2014年人教A版数学必修二导学案：2.2.1圆的的一般方程
人教A版高中数学必修二 4.1.2 圆的一般方程 导学案
4.1.2 圆的一般方程【学习目标】：1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
【学习重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．【学习难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
学习过程复习引入圆的标准方程：_______ ________，圆心_______ __半径____ _。
探究1：把圆的标准方程展开，并整理得：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0。
取 222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？基础知识把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 。
1．当_______时，方程表示以__________为圆心,__________为半径的圆；2．当_______时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点_________; 3．当_______时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程圆的一般方程的特点：① x 2和y 2的系数都为1. ② 没有xy 这样的二次项．③ 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．④ 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计
《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程。
教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。
(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。
三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
人教A版数学必修二《圆的一般方程》导学案
高中数学必修2《圆的一般方程》导学案姓名：___________ 班级：___________ 组别：_____________ 组名：____________【学习目标】1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【重点难点】重点：掌握圆的一般方程难点：难点是根据条件运用待定系数法建立圆的方程．【知识链接】1、圆的标准方程2、直线与二元一次方程0(,Ax By C A B ++=不全为零)建立了一一对应的关系，那么圆是否也有与之对应的方程呢?【学习过程】阅读课本第121页至122页的内容，尝试回答以下问题：知识点：圆的一般方程 1.以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程： ．2.将222()()x a y b r -+-=展开得 .3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？将上方程配方，得 . 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系⑴. 当0422>-+F E D 时， .⑵. 当0422=-+F E D 时， .⑶. 当0422<-+F E D 时， . 综上所述，方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程 思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？ 结论：圆的一般方程的特点： 、 的系数相同，没有 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定系数 、 、 ，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了.与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.例2：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)A B C ---的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．例3：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段AB 的端点B 静止，A 在圆22(1)4x y ++=上运动，因此我们可以设出A 的坐标，从而得到中点M 的坐标．例4：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）． 分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【基础达标】A1.方程0834222=+++++k y kx y x 表示圆的充要条件是（ ）A.4>k 或1-<kB.41<<-kC.4=k 或1-=kD.以上答案都不对 B 2.下列方程各表示什么图形？⑴. 2240x y x +-=； ⑵. 224250x y x y +--+=；⑶. 1x -=B3.已知△ABC 的顶点的坐标为A （4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC 外接圆的方程.B4.求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120x y x y ++--=相同的圆的方程C5.等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【小结】【当堂检测】A1.圆22680x y y ++-=的圆心为 ，半径为 .A2.若圆221014x y mx y ++-==-与直线相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 .B3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
2014年人教A版必修二教案 4.1.2 圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B2≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x 2+y 2－2ax －2by+a 2+b 2－r 2=0．令D=－2a ，E=－2b ，F=a 2+b 2－r 2，有：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A ：不一定．还得考虑：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．生B ：也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) ()∆-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.4422:*2222F E D E y D x ）式配方得将（ 1．当D 2+E 2－4F ＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 为半径的圆；为圆心，F E D E D 4212,222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 2．()()()有时也叫点圆，式表示一个点即式只有实数解时，当⎪⎭⎫ ⎝⎛--*-=-=*=-+22,2,204.22E D E y D x F E D 3．当D 2+E 2－4F ＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D 2+E 2－4F ＞0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件．师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．生：.4212222F E D r E D -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，，圆心 生B ：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．四．例题讲解例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程，得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式． 五、小结注意一般式的特点：1°x 2，y 2系数相等且不为零；2°没有xy 这样的项； 3°D 2+E 2－4F ＞0．另外，大家考虑：D 2+E 2－4F 有点像什么？像判别式，它正是方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D 、E 确定了，则与F 的变化有关．六、作业：1．求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．2．求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝0设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．。
