现代光电信息处理技术样本

1、 在空域中, 如何利用d 函数进行物光场分解。( 5分)

答: 根据δ函数的筛选性质, 任何输入函数都能够表示为

()()()ηξηξδηξd d y x f y x f 1⎰⎰∞

∞-111--=,,,

上式表明, 函数()1y x f 1, 能够分解成为在1y x 1, 平面上不同位置处无穷多个δ函数的线性组合, 系数()ηξ,f 为坐标位于()ηξ, 处的δ函数在叠加时的权重。函数()1y x f 1,经过系统后的输出为

()

()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰⎰∞∞-112ηξηξδηξd d y x f y x g 2,,,L 根据线性系统的叠加性质, 算符{}

L 与对基元函数积分的顺序能够交换, 即可将算符{}

L 先作用于各基元函数, 再把各基元函数得到的响应叠加起来 ()()(){}ηξηξδηξd d y x f y x g 2⎰⎰∞

∞-112--=,,

,L ( 1.4) (){

}ηξδ--11y x ,L 的意义是物平面上位于()ηξ, 处的单位脉冲函数经过系统后的输出, 可把它定义为系统的脉冲响应函数( 图1.3)

()(){}ηξδηξ--=112y x y x h 2,,;

,L ( 1.5)

2、 卷积与相关各表示什么意义? 在运算上有什么差异? ( 5分)

答: 函数()y x g ,和()y x h ,的卷积定义为

()()()()ηd ξd ηy ξx h ηξg y x h y x g ⎰⎰∞

∞---=*,,,,

则

()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F ⋅=*

即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的乘积。另一方面有

()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F *=⋅

即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的卷积。卷积定理能够用来经过傅里叶变换方法求卷积或者经过卷积方法求傅里叶变换。

两复函数()y x g ,和()y x h ,的互相关定义为

()y x g ,☆()y x h ,()()ηξηξy -ηx -ξd d h g ⎰⎰∞

∞-=,,

* 显然两函数的互相关能够表示为卷积的形式, 再利用卷积定理, 能够得到

()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F *⋅=☆

式中()()

y x y x f f H f f G ,,*⋅一般称为函数()y x g ,和()y x h ,的互谱密度, 因此式( 1.23) 说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。这就是傅里叶变换的互相关定理。 函数与其自身的互相关称为自相关。在式( 1.23) 中, 用()y x g ,替换()y x h ,可得自相关定理为

()(){}()2=y x f f G y x g y x g ,,,F ☆ 自相关定理表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅里叶变换对。

3、 空间傅里叶变换的物理意义, 具有哪些基本性质? 哪些函数的傅里叶变换本

身还是该类型函数? 她们具有哪些特点? ( 10分)

答: 若函数()y x f ,在整个xy 平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅里叶变换定义为

()()()[]

dxdy y f x f πj2-exp y x f ,f f F y x y x +=⎰⎰∞∞-, (1.7a)

记做(){}y x f ,F 。式中y x f f y x ,,,均为实变量, ()y x f ,可为实函数, 也可为复函数。()y x f f F ,是否复函数取决于()y x f ,的性态。类似地, 能够定义傅里叶反变换为

()()()[]

dxdy y f x f j2exp ,f f F y x f y x y x +=⎰⎰∞∞-π, (1.7b)

根据欧拉公式, ()[]y f x f j2exp y x +π 是频率为y x f f ,的y x ,的余( 正) 弦函数。式(1.7b)

表示函数()y x f ,是各种频率为y x f f ,的y x ,的余( 正) 弦函数的叠加, 叠加时的权重因子是()y x f f F ,。因此()y x f f F ,常称为函数()y x f ,的频谱。

这就是空间傅里叶变换的物理意义。

圆对称函数的傅里叶变换仍为圆对称函数。

( 1) 许多光学元器件能够用可分离变量函数表示, 因此这一性质是很有用的。 ( 2) 傅里叶变换不改变函数的奇偶性

( 3) 空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的乘积。 ( 4) 空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的卷积。

4、 如何理解线性空间不变系统的本征函数? ( 5分)

答: 如果函数()y x f ,满足以下条件

(){}()y x af y x f ,,=L

式中a 为一复常数, 则称()y x f ,为算符{}

L 所表征的系统的本征函数。这就是说, 系统的本征函数是一个特定的输入函数, 它相应的输出函数与它之间的差别仅

仅是一个复常系数。前面讲的基元函数——复指数函数()[]y f x f j b a +2πex p 就是不变线性系统的本征函数。 5、 超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果? ( 5分)

答: 采样函数的频谱得不到原函数的频谱。而对原函数频谱作傅里叶反变换就

得不到原函数。

6、 如何理解孔径对频谱的展宽效应?( 5分)

答: 如下图所示, 在0=z 平面处有一无穷大不透明屏, 其上开一孔∑, 则该孔的透射函数为:

⎪⎩

⎪⎨⎧0∑1=其他内在),(),(y x y x t