点到直线的距离两条平行直线间的距离
第二章 点到直线的距离(第三课时) 两条平行直线间的距离
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
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解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 人教A版-选择性必修第一册
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
|Ax0 By0 C| A2 B2
间的距离d=②
|C1-C2| A2 B2
距离公式的特殊情况
1.点到几种特殊直线的距离公式 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|. 2.两条特殊平行直线间的距离 两条垂直于x轴的直线x=a,x=b的距离d=|a-b|; 两条垂直于y轴的直线y=a,y=b的距离d=|a-b|.
平行线间距离公式的应用
平行线间的距离公式,其步骤如下:
解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等,若不相等,则先将系数化为相等.
(2)当直线的方程为斜截式时,l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=
.
|b1 -b2 |
思路点拨 根据所求的三边中有一边所在的直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在的直线与直线x+3y5=0垂直,并结合正方形的中心到四边的距离相等解题.
解析
由
2 x
x-y 2 y 1
0, 0
得正方形的中心的坐标为(-1,0).
设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).
∴ |-3 a| = |-3 b| = |-1-5| ,
点到直线的距离、两平行线间的距离ppt
点到直线的距离
两平行线间的距离
一、两点之间的距离 思考：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2), 如何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y
P2
O P1
x
P1P2
x2 x1 y2 y1
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
2 2
例3 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
d
23 70 8 2 2 ( 7 ) 2
14 14 53 53 53
1. 点P(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离是
;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是
.
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d = Ax
0
+ By
0
+ C
2
A
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
d = C
1 2
- C
2 2
A
+ B
OP x y
2
2
例1、已知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x 轴上求一点P，使 PA PB ，并求 PA 的值。
二、点到直线的距离
已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢? y
d Ax0 By0 C A B
2 2
P
点到直线的距离公式2
小值是( B )
A. 10
B．2 2
C. 6 【解析】
D．2 |OP|min 即为 O 到直线的距离，d＝|0－10＋－14|＝2 2
(3)求过点 M(－2，1)，且与 A(－1，2)，B(3，0)两点距离相 等的直线方程．
【解析】 方法一：当直线斜率存在时，设直线方程为 y－1＝ k(x＋2)，
点，PQ 的最小值为( C )
9 A.5 C．3
18 B. 5 D．6
【解析】 |PQ|min 即为两条直线间的距离.6x＋8y＋6＝0 即 3x ＋4y＋3＝0，∴d＝|－3122＋－432|＝3.
(4)已知直线 l1 过点 A(0，1)，l2 过点 B(5，0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 之间的距离为 5，求 l1，l2 的方程．
(2)运用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．
思考题 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)3x－4y＋1＝0； (2)y＝6； (3)y 轴． 【思路分析】 直接应用点到直线的距离公式． 【解析】 (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝|3×3－324＋×（（－－42））2＋1|＝158. (2)因为直线 y＝6 平行于 x 轴，所以 d＝|6－(－2)|＝8. (3)d＝|3|＝3.
题型一 点到直线的距离问题
例 1 求点(－1，2)到直线 2x＋y－10＝0 的距离． 【解析】 由点到直线的距离公式，可得 d＝|2×（－1）＋5 1×2－10|＝2 5.
探究 1 (1)解决与点到直线的距离有关问题的关键是熟练运 用点到直线的距离公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
∵点 P(a，b)在直线 x－y－5＝0 上，故 a－b－5＝0. 又|4a＋423＋b－322|＝2，解方程组a|4－a＋b－3b5－＝20|＝，10，得ab＝＝1－，4或 ab＝＝2－77，87. ∴所求的点为 P(1，－4)，或 P277，－87.
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 课件(42张)
所以直线l2的方程可化为 x2-2y+2=0,
所以直线l1,l2之间的距离d= | 2 （1）.|
24
6 2
答案: 6
2
2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所6 以m 12 ,
2 3 9
所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直线6x+9y+12=0,距｜12离为27｜ 13 .
62 92
【内化·悟】 应用两条平行直线距离公式的前提是什么? 提示:两条直线方程中x,y的系数相同.
【类题·通】 两条平行线距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线 的距离公式. (2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
【习练·破】
1.P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
d= | 2m m2 7 | m 12 6 6 3 2.