高中数学人教A版必修2导学案设计：4.1.2圆的一般方程(学生版)
章节4.1.2 课题圆的一般方程教学目标1.掌握圆的一般方程，会用配方法将其化为标准方程；2.会用代数法（待定系数法）和几何法求圆的一般方程；3.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的等价条件．教学重点利用待定系数法、几何法求圆的一般方程。
教学难点解三元二次方程组；坐标转移法求轨迹方程。
【复习回顾】1.圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程是。
2.求圆的标准方程的方法有。
课前预习案【新知探究】探究一、圆的一般方程问题1：方程222410x y x y+-++=和222460x y x y+-++=分别表示什么图形？问题2：方程220x y Dx Ey F++++=在什么条件下表示圆？方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F+++++=在什么条件下表示圆？新知1：圆的一般方程为220x y Dx Ey F++++=（2240D E F+->）。
探究二、点与圆的位置关系的判断问题3：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内的条件是什么？在圆外呢？新知2：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内⇔；点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=外⇔。
例4.已知线段AB 的端点B 的坐标是（3，4），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.课后达标案【达标检测】A 组１.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ） A ．2、4、4； B ．-2、4、4； C ．2、-4、4； D ．2、-4、-4２.已知方程x 2+y 2+k x +(1-k)y +134=0表示圆，则k 的取值范围 ( )A ．k>3B ．2-≤kC ．-2<k<3D ．k>3或k<-23.已知点)1,1(-A 和圆0964:22=+--+y x y x C ，一束光线从点A 经过x 轴反射到圆周的最短路程是（ ）A ．5B ．213-C ．21D ．3 4.由曲线围成的图形的面积是 。
2014年人教A版数学必修二导学案：2.2.1圆的方程—圆的标准方程
例 2、已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽 为 2.7 m ，高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道？
思考：假设货车的最大宽度为 am 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
例 3、 （1）已知圆的直径的两个端点是 A(1 ， 2) ， B(7， 8) ．求该圆的标准方程． （2） 已知圆的直径的两个端点是 A( x1，y1 ) ，B( x2，y 2 ) ． 求该圆的标准方程．
， 1) ， B(1， 1) ，且圆心 C 在直线 x y 2 0 上的圆的标准方程． 例 4、求过点 A(1
【学后反思】
课题:2.2.1 圆的方程—圆的标准方程检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1．圆 C ： ( x 3) 2 ( y 2) 2 9 的圆心坐标和半径分别为__________；__________．
（4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线 2 x 3 y 5 0 上：
5) 和 B(3， 7) ，且圆心在 x 轴上： （5）经过点 A(3，
， 5) 为圆心，并与 y 轴相切的圆的标准方程． 2．求以点 C (1
5) 和 B(6， 1) ，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程． 3．已知点 A(4，
问题 2．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 1．圆的标准方程的推导过程：
2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．
【课堂研讨】
3) ，且经过原点的圆的标准方程． 例 1、求圆心是 C (2，
课题:2.2.1 圆的方程—圆的标准方程
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
2.2.1圆的的一般方程(2014年人教A版数学必修二导学案)
．
6．过点 M (1 ， 1) 且与已知圆 C ： x y 2x 4 y 3 0 的圆心相同的圆的方程 是 ． 2 2 7．若圆 x y 2 x 2by b 2 0 关于直线 x y 0 对称，则 b ． 8．过三 O(0， 0) ， M (1， 1) ， N (4， 2) 的圆的方程是 ．
姓名：
学号：
第
学习小组
F 0 ( D 2 E 2 4F 0) 所表示的曲线关于直
） D． D E F
A． D E B． D F C． E F 3．求经过点 A(4， 1) ， B(6， 3) ， C (3， 0) 的圆的方程．
【课后巩固】
1．圆 x 2 y 2 4x 6 y 3 0 的圆心坐标和半径分别为 2．若方程 x 2 y 2 2x 4my 5m 0 表示的图形是圆，则 m 的取值范围是 3．圆 x 2 y 2 2 x 4 y 12 0 的圆心坐标和半径分别为
2．若方程 x 2 y 2 Dx Ey
F 0 表示圆的一般方程，有什么要求？
【课堂研讨】 例 1、已知 ABC 的顶点坐标 A(4， 3) ， B(5， 2) ，C (1 ， 0) ，求 ABC 外接圆的方程．
变式训练 ：已知 ABC 的顶点坐标 A(1 ， 1) 、 B(3， 1) 、 C (3， 3) ，求 ABC 外接圆的 方程．
2 2 2 2
． ．
．
4． 若圆 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0) 的圆心在直线 x y 0 上， 则 D 、 E 、 F 的关系有 ． 5．已知圆 x 2 y 2 4 x 4 0 的圆心是 P ， O 是坐标原点，则 PO
人教A版高中数学必修二导学案圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程一、学习目标:知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索。
二、学习重点、难点：学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定 方程中的系数D 、E 、F ．学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.三、学法指导及要求:1、认真研读教材121---123页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.3、A:自主学习；B:合作探究；C ：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B 类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上.四、知识链接：圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心(,)a b ;半径：r.五、学习过程：问题的导入：问题1: 方程x 2+y 2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x 2+y 2-2x-4y+6=0表示什么图形？问题2：方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？问题3：什么是圆的一般方程？问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？典型例题:例1：求过三点O(0,0)M 1(1,1)M 2(4,2)的圆的方程例2：已知：线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在（x+1)2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.1.2
