05大学物理答案

第五章 机械振动

5–17 若谐振动方程为m 4ππ20cos 1.0⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=t x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和

初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度。

解：已知振动方程为⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=4ππ20cos 1.0t x ，由振动方程可计算此题。

（1）振幅：A =0.1m ，角频率：π20=ωrad/s ，频率：Hz 10π

2==ω

f ，

周期：s 1.01

==ν

T ，

初相：4

π

=

ϕ。 （2）s 2=t 时，位移为

m 1007.74πcos 1.04ππ40cos 1.02-⨯==⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=t x

速度为

s /m 44.44πsin π24ππ40sin π2-=-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-=t v

加速度为

222m /s 2804πcos π404ππ40cos π40-=-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-=t a

5–18 一质量为2100.1-⨯kg 的物体作谐振动，其振幅为2104.2-⨯m ，周期为4.0s ，当0=t 时，位移为2104.2-⨯m ，求：

（1）在0.5=t s 时，物体所在位置和物体所受的力；

（2）由起始位置运动到2102.1-⨯-=x m ，所需要的最短时间。 解：（1）设物体的振动方程为()ϕω+=t A x cos 。因

2104.2-⨯=A m ，2

π

π2==

T ωrad/s 0=t 时，位移为2104.2-⨯m ，所以初相位0=ϕ。所以振动方程为

)2

π

cos(104.22t x -⨯=

当0.5=t s 时，物体所在位置为

m 107.14

π

cos

104.222--⨯=⨯=x 。 物体所受的力为

N 102.442-⨯-=-=-=x m kx f ω

（2）由旋转矢量表示法可画出旋转矢量图（图5–9），由此可得从起始位置运动到2102.1-⨯-=x m 时，相位差为π3

2

=∆φ，所以所需要的最短时间为

图5-9

s 33.1342

ππ

32min ===∆=ωφt

5–19 如图5-10，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k =24N/m ，重物的质量m =6kg ，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F =10N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了x 0=0.05m ，此时撤去力F 。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。

解：设物体的振动方程为)cos(ϕω+=t A x 。由题给条件得

rad/s 2==

m

k

ω 由于重物运动到左方最远位置时才开始计时，因此初相位π=ϕ。

选重物在平衡位置O 点为初状态，重物运动到左端最远位置处时为末状态，则在这个过程中，由功能原理，外力F 所作的功等于系统机械能的增量，即有

202

1kA Fx =

所以

m 204.0=A

所以振动方程为

(SI)π)2cos(204.0+=t x

5–20 由质量为M 的木块和倔强系数为k 的轻质弹簧组成一在光滑水平台上运动的谐振子，如图5-11所示，开始时木块静止在O 点，一质量为m 的子弹以速率0v 沿水平方向射入木块并嵌在其中，然后木块（内有子弹）作谐振动，若以子弹射入木块并嵌在木块中时开始计时，试写出系统的振动方程，取x 轴如图。

解：设嵌入子弹的木块的振动方程为)cos(ϕω+=t A x 。嵌入子弹的木块作简谐振动的圆频率为

m

M k

+=

ω

设子弹嵌入木块时与木块的共同速度为v ，子弹射入木块前后木块与子弹组成的系统动量守恒，有

v v )(0m M m +=-

得

m

M m +-

=0

v v 由题意知振子的初始条件为：当0=t 时，0=x ，振子的初速度为v ，由此可得

0cos =ϕA （1）

m

M m A +-

=-0

sin v ϕω （2） 图5-10

（a （b 图5-11

x

m M v 0

k

O

由（1）式得2

π

±

=ϕ，由（2）式知sin ϕ＞0，因此振子的初相位应为 2

π=

ϕ 振幅为

ω

)(0

m M m A +=

v

所以系统的振动方程为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=

2πcos )(0t m M k m M m x ωv 5–23 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动，已知氢原子的质量kg 1068.127-⨯=m ，振动频率Hz 100.114⨯=ν，振幅m 100.111-⨯=A ，试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量。

解：（1）氢原子的圆频率为

141028.6π2⨯==νωrad/s

最大速度为

3m 1028.6⨯==A ωv m/s

（2）氢原子的能量为

202

m 1032.32

1-⨯==

v m E J 5–24 一物体质量为m =0.25kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k =25N/m ，如果起始时刻物体的位置和速度均为正，且振动系统的初动能为0.02J ，弹簧的势能为0.06J 。求：

（1）物体的振动方程； （2）动能恰等于势能时的位移； （3）经过平衡位置时物体的速度。 解：（1）设物体的振动方程为

)cos(ϕω+=t A x （1）

振动物体的角频率为

1025

.025

===

m k ωrad/s （2） 振动物体的机械能为

J 08.02

12

p k ==

+=kA E E E 式中k E 表示振动物体的动能，p E 表示振动物体的势能，所以简谐振动的振幅为

08.025

16.008.0====

k k E A m （3） 当0=t 时，有

J 02.02

12

0==

v m E k