第三章透镜组
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' ' '
焦距为 f 2 = H 2 F 2 ，像方焦点为 f 2 = H 2 F2 ，两个系统的光学间隔定义为 Δ = F1 F2 ，两
' ' ' '
个系统之间的距离定义为 d = H 1 H 2 ，如图 3-13 所示。
'
图 3-13 两个共轴球面系统的组合系统
组合系统的第一焦距为 f = HF =
第三章 透镜组
第三章
透镜组
透镜是光学系统中最常用的光学元件， 单透镜是一种最简单的光学系统， 为了提高光学 系统的性能，通常将光学系统复杂化，即使用双胶合透镜、三胶合透镜或多个透镜的透镜组 构成光学系统。本章学习如何计算透镜组的光学参数。 §3.1 共轴球面光学系统 现有的各种光学镜头中， 绝大部分镜片的光学表面是球面或平面， 平面可以看作是曲率 半径无穷大的球面， 因此， 我们把这种光学元件表面都是球面的光学系统称为球面光学系统。 如果一个光学系统中所有球面的球心都位于同一条直线上， 则称这一系统为共轴光学系 统。 如果共轴光学系统中每个光学表面都是球面，则称之为共轴球面光学系统。 在分析和研究实际共轴光学系统的成像特性时，为便于用规范的参数描述，通常定义 6 个基点：第一焦点（物方焦点）F、第二焦点（像方焦点）F’、第一主点（物方主点）H、 第二主点（像方主点）H’，第一节点（物方节点） 、第二节点（像方节点） 。 根据光学系统中每个元件的参数（曲率半径、中心厚度、折射率）及各元件的光学间隔 可以计算光学系统 6 个基点的位置，用这些基点可以非常方便地计算物像关系。 第一焦点（物方焦点）F 光学系统的光轴上存在一点，通过该点的入射近轴同心光束，经过光学系统变换后，若 光线在像空间以平行光轴的方向出射， 则物空间的这一点称为该光学系统的第一焦点 （物方 焦点）F，如图 3-1 所示。过 F 点并且与光轴垂直的平面称为第一焦平面，或物方焦平面。 第二焦点（像方焦点）F’ 在光学系统中， 从物方空间以平行光轴的方向入射近轴同心光束， 经过共轴球面光学系 统的变换， 若在像空间所有光线都交于光轴上的一点， 则该点称为这个光学系统的第二焦点 （像方焦点）F’，如图 3-2 所示。过 F’点并且与光轴垂直的平面称为第二焦平面，或像方焦 平面。
图 3-6 证明高斯公式在复杂共轴球面光学系统计算中仍然适用
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第三章 透镜组
− f HC = −l HA BD f' ∵ΔBDE∽ΔBH’F’， ∴ = BH ' l ' f f ' HC BD ∴ + = + =1 l l ' HA BH '
∵ΔCFH∽ΔASH，∴ 牛顿公式 在已知共轴球面光学系统基点的情况下，仍可用牛顿公式计算物像关系
(3-2)
−
对于系统 II，按牛顿公式
' f ' f 2' + x2 = f1' Δ − f 2
' − Δ ⋅ x2 = f 2 ⋅ f 2'
改写为
' x2 =−
f 2 f 2' Δ
代入式(3-2)
f 2 f 2' f 2' (Δ − f 2 ) f' Δ Δ − ' = = f1 Δ − f2 Δ − f2 f 2' − f' =− f1' f 2' Δ
(3-3)
即
同理可以求得合成系统的物方焦距
f =
f1 f 2 Δ
(3-4)
系统II的第二主点H’2到合成系统第二主点的距离
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第三章 透镜组
' ' xH = f 2' + x2 − f ' = f 2' + (−
f 2 f 2' f'f' Δ − f 2 + f1' ) − (− 1 2 ) = f 2' Δ Δ Δ d ' Q d = f1' + Δ − f 2， ∴ xH = f 2' Δ x H = f1 d Δ
(3-8)
φ=
n2 n2 (d − f1' + f 2 ) n2 n2 f 2 n2 d n n n d n = = ' − ' ⋅ ' − ' ' = φ 2 − 2' ⋅ (− ) − 2' ⋅ ' ⋅ ' ' ' ' f f − f1 f 2 f 2 f1 f 2 f 1 f 2 f1 n2 f 2 f1 n (− 1 2 ) Δ d = φ1 + φ2 − φ1φ2 n n2 = f'