4.1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般方程.知识点一 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，22.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.思考 若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？ 答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：题型一 圆的一般方程的定义例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， 故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆.此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|.反思与感悟 对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.题型二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 已知一个圆过P (4,2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根， ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.①将P ，Q 两点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10.③解①②③联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10625，E ＝－565，F ＝48425.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10625x －565y ＋48425＝0.题型三 求动点的轨迹方程例3 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法二 同方法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法三 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1,0). 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1). 反思与感悟 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 求到点O (0,0)的距离是到点A (3,0)的距离的12的点的轨迹方程.解 设M (x ，y )到O (0,0)的距离是到A (3,0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0.即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.代入法求圆的方程例4 已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程.分析 由于点M 依赖于动点C ，且动点C 在圆上，故只要找到点M 与点C 的坐标关系，再利用点C 的坐标满足圆的方程，即可求得点M 的轨迹方程. 解 设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .① 因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， 所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)， 即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1).解后反思 对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5 已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，点P (x ，y )在圆上运动，求2x 2＋y 2的最值.分析 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0，求得x 的范围.而点P (x ，y )在圆上，则可将2x 2＋y 2转化为关于x 的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0. 所以0≤x ≤2.又因为2x 2＋y 2＝2x 2－x 2＋2x ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以0≤2x 2＋y 2≤8.所以当x ＝0，y ＝0时，2x 2＋y 2有最小值0， 当x ＝2，y ＝0时，2x 2＋y 2有最大值8. 故2x 2＋y 2有最小值0，最大值8.1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12 B.k ＝12 C.k ≥12 D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －y －3＝0 C.2x －y －6＝0 D.2x ＋y －6＝0答案 B解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D.2 答案 D解析 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|12＋12＝ 2.5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.一、选择题1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4 C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16答案 C解析 由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4. 2.圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 B.(x ＋4)2＋(y －1)2＝5 C.(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 C解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)，设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2. 5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.6.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B.x 2＋y 2＝4 C.x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D.x 2＋y 2＝2 答案 A解析 设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2).当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形， 因此不成立.同理当x ＝－2时也不成立. 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 二、填空题8.已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________.答案 m ＜－13解析 因为A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13. 