高考知识点直接证明与间接证明

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高考数学一轮总复习 6.6直接证明与间接证明

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h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
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【规律方法】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件，即② ⇒①，所以①是②的必要条件．
答案 B
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3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3也就是a＋c b＋b＋a c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
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对点自测
知识点一
直接证明
1.要证明 3 ＋ 7 <2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最
合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
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解析要证明 3 ＋ 7 <2 5 成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．
答案 B
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2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的 ()
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J 基础回扣·自主学习
理教材夯基础厚积薄发

直接证明与间接证明

＝ax＋－exx＝x（a－e1x）.
∵a≥1，x∈[0，＋∞)，∴f′(x)≥0，∴f(x)是增函数．
故 f(x)≥f(0)＝1，从而①式得证． ∴当 a≥1 时，不等式 ex－x－1≤ax22ex对于 x∈[0，＋∞) 恒成立．
[点评]有些数学证明题，单独运用一种证明方法很难或无法完成，此时要善于将多种证明方法混合使用，常常用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明．本题通过对原不等式进行等价变形，找到了便于证明的不等式，然后构造函数证明不等式，综合运用了分析法、综合法和构造法．
• 只需证 a(a -5)<(a -2)(a -3)
• 只需证 0 < 6
• 因为 0 < 6 成立.
• 所以 a -5 - a -3 < a - 2 - a 成立.
新课讲解
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李 .”
方法三(基本不等式法)： ∵a≥0，b≥0，∴a＋b≥2 ab，a2－ab＋b2≥0， ∴a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥2 ab(a2－ab＋b2) ＝ ab(2a2－2ab＋2b2)＝ aba2＋b2＋a－b2≥ ab(a2 ＋b2)，即 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 [答案] B
[解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，

【高三理数一轮】11.4 直接证明与间接证明

11．4 直接证明与间接证明[知识梳理]1．直接证明2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．[诊断自测]1．概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(2)证明不等式2＋7＜3＋6最适合的方法是分析法．( )(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P90例5)用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案 B解析a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c 均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.(2)(选修A2－2P89T2)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．答案m<n解析解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m<n.解法二：(作差法)由已知得m>0，n>0，则m2－n2＝a＋b－2ab－a＋b＝2b－2ab＝2b2－2ab<0，∴m2<n2，∴m<n.3．小题热身(1)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1ab>12B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.1a2＋b2≤18答案 D解析∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16.∴a2＋b2≥8，∴1a2＋b2≤18.故选D.(2)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案①解析取a＝－2，b＝－1，则a2＋b2>2，从而②推不出．①能够推出，即若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.旗开得胜用反证法证明如下：假设a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．因此假设不成立，所以a ，b 中至少有一个大于1.题型1 分析法的应用典例已知a >0，证明：a 2＋1a2－2≥a ＋1a－2.本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．证明要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)．因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，。

直接证明与间接证明

第2讲
到结果的证明方法，它是利用已知 (1)______ 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 (2)______ 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
索因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或
“…⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用框图表示为：
图 10－2－2 分析法的思考顺序执果索因的顺序，是从 B 上溯寻其论据，如 C、C1、C2 等，再寻求 C、C1、C2 的论据，如 B、B1、B2、 B3、B4 等等，继而寻求 B、B1、B2、B3、B4 的依据，如果其中之一 B 的论据恰为已知条件，于是命题已经得证．
2 比数列，则 bq ＝bpbr.
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) ∵p、q、r∈N*，
2 q －pr＝0 ∴ 2q－p－r＝0
2＝0.
p＋r2 ＝pr，(p－r)2＝0， .∴ 2
∴p＝r.与 p≠r 矛盾． ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
错源：犯循环论证的逻辑性错误
例 4：设 a、b、c、d 是正有理数， c、 d是无理数，求证： a c＋b d是无理数．
误解分析：本题在推理证明过程中，容易犯循环论证的逻辑性错误：因为 c为无理数，a 为正有理数，故 a c为无理数，同理 b d也为无理数，两正无理数的和为无理数，故 a c＋b d 为无理数．主要原因是对有关概念定理没有真正的理解掌握，导致用任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断．

