2012年四川省高考理科数学试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

()()()

P A B P A P B

+=+2

4

S R

p

=

如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径

()()()

P A B P A P B

? 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么3

4

3

V R

p

=

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

()(1)(0,1,2,,)

k k n k

n n

P k C p p k n

-

=-=…

第一部分（选择题共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7

(1)x

+的展开式中2x的系数是（）

A、42

B、35

C、28

D、21

2、复数

2

(1)

2

i

i

-

=（）

A、1

B、1

-C、i D、i-

3、函数

29

,3

()3

ln(2),3

x

x

f x x

x x

⎧-

<

⎪

=-

⎨

⎪-≥

⎩

在3

x=处的极限是（）

A、不存在

B、等于6

C、等于3

D、等于0

4、如图，正方形A B C D的边长为1，延长B A至E，使1

A E=，连接E C、E D则sin C ED

∠=（）

A、

10

B、

10

C

10

D

5、函数

1

(0,1)

x

y a a a

a

=->≠的图象可能是（）

6、下列命题正确的是（ ）

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b

a b =

成立的充分条件是（ ）

A 、a b =-

B 、//a b

C 、2a b =

D 、//a b 且||||a b =

8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A

、 B

、 C 、4 D

、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A 、1800元

B 、2400元

C 、2800元

D 、3100元 10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径C D 作平面α成45

角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为

B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=

，则A 、P 两点间的球面

距离为（ ） A

、arccos

4

R B 、

4

R

π C

、arccos

3

R D 、

3

R

π

11、方程2

2

ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A 、60条

B 、62条

C 、71条

D 、80条

12、设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8

π

的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，

则2313[()]f a a a -=（ ） A 、0 B 、2

1

16π C 、218

π D 、21316π

第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B = 痧___________。 14、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别是C D 、1C C 的中点，则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是____________。 15、椭圆

2

2

14

3

x

y

+

=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，

当F A B ∆的周长最大时，F A B ∆的面积是____________。

16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[

]

[

]()2

n n

n a x x x n N *

++=∈，现有下列命题：

①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥

时，1n x >

；

④对某个正整数k ，若1k k x x +≥

，则n x =。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意

时刻发生故障的概率分别为110

和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950

，求p 的值；

（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。 18、(本小题满分12分)

函数2

()6cos

3(0)2

x

f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图

象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且A B C ∆为正三角形。 （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；

（Ⅱ）若0()5

f x =

，且0102

(,)33

x ∈-

，求0(1)f x +的值。 N

A 1