数学概览课程 第五章 欧拉和欧拉的数学直觉
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计算: C60分子中形状为五边形和六边形的面 各有多少？
解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子 这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E= (3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E= （5x+6y）/2
因此
60 90 (x y) 2
5x
2
欧拉与欧拉的数学直觉
在数学史上，17世纪被誉为天才的世纪，杰出的代表是创立微 积分的牛顿和莱布尼茨。18世纪被称为是英雄的世纪，欧洲几乎 所有的数学家都对微积分表现出极大的兴趣，对传统的批判，对 新方法的追求，对新领域的开拓，使他们共同谱写了一曲数学史 上的“英雄交响曲”，而其中最杰出的代表被称为“分析的化身 ”、“无与伦比的算法学家”、“应用数学大师”的是莱昂德 欧 拉。
1724年，师从约翰·伯努利的年青数学家欧拉利用类比的数学方 法一举解决了当时与费马（Fermat）大定理齐名的困扰数学家百年 之久的自然数平方的倒数之和问题，完成了其导师的心愿。
正是由于欧拉第一个解出自然数平方的倒数之和，固其也被称 为欧拉和。
下面给出欧拉关于自然数平方的倒数之和的证明方法，赏析其中 类比方法的巧妙应用。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点 例如去掉 CA ，就减少一个顶点C ，同理，去掉 D A就减少 一个顶点 D ，最后剩下A B
二、欧拉的数学直觉几个例题
1．对哥德巴赫猜想和费马猜想的判断
1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了关于正整数和 素数之和间的两个猜想，用现在比较确切的表述是：
顶点数V
4 8 6 20
规律：V+F-E=2
（3） 面数F 4 6 8 12
(4) 棱数E 6 12 12
30
讨论
问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5) 图形编号 （5） （6） （7）
(6) 顶点数V
5 7 12
面数F
(7) 棱数E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
8
8
12
12
24
多面体 简单多面体
欧拉大胆的猜想，从严格的逻辑角度看，他的解法是没有根据 的。他把代数方程的法则应用到非线性方程上去了，这在逻辑上 是不允许的。但类比告诉他可以这样做。他的工作已经深入到了 一个新的领域，这个领域就是几年后他命名的“无穷小分析”。 类比的数学思想为他进一步研究无穷级数，研究微积分打开了一 扇门。
三、直觉及其在科学发展中的作用
6y
90
(1) (2)
解方程（1）和（2）组成的方程组， 得 x=12 ， y=20
于是我们可知，C60 分子中有12个五边形，20个六边形
小结 欧拉公式
V+F-E=2
猜想
空间问题平面化
证 明
应用
证明： 简单多面体中 V+F-E =2
假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面 ，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平 面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平 面上的网络中V+F-E=1．所以凸多面体中V+F-E=2
瑞士数学家和物理学家，近代数 学先驱之一。1707年生于瑞士的巴 塞尔，13岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16岁获硕士学位。
19岁开始发表论文，平均每年写 出八百多页的论文，半个多世纪写下 了浩如烟海的书籍和论文，如今几乎 每一个数学领域都可以看到欧拉的名 字。
欧拉是一位数学神童。
莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler 1707.4.15－1783.9.18）
1．医生叩诊是怎么发现的
2.长途传输电报信号衰减问题的解决 3.内燃机汽化器的发明 4.天熊式锅炉的发明 5.万有引力定律的发现
三、数学直觉及其培养
1.数学直觉的作用 2.演绎、类比与归纳 3.经验与直觉 5.让左右脑协调发展
从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧 拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方 程的欧拉方程，级数论中的欧拉常数等。欧拉是有史以来最多遗 产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数 学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。
《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都 成为数学中的经典著作。
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
简单多面体 V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家． C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个 多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为 五边形或六边形两种．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
顶点数V
边数E
面数F
(1)
(2)
(3)
(4)
V顶点数 E边数 F面数 V-E+F
图（1）
2
2
1
1
图（2）
6
5
0
1
图（3）
4
7
4
1
图（4）
6
9
4
1
证明猜想：V+F-E =1 (1)网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了 1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F 保持不变。 (2)如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边 同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的 步骤后，V-E+F也保持不变 (3) 现在假定从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪 去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络， 这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立。
1 12
1 22
1 32
1 42
这一级数求解始终未能解决。
瑞士伯努利家族两兄弟，雅克布·伯努利（Jacob Bernoulli）和 约翰·伯努利(Johann Bernoulli)求解过几个无穷级数的和，但是他们 不会求自然数平方的倒数之和。他们知道这个级数是收敛的，并求 得其值小于2。雅克布说：“假如有人能够求出这个我们直到现在 还没有求出的和，并通知我们，我们将会很感激他。”
2．寻求正整数平方的倒数之和
微积分的创立，被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”。
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。欧拉在1748年出
版的《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》
和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。而18世纪至今，
无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。当时，
人们对自然数平方的倒数之和，即
他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。他作为数学教 授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。
在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他 还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。
欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他 给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家 把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。
推证过程中，欧拉首先利用有限次方程的根与系数的关系，将 有限次方程与无限次方程进行类比；
再将形式上只有有限项的三角方程
sin x 0
与无限项的
x x3 x5 0 3! 5!