2
2
2
【加练·固】
点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是
()
A. 2
B. 2
2
C.1
D. 1
2
【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d= ｜11｜ 2 .
2
类型二 两条平行直线间距离公式的应用
【典例】1.已知直线l1: 2 x-2y-1=0,l2:x- 2 y+ 2 =0,则直线l1,l2之间的距离 为_______.
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为d= ｜5 （ 5）｜ 2.
点到直线的距离、两条平行直线间的距离
0 A B
2 2
0,
【知识点拨】 1.对点到直线的距离的三点说明 (1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连 线长度的最小值,可用最小值的方法求出. (2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直 于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离 .
(3)点到直线的距离的几种特殊情况 ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
解得k=-7或k=-1.
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P l2 Q x o 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
2.对两条平行直线间的距离的理解 (1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如 与坐标轴的交点). (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值.
第03讲_点到直线的距离(解析版)
高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱点到直线的距离知识精讲一．点到直线的距离公式1. 两点的距离公式已知平面内两点()()1122,,,A x y B x y ，则两点距离()()222121AB d x x y y =-+-2.点到直线距离公式（1）公式：点()00x y ，到直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠的距离：0022Ax By Cd A B++=+（2）公式的证明：如图，已知点()00P x y ，，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠.过点P 作PQ l ⊥于()11,Q x y ， 则PQ 即为点P 到直线l 的距离. 由距离公式，只要列出关于10x x -，10y y -的方程，就可求出这两点的距离. 证明过程如下：证明：设()11,Q x y ，PQ 所在直线方程l '：'0Bx Ay C -+=，将,P Q 代入l '可得： 0011'0'0Bx Ay C Bx Ay C -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得：0101()()0 B x x A y y ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①. 将Q 点代入l ，得：110Ax By C ++=.()()101000110A x x B y y Ax By C Ax By C -+-+++=++=，l:Ax+By+C=0OQ x 1,y 1()P x 0,y 0()xy()()010100 A x x B y y Ax By C ∴-+-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅②①、②：()()010*******()()0B x x A y y A x x B y y Ax ByC ---=⎧⎪⎨-+-=++⎪⎩将①、②式平方相加：22222101000()[()()]()A B x x y y Ax By C +-+-=++，0022101022()()PQ Ax By Cd x x y y A B++∴=-+-=+二．平行直线间的距离1. 公式：两条平行线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=之间的距离是：22d A B=+2. 证明：设一条垂直于12l l 、的直线与12l l 、分别交于P Q 、两点，()()1122,,,P x y Q x y .PQ 即为直线12l l 、间的距离.此时P Q 、两点满足，1110Ax By C ++=，0020Ax By C ++=，00122PQ Ax By C d A B++∴=+，002Ax By C +=-1222PQ d A B∴=+．三点剖析一．注意事项1．点到直线的距离点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022Ax By Cd A B++=+．（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式再进行求解． （2）若点P 在直线上，点P 到直线的距离为零，距离公式仍然成立. （3）点到几种特殊直线的距离：① 点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；② 点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =； ③ 点()00,P x y 到直线x a =的距离0d x a =-； ④ 点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-. 2．两条平行直线间的距离两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离为1222C C d A B-=+．使用公式时，两条直线均为一般式，且x y 、的系数分别相同，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．二．方法点拨点到直线的距离应用：在求角平分线方程、最值、证明问题的过程中通过解析几何法，构造点到直线的距离以及两点间的距离来求解.点到直线的距离例题1、 点到直线的距离为（）A. B. C. D.例题2、 过点()1,2A 且与原点相距为1的直线方程是_______例题3、 （2011北京高考文）已知点A （0，2），B （2，0）．若点C 在函数y=x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1随练1、 求经过直线1:30l x y +-=和直线2:280l x y -+=的交点，且点()1,3P 到它的距离 为53的直线l 的方程．