(3-5) (3-6) (3-7)
同理，从系统I的第一主点H1到合成系统第一主点H的距离为
组合系统的光焦度φ 设两个系统的光焦度分别为φ1和φ2，间距为d，光学间隔为 Δ = d − f1 + f 2 ，两个光
'
学系统之间介质的折射率为n，则组合系统的光焦度为
φ = φ1 + φ 2 −
证明
d φ1φ2 n
图 3-1 光学系统的物方焦点
图 3-2 光学系统的像方焦点
第一主点（物方主点）H 在光学系统中，过第一焦点 F 的入射近轴同心光束经过系统变换，若出射光与光轴平 行， 则入射光线延长线与出射光线反向延长线的交点所确定的平面称为该光学系统的第一主 平面（物方主平面） ，该平面与光轴的交点称为第一主点（物方主点）H，如图 3-3 所示。 因为光束关于光轴对称，所以第一主平面与光轴垂直。 第二主点（像方主点）H’ 在光学系统中，入射平行于光轴的近轴光线，经过光学系统的变换后，若形成通过第二 焦点 F’的同心光束，则入射光线延长线与出射光线反向延长线的交点所确定的平面称为该 光学系统的第二主平面（像方主平面） ，该平面与光轴的交点称为第二主点（像方主点）H’， 如图 3-4 所示。同样因为光束关于光轴对称，第二主平面也与光轴垂直。 主平面的性质 入射光线在物方主平面上的高度与出射光线在像方主平面上的高度相等。
图 3-3 光学系统的物方主点
图 3-4 光学系统的像方主点
图 3-5 证明主平面的性质
高斯公式 在已知共轴球面光学系统基点的情况下，仍可用高斯公式计算物像关系
f f' + =1 l l'
其中物距 l 是从 H 点到轴上物点的距离，像距 l’是从 H’点到轴上像点的距离 证明 如图 3-6 所示，轴上物点 S 发出斜光线 SA，交第一主平面于 A 点，物距为-l，经过光 学系统变换后出射光线为 BS’，根据主平面的性质，HA=H’B。辅助光线为 FC，FC∥SA， 根据第一焦点的定义，辅助光线 FC 经过光学变换后出射平行光 DE，HC=H’D。
x ⋅ x' = f ⋅ f '
证明 光路如图 3-7 所示，∵ΔABF∽ΔHEF，∴
y' − f = −y −x y' x' = −y f'
∵ΔCDF’∽ΔQH’F’，∴
∴ x ⋅ x' = f ⋅ f '
图 3-7 证明牛顿公式
第一节点（物方节点 N）和第二节点（像方节点 N’） 共轴球面系统的光轴上一定存在这样唯一的点对 N 和 N’，通过 N 的入射光线经过系统 变换后，一定从 N’点出射，且出射光线与入射光线平行，如图 3-8 所示。N 点称为第一节 点或物方节点，N’点称为第二节点或像方节点。
图 3-10 第二条特殊光线
③ 过第一节点 N 的入射光线，从第二节点 N’以相同的角度出射，如图 3-11 所示。
图 3-11 第三条特殊光线
用以上三条光线中的任意两条就可以确定像点的位置。 对任意斜光线， 也可以通过作图 确定成像光线，具体作图方法如图 3-12 所示。 对于任意斜光线 SA，作辅助光线 FB，使 FB∥SA，将光线 SA 和光线 FB 看作光心位 于无穷远的同心光束中的两条光线，其中 F 点为光学系统的第一焦点，根据第一焦点的定 义，绘制光线 FB 的像：过第二主平面上与 B 点等高的 C 点画水平线 CD，交第二焦平面于 D，考虑理想光学系统对同心光束所成的像仍然是同心光束，光线 SA 的像必然与光线 CD 交于 D，根据主平面的性质，AH=EH’，光线 SA 的像为 ED。
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第三章 透镜组
证明 如图 3-5 所示，点光源 S 发出任意角度的斜光线，与光学系统的第一主平面相交，过该 交点作两条辅助光线，一条与光轴平行，另一条过物方焦点 F，根据同心光束的定义，如果 光学系统能对同心光束成完善像， 则经过光学系统变换后的光束仍然是同心光束； 考虑两条 辅助光线，与光轴平行的光线经过光学系统变换后应该通过像方焦点 F’，过物方焦点 F 的 光线经过光学系统变换后，出射平行光，这两条辅助光线的出射光线相交于第二主平面上， 并且与入射同心光束光心高度相同，所以 S 点发出斜光线交于第一主平面的高度与出射光 线交于第二主平面的高度相等。