类比；最后类比无限次方程和有限次方程的根与系数的关系， 求解出无穷级数自然数平方的倒数之和。
类比法只能作为解题的一种思路，真正的解决问题需要严格的 证明。欧拉在类比解出自然数平方的倒数之和后同样以怀疑的态 度对该问题进行进一步的检验求证，他发现用多种方法核算的结 果都一致。10年后，他最终找到了严格的证明方法。
2.正多面体。 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点 都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、 正十二面体、正二十面体
正多面体的展开图
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1） （2） （3） （4）
欧拉类比求解
求解过程
欧拉利用类比方法求和，主要用到两点知识，一是多项式的
根与系数的关系，一是正弦函数的泰勒（Taylor）展开式。
由多项式的根与系数的关系：
对一次方程
a0
a1x
a0 (1
a1 a0
x)
0.
欧拉成功解决了无穷级数自然数平方的倒数之和，这是应用 类比的数学思想解决未知问题的一个经典例子。类比是指由一类 事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属 性的一种推理方法。类比法是一种从一般到特殊的推理方法，其 结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。 波利亚（George Polya）认为“类比就是一种相似”。拉普拉斯 （Laplace）说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归 纳和类比。”类比法在解数学问题的作用可见一斑。
一、正多面体与欧拉定理
1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线 段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫 做网络的顶点。
在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个 点，两点间又有几条线段连接。
网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。
观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规 律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数 ）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。
（1）每个不小于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和； （2）每个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。 1742年6月30日，欧拉回信说，我认为这是一个肯定的定理， 尽管我还不能证出来。 1966年，我国数学家陈景润证明了其中一个定理。
1637年费马提出的猜想。 欧拉认为这是一个正确的命题，并在1753年8月4日给哥德巴赫 的信中说，他已证明了n=3时命题成立，这个命题已于1994年被证 明。 上述两个猜想，欧拉虽然没能证明，但他断言是正确的，这无 疑坚定了后人攻克它们的信心。
解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子 这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E= (3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E= （5x+6y）/2
因此
60 90 (x y) 2
5x
2
欧拉与欧拉的数学直觉
在数学史上，17世纪被誉为天才的世纪，杰出的代表是创立微 积分的牛顿和莱布尼茨。18世纪被称为是英雄的世纪，欧洲几乎 所有的数学家都对微积分表现出极大的兴趣，对传统的批判，对 新方法的追求，对新领域的开拓，使他们共同谱写了一曲数学史 上的“英雄交响曲”，而其中最杰出的代表被称为“分析的化身 ”、“无与伦比的算法学家”、“应用数学大师”的是莱昂德 欧 拉。
1724年，师从约翰·伯努利的年青数学家欧拉利用类比的数学方 法一举解决了当时与费马（Fermat）大定理齐名的困扰数学家百年 之久的自然数平方的倒数之和问题，完成了其导师的心愿。
正是由于欧拉第一个解出自然数平方的倒数之和，固其也被称 为欧拉和。
下面给出欧拉关于自然数平方的倒数之和的证明方法，赏析其中 类比方法的巧妙应用。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点 例如去掉 CA ，就减少一个顶点C ，同理，去掉 D A就减少 一个顶点 D ，最后剩下A B
二、欧拉的数学直觉几个例题
1．对哥德巴赫猜想和费马猜想的判断
1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了关于正整数和 素数之和间的两个猜想，用现在比较确切的表述是：
顶点数V
4 8 6 20
规律：V+F-E=2
（3） 面数F 4 6 8 12
(4) 棱数E 6 12 12
30
讨论
问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5) 图形编号 （5） （6） （7）
(6) 顶点数V
5 7 12
面数F
(7) 棱数E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
8
8
12
12
24
多面体 简单多面体
欧拉大胆的猜想，从严格的逻辑角度看，他的解法是没有根据 的。他把代数方程的法则应用到非线性方程上去了，这在逻辑上 是不允许的。但类比告诉他可以这样做。他的工作已经深入到了 一个新的领域，这个领域就是几年后他命名的“无穷小分析”。 类比的数学思想为他进一步研究无穷级数，研究微积分打开了一 扇门。
三、直觉及其在科学发展中的作用
6y
90
(1) (2)
解方程（1）和（2）组成的方程组， 得 x=12 ， y=20
于是我们可知，C60 分子中有12个五边形，20个六边形
小结 欧拉公式
V+F-E=2
猜想
空间问题平面化
证 明
应用
证明： 简单多面体中 V+F-E =2
假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面 ，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平 面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平 面上的网络中V+F-E=1．所以凸多面体中V+F-E=2
瑞士数学家和物理学家，近代数 学先驱之一。1707年生于瑞士的巴 塞尔，13岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16岁获硕士学位。
19岁开始发表论文，平均每年写 出八百多页的论文，半个多世纪写下 了浩如烟海的书籍和论文，如今几乎 每一个数学领域都可以看到欧拉的名 字。
欧拉是一位数学神童。
莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler 1707.4.15－1783.9.18）
1．医生叩诊是怎么发现的
2.长途传输电报信号衰减问题的解决 3.内燃机汽化器的发明 4.天熊式锅炉的发明 5.万有引力定律的发现
三、数学直觉及其培养
1.数学直觉的作用 2.演绎、类比与归纳 3.经验与直觉 5.让左右脑协调发展
从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧 拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方 程的欧拉方程，级数论中的欧拉常数等。欧拉是有史以来最多遗 产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数 学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。