平行直线间的距离例题1、 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ ） A.34110x y --=B.34110x y --=或3490x y -+=C.3490x y -+=D.34110x y -+= 或 3490x y --=例题2、 两平行线分别过()3,0A 和()0,4B ，它们之间的距离d 满足的条件是（ ） A.03d <≤ B.04d << C.05d <≤ D.35d ≤≤随练1、 两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是（ ） A.25 B.45 C.15 D.12点到直线的距离的应用例题1、 中，求平分线所在直线的方程． 例题2、 设，求证：拓展1、 点到直线的距离为2、 已知直线l 与直线1:6850l x y --=平行，且它们间的距离是3，求l 的方程．3、 经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么．4、 （2011岳阳一中高一上期末文理）已知△ABC 中，A （1，1），B(m m ，C （4，2）其中（1＜m ＜4），求m 为何值时，△ABC 的面积最大；最大面积是多少？5、 已知过点且斜率为的直线与轴和轴分别交于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形的面积的最小值．(1,2)P -86150x y -+=212172ABC ∆()()()3,32,27,1,A B C --、、A ∠AD ,a b R ∈222.22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(2,3)P -:1l x =()1,1A ()0m m ->l x y P Q 、P Q 、20x y +=,R S PRSQ答案解析点到直线的距离点到直线的距离例题1、 【答案】 B【解析】 由点到直线间的距离公式即可得． 例题2、【答案】 1x =或3450.x y -+=【解析】 （1）当过点()12A ，的直线与x 轴垂直时，则点()12A ，到原点的距离为1， 所以1x =为所求直线方程．（2）当过点()12A ，且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为()21,y k x -=- 即:20,kx y k --+=由题意有2211k k -+=+，解得3,4k =故所求的直线方程为()321,4y x -=-即3450.x y -+= 例题3、【答案】 A【解析】 设C （a ，a 2），由已知得直线AB 的方程为2x +2y=1，即：x+y -2=0点C 到直线AB 的距离为：d=22，有三角形ABC 的面积为2可得：S ABC =12|AB|d=12× 22×22=|a+a 2-2|=2得：a 2+a=0或a 2+a -4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x 2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C 1，C 2，C 3，C 4）使得△ABC 的面积为2（即图中的三角形△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3，△ABC 4）． 故应选：A 随练1、【答案】 直线为3140y -=或2401171460x y +-= 【解析】 解法一： 由30,280.x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得直线1l 与2l 的交点坐标为514,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．显然直线l 的斜率存在， 设所求直线l 的方程为14533y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即335140.kx y k -++= 则()2231335145,393k k d k ⨯-⨯++==+-即2128085510,,39k k k k +=+==-将12,k k 代入得所求直线为3140y -=或2401171460x y +-=． 解法二：设所求直线方程为()()2830,x y x y λ-+++-=即()()()21830.x y λλλ++-+-= 点()1,3P 到l 的距离为53，()()()()222113835,321λλλλλ+⨯+-⨯+-=++-即241763160.2λλλ--=∴=-或15841λ=． 代入既得所求方程平行直线间的距离例题1、 【答案】 B【解析】 由题意可知两直线平行，故有1222222212,934C C C d C A B---===∴=++或211C =-，故直线方程为34110x y --=或3490x y -+= 例题2、 【答案】 C【解析】 两平行线重合时，距离最小0d =， 两点连线与平行线垂直时，距离最大22345d =+ 但两直线不能重合，故05d <≤ 随练1、 【答案】 D【解析】 由平行线间距离公式1222C C d A B -=+可知，223112243d --==+．点到直线的距离的应用例题1、【答案】【解析】 设为平分线上任意一点，由已知可求得边所在直线方程为，边所y x =(),M x y A ∠AD AC 5120x y -+=AB在直线方程为．由角平分线的定义，得或，即或，检验可知，不合题意．例题2、【答案】 见解析【解析】 证明：设为平面内任一点，则到直线的距离为点，即拓展1、【答案】【解析】2、【答案】 68350x y --=或68250x y -+= 【解析】 设直线l 的方程为225680,32568c x y cd c +-+===⇔=+或35c =-，故直线方程为68350x y --=或68250x y -+= 3、【答案】 35340x y +-=【解析】 过点(3,5)M 且垂直于OM 的直线为所求的直线，由直线OM 的斜率53k '= 则所求直线的斜率3,5k =-所求直线的方程为()3:535y x -=--； 化简得：35340x y +-= 4、【答案】 m=94，S max =18【解析】 本题考查点到直线距离公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由22(41)(21)-+-10AC 的直线方程，利用点B 到直线AC 的距离是|32|10m m -+，S=12|AC|•d=12|m -m 12m 32)2-14|，由此能推导出当m=94时面积最大为S max =18．|AC|=22(41)(21)-+-10AC 的直线方程为x -3y+2=0，点B 到直线AC 的距离是|32|10m m -+，△S=12|AC|•d=12|m -m=12m 32)2-14| △1＜m ＜4，△1m 2，5120x y --=5125122626x y x y -+--=512512x y x y ∴-+=--512512x y x y -+=-++6y x =-+y x =6y x =-+(),M a b M y x =-2a b +M 22a b +22a b +2a b +222.22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭121 1.d =-=△-1232＜12，32)2＜14，△S=12[14-32)2]，△32，即m=94时面积最大，最大面积为S max =18．5、【答案】【解析】 设直线的方程为，则，，从而可得直线和的方程分别为，，由∥，又四边形为直角梯形，又此时，，即四边形的面积最小值为3.6l ()11y m x -=--11,0P m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0,1Q m +PR QS 120m x y m +--=()2210x y m -++=PRQS 132m RS ++∴==22PR QS +==PRSQ 22123211191.25480PRSQ m S m m ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫∴==++- ⎪⎝⎭12,m m +≥1m =21912 3.65480S ⎛⎫∴≥+-= ⎪⎝⎭PRSQ 3.6。
