数学建模(线性规划)
数学建模实验报告线性规划.doc
数学建模实验报告线性规划数学建模实验报告姓名：霍妮娜班级：计算机95学号：09055093指导老师：戴永红提交日期：5月15日一．线性规划问题描述：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等，试建立模型给他提出决策建议。
问题分析首先经过对问题的具体情况了解后，建立层次结构模型，进而进行决策分析。
下面我建立这样一个层次结构模型：某岗位综合分数发展前景x1经济收入x2家庭因素x3地理位置x4这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。
1.成对比较从x1,x2,x3,x4中任取xi和xj，对他们对于y贡献的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj=1，认为前者与后者贡献程度相同；xi/xj=3，前者比后者的贡献程度略大；xi/xj=5，前者比后者的贡献程度大；xi/xj=7，前者比后者的贡献大很多；xi/xj=9，前者的贡献非常大，以至于后者根本不能和它相提并论；xi/xj=2n，n=1，2，3，4，认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。
xj/xi=1/n，n=1，2，…，9，当且仅当xi/xj=n。
2.建立逆对称矩阵记已得所有xi/xj，i，j=1，2，3，4，建立n阶方阵1135A=11351/31/3131/51/51/313.迭代e0=（1/n，1/n，1/n，1/n）Tek=Aek-1一直迭代直达到极限e=(a1,a2,…,a4)T则权系数可取Wi=ai 解：首先通过迭代法计算得x1，x2，x3，x4的权数分别为：0.278，0.278，0.235，0.209.假设对所有的xi都采用十分制，现假设有三家招聘公司，它们的个指标如下所示：x1x2x3x4甲8579乙7966丙5798按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144，7.112和7.123.由此可以看出，应该选择甲公司。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
数学建模算法大全线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数学建模基础知识 线性规划-单纯形方法
线性规划为求最小化的标准型时，相应的结 果？
单纯形表：
T（B）= B-1b
B-1A
CB B-1b C-CB B-1A = B-1b I B-1N
CB B-1b 0 CN - CB B-1N
注意： A=（B，N）
检验数σ=C - CB B-1A= （0， CN - CB B-1N ）
3.若存在检验数大于零，且对应的系数 列有大于零的分量，则需要换基迭代。
三.换基迭代
1.确定换入变量Xk，其中 max(σj> 0)= σk, xk为换入变量 j=1,2,…,m
x4 = 16- 4x1
(I)
x5 = 12 - 4x2
S = 0+ 2x1 +3x2
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。
二、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
c1 … x1 … 1… 0… 0… 0…
0…
cm cm+1 … xm xm+1 … 0 a1,m+1 … 0 a2,m+1 … 0…… 1 am,m+1 …
0 cm+1 -∑ciai,m+1…
cn
xn
θi
a1,n
θ1
a2,n
θ2
……
am,n
θn
cn -∑ciai,n
m
j c j ciaij , j m 1,, n i 1
非基变量检验数σ= CN - CB B-1N
m
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此外还有表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x =====因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
数学建模测试题-线性规划部分
313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。
模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。
写在作业本上。
按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。
习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。
这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。
问各种原料投放比例为习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。
且1张桌子必须配4把椅子。
已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。
本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。
（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。
习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
建模培训-数学规划)
可得到背包问题的规划模型为：
n
max f ci xi i 1
n
s.t .
i 1
ai xi
a
xi 0或1，i 1, 2,L , n
指派问题
例5. 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能 做一件， 第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如 何合理安排时间才能使总用时最小？
数学模型：
mincij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
xij bj , j 1,2, , n
i 1
xij 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
m
n
即 ai bj ，则称该问题为平衡的运输问题.
下面我们建立该问题的整数线性规划模型。
1) 约束条件
两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：
xi1 xi2 ni , i 1, 2,L ,7
每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：
7
ti xij cl j , j 1,2
i 1
每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：
7
wi xij cw j ,
x*
4 4
1 6
9 0
1 5
2 1
1 2
0 0 ,
f * 2039.4
5) 最优解的分析说明 由上一步中的求解结果可以看出，x*即为最优 的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm， 两节车共装箱的总长度为2039.4cm.
但是，上述求解结果只是其中一种最优的 装车方案，即此答案并不唯一.