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图 3-12 对任意斜光线的作图
§3.2 厚透镜成像公式 设两个共轴球面系统的基点、光学间隔、系统外部折射率已知，两个系统共轴，则可求 出组合系统的四个基点 F、F’、H、H’。 按照定义，系统 I 的物方焦距为 f 1 = H 1 F 1 ， 像方焦点为 f 1 = H 1 F1 ，系统 II 的物方
图 3-8 光学系统的物方节点和像方节点
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作图法 经常用三条特殊光线作图 ① 平行光轴入射的光线从第二主平面折向第二焦点 F’，如图 3-9 所示。
图 3-9 第一条特殊光线
② 过第一焦点 F 的光线入射到第一主面，从第二主面上高度相等的位置沿平行光轴 的方向出射，如图 3-10 所示。
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f1 f 2 f'f' ，第二焦距为 f ' = H ' F ' = − 1 2 ，第一主 Δ Δ
点 H 的位置为 x H = H 1 H =
f1 d f 'd ' ' ，第二主点 H’的位置为 x H = H2 H' = 2 Δ Δ
证明 根据图 3-14 中的几何关系，有
⎧ h1 = f1'u1' = (− f ' )(−u ' ) ⎨ ' ' ' ⎩− h2 = (Δ − f 2 )u 2 = ( f 2 + x2 )(−u 2 )
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图 3-14 组合光学系统中的几何关系
改写为
⎧ u1' f' =− ' ⎪ ⎪ − u' f1 ⎨ ' ' ⎪ u 2 = f 2 + x2 ' ⎪ Δ − f2 ⎩ − u2 u = u2， − u = −u
' 1 ' 2 '
(3-1)
由角度关系 故
知
u u1' = 2' 'Biblioteka Baidu− u − u2
焦距为 f 2 = H 2 F 2 ，像方焦点为 f 2 = H 2 F2 ，两个系统的光学间隔定义为 Δ = F1 F2 ，两
' ' ' '
个系统之间的距离定义为 d = H 1 H 2 ，如图 3-13 所示。
'
图 3-13 两个共轴球面系统的组合系统
组合系统的第一焦距为 f = HF =
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第三章
透镜组
透镜是光学系统中最常用的光学元件， 单透镜是一种最简单的光学系统， 为了提高光学 系统的性能，通常将光学系统复杂化，即使用双胶合透镜、三胶合透镜或多个透镜的透镜组 构成光学系统。本章学习如何计算透镜组的光学参数。 §3.1 共轴球面光学系统 现有的各种光学镜头中， 绝大部分镜片的光学表面是球面或平面， 平面可以看作是曲率 半径无穷大的球面， 因此， 我们把这种光学元件表面都是球面的光学系统称为球面光学系统。 如果一个光学系统中所有球面的球心都位于同一条直线上， 则称这一系统为共轴光学系 统。 如果共轴光学系统中每个光学表面都是球面，则称之为共轴球面光学系统。 在分析和研究实际共轴光学系统的成像特性时，为便于用规范的参数描述，通常定义 6 个基点：第一焦点（物方焦点）F、第二焦点（像方焦点）F’、第一主点（物方主点）H、 第二主点（像方主点）H’，第一节点（物方节点） 、第二节点（像方节点） 。 根据光学系统中每个元件的参数（曲率半径、中心厚度、折射率）及各元件的光学间隔 可以计算光学系统 6 个基点的位置，用这些基点可以非常方便地计算物像关系。 第一焦点（物方焦点）F 光学系统的光轴上存在一点，通过该点的入射近轴同心光束，经过光学系统变换后，若 光线在像空间以平行光轴的方向出射， 则物空间的这一点称为该光学系统的第一焦点 （物方 焦点）F，如图 3-1 所示。过 F 点并且与光轴垂直的平面称为第一焦平面，或物方焦平面。 第二焦点（像方焦点）F’ 在光学系统中， 从物方空间以平行光轴的方向入射近轴同心光束， 经过共轴球面光学系 统的变换， 若在像空间所有光线都交于光轴上的一点， 则该点称为这个光学系统的第二焦点 （像方焦点）F’，如图 3-2 所示。过 F’点并且与光轴垂直的平面称为第二焦平面，或像方焦 平面。