高考数学总复习基础知识第六章第六节直接证明与间接证明文

第六节直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.知识梳理一、直接证明1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法．二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论．2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．3．反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定原命题的结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的．即“反设—归谬—结论”．4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：第一，问题共有n 种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n －1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．基础自测1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则下列关于t 和s 的大小关系中正确的是( ) A ．t ＞s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t ≤s解析：因为s －t ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝(b －1)2≥0，所以s ≥t . 答案：D2．实数a 、b 、c 不全为0是指( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至少有一个为0 C ．a 、b 、c 至多有一个为0 D ．a 、b 、c 至少有一个不为0解析：不全为“0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D. 答案：D3．(2012·广东六校联考)定义运算法则如下：ab ＝a 12＋b 13，ab ＝lg a 2－lg b .若M＝2141258，N ＝2 125，则M ＋N ＝__________.解析：由定义运算法则可知，M ＝2141258＝94＋31258＝32＋52＝4， N ＝2⊗125＝lg(2)2－lg ⎝⎛⎭⎫12512＝lg 2＋lg 5＝1， ∴M ＋N ＝5. 答案：54．(2013·保定模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小关系是________．解析：分析法，要证P <Q ，需证P 2<Q 2即可．答案：P <Q1．如图所示，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形．证明：(1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点，所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF . 所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．2．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明：由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解析：由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，又0<β<α<π，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1，所以sin α＝12，得α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)．当α＝5π6时，β＝π6.1．(2013·惠州第三次调研)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥VB 1－EFC 的体积．(1)证明：连接BD 1，如图，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则⎭⎬⎫EF //D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1.⇒EF //平面ABC 1D 1.(2)证明：⎭⎬⎫B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，B 1C ⊂平面ABC 1D 1⇒⎭⎪⎬⎪⎫B 1C ⊥平面ABC 1D 1BD 1⊂平面ABC 1D 1⇒⎭⎪⎬⎪⎫B 1C ⊥BD 1EF //BD 1⇒EF ⊥B 1C .（3）解析：因为CF ⊥平面BDD 1B 1， ∴CF ⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2，因为EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 21＝(2)2＋22＝6， B 1E ＝B 1D 21＋D 1E 2＝12＋(22)2＝3.所以EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2即∠EFB 1＝90°，所以V B 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF ＝13×12×EF ×B 1F ×CF ＝ 13×12×3×6×2＝1.2．设数列{}a n 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n . (1)已知a 1＝1，d ＝2， ①求当n ∈N *时，S n ＋64n的最小值； ②当n ∈N *时，求证：2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<516.(2)是否存在实数a 1，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为3n －2？若存在，则求a 1的取值范围；若不存在，则说明理由．(1)解析：①∵a 1＝1，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n 2，S n ＋64n ＝n ＋64n ≥2n ×64n＝16，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时，上式取等号．故S n ＋64n 的最小值是16.②证明：由①知S n ＝n 2，当n ∈N *时，n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2(n ＋2)2＝141n 2－1(n ＋2)2，则2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2＝14112－132＋14⎝⎛⎭⎫122－142＋…＋141n 2－1(n ＋2)2＝14⎝⎛⎭⎫112＋122＋…＋1n 2－14132＋142＋…＋1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤112＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2， ∵1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2>0， ∴2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<14112＋122＝516. (2)对∀n ∈N *，关于m 的不等式a m ＝a 1＋(m －1)d ≥n 的最小正整数解为c n ＝3n －2，当n ＝1时，a 1＋(c 1－1)d ＝a 1≥1；当n ≥2时，恒有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(c n －1)d ≥n ，a 1＋(c n －2)d <n ，即⎩⎪⎨⎪⎧(3d －1)n ＋(a 1－3d )≥0，(3d －1)n ＋(a 1－4d )<0，从而⎩⎪⎨⎪⎧3d －1≥0，(3d －1)×2＋(a 1－3d )≥0，3d －1≤0，(3d －1)×2＋(a 1－4d )<0，⇒d ＝13，1≤a 1<43.当d ＝13，1≤a 1<43时，对∀n ∈N *且n ≥2时，当正整数m <c n 时，有a 1＋m －13<n .所以存在这样的实数a 1，且a 1的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，43.。