背包问题
二、线性规划模型
1、线性规划(数学建模)
⎧2 x1 + x2 ≤ 10 ⎪x + x ≤ 8 ⎪ 1 2 s.t.（约束条件） ⎨ ⎪ x2 ≤ 7 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≥ 0
（2）
（1）式被称为问题的目标函数， （2）中的几个不等式 这里变量 x1 , x 2 称之为决策变量， 是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之， 线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下， 求一线性目标函数最大或最 小的问题。 在解决实际问题时， 把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步， 但往往 也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我 们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的 Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值， 也可以是求最小值， 约束条件的不等号可以 是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性 规划的标准形式为
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
-3-
解 （i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。 （iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。 例3 求解线性规划问题
数学建模第4讲线性规划
解 编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
2024/8/3
数学建模
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
010010
0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500];
To MATLAB (xxgh3)
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
x1
min z (6
3
4)
x2
x3
s.t.
1
0
1 1
1 0
x1 x2 x3
120
50
30 0 20
x1 x2 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120]; vlb=[30,0,20];
数学建模线性规划模型
引 言
• 历史悠久 • 理论成熟 • 应用广泛
1939
KOHTOPOBUZ “生产组织与计 生产组织与计 数学方法” 划中的 数学方法” 解乘数法” “解乘数法”
• 1947 •
DANTZIG 人员轮训 任务分配 单纯形法” 美国科学院院士 “单纯形法”
• 1960 “最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算 康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)因 康托洛维奇和库伯曼斯 因 对资源最优分配理论的贡献而获1975年 对资源最优分配理论的贡献而获 年 诺贝尔经济学奖。 诺贝尔经济学奖。 • 60-70年代 计算机 50约束 100变 年代 约束 变 30000约束 3000000变量 约束 变量
④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变 量；根据θ规则 θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk • 确定相应的换出变量，并得到中心元素 a'lk。转⑤。 • ⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得 到新的单纯形表。转②
不符合标准型的几个方面
：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+L+cnxn 令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- L -cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj′ - xj″，对模型中的进行变量代换。
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X15 20.00000 0.000000
X16 0.000000 5.000000
X21 0.000000 7.000000
X22 0.000000 2.000000
X23 0.000000 17.00000
X24 0.000000 6.000000
X25 10.00000 0.000000
2 0.000000 -2.000000
3 0.000000 -6.000000
4 0.000000 -5.000000
5 0.000000 -1.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 -6.000000
8 0.000000 -4.000000
9 0.000000 -7.000000
MinZ=20x11+15x12+16x13+5x14+4x15+7x16+17x21+15x22+33x23+12x24+8x25+6x26+9x31+12x32+18x33+16x34+30x35+13x36+12x41+8x42+11x43+27x44+19x45+14x46+7x52+10x53+21x54+10x55+32x56+6x64+11x65+13x66
运输点1接收点1运输点23020接收点2运输点33040接收点3运输点41020接收点4运输点520接收点540运输点6接收点6这样的方案费用最小为1620
数学建模线性规划模型
设xj(j=1,2)为第j个化工厂每天处理污水量 （河水流量中忽略了工厂的排入量。） 模型为：
min Z 1000 x1 800 x2
工厂1
500 200 工厂2
700
x1 1 0.8 x x 1.6 1 2 s.t x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
6、投资决策问题：
公司拟在某市东、南、西三区建立连锁店， 拟议中有7个位置Ai(i=1,2,…,7)可供选择， 规定东区在A1,A2,A3中至多选2个，西区在 A4,A5中至少选1个，南区在A6,A7中至少选 1个，并选用Ai点，投资bi元，估计每年获 利ci元，但投资总额不得超过B元。问应如 何选址，可使每年利润最大？
请同学们考虑：如何裁，才能使浪费（料头） 最少。
一般的合理下料问题可叙述为：
要利用某类钢材下A1,A2,…,Am一共m种零件 毛料，根据省料原则，在一块钢材上设计出 n种不同的下料方式，设在第j种下料方式中， 可得Ai种零件aij个，设第i种零件的需求量为 bi（如表）.问应采取什么方式，使既满足问 题需要，又使所用钢材最少？
方式 1 … n 需求量
A1
… Am
a11
… Am1
…
… …
a1n
… Amn
b1
… bm
设xj为用第j种方式下料所用钢材数 模型为：
min Z X j
j 1
n
n i 1, m aij X j bi s.t j 1 x 0 j 1, n j
5、指派问题：
一公司饲养动物生长对饲料中三种营养成 分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感， 每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质 3g、维生素10mg，该公司买到五种不同的 饲料，每种饲料1㎏所含营养成分如表