又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134. 综上，m ＜－13.9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9解析 设圆心为M (x ，y ).由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________. 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.11.光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于______. 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 三、解答题12.已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上， 故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方， 得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
2.2.2直线与圆的位置关系(2014年人教A版数学必修二导学案)
（2）求过原点且与圆 相切的直线的方程．
【课后巩固】
1．直线 与圆 的位置关系是．
2．直线 和圆 交于点 ， ，则弦 的垂直平分线方程是．
3．斜率为 的直线 平分圆 的周长，则 的方程为
4．已知过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，
求直线 的方程．
5．已知圆 与直线 相交于 ， 两点，
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．判断下列各组中直线 与圆 的位置关系：
（1） ， ；__________________________；
（2） ， ；___________________；
（3） ， ．_____________________．
2．若直线 与圆 相交，则点 与圆的位置关系是．
为坐标原点，若 ，求 的值．
6．已知过点 的直线 与圆 相交，求直线 斜率的取值范围．
7．求半径为 ，且与直线 切于点 的圆的方程．
8．求圆心在 轴上，且与直线 ，直线 都相切的圆的方程．
9．已知圆 的方程是 ，求证：经过圆 上一点 的切线方程是 ．
10．已知圆 ，直线 ．
（1）当点 在圆 上时，直线 与圆 具有怎样的位置关系？
课题：2.2.2直线与圆的位置关系导学案
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1.能够熟练的写出直线和圆的方程的交点坐标；
2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；
3.理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系．
【课前预习】
问题1．直线和圆的位置关系有几种情况？直线和圆的位置关系是用什么方法研究的？
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人教A版高中数学必修2 圆的一般方程优秀导学案
4.1.2 圆的一般方程学习目标：（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺xy 项的二元二次方程是否是圆的方程；（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；（3）熟练掌握求圆的方程的方法；（4）初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F ．学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
学习过程：一、问题导入：请同学们复习圆的标准方程的基本形式是 ：圆心坐标: 、半径：思考：（1）方程222410x y x y +-++=表示什么图形? ；（2）方程222450x y x y +-++=表示什么图形？ ；（3）方程222460x y x y +--+=又表示什么图形? 。
二、问题导思：阅读教材121~123P P 的内容，思考讨论下列问题.问题1、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆?问题2、对圆的标准方程与圆的一般方程作比较，看各自有什么特点？问题3、圆的一般方程是二元二次方程吗？反过来成立吗？三、互动解疑【例1】下列方程各表示什么图形？()2214441290x y x y +-++=变式练习:方程222+2210x y ax ay a a ++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) 2a 23A a <->、或 2a 3B <<、0 20C a -<<、 223A a -<<、 【例2】求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程．【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,5)，端点A 在圆22(1)9x y -+=上运动，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
说明：点M 的轨迹方程是指222(2)20x y ax b ++-=变式练习：已知(20),N(20)M -，，，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程式（ ）22x 4A y +=、 22x -4B y =、22x 4(x 2)C y +=≠±、 22x 4(x 2)D y -=≠±、四、反思导悟1．圆的一般方程的特征：（1）2x 与2y 项的系数 ；（2） 含xy 项．2．求圆的方程时，可以求圆的标准方程，也可以求圆的一般方程：（1）当给出（或容易求出）圆心坐标、半径，一般用圆的 方程；（2）当上述条件不明显时，常用圆的 方程，3．求动点的轨迹方程就是建立动点的 的方程，关键是善于根据题目给出的条件找出等量关系列出等式．五、反馈导练1．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是（ ）A . 114m << B . 1m > C . 14m < D . 1m < 2．(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）A . 30x y +-=B . 30x y --=C . 260x y --=D . 260x y +-=3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A . 2B .C . 1D 4.△ABC 的三个顶点A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC 的外接圆方程是__ ___.5．已知圆C ：22(1)1x y -+=，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 .六、作业导习（课时活页作业二十五）。
人教A版高中数学必修二4.1.2《圆的一般方程》教案
4.1.2《圆的一般方程》教案一、教学目标知识与技能：1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；根据已知条件确定方程中的系数：D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.三、教学过程（一）问题导学问题1：方程x 2＋y 2-2x ＋4y ＋1=0表示什么图形？问题2：方程x 2＋y 2-2x+4y ＋5=0表示什么图形？问题3：方程x 2＋y 2-2x-4y ＋6=0表示什么图形？设计意图：通过对上述问题的讨论，教师提出下列问题，进入合作探究环节.（二）合作探究1、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0在什么条件下表示的圆？（1）当2240D E F +->时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 ；（2）当时 ，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 ； （3）当 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 ； 2、方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆 只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？