高考数学直接证明与间接证明

an 例 (2016浙江理,20,15分)设数列{an}满足 a n 1 ≤1,n∈N*. 2
(1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*;
3 (2)若|an|≤ ,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*. 2
n
an 证明 (1)由
| a n | | a n 1 | 1 1 a n 1 * ≤1得|an|- |an+1|≤1,故 ≤ n n 1 n ,n∈N , 2 2 2 2 2
0
综上,对于任意n∈N*,均有|an|≤2.
4.应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:
第一步:分清命题“p⇒q”的条件和结论; 第二步:做出与命题结论q相矛盾的假设¬ q;
第三步:由p和¬ q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步:断定产生矛盾结果的原因是开始所做出的假设¬ q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p⇒q为真. 所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况.
1 1 | a1 | | a n | | a 1 | | a 2 | | a 2 | | a 3 | | a n 1 | | a n | 所以 = + + … + ≤ +…+ n 1 n 1 + 2 3 2 2 2 22 2 2 2 2 21 2 n 21
m
由m的任意性得|an|≤2 .
a n |>2,取正整数m0>lo g3 n 否则,存在n0∈N ,有|
*
0
| a n 0 | 2 2
0
3 2 · < 4

高考数学总复习考点知识专题讲解34---直接证明与间接证明

以上三式相加得 43a1＋1＋3b1＋1＋3c＋1 1≥9－3(a＋b＋c)＝6， ∴3a1＋1＋3b1＋1＋3c＋1 1≥32，当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．
角度2：分析法【例1－2】 (1)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－ a2b. (2)已知a>0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋12－2.
[证明] (1)要证明2a3－b3≥2ab2－a2b，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
[证明] ①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－ 3，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32 －42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋ (2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－ k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
1．分析法与综合法的应用特点对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用． 2．反证法证明的应用特点要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
3．数学归纳法的应用特点归纳假设就是已知条件，在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法，但必须用上归纳假设．