《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都 成为数学中的经典著作。
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
简单多面体 V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家． C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个 多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为 五边形或六边形两种．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
顶点数V
边数E
面数F
(1)
(2)
(3)
(4)
V顶点数 E边数 F面数 V-E+F
图（1）
2
2
1
1
图（2）
6
5
0
1
图（3）
4
7
4
1
图（4）
6
9
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1
证明猜想：V+F-E =1 (1)网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了 1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F 保持不变。 (2)如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边 同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的 步骤后，V-E+F也保持不变 (3) 现在假定从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪 去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络， 这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立。
1 12
1 22
1 32
1 42
这一级数求解始终未能解决。
瑞士伯努利家族两兄弟，雅克布·伯努利（Jacob Bernoulli）和 约翰·伯努利(Johann Bernoulli)求解过几个无穷级数的和，但是他们 不会求自然数平方的倒数之和。他们知道这个级数是收敛的，并求 得其值小于2。雅克布说：“假如有人能够求出这个我们直到现在 还没有求出的和，并通知我们，我们将会很感激他。”
2．寻求正整数平方的倒数之和
微积分的创立，被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”。
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。欧拉在1748年出
版的《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》
和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。而18世纪至今，
无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。当时，
人们对自然数平方的倒数之和，即
他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。他作为数学教 授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。
在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他 还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。
欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他 给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家 把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。
推证过程中，欧拉首先利用有限次方程的根与系数的关系，将 有限次方程与无限次方程进行类比；
再将形式上只有有限项的三角方程
sin x 0
与无限项的
x x3 x5 0 3! 5!
类比；最后类比无限次方程和有限次方程的根与系数的关系， 求解出无穷级数自然数平方的倒数之和。
类比法只能作为解题的一种思路，真正的解决问题需要严格的 证明。欧拉在类比解出自然数平方的倒数之和后同样以怀疑的态 度对该问题进行进一步的检验求证，他发现用多种方法核算的结 果都一致。10年后，他最终找到了严格的证明方法。
2.正多面体。 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点 都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、 正十二面体、正二十面体
正多面体的展开图
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1） （2） （3） （4）
欧拉类比求解
求解过程
欧拉利用类比方法求和，主要用到两点知识，一是多项式的
根与系数的关系，一是正弦函数的泰勒（Taylor）展开式。
由多项式的根与系数的关系：
对一次方程
a0
a1x
a0 (1
a1 a0
x)
0.
欧拉成功解决了无穷级数自然数平方的倒数之和，这是应用 类比的数学思想解决未知问题的一个经典例子。类比是指由一类 事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属 性的一种推理方法。类比法是一种从一般到特殊的推理方法，其 结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验。 波利亚（George Polya）认为“类比就是一种相似”。拉普拉斯 （Laplace）说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归 纳和类比。”类比法在解数学问题的作用可见一斑。
一、正多面体与欧拉定理
1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线 段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫 做网络的顶点。
在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个 点，两点间又有几条线段连接。
网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。
观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规 律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数 ）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。
（1）每个不小于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和； （2）每个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。 1742年6月30日，欧拉回信说，我认为这是一个肯定的定理， 尽管我还不能证出来。 1966年，我国数学家陈景润证明了其中一个定理。
1637年费马提出的猜想。 欧拉认为这是一个正确的命题，并在1753年8月4日给哥德巴赫 的信中说，他已证明了n=3时命题成立，这个命题已于1994年被证 明。 上述两个猜想，欧拉虽然没能证明，但他断言是正确的，这无 疑坚定了后人攻克它们的信心。