2012年四川省高考理科数学试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
()()()
P A B P A P B
+=+2
4
S R
p
=
如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径
()()()
P A B P A P B
? 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么3
4
3
V R
p
=
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
()(1)(0,1,2,,)
k k n k
n n
P k C p p k n
-
=-=…
第一部分（选择题共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7
(1)x
+的展开式中2x的系数是（）
A、42
B、35
C、28
D、21
2、复数
2
(1)
2
i
i
-
=（）
A、1
B、1
-C、i D、i-
3、函数
29
,3
()3
ln(2),3
x
x
f x x
x x
⎧-
<
⎪
=-
⎨
⎪-≥
⎩
在3
x=处的极限是（）
A、不存在
B、等于6
C、等于3
D、等于0
4、如图，正方形A B C D的边长为1，延长B A至E，使1
A E=，连接E C、E D则sin C ED
∠=（）
A、
10
B、
10
C
10
D
5、函数
1
(0,1)
x
y a a a
a
=->≠的图象可能是（）
6、下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b
a b =
成立的充分条件是（ ）
A 、a b =-
B 、//a b
C 、2a b =
D 、//a b 且||||a b =
8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A
、 B
、 C 、4 D
、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元 10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径C D 作平面α成45
角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为
B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=
，则A 、P 两点间的球面
距离为（ ） A
、arccos
4
R B 、
4
R
π C
、arccos
3
R D 、
3
R
π
11、方程2
2
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条
12、设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8
π
的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，
则2313[()]f a a a -=（ ） A 、0 B 、2
1
16π C 、218
π D 、21316π
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

（2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题纸的相应位置上。

） 13、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B = 痧___________。

14、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别是C D 、1C C 的中点，则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是____________。

15、椭圆
2
2
14
3
x
y
+
=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，
当F A B ∆的周长最大时，F A B ∆的面积是____________。

16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[
]
[
]()2
n n
n a x x x n N *
++=∈，现有下列命题：
①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥
时，1n x >
；
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥
，则n x =。

其中的真命题有____________。

（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意
时刻发生故障的概率分别为110
和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950
，求p 的值；
（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。

18、(本小题满分12分)
函数2
()6cos
3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图
象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且A B C ∆为正三角形。

（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若0()5
f x =
，且0102
(,)33
x ∈-
，求0(1)f x +的值。

N
A 1
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P A B C -中，90APB ∠= ，
60PAB ∠=
，A B B C C A ==，
平面PAB ⊥平面ABC 。

（Ⅰ）求直线P C 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B A P C --的大小。

20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n
都成立。

（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列110{lg }n
a a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最
大值。

21、(本小题满分12分)
如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成M A B ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程； （Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||
PR PQ 的取值范围。

22、(本小题满分14分)
已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2
n
a
y x =-+
与x 轴正半轴相交于点A ，设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。

（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有
3
3
()1()1
1
f n n
f n n -≥
++成立的a 的最小值；
（Ⅲ）当01a <<时，比较1
1
()(2)
n
k f k f k =-∑
与
27(1)()
4(0)(1)
f f n f f --
的大小，并说明理由。

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