，贝y g x当x 0,1时,g x 0；e单调递减•时,函数g x取得1 , 1 1Ine e e函数f x lnx卫有零点,x g x 0.所以函数gx在0,1e上单调递增,i所以实数a 的取值范围为0,1 e... 5分(n )要证明当a 2时,f x e x,e即证明当X 0, a 2时,lnx 空e x,即 exxln x a xe x■则 h x In x 1.当 Ox 1时,f x 0；当 x 1时,f x 0. e e单调递增.当h xmin① .......................... 8分 ^令 x xe x,贝卩 x e xxe xe x1 x .当 0 x 1 时,f x 0；当 x 1 时,f x 0 .所以函数hx在O,1上单调递减,在】,e e所以函数x在0,1上单调递增,在1,上单调递减•当1XmaxD② ...................................................................... …10分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立•........................ 11分故当 a 2 时，X ........................................................................................f x e . ...................................................................................... .......... 12分(22)解:(I ) 由X 3 t，消去t 得y 1 t,X y 4 0 , ................................................................................ ……1分所以直线l的普通方程为X y 4 0 . ................................................................................ .. 2分由3分2 2 cos2 2 cos cos- 4 sin sin — 2cos 2sin 4 4 2 2 cos 2 sin 将2 x 2 得曲线 2 2 x 1 y 1 2. (n )法 4分 x, sin y 代入上式, C 的直角坐标方程为 5分 1：设曲线C 上的点 2 2 x y 2x 2y , P 1 2 cos ,1 分 贝U 点 1 72cos ■, 2 sin P 到直线I 的距离 1 V2sin 4 2 I 任 sin cos 2| sin 1 4 d max 2-2, ......................... ... 9分 所以曲线c 上的点到直线丨的距离的最大值为2、、2. 10分法2:设与直线1平行的直线为l : x y b 0 , ....................................................................................... •••6 分当直线l与圆C相切时，得屮72 (7).2分解得b 0或b 4(舍去),所以直线l的方程为X y 0. ..................... ...... 8分所以直线l与直线l的距离为2^2 .所以曲线C上的点到直线I的距离的最大值为2 2. ...................... 10分(23)解：(I ) 因为fi 3 , 所以a| 1 2a 3 . ........................................................................... .... 1分①当a 0时，得a 1 2a 3，解得a |，所以320；②当0 a 2时，得 a 12a 3，解得 a 2，所以 1时，得a 1 2a 3 ,解得a分 （口 ）因为 a 1,x R ,所以 f x x a 1 x 2a x a 1 x 2a ................................................. .... 7分3a 1 ............................................................. 8分3a 1 ............................................................. 9分4.a 3；综上所述，实数a 的取值 范围是2. .................. ............... 10分。