第六章 近独立粒子的最概然分布教案

热力学与统计物理课程教案第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。

这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。

粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。

经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。

粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。

当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。

2、下面介绍统计物理中用到的几个例子 （1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。

粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=， 对应的μ空间是6维的。

（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。

如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹是上式所确定的椭圆，标准形式为：12222=+ωεεm x m p（3）转子考虑质量为m 的质点A 被具有一定长度的轻杆系于原点O 时所作的运动。

质点的位置由坐标z y x ,,确定。

质点的能量就是它的动能：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⋅⋅⋅22221z y x m ε 用球极坐标φθr ,,描述质点的位置：θz φθr y φθr x cos ,sin sin ,cos sin ===，质点的能量可以表为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⋅⋅⋅222222sin 21φθr θr r m ε。

若质点与原点的距离保持不变即0=⋅r ，于是上式简化为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅22222sin 21φθr θr m ε，引入与之共轭的动量：2222sin ,⋅⋅==φθmr p θmr p φθ，则上式可表为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222sin 121φθp r θp I ε。

前面讨论的质点是被看作转子的一个例子。

转子是这样的一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位角φθ,确定。

在统计物理中将双原子分子绕其质心的转动看作转子。

6.2 粒子运动状态的量子描述1、德布罗意关系微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等等）普遍地具有粒子和波动的二象性。

一方面它们是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显示干涉、衍射等等为波动所特有的现象。

德布罗意提出能量为ε、动量为的自由粒子联系着圆频率为ω、波矢为的平面波，称为德布罗意波。

能量ε与圆频率ω，动量p 与波矢k 的关系为：ωε =， k p = 即德布罗意关系，适用于一切微观粒子。

常量：πh2=，h 和 都称为普朗克常量，是量子力学的基本常量。

其数值为： s J h .10626.634-⨯= s J .10055.134-⨯= 2、测不准原理粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。

如果以q ∆表示粒子坐标q 的不确定值，p ∆表示粒子动量p 的不确定值，则在量子力学所容许的最精确的描述中，q ∆与p ∆的乘积满足：h p q ≈∆∆上式称为不确定关系。

不确定关系表明，如果粒子的坐标具有完全确定的数值即0→∆q ，粒子的动量将完全不确定即∞→∆p ；反之，当粒子的动量具有完全确定的数值即0→∆p 时，粒子的坐标将完全不确定即∞→∆q 。

这生动地说明了粒子的运动不是轨道运动。

在经典力学中，粒子可同时具有确定的坐标和动量，这并不是说我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典力学中，原则上不允许对这种精确度有任何限制。

由于普朗克常量数值非常小，不确定关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。

在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。

量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数。

下面举例加以说明。

3、量子态的描述 （1）、自旋考虑一个粒子，质量为m ，电荷为e -，自旋角动量量子数为21。

粒子的自旋磁矩μ与自旋角动量S 之比为：meS μ-= 如果加上沿z 方向的外磁场，磁感应强度为β，则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影Z S 有两个可能值，即2±=Z S 。

自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为m e μZ 2 ±=。

粒子在外磁场中的势能为：βme βμ2±=⋅。

将Z S 表为 s Z m S =，描述粒子的自旋状态只要一个量子数s m ，它只能取两个分立的值21±。

（2）、线性谐振子在原子物理课讲过，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：2,1,0,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ωεn其中n 是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。

上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。

线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为ω ，其大小取决于振子的圆频率。

（3）、转子转子的能量：IM ε22=在经典理论中，2M 原则上可以取任何正值。

原子物理课讲过，在量子理论中2M 只能取分立值：() 2,1,0,122=+=l l l M对于一定的l ，角动量在某一z 轴的投影z M 只能取分立值：m M z =，l l l m ,,1, +--=共12+l 个可能的值。

这就是说，在量子理论中自由度为2的转子的运动状态由m l 、两个量子数表征。

m 的取值与经典运动平面的取向相应。

在经典理论中运动平面在空间的取向是任意的，而在量子理论中m 只能取上述分立值，称为空间量子化。

（4）、自由粒子首先讨论一维自由粒子。

设粒子处在长度为L 的一维容器中，我们采用周期性边界条件，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长λ的整数倍等于容器的长度L ，即：λn L x =， 2,1,0=x n根据波矢量大小x k 与波长的关系，并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向，便可求得波矢量x k 的可能值为：x x n Lπk 2=， ,2,1,0±±=x n 将上式代入德布罗意关系，可得一维自由粒子动量的可能值为：x x n Lπp2=,2,1,0±±=x n x n 就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数。

一维自由粒子能量的可能值为：2222222L n m πm p εx x n x⋅== ， ,2,1,0±±=x n 能量也取决于x n 。

现在讨论三维自由粒子。

设粒子处在边长为L 的立方容器内，粒子三个动量分量z y x p p p ,,的可能值为：x x n L πp2=,2,1,0±±=x n y y n L πp 2= ,2,1,0±±=y nx z n L πp 2= ,2,1,0±±=z nz y x n n n ,,就是表征三维自由粒子运动状态的量子数。

三维自由粒子能量的可能值为：()()222222222221L n n n m πp p p m εz y x z y x ++⋅=++= 如果粒子局域在微观大小的空间范围内运动，例如电子在原子大小的范围、核子在原子核大小的范围内运动，则上式给出的动量值和能量值的分立性是显著的。

注意粒子的运动状态由三个量子数z y x n n n ,,表征，而能级只取决于222zy x n n n ++的数值。

因此处在一个能级的量子态一般不止一个。

例如，能级2222m L π 有6个量子态，简并度是6。

如果粒子是在宏观大小的容器内运动，上式给出的动量值和能量值是连续的。

考虑在体积3L V =内，在x p 到x x dp p +，y p 到y y dp p +，z p 到z z dp p +的动量范围内自由粒子的量子态数。

由于x p 与x n 是一一对应的，且相邻的两个x n 之差为1。

因此在x p 到x x dp p +的范围内，可能的x p 的数目为：x x dp πLdn2=同理，在y p 到y y dp p +的范围内，可能的y p 的数目为：y y dp πLdn2= 在z p 到z z dp p +的范围内，可能的z p 的数目为：z z dp πLdn2=既然自由粒子的量子态由动量的三个分量x p 、y p 、z p （或三个量子数x n 、y n 、z n ）的数值表征，在体积3L V =内，在x p 到x x dp p +，y p 到y y dp p +，z p 到z z dp p +内，自由粒子的量子态数为：z y x z y x z y x dp dp dp h V dp dp dp πL dn dn dn 332=⎪⎭⎫⎝⎛= 上式可以根据不确定关系来理解。

不确定关系指出，粒子坐标的不确定值q ∆和与之共轭的动量的不确定值p ∆满足：h p q ≈∆∆。

因此，如果用坐标q 和动量p 来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于μ空间中的一个体积，称它为相格。

对于自由度为1的粒子，相格的大小为h 。

如果粒子的自由度为r ，相格大小为：r r r h p p q q =∆⋅⋅⋅∆∆⋅⋅⋅∆11因此，将μ空间的体积z y x dp dp Vdp 除以相格大小3h 而得到的三维自由粒子在z y x dp dp Vdp 内的量子态数。

在某些问题中，往往采用动量空间的球极坐标φθp 、、来描写自由粒子的动量。

φθp 、、与z y x p p p 、、的关系为：ϕθcos sin p p x =；ϕθsin sin p p y =；θcos p p z =用球极坐标、动量空间的体积元为φd θdpd θp sin 2。