2240D E F +-=2240D E F +-<3、当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？设计意图：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究, 掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．（三）典例分析例1、求过三点O （0，0），A （1，1），B （4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.思考：用待定系数法求圆方程的基本步骤是什么？（1）设圆方程 ；（2）列方程组；（3）求系数； （4）小结.例2、已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.设计意图：求轨迹方程的常用方法“设而不求”.（四）当堂检测1. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.A ．2m ≤ B.2m < C ．12m < D ．12m ≤2. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（ ）.A． B，(0,- C． D ．(2,2),53. 动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（ ）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4. 过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是 .（五）课堂小结从具体方程出发，探究方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示的图形，形成方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件，得到圆的一般方程， 利用待定系数法求圆的方程.220x y Dx Ey F ++++=。
人教数学必修24.1.2 圆的一般方程
一、内容及其解析（一）内容：圆的一般方程22220,(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->（二）解析：本节课是关于圆的一般方程的一节概念课，是高中新课改人教A 版教材数学必修2第四章的第二节课．在第三章学生已经学习了直线的一般方程。
本节首先给出了两个二次项系数相同的二元二次方程，思考这两个方程分别表示什么图形，从特殊到一般，进而让学生思考满足什么条件的二元二次方程表示圆，从而得到圆的一般方程。
1．本节是进一步对圆的方程进行探讨，是解决直线和圆的位置关系的基础。
2．本节的知识是建立在旧知识之上，是旧知识的应用和延伸。
3．采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
4．本节体现了类比的数学思想。
二、目标及其解析 （一）教学目标1．掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心和半径，会用待定系数法求圆的方程。
2．提高学生从特殊到一般的归纳概括能力，提升学生的数学语言表达和交流能力，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度。
3．体会方程、待定系数法、代入法等数学思想方法，感受用代数思想解决几何问题的优势。
（二）解析1．《课程标准》已明确提出掌握圆的一般方程，且圆的一般方程是为解决直线和圆的位置关系奠定基础，基于以上分析特提出此目标。
2．掌握圆的一般方程及其特点，主要是指能够判断一个二元二次方程是圆的一般方程，并且能够通过配方和公式得到圆的圆心和半径，掌握能够利用待定系数法求圆的方程，掌握什么时候用圆的标准方程，什么时候用圆的一般方程。
3．在圆的一般方程的探究中，进一步学习由特殊到一般，待定系数法等数学思想方法。
三、问题诊断分析同学在理解圆的一般方程的特点的过程中可能会遇到困难，具体表现在忽略D 、E 、F 所要满足的条件和二次项的系数要求，以及不知道什么时候用圆的一般方程什么时候用圆的标准方程。
因为并不是所有的二元二次方程都是圆的一般方程，圆的一般方程和标准方程各有各的特点。
人教A版高中数学必修2 第4章 圆与方程【导学案】
§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时a b==，则圆的方程就是222x y r+=探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M---是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-=B．22(1)(2)52x y+++= C．22(1)(2)52x y-+-=D．22(1)(2)52x y-++= 2.点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）. A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++= 4.圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1.已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2.已知圆2225x y+=求：⑴过点(4,3)A-的切线方程.⑵过点(5,2)B-的切线方程§4.1圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,22D E--为圆心为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2Dx =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）.A ．2m ≤ B.2m <C ．12m <D ．12m ≤2.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53.动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是.5.圆22450x y x +--=的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值为.1.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题例1用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程图2变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※动手试试练1.直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法1判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离2如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r <直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C D ．无解3已知直线l 过点(2,0)-当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A．(-B．(C．(44-D ．11(,)88-4.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5.圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为.1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=的点的坐标.2.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．一、课前准备（预习教材P 136~P 137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4.设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※动手试试练1.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2.