(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解

1．二次三项式

多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式．

在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式

2

x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b，

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一

试，

分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”

【典型热点考题】

例 1 把下列各式分解因式：

（1）x2 2x 15 ；（2）x2 5xy 6y2．

解：

例2把

下列各式分解因式：

（1

）2

x

25x 3；(2) 3x2 8x 3

解：

点拨：二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例 3 把下列各式分解因式：

（1）x4 10x2 9；（2）7（x y）3 5（x y）2 2（x y）；

3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 ．

十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6 ；

(4) 20 －9y －20y 2；

(10)4m 2+8m+3 ；

(12)8m 2－22m+15 ；

(13)4n 2+4n －15 ；

(2)8x 2+6x －35；

(3)18x 2－21x+5 ； (5)2x 2+3x+1 ； (6)2y 2+y －6；

(7)6x 2－13x+6 ；

(8)3a 2－ 7a － 6；

(9)6x 2－11x+3 ；

(11)10x 2－21x+2； (14)6a 2+a －35；

(16)4x 2+15x+9 ；

(15)5x 2－8x－13 ；

(18)6y 2+19y+10 ；

(17)15x 2+x－2；

(19) 2(a+b) 2 +(a+b)(a －b)－ 6(a －b)2； 把下列各式分解因式：

（1） x 4 7x 2 6；

(20)7(x －1)2 +4(x －1)－20；

42

2) x 4 5x 2 36 ；

3) 4x 4 65x 2y 2 16y 4；

6 3 3 6

4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ；

5) 6a 4 5a 3 4a 2； 6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4．

15．把下列各式分解因式： 1)(x 2 3)2 4x 2 ；

2

2 2 2 2 2

2) x 2(x 2)2 9； ( 3) (3x 2 2x 1)2 (2x 2 3x 3)2；

4) (x 2 x)2 17(x 2 x) 60 ； 5) (x 2 2x)2 7(x 2 2x) 8 ；

6) (2a b)2 14(2a b) 48 ．

六、解下列方程

22

( 1) x 2 x 2 0

(2) x 2 5x 6 0

(1) 2x 2

15x 7 (2)

3a 2

8a 4 (3)

5x 2

7x 6 (4)

2

6y 2

11y 10

(5) 5a 2b 2 23ab 10 (6)

3a 2b 2 17abxy 10x 2y 2

(7)

22

x 2

7xy 12y 2

(8) x 4 7x 2 18 (9)

22

4m 8mn 3n

(10)

5x 5 15x 3y 20xy 2

2

(3) 3a 2

4a 4 0

2

(4)2b 2

7b 15 0