一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
微分概念及其运算
微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。
事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。
注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。
微积分定理和公式
一、函数【定义 1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作.),(D x x f y ∈=x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数；)()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4．周期性【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作 .),(1R y y f x ∈=-并称其为)(x f y =反函数. 习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x fy ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义 1.8】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数{}f D x x x x f y ∈∈=)(|)],([ϕϕ为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：f D x x f x F ∈=,0))(,(其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数. 如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 ]1,0[,)1()(2∈-==x x x f ye n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作.)(lim A x f n =∞→当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作.)(lim )(lim )(lim ).)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞→+∞→∞→-∞→+∞→3．0x x →时的极限【定义 1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作.)(lim 0A x f x x =→4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0.)(lim )(lim )(lim 000A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→（三）函数极限的性质1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B .2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻 域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。
微分 课程
dy yx dx f (u) g( x ) dx f (u) du
可见, 不论u是中间变量还是自变量 , 其微分 形式是一样的 这叫做一阶微分形式的 . 不变性.
例 4 y ( x 3 1)4 , 求 dy .
解 dy d ( x 3 1)4 4( x 3 1)3 d ( x 3 1)
2
2 x0 x ( x )
2
s x0
2
2 x x o(x ) (x 0) ∆x的线性函数 0
x0
x
∆x的高阶无穷小 当 | x | 很小时 o(x ) 忽略不计 则 s 2 x0 x . , , 若立方体的边长从 x 0 变到 x0 x则相应体积的增量是:
2 3 V ( x0 x )3 x0 3 x0 x 3 x0 ( x )2 ( x )3
2 3 x0 x o( x )
当 | x | 很小时, o( x ) 忽略不计 则 V 3 x x . ,
2 0
∆x的高阶无穷小
2.微分定义
设函数 y f ( x ) 在点 x0 及其附近有定义 , 若存在 常数 A, 使得 y f ( x0 x ) f ( x0 ) Ax o( x ) ( x 0), 其中A与x无关, o( x )是 x 的高阶无穷小 , 则称 y f ( x ) 在点x0 可微 , 而A称为f ( x )在点x0处的 微分, 记为 d y x x , 即
或
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
x , f ( x ) ( x )
1 ,
例7 计算 2 的近似值 .
解 设 f ( x)
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
函数的四则运算的微分法则
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy
et
e ln x
dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)
1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x
1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
函数的微分及应用教案08
（13）d（arcsinx）=
（14）d（arccos x）=
（15）d（arctanx）=
（16）d（arccotx）=
2.微分运算法则
（1）d［u（x）±v（x）］=du（x）±dv（x）；
（2）d［u（x）v（x）］=v（x）du（x）＋u（x）dv（x）；
讲授法、讨论法、案例教学法
教学
准备
教师:教案
学生：预习相关知识
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活动
第六节函数的微分及应用
一、微分的概念
定义
设函数y=f（x）在某区间内有定义，当x的增量为Δx，相应地，函数的增量为Δy=f（x＋Δx）-f（x）
可表示为Δy=AΔx＋o（Δx）
其中，A是不依赖于Δx的常量，而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数y=f（x）在点x处可微，AΔx称为函数
y=f（x）在点x处的微分，记作dy或d（x），即dy=AΔx
由于AΔx是Δx的线性函数，当Δx→0时，Δy≈Δx，称AΔx为Δy的线性主部，也就是说，dy是Δy的主要部分。
例1求函数y=1＋3x2在x=1，Δx=0.01时的增量及微分。
解Δy=3（x＋Δx）2—3x2=3×1.012-3=0.0603
解令f(x)=arctanx，由式（3-6-2）有
arctan(x0+Δx)≈arctanx0+
取x0=1，Δx=0.05，有
arctan1.05 =arctan(1+0.05)
≈arctan1+
= 讲解
思考
回答
微分的概念——精选推荐
第二节 微分 §2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy? 假设f ′(x)存在，则0x lim →∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆xy ∆∆＝f ′(x ０)，有 xy ∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是 Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx ∆∆∂＝０ (1) 即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
微积分讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k· f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：yu，uv，vw，wx yx'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
微分学
1. 导数的定义 (双侧)导数定义
设 y f(x) 在某个U ( x0 )上有定义。若
f(x0 Δx) f(x0 ) f(x) f(x0 ) Δy lim lim lim ) Δx 0 Δx Δx 0 x x 0 Δx x x0 存在，则称 y f(x) 在 x0可导（或导数存在、有导数）， 并且称此极限为 y f(x) 在 x0 的导数 , 可记之为
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k y x 1 4
故曲线 y 2 x 2在点(1,2)处的切线方程为
y 2 4( x 1)
即 y 4x 2
4、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的． 反之不成立.即连续不一定可导．
比如 函数 f ( x ) x 在x 0处连续但不可导
第二部分 一元函数微分学
一、 导数 二、 微分 三、 微分中值定理 四、 洛必塔法则
五、 导数的应用
一、导数的概念与性质
速度
是位移增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
例1 例2 解
4 设 y x ,则 y '
求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 .