求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2.两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（）.A．5B ．1C．5D ．23.两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是.5.两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方1.已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有. 2．圆224450x y x y++--=和圆2284x y x y+-+70+=的位置关系为. 3．过两圆22640x y x+--=和22628x y y++-0=的交点的直线方程.二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式?分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m=,拱高4OP m=,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱22A B的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※动手试试练1.求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2.讨论直线2y x =+与曲线y =的交点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则yx的最大值为（）A ．1B.33.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程.5.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．※学习探究（预习教材P 124~P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）例5求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1.求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2.由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（）.A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,63.已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（）.A ．10B.226- C.64 D.84.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5.圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1.从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3空间直线坐标系学习目标1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标学习过程一、课前准备（预习教材P142~P144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体OBCD D A B C''''-中，3,4OA OC== 2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C点为原点，以射线,,BC CD CC'方向分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M-，描出它在空间的位置例2V ABCD-为正四棱锥，O为底面中心，若2,3AB VO==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※动手试试练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2.已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64.已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，(3,7,5)C -则顶点D 的坐标.5.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是.1.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2.设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.一、课前准备（预习教材P 145~P 146，找出疑惑之处）1.平面两点的距离公式？2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=这一依据.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※典型例题例1求点P 1(1,0,-1)与P 2(4,3,-1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※动手试试练1.在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2.试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d =3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P的距离为，则点P 为（）.(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（）.A ．10BCD ．384．已知(3,5,7)A -(B -AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为.5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为.1.已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2.在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.一、课前准备（复习教材P124~P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为.⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z，2222(,,)P x y z，则两点间的距离为12PP=.⑶点(,,)M a b c关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy对称的点；⑵关于坐标平面yoz对称的点；⑶关于坐标平面xoz对称的点；⑷关于x轴对称的点；⑸关于y对轴称的点；⑹关于z轴对称的点.※典型例题例1求经过(2,4),(3,1)P Q--两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2在圆224x y+=上与直线43120x y+-=距离最短的点是.※动手试试练.求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）.A ．2B．1+C．2+D．1+3.2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）.A．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4.如果直线l 将圆22460x y x y +-+=坐标原点到直线l 的距离最大值为.5.若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是.1.讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2.已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