直接证明和间接证明

第六节直接证明与间接证明[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件.[探究] 1.综合法与分析法有什么联系与差异？2．间接证明反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做．[探究] 2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？考点一：综合合法的应用[例1]设a、b、c＞0，证明a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.方法小结——————利用综合法证明问题的步骤探究：保持本例条件不变，试证明a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．变式训练1．已知x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≥13.考点二：分析法的应用[例2] 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. ．变式训练2．已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.考点三：. 反证法的应用[例3] 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？方法小结：．变式训练3．求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c >0，且ab ＋bc ＋ca >0和abc >0.课后小结：．1.三个规律——利用综合法、分析法、反证法证题的一般规律 (1)综合法证题的一般规律 (2)分析法证题的一般规律 (3)反证法证题的一般规律2.三个注意点——利用反证法证明问题应注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的. 练习补充：1．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .2.如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点．求证：HG ⊥EF .3．已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.4．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点． (1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．第七节数学归纳法[备考方向要明了]考什么怎么考[归纳·知识整合]1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． [探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么？2．用数学归纳法证明问题应该注意什么？2．数学归纳法的框图表示考点一：用数学归纳法证明等式[例1] n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .方法小结：用数学归纳法证明等式应注意的问题变式训练：1．求证：12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.考点二：用数学归纳法证明不等式[例2] 已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n. 求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.探究：把题设条件中的“a n ≥0”改为“当n ≥2时，a n <－1”，其余条件不变，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .方法小结：应用数学归纳法证明不等式应注意的问题．变式训练：2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．考点三：“归纳—猜想—证明”问题[例3] 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．方法小结：归纳—猜想—证明类问题的解题步骤变式训练3．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，…. (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.补充练习：1．已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．2．用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1(n ∈N *)．3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．第一节不等关系与不等式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．比较两个实数大小的法则设a ，b ∈R ，则(1)a ＞b ⇔a －b ＞0；(2)a ＝b ⇔a －b ＝0；(3)a ＜b ⇔a －b ＜0. 2．不等式的基本性质[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？ 2．(1)a >b ⇔1a <1b成立吗？(2)a >b ⇒a n >b n (n ∈N ，且n >1)对吗？考点一：用不等式(组)表示不等关系[例1] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？实际应用中不等关系与数学语言间的关系．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．考点二：比较大小[例2](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定互动探究：若将本例(1)中“a1，a2∈(0,1)”改为“a1，a2∈(1，＋∞)”，试比较M与N的大小．变式训练：2．比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；(2)当a>0，b>0且a≠b时，a a b b与a b b a.考点三：不等式性质的简单应用[例3](1)(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②aclog a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③(2)已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －db >0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 变式训练：3．(2013·包头模拟)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：(1)ad >bc ；(2)a d ＋b c <0；(3)a －c >b －d ；(4)a (d－c )>b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4补充练习1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v <40 km/hB ．v >40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若1a <1b<0，则下列结论不．正确的是( ) A ．a 2|a ＋b |课后小结：1. 不等式与不等关系的区别2. 比较两个实数的大小3. 不等式的基本性质第二节一元二次不等式及其解法[备考方向要明了]1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法．如2012年重庆T2等． 2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围．3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识.[归纳·知识整合]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅[2．可用(x －a )(x －b )>0的解集代替x －a x －b >0的解集，你认为如何求不等式x －a x －b <0，x －a x －b ≥0及x －ax －b ≤0的解集？考点一：一元二次不等式的解法[例1] 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[探究]若将本例(2)改为“x2＋4x＋5≤0”呢？方法小结：一元二次不等式的解法变式训练1．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．．考点二：一元二次不等式的恒成立问题[例2]已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．方法小结：恒成立问题及二次不等式恒成立的条件变式训练：2．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．考点三：一元二次不等式的应用[例3] 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？方法小结：解不等式应用题的步骤变式训练3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？课后小结：1．一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查．2．解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解补充练习1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞). 2．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)3．若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．。

高考一轮数学第六章第六节直接证明与间接证明

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1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角
至少有一个不大于60°”时，应假设
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：假设为：“三个内角都大于60°”．答案： B
(
)
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2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中 f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则 A．F(x)、G(x)均为偶函数 B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 ( )
第六章不等式、推理与证明
第六节直接证明与间接证明
抓基础
明考向
教你一招我来演练
提能力
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[备考方向要明了]
考什么 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法．了解反证
结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．返回
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[考题范例]
(12分) (2011· 安徽高考) (1)设x≥1，y≥1， 1 1 1 证明x＋y＋xy≤x＋y ＋xy； (2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc ＋logca≤logba＋logcb＋logac.
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[精析考题]
[例3] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x －1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