y 3 x 2 4 x cos x .
6
例3 求 y x 3 x sin
解
例4 求y x cos x的导数
解： y 2x cos x x 2sinx
切线方程为
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
高等数学：第三讲 微分的运算法则
例1 已知 y x2ex ，求微分dy.
解 dy d(x2ex )
法 二
dy f (x)dx
exd(x2 ) x2d(ex )
f (x) (x2ex )
ex 2xdx x2 exdx 2xex x2ex
(2xex x2ex )dx dy (2xex x2ex )dx
例题：
dy f (x)dx
3 一阶微分形式不变性
谢谢
微分的运算法则
目录
01 微分的基本公式 02 微分的四则运算法则 03 复合函数的微分法则
1.微分的基本公式
由微分公式 dy f (x)dx, 可知： 导数的基本公式
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(ax ) ax ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
微分的基本公式
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
d(ax ) ax ln adx
d(ex ) exdx
d(loga
x)
1 x ln
a
dx
d(ln x) 1 dx x
微分的基本公式
d(C) 0
d(x ) x1dx
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
1.微分的基本公式
导数的基本公式
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律及其应用。
在微积分中，有许多重要的公式被广泛应用于各种问题的解决中。
本文将介绍16个微积分公式，并分别阐述其含义和应用。
一、导数的定义公式导数是微积分中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在这个公式中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
该公式的含义是通过计算函数在极限情况下的变化率来求得导数。
导数的应用非常广泛，包括求函数的极值、判断函数的增减性等。
二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是求导过程中常用的规则，它将导数与函数的四则运算相结合。
具体公式如下：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2) (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2这些公式可以通过对函数中的每一项进行求导，并按照四则运算法则进行组合计算。
它们对于求解复杂函数的导数提供了便利。
三、常用导数公式在微积分中，有一些常用的导数公式被广泛应用于各种问题的求解中。
这些公式包括：(1) (x^n)' = nx^(n-1)(2) (e^x)' = e^x(3) (lnx)' = 1/x(4) (sinx)' = cosx(5) (cosx)' = -sinx(6) (tanx)' = sec^2x这些公式可以帮助我们快速求取一些特定函数的导数，从而简化求解过程。
四、高阶导数公式除了一阶导数外，函数的高阶导数也是微积分中的重要概念。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
函数的微分
解 (1) d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d(sin t) d( 1 sin t );
d( 1 sin t C ) cos tdt.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
d( x)
1 dx
4x
x cos x 2 ,
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) n 1 x 1 1 x; n
(2) sin x x ( x为弧度);
(3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x;
(5) ln(1 x) x.
证明
(1) 设 f ( x) n 1 x,
f
(
x)
1
该函数的导数. 导数也叫"微商".
例 2 求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1).
解 因为 所以
y 2 1 ， x
dy 2 dx ， x
dy |x1
2 dx x
x 1
2dx.
