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广东省广州市白云区2019年中考数学二模试卷(解析版)

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2019年广东省中考数学二模试卷及答案

2019年广东省中考数学二模试卷及答案

2019年广东省中考数学二模试卷及答案1.下列图案中，不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A.9×1011B.9×104C.9×1012D.9×10103.下列说法正确的是（）A.2的相反数是2B.2的绝对值是2C.2的倒数是2D.2的平方根是24.下列运算正确的是（ ）A.a 2+a 3=a 5B.(a 2)3=a 5C.a 3÷a 2=aD.(a −b )2=a 2−b 25.下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）A.{x <−2x >1 B.{x ⩾−2x <1 C.{x >−2x <1D.{x >−2x ⩽16.如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）A.75°B.85°C.60°D.65°7.如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A.40°B.45°C.50°D.60°8.有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A.16B.13C.12D.23，则t的值为（）9.点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α,tan⁡α=32A.−43B.﹣2C.2D.310.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB 上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A.B.C.D.11.方程x2=x的解是__________．12.因式分解：3x2+6x+3=__________．13.把抛物线y=2x2−1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为__________．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是__________．15.在△ABC中BC=2,AB=2√3,AC=b，且关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为__________．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=⋯=30∘．若点A1的坐标为（3，的值为__________．0），O A1=OC2，O A2=OC3,OA3=OC4，…则依此规律，O A2018OA201617.计算：√48−|−3|+(12018)−1−4cos⁡30∘18.先化简，后求值：(x −4−x x−1)÷x 2−4x+4x−1，其中x =2+√3．19.已知等腰△ABC 的顶角∠A ＝36°（如图）．(1)请用尺规作图法作底角∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)证明：△ABC ∽△BDC ．20.在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：(1)本次接受问卷调查的学生总人数是__________；(2)补全折线统计图．(3)扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为__________，m的值为__________；(4)若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．21.某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）22.如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．(1)求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；(2)当∠BAE＝30°时，求CF的长．23.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y=12(x>0)交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．x(1)如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；(3)在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y=12(x>0)的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．x24.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB=2√3，求图中阴影部分的面积；(3)假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4时，求动点M经过的弧长．25.如图①，已知抛物线y=αx2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的3左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？1.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】R5：中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．故选：C．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．【答案】(1)C2.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】1I：科学记数法—表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：90000亿＝9×1012，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【答案】(1)C3.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】14：相反数；15：绝对值；17：倒数；21：平方根；28：实数的性质【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；B、2的绝对值是2，正确；，错误；C、2的倒数是12D、2的平方根是±√2，错误；故选：B．【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．【答案】(1)B4.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=a6，不符合题意；C、原式＝a，符合题意；D、原式=a2−2ab+b2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．【答案】(1)C5.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．【答案】(1)D6.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】JA：平行线的性质【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3＝115°，又∵∠3是△ABC的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【答案】(1)B7.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质；M5：圆周角定理【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．【解答】解：∵OC∥AB，∴∠C＝∠A＝20°，又∵∠O＝2∠A＝40°，∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O 的度数是关键．【答案】(1)D8.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，所以点（a，b）在第二象限的概率为26=13，故选：B．