第六节直接证明与间接证明-高考状元之路

第六节直接证明与间接证明预习设计基础备考·知识梳理1．直接证明2．间接证明反证法：假设命题（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．典题热身1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A2．用反证法证明命题“如果,b a >那么,,33b a >时，假设的内容应是33.b a A = b a B <3. 3333.b a b a C <=且 3333.b a b a D <=或答案：D3．若,0< ab a B 11.>- ||||.b ac > 44.b a D > 答案：B4．已知∈d c b a ,,,{正实数}且,dC b a <则( ) d c d b c a b a A <++<⋅ d c b a d b c a B <<++. db c a d c b a c ++<<⋅ D ．以上均可能答案：A5．若,,R b a ∈有下列不等式：;232a a >+① );1(222--≥+b a b a ② +>+2355b a b a ③;32b a .21≥+aa ④则其中一定成立的是答案：①②课堂设计方法备考题型一用综合法证明不等式【例1】已知,1=++z y x 求证：⋅≥++31222z y x 题型二用分析法证明不等式【例2】已知,0>>b a 求证：<-+<-ab b a a b a 28)(2⋅-b b a 8)(2 题型三用反证法证明不等式【例3】设,)(2q Px x x f ++=则|)3(||,)2(||,)1(|f f f 中是否至少有-个不小于?21并证明你的结论. 技法巧点(1)分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．(2)综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．(3)分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．(4)应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步，分清命题”“q p →的条件和结论；第二步，作出与命题结论q 相矛盾的假定;q ⌝第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p →q 为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．失误防范1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结论p ，再说明所要证明的数学问题成立．随堂反馈1．已知z y x ,,为正实数且z y x ,,不全相等，求证：.222z y x x z z y y x ++>++2．已知a ，b 为正实数，且,1=+b a 求证：.22121≤+++b a 3．已知,10,10,10<<<<<<c b a 求证：三个数,)1(b a -a c c b )1(,)1(--不可能都大于⋅41 高效作业技能备考一、选择题1．若),0(43,7≥++=+=a a a Q a a p 则P 、Q 的大小关系是( )Q p A >. Q p B =. Q P c <. D ．由a 的取值确定答案：C2．设,1,1,1),,0(,,xz c z y b y x a z y x +=+=+=+∞∈则c b a ,,三数( ) A 至少有一个不大于2 B ．都小于2 C.至少有一个不小于2 D ．都大于2答案：C3．要使.333b a b a -<-成立，则a ，b 应满足( )b a ab A ><且0. b a ab B >>且0. b a ab C <<且0. b a ab D >>且0.或0<ab 且 b a <答案：D4．设,1,0=+<>b a 且,1=ab 若=+=<<q b a P c c ,2log ,1022 ,)1(log 2ba c +则p 、q 的大小关系是 ( )q P A >⋅ q P B <. q P c =⋅ q P D ≥.答案：B6．已知函数B b a f A R b a x f x ),2(,,,)21()(+=∈=+=),2(),(ba ab f C ab f +=则A 、B 、C 的大小关系是 ( )c B A A ≤≤. B c A B ≤≤. A C B c ≤≤. A B C D ≤≤.答案：A二、填空题7．在等比数列}{n a 和等差数列}{n b 中，,0,03311>=>=b a b a ,31a a =/则5a 和5b 的大小关系为答案：55b a >8．（2011．宁夏模拟）若a ，b ，c 为Rt△ABC 的三边，其中c 为斜边，那么n n b a +与nc （其中*N n ∈且 )2>n 的大小关系是答案：n n n c b a <+9．(2011．德州模拟)已知点),(n n a n A 为函数1+=x y 图像上的点，),(n n b n B 为函数x y =图像上的点，其中∈n *,N 设,n n n b a c -=则.c 与1+n c 的大小关系为答案：1+>n n c c三、解答题10．已知非零向量a ，b ，且,b a ⊥求证：.2||||||≤++b a b a11．设,23)(2c bx ax x f ++=若0.)1(,0)0(,0>>=++f f c b a 求证：0>a 且.12-<<-ab 12. (2011．德州模拟)已知,1,0,,,==++∈abc c b a R c b a 求证：c b a ,,中至少有一个大于⋅23。