点到直线的距离,两平行直线的距离
点到直线的距离，两平行直线的距离【学习目标】1. 了解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离.【重难点】重点：点到直线距离公式；两平行线距离公式难点：直线距离公式的推导自主学习案【知识梳理】1. 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax + By + C = 0的距离公式为________________2. 两条平行直线间的距离的求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，就是这两条平行直线间的距离3. 两平行线间的距离公式：两平行线间的距离d ，已知1l ：Ax + By + C 1= 0 2l ：Ax + By + C 2= 0 则d= _________________【预习自测】1. 原点到直线02623=-+y x 的距离是______________.2. 点)2,1(0-P )到直线l ：23=x 的距离是_____，点)2,1(0-P )到直线l ：23=y 的距离是____。
3. 平行直线1l ：0872=+-y x ，2l ：0172=+-y x 的距离为_____________。
【合作探究】例1 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC 的面积.例2．求过点M(–2， 1)且与A(–7，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.例3：若两条平行直线1l ：ax ＋2y ＋2＝0 ，2l ：3x －y ＋d ＝0的距离为10， 求a 与d 的值.例4. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【当堂检测】1、点)5,0(到直线x y 2=的距离是（ ） A. 25 B. 5 C. 23 D. 25 2.若点),3(a 到直线043=-+y x 的距离是1，则a 的值是___________3、已知直线1l ：0323=-+y x 和直线2l ：016=++my x 互相平行，求它们之间的距离。
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离的教学设计（3课时）主备教师：谢太正一、内容及其解析点到直线的距离和两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离和平行线间的距离的公式的推导及应用。
在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。
点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。
二、目标及其解析目标：1、掌握点到直线的距离公式及其推导；2、会求两平行线间的距离。
解析：1、点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2、两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为三、问题诊断与分析学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学生基础较差，很难理解，还需要补充大量的练习。
四、教学设计（一）复习准备：（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B 不全为0)。
（2）平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-（3）三角形的面积公式。
（二）探究：点到直线的距离公式问题一：已知P (x 0，y 0)，直线l ：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?2200B A cBy Ax d +++=2221||B A C C d +-=过程：方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为B A (A ≠0)，根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ |，得到点P 到直线l 的距离为d .方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点()01,y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点()20,y x S ，由⎩⎨⎧=++=++002001C By Ax C By Ax 得0012,By C Ax C x y A B ----==所以0001||||||Ax By C PR x x A ++=-= 0002||||||Ax By C PS y y B++=-= 22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++ 由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |.所以0022d A B =+可证明，当A = 0时仍适用.追问：在应用此公式时对直线方程有什么要求？说明：必须是方程的一般式。
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③因为直线 x＝4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|3－4|＝1.
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必修2 第三章 直线与方程
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(2)因为所求直线方程过点 A(－1,2)，且斜率存在， 所以设直线方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0， 又原点到直线的距离等于 22，所以 |kk＋2＋2|1＝ 22，解得 k ＝－7 或 k＝－1.