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
数学建模知识点
数学建模知识点数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和求解的过程。
在现实生活中，我们面临的问题往往是复杂的，数学建模的目的就是通过数学模型对这些问题进行抽象和分析，并找到合适的解决方法。
而要进行有效的数学建模，我们需要掌握一些基本的数学知识点。
本文将介绍数学建模中常用的几个重要知识点。
一、线性规划线性规划是数学建模中最常用的方法之一。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优值。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。
在线性规划中，我们需要掌握线性代数的相关知识，例如矩阵运算、向量空间等。
二、微积分微积分是数学建模中另一个重要的工具。
微积分主要包括导数、积分和微分方程等内容。
在数学建模中，常常需要对实际问题进行建模和分析，利用微积分的方法来求解最优值、极值点等。
同时，微积分还可以用来描述和分析变化率、速度、加速度等概念，对于模拟实际问题的变化过程有着重要的作用。
三、概率论与统计学概率论与统计学是数学建模中的另一个重要分支。
概率论研究的是随机事件的性质和规律，统计学则利用样本数据对总体进行推断和决策。
在数学建模中，概率论和统计学常常用于描述和分析实际问题的不确定性和随机性。
例如，通过概率模型可以对风险进行评估，通过统计方法可以对实验数据进行处理和分析。
四、图论图论是研究图和网络的一门学科，也是数学建模中常用的工具之一。
在数学建模中，我们经常需要用图来表示问题中的对象和关系，通过图论可以分析和求解一些与图相关的问题。
例如，利用图论可以解决路径规划、网络流量优化等实际问题。
五、数值计算方法数值计算方法是数学建模中的一种重要工具，用于对无法解析求解的问题进行数值逼近。
数值计算方法主要包括数值微分、数值积分、差分法和数值优化等。
在数学建模中，我们通常需要使用计算机进行模拟和求解，数值计算方法能够帮助我们高效地进行数值计算和近似求解。
总结：数学建模作为一种综合运用数学知识解决实际问题的方法，包括线性规划、微积分、概率论与统计学、图论和数值计算方法等重要的知识点。
01线性规划数学建模
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
数学建模第1章线性规划
数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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数学 建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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数学 建模
解 （1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾 犏- 2 犏 臌1
5 3
-1 1
轾 犏x1 犏 犏x2 犏 臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
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数学 建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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x1 2 x2 3x3 2 x4 200 7 x1 9 x2 8 x3 x4 300 3x1 x3 7 x4 400, x j 0, j 1, 2,3, 4
显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际 经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不 开忽略的重要因素：上述模型由于适当地考虑了价 格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划 模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下 由产量x1、x2、x3和x4线性确定，故较之线性模型更 能真实地反映问题的实质。
式(1.1)中，目标函数z f ( x1 , x2 )是x1和x2的线性函数， 而约束条件是x1和x2的线性不等式，因此称式(1.1) 为线性规划模型。
线性规划模型的解法 • 两个变量的线性规划模型的图解法 • 单纯形法 • 数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、 Matlab等
例1.2 投资方案的确定
c.三个货舱的空间限制 480 x11 650 x21 580 x31 390 x41 6800, 480 x12 650 x22 580 x32 390 x42 8700, 480 x13 650 x23 580 x33 390 x43 5300; d .三个货舱装入重量的平衡约束，即 x11 x21 x31 x41 x12 x22 x32 x42 10 16 x13 x23 x33 x43 . 8
例2.1 设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四 种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量 如表2.1所示
表2.1 产品的消耗定额与资源供应量
消耗定额 资源 甲 乙 丙
产品 A 1 7 3 B 2 9 0 C 3 8 1 D 1 7
资源可供 应量 200 300 400
假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减， 其需求函数分别为p1=11-0.01x1,p2=12-0.02x2,p3=130.03x3,p4=14-0.04x4,试确定四种产品的产量，以便使 总收益最大。
单位产品的利润/(万元/t)
现有 原料 总量 360 200 300
试拟订生产计划，使该厂获得利润最大
解 设甲、乙两种产品计划生产量分别为x1和x2吨，利润为z万元 则 z 7 x1 12 x2， 我们的任务是求z的最大值，且x1，x2受到钢材的限制、电力的限制 工作日的限制、非负条件的限制等，可得线性规划的数学模型 max s.t. z 7 x1 12 x2 , 9 x1 5 x2 360, 4 x1 5 x2 200, 3 x1 10 x2 300, x1 0, x2 0， （1.1）
②目标函数：墙壁面积为2(x1x2+x2x3)，造价为 8(x1x2+x2x3)；屋顶与地面面积为x1x3，造价为18 x1x3 ， 则目标函数为z= 8(x1x2+x2x3)+ 18 x1x3
③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制
x1-2x2=0，及非负限制x1,x2,x3≥0
某部门要进行投资，现有四个投资项目。
项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并 于次年年末回收本利115﹪；项目B：从第三年年初需 要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大 投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资， 到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额 部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可买公债， 于当年年末归还，并可获得6%的利息。
x41+x44=106%x34+115%x21, x54=106%x44+115%x31.