直接证明与间接证明知识点+例题+练习

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

高三数学考点-直接证明与间接证明

12．3 直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．自查自纠1．(1)推理论证成立由因导果 (2)结论充分条件结论执果索因2．不成立不成立正确的推理矛盾错误要证明3＋7<25，以下方法中最合理的是( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．数学归纳法解：“执果索因”最佳，即分析法．故选A .(2015·黄冈高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<1<ab解：ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1<a 2＋b 22(a ≠b )．故选B .设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个大于2D ．至少有一个不小于2 解：因为a ，b ，c >0，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6，举反例可排除A 、B 、C.或直接由a ＝b ＝c ＝1排除A ，B ，C.故选D .用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，假设内容应是____________．解：原条件不变，假设结论不成立．故填3a ＝3b 或3a<3b.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________．解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.类型一直接证明已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证法一：采用分析法．要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．证法二：采用综合法．因为a ，b ，c ∈R ＋，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )，所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ，所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．【点拨】分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”．常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：a ＋12＋b ＋12≤2.证明：要证a ＋12＋b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4，又a ＋b ＝1，故只需证⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1，只需证⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12＝ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，只需证ab ≤14.因为a >0，b >0，1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，故原不等式成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号. 类型二间接证明已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.证法一：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以三式同向相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164.又(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14，同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，这与假设矛盾，故原命题正确．证法二：假设三式同时大于14，因为0<a <1，所以1－a >0，（1－a ）＋b 2≥（1－a ）b >14＝12，同理（1－b ）＋c 2>12，（1－c ）＋a 2>12，三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确．【点拨】一般地，对于结论是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾、与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．(1)(2016·周口模拟)用反证法证明命题“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 中恰有1个或3个偶数”时正确反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数 B ．自然数a ，b ，c 都是偶数 C ．自然数a ，b ，c 中恰有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或恰有两个偶数解：由于“自然数a ，b ，c 中恰有1个或3个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或恰有两个偶数”，故选D .(2)已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．解：假设x 0是f (x )的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，所以0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P (已知)⇒Q 1⇒Q 2⇒Q 3⇒…⇒Q n ⇒Q (结论)．2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知)． 3．分析法与综合法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．4．用反证法证明命题的一般步骤： (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 5．可用反证法证明的数学命题类型 (1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题； (3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题． 6．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个没有一个 ∀x 成立 ∃x 0不成立至多有一个至少有两个 ∀x 不成立 ∃x 0成立至少有n 个至多有n －1个 p 或q p 且 q 至多有n 个至少有n ＋1个p 且qp 或 q1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B .2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 中至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数解：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．故选B . 3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解：因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6>6＋5>3＋2>0，所以a >b >c .故选A .4．若a >b >0，且x ＝a ＋1b ，y ＝b ＋1a，则( )A ．x >yB ．x <yC ．x ≥yD ．x ≤y 解：因为a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0.所以a ＋1b >b ＋1a.故选A . 5．已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p >q B ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q解：因为a 2＋b 22>ab ＝1，所以p ＝log c a 2＋b 22<0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝log c 1a ＋b ＋2ab >log c 14ab ＝log c 14>0，所以q >p .故选B .6．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解：取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A ，B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，故C 错．故选D .7．设a >b >0，x ＝a a ＋b b ，y ＝a b ＋b a ，则x ，y 的大小关系是________．解：x －y ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )>0.所以x >y .故填x>y. 8．(2015·河北保定高二期末)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)解：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故填③.9．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．解：(1)证明：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b . 因为f (x )在R 上单调递增，所以f (a )≥f (－b )．同理，a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． (2)(1)中命题的逆命题为：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. 该命题成立，下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么： a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )， a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )，所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故a ＋b ≥0.逆命题得证．10．已知a ，b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.证明：因为a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，所以a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得 (a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，所以a ＋b >1.要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，因为a ＋b >0，所以只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a ，b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254. 证明：要证⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254，只需证ab ＋a 2＋b 2＋1ab ≥254，只需证4(ab )2＋4(a 2＋b 2)－25ab ＋4≥0，只需证4(ab )2＋8ab －25ab ＋4≥0，只需证4(ab )2－17ab ＋4≥0，即证ab ≥4或ab ≤14，只需证ab ≤14，而由1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14显然成立，所以原不等式⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254成立．已知α为锐角，且tan α＝2－1，函数f (x )＝x 2tan2α＋x ·sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4，数列{a n }的首项a 1＝12，a n ＋1＝f (a n )．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求证：a n ＋1>a n ；(3)求证：1<11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n<2(n ≥2，n ∈N *)．解：(1)tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2（2－1）1－（2－1）2＝1，又因为α为锐角，所以2α＝π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1，f (x )＝x 2＋x .(2)证明：a n ＋1＝a 2n ＋a n ，因为a 1＝12，所以a 2，a 3，…，a n 都大于0，所以a 2n >0，所以a n ＋1>a n .(3)证明：1a n ＋1＝1a 2n ＋a n ＝1a n （1＋a n ）＝1a n －11＋a n ，所以11＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝2－1a n ＋1，因为a 2＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝34，a 3＝⎝⎛⎭⎫342＋34>1，又因为n ≥2，a n ＋1>a n ，所以n ≥2时，a n ＋1≥a 3>1，所以1<2－1a n ＋1<2，所以1<11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n<2.。