图 3-6 证明高斯公式在复杂共轴球面光学系统计算中仍然适用
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第三章 透镜组
− f HC = −l HA BD f' ∵ΔBDE∽ΔBH’F’， ∴ = BH ' l ' f f ' HC BD ∴ + = + =1 l l ' HA BH '
∵ΔCFH∽ΔASH，∴ 牛顿公式 在已知共轴球面光学系统基点的情况下，仍可用牛顿公式计算物像关系
(3-2)
−
对于系统 II，按牛顿公式
' f ' f 2' + x2 = f1' Δ − f 2
' − Δ ⋅ x2 = f 2 ⋅ f 2'
改写为
' x2 =−
f 2 f 2' Δ
代入式(3-2)
f 2 f 2' f 2' (Δ − f 2 ) f' Δ Δ − ' = = f1 Δ − f2 Δ − f2 f 2' − f' =− f1' f 2' Δ
(3-3)
即
同理可以求得合成系统的物方焦距
f =
f1 f 2 Δ
(3-4)
系统II的第二主点H’2到合成系统第二主点的距离
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' ' xH = f 2' + x2 − f ' = f 2' + (−
f 2 f 2' f'f' Δ − f 2 + f1' ) − (− 1 2 ) = f 2' Δ Δ Δ d ' Q d = f1' + Δ − f 2， ∴ xH = f 2' Δ x H = f1 d Δ
(3-8)
φ=
n2 n2 (d − f1' + f 2 ) n2 n2 f 2 n2 d n n n d n = = ' − ' ⋅ ' − ' ' = φ 2 − 2' ⋅ (− ) − 2' ⋅ ' ⋅ ' ' ' ' f f − f1 f 2 f 2 f1 f 2 f 1 f 2 f1 n2 f 2 f1 n (− 1 2 ) Δ d = φ1 + φ2 − φ1φ2 n n2 = f'
(3-5) (3-6) (3-7)
同理，从系统I的第一主点H1到合成系统第一主点H的距离为
组合系统的光焦度φ 设两个系统的光焦度分别为φ1和φ2，间距为d，光学间隔为 Δ = d − f1 + f 2 ，两个光
'
学系统之间介质的折射率为n，则组合系统的光焦度为
φ = φ1 + φ 2 −
证明
d φ1φ2 n
图 3-1 光学系统的物方焦点
图 3-2 光学系统的像方焦点
第一主点（物方主点）H 在光学系统中，过第一焦点 F 的入射近轴同心光束经过系统变换，若出射光与光轴平 行， 则入射光线延长线与出射光线反向延长线的交点所确定的平面称为该光学系统的第一主 平面（物方主平面） ，该平面与光轴的交点称为第一主点（物方主点）H，如图 3-3 所示。 因为光束关于光轴对称，所以第一主平面与光轴垂直。 第二主点（像方主点）H’ 在光学系统中，入射平行于光轴的近轴光线，经过光学系统的变换后，若形成通过第二 焦点 F’的同心光束，则入射光线延长线与出射光线反向延长线的交点所确定的平面称为该 光学系统的第二主平面（像方主平面） ，该平面与光轴的交点称为第二主点（像方主点）H’， 如图 3-4 所示。同样因为光束关于光轴对称，第二主平面也与光轴垂直。 主平面的性质 入射光线在物方主平面上的高度与出射光线在像方主平面上的高度相等。
图 3-3 光学系统的物方主点
图 3-4 光学系统的像方主点
图 3-5 证明主平面的性质
高斯公式 在已知共轴球面光学系统基点的情况下，仍可用高斯公式计算物像关系
f f' + =1 l l'
其中物距 l 是从 H 点到轴上物点的距离，像距 l’是从 H’点到轴上像点的距离 证明 如图 3-6 所示，轴上物点 S 发出斜光线 SA，交第一主平面于 A 点，物距为-l，经过光 学系统变换后出射光线为 BS’，根据主平面的性质，HA=H’B。辅助光线为 FC，FC∥SA， 根据第一焦点的定义，辅助光线 FC 经过光学变换后出射平行光 DE，HC=H’D。
x ⋅ x' = f ⋅ f '
证明 光路如图 3-7 所示，∵ΔABF∽ΔHEF，∴
