平面向量数量积运算专题附答案

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平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________.

.若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，

那么为该圆的两条切线，的最小值为，(

2 －43＋2 ＋B.A.－2

3＋2C.－4＋D.22

－→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，|

利用平面向量数量积求两向量夹角题型二

22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹

角为( )

ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( )

1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________.

教育资料．

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利用数量积求向量的模题型三

baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2

D.6

5

C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________.

＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________.

112212

＝12

高考题型精练

→→ABCDaABCBDCD 等于( ，∠ ＝60°，则) 1.(2015·山东)已知菱形的边长为 ·3322

aa A.－

－ B. 423322

aa C.D. 24

yxxxyy ，，，≥，≥????ab xyxy 为平面向设，}max{＝，}＝，min{记2.(2014·浙江)??yxyyxx ，，<，，

ababab |} |||，|，－|}≤min{|A.min{|＋ababab |} ，－|}≥min{||B.min{|＋，|||2222

baabab

|C.max{|＋|，－|}≤|||＋| 教育资料．

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2222

bbabaa |||，|－＋D.max{||＋}≥||22

PyABBCBACx ，上运动，且的坐标为3.(2015·湖南)已知点⊥，，(2,0)在圆.＋若点＝1→→→PCPAPB ) ＋( ＋ |则|的最大值为B.7 A.6

D.9 C.8

ABACOAABOOBCAB 的垂的四等分点，过上靠近点＝1，4.如图，在等腰直角△作中，＝为→→→abOPlPOAaOBbpp )

线－， 为垂线上任一点，设，则＝)，·(＝等于，＝(

11 B.－ A. 2233 D.C.－ 221→→→→→→→→→OAOPAPOBOBABABABAB ) ， ＝|＋的取值范围是.若|，|<则5.在平面上，|⊥|，( |＝||＝1 212211

2755] ] A.(0B.(，，

222572] ，，C.(2] D.(22→→→→CBCMBMMAACBABCACBCM ) 则等于＝4，点·满足( 6.如图所示，△∠中，＝＝90°且3＝，

B.3 A.2 D.6

C.4

yyxyyxabbaxx ，和设7.(2014·安徽)，，，为非零向量，|＝|2|，|，两组向量，，42321314

yyxyabxxyx 所有可能取值中的最小值为排列而成.若··＋··＋＋均由2个和2个424123132

baa ) 的夹角为4||

，

则( 与

πππ2 D.0 C.A. B.633→→→→BPAPPDCPADABCDAB2，，，如图，在平行四边形8.(2014·江苏)中，已知＝8＝5＝3，·＝教育资料．

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→→ADAB________.

则的值

是·

ebbaeab f a均为单位向量，－，sin 的夹角为θ，记θ(.，若)＝cos 9.设非零向量θ，eeeeee ff________. ·与)＝的夹角为，则向量(()，，－且1222112→→→

213

OAABACACABCOBCAB________.

|＝60°，则，＝3〈|如图，10.在△，中，＝为若中点，〉＝1，

32x a x b x a x b∥sin 2时，求已知向量cos＝(sin )，，的值；＝(cos 当，－1).－11. 4

5→→DBADDABCACCABAD.

10，过顶点＝作的垂线，垂足为5，，且满足12.在△中，＝＝11→→ACAB||(1)求；－→→→→kk xy AC y ABt x tACtAB. ·＝，求的最小值存在实数(2)≥1，使得向量＝＋，＝＋，令

教育资料．

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平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一

DCBCABCDBADEF，例1 (1)(2014·天津)已知菱形，的边长为2，∠分别在边＝120°，点→→AFBEBCDCDFAE________.

＝，1＝λ，则.若λ·上，3＝的值为→→PBPAPBABPAO) ，的最小值为为该圆的两条切线，( ，为切点，那么(2)已知圆的半径为1，·2 ＋2 B.－A.－43＋2＋＋22 2

D.－3C.－4(2)D (1)2 答案

如图， (1)解析

1111→→→→→→→→→→→→→→→→ADADDCABDCBCADABBCADAFAEABBEDFAB＋＋＋)＝·＝(·＋·)·(＝(＋＋)·(＋·)33λλ1→→DCBC·λ310411142＝＋－×2×2×cos 120°＝－2＋＝2×2×cos 120°＋×2×2＋×2×2＋

λ3λ33λλ33λ2 ，－3→→AFAE，＝1又∵·2102. ＝1－＝，∴λ∴3λ3→→APBxPBPA，|＝|＝θ，∠(2)方法一设||＝1θ，tan ＝则x2θ2tan－122x1－. ＝＝从而cos θ2xθ＋12tan＋12→→→→PBPAPAPB |·cos ＝||·|θ·224xxx－1－2x＝＝·22xx1＋＋1教育资料．

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222xx2－＋＋＋＝

2x1＋22x＝，＋1＋－－3≥2232x1＋2x＝当且仅当2＋

1，→→2PBPAx3. －即2＝2－1时取等号，故2·的最小值为APB，θ<方法二设∠π＝θ，0<1→→PBPA.

|则|＝|＝|θtan

2→→→→PBPAPAPB·θ＝||cos ||12θ)cos ＝(θtan

2θ2cos2θ2)

＝·(1－2sinθ22sin2θθ222sin－sin－

22.