39直接证明与间接证明

x1＋x2 x1＋x2 1 1 证明要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ，即证明2(tan x1＋tan x2)>tan 2 ， 2 2
x1＋x2 1 sin x1 sin x2 >tan 只需证明 cos x ＋cos x ， 2 2 1 2 sinx1＋x2 sinx1＋x2 只需证明 > . 2cos x1cos x2 1＋cosx1＋x2
b S,
b a c, 即证因为,在三角形中,b<a+c 显然成立,
所以原不等式成立.
2.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列.
求证: B 90.
证明： 2 1 1 , 2ac b(a c ).
b a
c a 2 c 2 b2 2ac b2 cos B ≥ 2ac 2ac
直接证明与间接证明
要点梳理
1．直接证明 (1)综合法
忆一忆知识要点
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．
综合法
2 7 在 x∈(a，＋∞)上恒例 1.(1)已知关于 x 的不等式 2x＋ x－a 成立，求实数 a 的取值范围； (2)已知|x|<1，|y|<1，求证：|1－xy|>|x－y|.
2 2 3 7，∴2(x－a)＋ 7－2a⇒7－2a 4，∴a 2 (1)∵2x＋ x－a x－a (2)因为|1－xy|2－|x－y|2＝(xy)2＋1－x2－y2＝(x2－1)(y2－1)>0 所以|1－xy|>|x－y|

高中数学知识点精讲精析直接证明与间接证明

2.2 直接证明与间接证明1．直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。

综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。

分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

2．间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。

3．反证法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

1．用直接证法和反证法分别证明：如果a >b >0，那么；【解析】（1）假设不大于，则或者<,或者=．∵a >0，b>0，∴<<，<， a b >0矛盾，∴.证法二（直接证法），∵a >b>0,∴a - b >0 即，∴，∴．2．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）猜想｛a n ｝的通项公式．【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n－1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ，①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．3．已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b aa b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 4个答案：C 。