二、微分的几何意义
如图所示，PN = dx，NM = y，NT = PNtan
)
sin
6
1 2
.
f (x0) = cos 30 ，代入公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x - x0) ，
得
cos
3012
cos
30
1 2
30.2 180
6
0.864
微分的概念
解决方案：
建立可微与可导，微分与导数的关系
23-6
函数可微与可导的关系
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微
y f (x) 在点 x 0 处可导，且此时 A f ( x0 ) 。
即：函数 y f (x) 在点 x0 处可微与可导是等价的，
过 M 作曲线 y f (x) 的切线 MT ，
设其倾角为 ，则切线 MT 的斜率为 tan f ( x0 ) ，
故
dy |x x0 f ( x 0 )dx tan x PQ 是切线纵坐标的改变量；
y PN 是曲线纵坐标的改变量；
23-10
基本初等函数的微分公式
并且有
dy |x x0 f ( x0 )x 。
23-7
如果函数 y f (x) 在区间 I 内（上）的每一点 x 处都可微，
就称函数 y f (x) 在区间 I 是可微的，或称 y f (x) 为可微函数。
函数 y f (x) 的微分记作 dy 或 df x ，则
d = dcos 2＋3
= − sin 2＋3 d 2＋3
= −2sin （2＋3）d
例4 设 = ln （1＋e），求d.
解
d = d［ln （1＋e）］
=
1
1＋
1＋e
=
d
1＋
例5 将下列等式中左端括号内填入适当的函数，商。
分母，自变量的微分
注2
利用微分的观点，重新理解复合函数求导法则及由参数方程确定函数的求导法则：
dy dy du
,
dx du dx
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v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
(tan x x sec2 x cos x)dx.
例3 设 y x2 ln x，求dy.
解 dy d(x2 ln x) (x2 ln x)dx (2x ln x x2 1)dx x (2x ln x x)dx.
四、微分形式的不变性
设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也 可微，此时有 dy yxdx f (u) g(x)dx f (u)du.
定义 设y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，x0 x属于 该邻域.若
y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x), 其中A与 x无关，而o(x) 是关于 x 的高阶无穷小， 则称y=f(x)在x0 可微，而 A x 称为y=f(x)在点x0 处的 微分，记为
dy |xx0 , 或df |xx0 ,
如果不引入中间变量u，则可 dy 4(x3 1)3 d(x3 1) 4(x3 1)3 3x2dx 12x2 (x3 1)3 dx.
例5 设 y exsin x，求dy.
解 dy exsin xd(xsin x) exsin x (sin x x cos x)dx.
当然，也可以直接用公式 dy yxdx 来求微分， 即求出 yx 后再乘以dx得到dy.
d(x tan x) d(sin x) tan x dx xd(tan x) cos xdx tan x dx x sec2 x dx cos x dx (tan x x sec2 x cos x)dx.
注意，当然也可以直接用公式dy ydx求微分. d(x tan x sin x) (x tan x sin x)dx
二、微分的基本公式
微分的基本公式： dc 0 (c为常数).
dxa axa1dx(a为常数) .
da x a xln a dx (a 0,a 1).
de x exdx.
d
log a
x
1 x
1 ln a
dx
d ln x 1 dx. x
dsin x cos xdx .
d cos x sin xdx.
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
V (x0 x)3 x03 3x02 x (3x02 (x)2 (x)3 ). 函数增量 V分成两部分，一部分是 x 的线性部分 3x02 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
3x0 (x)2 (x)3 o(x).
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc2 xdx.
d sec x sec x tan xdx.
d csc x csc xcot xdx.
d arsin x 1 dx. 1 x2
d arccos x 1 dx. 1 x2
d
arctan
x
1 1 x2
即
dy |xx0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f (x)dx .
由于 f (x) dy ，即函数的导数等于函数的微 dx
分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点M 0 处 的切线的纵坐标的增量.
dx
.
1 d arccot x dx .
1 x2
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v, u , v可微， 且有
d(u v) du dv, d(uv) vdu udv.
证 d(u v) (u v)dx (u v)dx udx vdx du dv.
可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变 量，总有 dy f (u)du ，这就是微分形式的不变性.利 用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.
例4 设 y (x3 1)4 ,求dy. 解 令y u4 ,u x3 1，则
dy 4u3du 4u3 3x2dx 12x2 (x3 1)3 dx.
udv .
例1
设
y
x x2
1 ，求dy. 1
解
dy
d(
x x2
1) 1
(x2
1)d(x
1) (x2
(x 1)d(x2 1)2
1)
(x2
1)dx (x 1) (x2 1)2
2xdx
1 (x
2
2
x x2 1)2
dx.
例2 设y=x tan x－sin x，求dy. 解 dy d(x tan x sin x)