人教版高中数学必修二 导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程三维目标1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；2. 会用待定系数法求圆的一般方程；3. 会用坐标法求点的轨迹方程；4．体会代入消元的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么?(1)222210x y x y +-++=； (2) 054222=++-+y x y x ；(3) 064222=+-++y x y x问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是多少？【试试】1. 圆的一般方程： （ ）圆心坐标（ ， ），半径为 .【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k>1B.k<1C.1≥kD.k 1≤【学做思2】*1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．（1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程．【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
（学生小组讨论展示解题思路）【小结】求轨迹方程的一般步骤【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。
3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆．(1)求m 的取值范围；(2)圆心的轨迹方程.达标检测*1. 当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为( )(A) 04222=+-+y x y x (B) 04222=+++y x y x(C) 04222=-++y x y x (D) 04222=--+y x y x2. 判断下列方程分别表示什么图形?(1) 022=+y x (2) 064222=-+-+y x y x3. 求圆心在x 轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3)的圆的方程.4. 经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点的轨迹方程.5.已知点A(－1,1)，B(3,3)是⊙C的一条直径的两个端点，又点M在⊙C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程．。
市中学2014年高中数学 4.1.2 圆的标一般方程教案 新人教A必修2
某某省德宏州某某市芒市中学2014年高中数学 圆的标一般方程教案 新人教A 必修2一、内容及解析1、内容：运用解析法研究圆的一般方程2、解析：教材通过将二元二次方程x 2+y 2+D x +E y +F=0配方后化为(x +2D )2+(y +2F )2=4422F E D -+后只需讨论 D 2+E 2-4F ＞0、D 2+E 2-4F=0、D 2+E 2-4F ＜0.与圆的标准方程比较可知当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； 当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x =-2D ,y =-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E );当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.二、目标及解析 1、目标：（1）x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F=0表示圆的条件,通过对方程x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力. （2）.2、解析：圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.三、数学问题诊断分析同圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2含有三个待定系数a 、b 、r 一样,圆的一般方程x 2+y 2+D x +E y +F=0中也含有三个待定系数D 、E 、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都四、教学支持条件本节内容联系生活，应用广泛，数形结合，可以采取多样化的学生感兴趣的例子帮助学生分析掌握，若有条件可以利用多媒体教学。
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班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
1、 掌握圆的一般方程， 2、 会判断二元二次方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 是否是圆的一般方程， 能将圆的 一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径． 3、 会用代定系数法求圆的一般方程 【课前预习】 问题 1 ．已知一个圆的圆心坐标为 (1， 1) ，半径为 2 ，求圆的标准方程．
F 0 ( D 2 E 2 4F 0) 所表示的曲线关于直
） D． D E F
A． D E B． D F C． E F 3．求经过点 A(4， 1) ， B(6， 3) ， C (3， 0) 的圆的方程．
【课后巩固】
1．圆 x 2 y 2 4x 6 y 3 0 的圆心坐标和半径分别为 2．若方程 x 2 y 2 2x 4my 5m 0 表示的图形是圆，则 mБайду номын сангаас的取值范围是 3．圆 x 2 y 2 2 x 4 y 12 0 的圆心坐标和半径分别为
9．求过三点 A(1 ， 5) ， B(5， 5) ， C (6， 2) 的圆的方程．
10．求圆 x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 关于直线 x y 3 0 对称的圆的方程．
11．已知点 M ( x，y) 与两个顶点 O(0， 0) ， A(3， 0) 的距离之比为 标满足什么关系？画出满足条件的点 M 所形成的曲线．
例 2、 某圆拱梁的示意图如图所示， 该圆拱的跨度 AB 36 m ， 拱高 OP 6m ， 每隔 3m 需要一个支柱支撑，求支柱 A2 P2 的长（精确到 0.01m ） ．
y P A
P2 A2
B x
O
例 3、已知方程 x 2 y 2 2kx 4 y 3k 8 0 表示一个圆，求 k 的取值范围．
2 2
．
6．过点 M (1 ， 1) 且与已知圆 C ： x y 2x 4 y 3 0 的圆心相同的圆的方程 是 ． 2 2 7．若圆 x y 2 x 2by b 2 0 关于直线 x y 0 对称，则 b ． 8．过三 O(0， 0) ， M (1， 1) ， N (4， 2) 的圆的方程是 ．
2 2 2 2
． ．
．
4． 若圆 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0) 的圆心在直线 x y 0 上， 则 D 、 E 、 F 的关系有 ． 5．已知圆 x 2 y 2 4 x 4 0 的圆心是 P ， O 是坐标原点，则 PO
1 ，那么点 M 的坐 2
变式训练 ：若方程 x 2 y 2 2mx 2(m 1) y 2m 2 0 表示一个圆，且该圆的圆心 位于第一象限，求实数 m 的取值范围．
【学后反思】
课题：2.2.1 圆的一般方程检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】
1．下列方程各表示什么图形？ （1） ( x 1) 2 ( y 2) 2 0 ； （2） x 2 y 2 2x 4 y 4 0 ； （3） x 2 y 2 4 x 0 ； （4） x 2 y 2 2ax b 2 0 ； （5） x 2 y 2 4x 2 y 5 0 ． 2．如果方程 x 2 y 2 Dx Ey 线 y x 对称，那么必有（
2．若方程 x 2 y 2 Dx Ey
F 0 表示圆的一般方程，有什么要求？
【课堂研讨】 例 1、已知 ABC 的顶点坐标 A(4， 3) ， B(5， 2) ，C (1 ， 0) ，求 ABC 外接圆的方程．
变式训练 ：已知 ABC 的顶点坐标 A(1 ， 1) 、 B(3， 1) 、 C (3， 3) ，求 ABC 外接圆的 方程．
问题 2 ．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？ 如 ABC 的顶点坐标 A(4， 3) ， B(5， 2) ， C (1 ， 0) ，求 ABC 外接圆方程． 这道题怎样求？有几种方法？ 问题 3 ．要求问题 2 也就意味着圆的方程还有其它形式？ 1．圆的一般方程的推导过程．