高考数学总复习基础知识第六章第六节直接证明与间接证明理

高考数学总复习基础知识第六章第六节直接证明与间接证明理1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用、2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理、3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异、知识梳理一、推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理、从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知推出的判断，叫做结论、二、合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理、合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类、1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理、简言之，归纳推理是由__________到________、________到________的推理，归纳推理简称归纳、2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理、简言之，类比推理是由______到________的推理，类比推理简称类比、答案：1、部分整体个别一般2、特殊特殊三、演绎推理从____________出发，推出____________下的结论、简言之，演绎推理是由__________的推理、三段论是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断、答案：一般性的原理某个特殊情况一般到特殊基础自测1、定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算结果分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(M)，(N)所对应的运算结果可能是()A、B*D，A*DB、B*D，A*CC、B*C，A*DD、C*D，A*D解析：根据图(1)，(2)，(3)，(4)和定义的运算知，A对应竖线，B对应正方形，C对应横线，D对应圆，∴(M)对应B*D，(N)对应A*C、故选B、答案：B2、给出下列类比推理的命题：①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y③把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay、④把a(b＋c)与a(b＋c)类比，则有a(b＋c)＝ab＋ac、其中，类比结论正确的命题的个数是__________、解析：任意判断前3个类比的结论都是错误的，只有第4个类比的结论是正确的、答案：13、观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…照此规律，第五个不等式为__________________、解析：依据前3个式子的变化规律，可得第五个不等式为1＋＋＋＋＋<、答案：1＋＋＋＋＋<4、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________、解析：由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋26根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n－1)，即6n＋2、答案：6n＋21、(xx陕西卷)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…………照此规律，第n个等式可为____________________、解析：分n为奇数、偶数两种情况，第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2，当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－；当n 为奇数时，第n个等式右边＝－＋n2＝，综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)、答案：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)2、在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________、解析：两个正四面体的体积比应等于它们的棱长比的立方，故应为1∶8、答案：1∶81、(xx茂名一模)211＝2,2213＝34,23135＝456,241357＝5678，…，依此类推，第n个等式为__________________、解析：观察已知中的等式：211＝2，2213＝34，23135＝456，241357＝5678，………由此推断，第n个等式为：2n13…(2n－1)＝(n＋1)…(2n－1)2n、答案：2n13…(2n－1)＝(n＋1)…(2n－1)2n2、在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝(如图1)，将这个结论类比到空间，在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E(如图2)，则类比的结论为________________、解析：将平面几何中的面积类比为立体几何中的体积，平面几何中的线段类比为立体几何中的面积，可得类比结果为＝、答案：＝。

高考数学第一轮总复习 6直接证明与间接证明知识点课件

证明假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,…………..2′
则a+b+c≤0, …………………………………………………...4′
而a+b+c=x2-2πy+ +y2-2π z+ +z2-2πx+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
2
3
6
π-3. …………………………………………………………….6′
题型三反证法的应用
π
π
【 c=例z23-2】x(+π14分. )若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+2 ,b=y2-2z+3 ,
6
求证：a,b,c中至少有一个大于0.
分析命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.
出发，逐步寻求使
，
直至最后，把要证明的结从论要归证结明的结论
为它成立的充分条（件已知条件、定义、定理、公理等），这种证
明的判方定法一叫个做明分显析成法立.的条件
（4）反证法：一般地，假设原命题不（成即立在原命题的条件下，
结论不成立），经过
正,最确后的得推出理矛盾，因此说明
，
从而假设错误，这样证的明证了明原方命法题叫成做立反证法.
证明：假设p为奇数，则均为奇数.①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数=
②
=
③
=0.
但奇数≠0，这一矛盾说明p为偶数.
答案: ① a11,a21,...a77
② a 1 1 a 2 1 ... a 7 7 ③ a 1 a 2 ... a 7 1 2 ... 7

直接证明与间接证明

直接证明与间接证明学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。

当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。

反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。

在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.知识要点梳理知识点一：直接证明1、综合法（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）2、分析法（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）（4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

高考数学考点突破——推理与证明：直接证明与间接证明

直接证明与间接证明【考点梳理】1．直接证明2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【考点突破】考点一、综合法【例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列． (2)若C ＝2π3，求证：5a ＝3b .[解析] (1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以5a ＝3b . 【类题通法】掌握综合法证明问题的思路【对点训练】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． [解析] (1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N *，且m >n .所以对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．考点二、分析法【例2】已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[解析] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.【类题通法】1．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．【对点训练】若a ，b ∈(1，＋∞)，证明a ＋b <1＋ab . [解析] 要证a ＋b <1＋ab ，只需证(a ＋b )2<(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab <0，即证(a －1)(1－b )<0. 因为a >1，b >1，所以a －1>0，1－b <0，即(a －1)(1－b )<0成立，所以原不等式成立．考点三、反证法【例3】(1)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实数根”时，假设为( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实数根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实数根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实数根(2)已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.[答案] (1) A[解析] (1)“至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”． (2)假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 至少有一个不小于1. 【类题通法】1．反证法证明问题的3步骤2．反证法的适用范围 (1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．【对点训练】1．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D[解析] 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.2．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2[答案] C[解析] 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z＋z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾， ∴a ，b ，c 都小于2不成立．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2.故选C.。

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