两条平行直线间的距离公式得
d＝12－32＋－22＝7
13 26 .
答案： D
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3．设点 P 在直线 x＋3y＝0 上，且 P 到原点的距离 与 P 到直线 x＋3y－2＝0 的距离相等，则点 P 坐标是 ____________．
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必修2 第三章 直线与方程
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1．点 P 在直线 x＋y－4＝0 上，O 为原点，则|OP| 的最小值是
_____________________________________________ ___________________________．
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必修2 第三章 直线与方程
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解析： 设 P(－3y，y)，
则 y2＋9y2＝|－3y＋130y－2|，y＝±15.
当 y＝15时，x＝－35，
∴P－35，15；
当 y＝－15时，x＝35，
∴P35，－15. 答案： －35，15或35，－15
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必修2 第三章 直线与方程
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4．求与直线 3x－4y－1＝0 的距离为 2 的点的轨迹方 程．
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解析： 由于点 A(1,1)与 B(－3,1)到 y 轴的距离不相
等，所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 过点 P(0,2)，
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必修2 第三章 直线与方程
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4．使用两条平行直线间的距离公式的前提条件： (1)把直线方程化为一般式方程． (2)两条直线方程中x，y系数必须分别相等． 5．求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直 线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距 离与其中一条直线上点的选取无关．
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必修2 第三章 直线与方程
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[思路探究] 1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程有什 么要求？ 2．已知直线的斜率和已知点的坐标，如何写出直线 的点斜式方程？
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必修2 第三章 直线与方程
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解析： (1)①直线 y＝34x＋14化成一般式为 3x－4y＋ 1＝0，由点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－ ＋2 1|＝ 18 5.
解析： 设动点 M(x，y)，
则|3x3－2+4(y-－ 4) 21|＝2， 整理得 3x－4y－11＝0 或 3x－4y＋9＝0.
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点到直线的距离 (1)求点 P(3，－2)到下列直线的距离： ①y＝34x＋14；②y＝6；③x＝4. (2)求过点 A(－1,2)，且与原点的距离等于 22的直线 方程．
故直线方程为 x＋y－1＝0 或 7x＋y＋5＝0.
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应用点到直线的距离公式应注意的三 个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一 般式．
(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ然适用．
(3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式 也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可 用数形结合求解．
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点到直线、两条平行线间的距离 1.点到直线的距离公式 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
|Ax0＋By0＋C| _____A_2_＋__B__2 ___.
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2．两条平行直线间的距离
定 两条平行直线间的距离是指夹在两条
线 x＋2y－5＝0 的距离 d＝|0＋120＋－252|＝ 5.故选 D. 答案： D
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2．两平行直线 3x＋2y－3＝0 和 6x＋4y＋1＝0 之间
的距离是( )
A．4
B.2
13 13
C.5 2313
D.7
13 26
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解析： 6x＋4y＋1＝0 可化为 3x＋2y＋12＝0，则由
解析： |OP|的最小值就是 O 点到直线 x＋y－4＝0 的距离．
|OP|min＝|0＋120＋－142|＝2 2. 答案： 2
工具
必修2 第三章 直线与方程
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2．已知直线 l 过点 P(0,2)，且点 A(1,1)，B(－3,1)到 直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程．
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必修2 第三章 直线与方程
[问题] 在某铁路的附近，有一大型 仓库．现要修建一条公路将两者连 接起来，那么怎样设计才能使公路 最短？最短路程又是多少呢？ [提示] 从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短， 将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，最短路程 是点P到直线l的距离．
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必修2 第三章 直线与方程
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1．会用点到直线的距离公式求点到直线的距离． 2．探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行 线间的距离．
义
——
平行直线间_垂__线__段____的长.
求 转化为一条直线上的_一__点__到另一条直
法
——
线的_距__离__.
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必修2 第三章 直线与方程
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1．点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线 的最短距离． 2．此公式适用于P0为平面上的任意一点，特别地，当 P0在直线上时，点P0到直线的距离为0. 3．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方 程化为直线的一般式方程．
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1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
解析： 利用点到直线的距离公式可得：原点到直
线 x＋2y－5＝0 的距离 d＝|0＋120＋－252|＝ 5.故选 D. 答案： D
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解析： 利用点到直线的距离公式可得：原点到直