【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．【答案】(1)B9.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】D5：坐标与图形性质；T7：解直角三角形【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan⁡∠AOE=AEEO =32，构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．由题意：tan⁡∠AOE=AEEO =32，∵A（t，2），∴AE＝2，OE＝﹣t，∴2−t=32∴t=−4 3故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【答案】(1)A10.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】E7：动点问题的函数图象【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，∴四边形EAPF是矩形．∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：E Q2=QF2+EF2，即y2=(y−1)2+x2．整理得：y=12x2+12．故选：D．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．【答案】(1)D11.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2=x，移项得：x2−x=0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1=0,x2=1．故答案为：x1=0,x2=1【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】(1)x1=0,x2=112.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=3(x2+2x+1)=3(x+1)2，故答案为：3(x+1)2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【答案】(1)3(x+1)213.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】H6：二次函数图象与几何变换【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x2．【解答】解：∵抛物线y=2x2−1向上平移一个单位长度，∴新抛物线为y=2x2．故答案为y=2x2．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．【答案】(1)y=2x214.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】L5：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，∴CO=12AC=7cm,BO=12BD=4cm,BC=AD=6cm，∴△OBC的周长＝BC+BO+CO＝6+7+4＝17（cm）．故答案为：17cm．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，CO的长是解题关键．【答案】(1)17cm15.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】AA：根的判别式；KP：直角三角形斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，∴Δ=16−4b=0∴AC=b=4∵BC=2,AB=2√3∴B C2+AB2=AC2∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC 边上的中线长=12AC =2； 故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC 是直角三角形是解决问题的关键． 【答案】(1)2 16.【能力值】无 【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】D5：坐标与图形性质【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得O A 2=OC 2cos 30∘=3cos 30∘=3√32=3×2√33；O A 3=OC 3cos 30∘=OA2cos 30∘=3×(2√33)2；O A 4=OC 4cos 30∘=OA3cos 30∘=3×(2√33)3，…，于是可得到O A 2016=3×(2√33)2015,OA 2018=3×(2√33)2017，代入O A 2018OA 2016，化简即可． 【解答】解：∵∠A 2OC 2=30∘,OA 1=OC 2=3，∴O A 2=0C 2cos 30∘=3cos 30∘=√3=3×2√33 O A 3=0C 3cos 30∘=0A 2cos 30∘=3×(2√33)2O A4=0C 4cos 30∘=0A 3cos 30∘=3×(2√33)3…，∴O A 2016=3×(2√33)2015,OA 2018=3×(2√33)2017， ∴0A 2018OA 2016=3×(2√33)20173×(2√33)2015=(2√33)2=43．故答案为43．【点评】本题考查了规律型，点的坐标，坐标与图形性质，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数．【答案】(1)4317.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【答案】(1)解：原式=4√3−3+2018−4×√32=4√3−3+2018−2√3=2015+2√318.【能力值】无【知识点】(1)略【详解】(1)【考点】6D：分式的化简求值【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．【答案】(1)解：原式=x2−x−4+xx−1×x−1(x−2)2=(x+2)(x−2)x−1×x−1(x−2)2=x+2x−2，当x＝2+ 时，原式=√3+22+√3−2=4+√3√3=4√3+3．19.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略【详解】(1)【考点】KH：等腰三角形的性质；N2：作图—基本作图；S8：相似三角形的判定【分析】（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；(2)先根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝72°，再由角平分线的性质得出∠ABD 的度数，故可得出∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，据此可得出结论．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．【答案】(1)如图，线段BD为所求出；(2)∵∠A＝36°，AB＝AC，（180°﹣36°）＝72°．∴∠ABC＝∠C＝12∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°．∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABD∽△BDC．20.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略(3)略(4)略【详解】(1)【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VD：折线统计图【分析】（1）根据了解很少的人数以及百分比，求出总人数即可．(2)（2）求出不了解的人数，画出折线图即可．(3)（3）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．【点评】本题考查折线统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【答案】(1)解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．(2)不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），折线图如图所示：(3)了解的圆心角=10120×360∘=30∘，基本了解的百分比=30120=25%，∴m＝25．故答案为：30，25．