c.由于投资的限制，因此还有x32 40, x2 30. 由此得投资问题的数学模型为 max z 1.15 x41 1.25 x32 1.40 x23 1.06 x54 , s.t. x11 x14 100 x21 x23 x24 1.06 x14 , x31 x32 x34 1.06 x24 1.15 x11 , x41 x44 1.06 x34 1.15 x21 , x54 1.06 x44 1.15 x31 , x32 40, x23 30, xij 0, i 1, ,5; j 1, 4
2）模型求解。用Lindo软件求解，求得 投资方案的最优解为 x11=71.698112万元， x14=28.301888万元， x23=30万元，
x32=40万元，
x34=42.452831万元，
x41=45万元，
其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。
例1.3 货机装运。
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表 1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中 实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
2 2 2 (0.01x12 0.02 x2 0.03x3 0.04 x4 )
其中，第一项是不变价格下的总收益，第二项是需要扣除的 因价格变动造成的收益值，注意到资源的约束，上述问题可表为
max s.t.
z (11x1 12 x2 13 x3 14 x4 )
2 2 2 (0.01x12 0.02 x2 0.03 x3 0.04 x4 ),
• • • •
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划
1.线性规划模型
例1.1生产计划问题。 某工厂制造甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表1.1
表1.1 生产计划问题的数据
单位消耗 原料
产品
甲产 品/t 9 4 3 7
乙产 品/t 5 5 10 12
钢材/t 电力/(kw.h) 工作日/个
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要 求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重 量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
非线性规划模型求解
非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且 求解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某 些问题的有效方法，对另外的问题却未必有效。 我们可以用一些数学软件来求解。
例2.2 工程造价问题
假定要建造容积为1500m3的长方形仓库，已知每平 方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元、12元， 基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍，试建立使造 价最省的数学模型。 1）模型建立。 ①决策变量：设仓库的宽、高、长分别为x1,x2,x3(m)
a为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全 部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元， 即x11+x14=100 b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资 的本利，即 x21+x23+x24=106%x14
同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收 的各项投资本利，即 x31+x32+x34=106%x24+115%x11,
解 设A, B, C , D四种产品的产量分别为x1 ,x2 ,x3和x4，则问题的 目标函数（总收益函数） z ( x1 , x2 , x3 , x4 ) p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 x1 (11 0.01x1 ) x2 (12 0.02 x2 ) x3 (13 0.03x3 ) x4 (14 0.04 x4 ) (11x1 12 x2 13x3 14 x4 )
②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为
z 3100( x11 x12 x13 ) 3800( x21 x22 x23 ) 3500( x31 x32 x33 ) 2850( x41 x42 x43 ).
③约束条件：约束条件包括以下4个方面：
数学规划模型
数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用 最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。 在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标 “最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最 小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分 配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获 得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学 规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划 、整数规划、动态规划等。
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱 重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
a.供装载的四种货物的总重量约束，即 x11 x12 x13 18, x21 x22 x23 15, x31 x32 x33 23, x41 x42 x43 12; b.三个货舱的重量限制，即 x11 x21 x31 x41 10, x12 x22 x32 x42 16, x13 x23 x33 x43 8;
由此得到数学模型
min z 8 x2 ( x1 x3 ) 18 x1 x3 , s.t. x1 x2 x3 1500 0, x1 2 x2 0, x1 , x2 , x3 0 此为一非线性等式约束规划模型。
2）模型求解。用Lingo软件求解。
例2.3 经营计划问题
某公司经营两种设备，假设每种设备的单位售价以及 售出单位设备所需的营业时间及该公司在某段时间内 的总营业时间见表2.2（表中x1,x2为两种设备的售出 数量），建立营业额最大的营业营业计划模型。 表2.2 经营计划的数据 设备