y' − f = −y −x y' x' = −y f'
∵ΔCDF’∽ΔQH’F’，∴
∴ x ⋅ x' = f ⋅ f '
图 3-7 证明牛顿公式
第一节点（物方节点 N）和第二节点（像方节点 N’） 共轴球面系统的光轴上一定存在这样唯一的点对 N 和 N’，通过 N 的入射光线经过系统 变换后，一定从 N’点出射，且出射光线与入射光线平行，如图 3-8 所示。N 点称为第一节 点或物方节点，N’点称为第二节点或像方节点。
图 3-10 第二条特殊光线
③ 过第一节点 N 的入射光线，从第二节点 N’以相同的角度出射，如图 3-11 所示。
图 3-11 第三条特殊光线
用以上三条光线中的任意两条就可以确定像点的位置。 对任意斜光线， 也可以通过作图 确定成像光线，具体作图方法如图 3-12 所示。 对于任意斜光线 SA，作辅助光线 FB，使 FB∥SA，将光线 SA 和光线 FB 看作光心位 于无穷远的同心光束中的两条光线，其中 F 点为光学系统的第一焦点，根据第一焦点的定 义，绘制光线 FB 的像：过第二主平面上与 B 点等高的 C 点画水平线 CD，交第二焦平面于 D，考虑理想光学系统对同心光束所成的像仍然是同心光束，光线 SA 的像必然与光线 CD 交于 D，根据主平面的性质，AH=EH’，光线 SA 的像为 ED。
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第三章 透镜组
证明 如图 3-5 所示，点光源 S 发出任意角度的斜光线，与光学系统的第一主平面相交，过该 交点作两条辅助光线，一条与光轴平行，另一条过物方焦点 F，根据同心光束的定义，如果 光学系统能对同心光束成完善像， 则经过光学系统变换后的光束仍然是同心光束； 考虑两条 辅助光线，与光轴平行的光线经过光学系统变换后应该通过像方焦点 F’，过物方焦点 F 的 光线经过光学系统变换后，出射平行光，这两条辅助光线的出射光线相交于第二主平面上， 并且与入射同心光束光心高度相同，所以 S 点发出斜光线交于第一主平面的高度与出射光 线交于第二主平面的高度相等。
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第三章 透镜组
图 3-12 对任意斜光线的作图
§3.2 厚透镜成像公式 设两个共轴球面系统的基点、光学间隔、系统外部折射率已知，两个系统共轴，则可求 出组合系统的四个基点 F、F’、H、H’。 按照定义，系统 I 的物方焦距为 f 1 = H 1 F 1 ， 像方焦点为 f 1 = H 1 F1 ，系统 II 的物方
图 3-8 光学系统的物方节点和像方节点
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第三章 透镜组
作图法 经常用三条特殊光线作图 ① 平行光轴入射的光线从第二主平面折向第二焦点 F’，如图 3-9 所示。
图 3-9 第一条特殊光线
② 过第一焦点 F 的光线入射到第一主面，从第二主面上高度相等的位置沿平行光轴 的方向出射，如图 3-10 所示。
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f1 f 2 f'f' ，第二焦距为 f ' = H ' F ' = − 1 2 ，第一主 Δ Δ
点 H 的位置为 x H = H 1 H =
f1 d f 'd ' ' ，第二主点 H’的位置为 x H = H2 H' = 2 Δ Δ
证明 根据图 3-14 中的几何关系，有
⎧ h1 = f1'u1' = (− f ' )(−u ' ) ⎨ ' ' ' ⎩− h2 = (Δ − f 2 )u 2 = ( f 2 + x2 )(−u 2 )
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图 3-14 组合光学系统中的几何关系
改写为
⎧ u1' f' =− ' ⎪ ⎪ − u' f1 ⎨ ' ' ⎪ u 2 = f 2 + x2 ' ⎪ Δ − f2 ⎩ − u2 u = u2， − u = −u
' 1 ' 2 '
(3-1)
由角度关系 故
知
u u1' = 2' 'Biblioteka Baidu− u − u2