(4)3000×20120=500（人），答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．21.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略【详解】(1)【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；(2)设甲队施工y个月，则乙队施工12y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．【答案】(1)解：设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，由题意得，x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），解得x1=15,x2=2（不合题意，舍去），则x﹣5＝10．答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)设甲队施工y个月，则乙队施工12y个月，由题意得，100y+(100+50)y2⩽1500，解不等式得y≤8.57，∵施工时间按月取整数，∴y≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．22.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略【详解】(1)【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形【分析】过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB＝EG，BE＝FG，由此可得到∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；(2)首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长．【点评】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．【答案】(1)证明：过点F作FG⊥BC于点G．∵∠AEF＝∠B＝∠90°，∴∠1＝∠2．在△ABE和△EGF中，{∠1=∠2∠B=∠FGE=90∘AE=EF∴△ABE≌△EGF（AAS）．∴AB＝EG，BE＝FG．又∵AB＝BC，∴BE＝CG，∴FG＝CG，∴∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，∴CF是正方形ABCD外角的平分线．(2)∵AB＝3，∠BAE＝30°，tan⁡30∘=BEAB =√33，BE=AB⋅tan⁡30∘=3×√33，即CG=√3．在Rt△CFG中，cos⁡45∘=CGCF，∴CF=√6．23.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略(3)略【详解】(1)【考点】GB：反比例函数综合题【分析】如图①，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：OC=AC=12OA，所以OC＝AC＝3，根据点B在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，代入解析式可得B的坐标，再利用待定系数法可得直线AB的解析式；(2)如图①，根据△AOB是等腰直角三角形，得OC=AC=12OA，设点B（a，a）（a＞0），列方程可得a的值，从而得A的坐标；(3)如图②，作辅助线，根据△PA1A是等腰直角三角形，得PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为(4√3+m,m)，列方程可得结论．【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题，难度适中，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）根据点B在反比例函数图象上列方程；（3）设AD＝m，表示P 的坐标并列方程．解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数解析式列方程是关键．【答案】(1)解:如图①，过B作BC⊥x轴于C，∵OB＝AB，BC⊥x轴，∴OC=AC=12OA，∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴OC＝AC＝3，∵点B在反比例函数y=12(x>0)的图象上，∴y=123=4，∴B（3，4），∵点A（6，0），点B（3，4）在y＝kx+b的图象上，∴{6k+b=03k+b=4，解得：{k=−43b=8，∴直线AB的解析式为：y=−43x+8；(2)如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，OA，∴BC=OC=12设点B（a，a）（a＞0），(x>0)的图象上，∵顶点B在反比例函数y=12x，解得：a=±2√3（负值舍），∴a=12a∴OC=2√3∴OA=2OC=4√3∴A(4√3,0)(3)如图②，过P作PD⊥x轴于点D，∵△PA1A是等腰直角三角形，∴PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为(4√3+m,m)∴m(4√3+m)=12解得：x1=2√6−2√3,m2=−2√6−2√3（负值舍去），∴A1A=2m=4√6−4√3∴O A1=OA+AA1=4√6∴点A1的坐标是(4√6,0)．24.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略(3)略【详解】(1)【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．证明DE＝DQ，即BC是⊙D的切线；(2)过F作FN⊥DH于N．先证明△ABD为等边三角形，所以∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，再证明△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，sin∠BDC＝sin60°=FNDF =FN3=√32,FN=3√32，S阴影=S扇形FDH−SΔFDH；(3)假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M 运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，证明∠MDC＝60°，此时，动点M经过的弧长为13πr．【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键．【答案】(1)解：证明：过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．∵⊙D且AB于E，∴DE⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DQ，∴BC是⊙D的切线；(2)过F作FN⊥DH于N．∵四边形ABCD是菱形，AB=2√3，∴AD=AB=2√3，DC∥AB，∵在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠A＝60°，∴sin⁡A=sin⁡60∘=DEAD =2√3=√32，∴DE＝3，DH＝DF＝DE＝3∵AD=AB=2√3，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠DBA＝60°，∵DH＝DF＝3，∴△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，∴sin⁡∠BDC=sin⁡60∘=FNDF =FN3=√32，∴FN=3√32，∴S阴影=S扇形FDH−SΔFDH=60π×32360−12×3×3√32=3π2−9√34；(3)假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，由（2）在Rt△DFN中，sin⁡∠BDC=sin⁡60∘=FNDF =FNr=√32，∴FN=√32r，S△HDF=12×r×√32r=√34r2，在Rt△ADE中，sin⁡A=sin⁡60∘=DEAD=rAD=√32∴AD=2√3 3rAB=AD=2√33r，∴S菱形ABCD =AB⋅DE=2√33r⋅r=2√33r2，∵当S四边形DFHM:S四边形ABCD=3:4，∴S四边形DFHM =√32r2，∴S△DFM=S四边形DFHM−SΔHDF=√32r2=12DF⋅MZ=12rMZ，∴MZ=√32r在Rt△DMF中，MF⊥CD，sin⁡∠MDC=MZMD=√32rr=√32∴∠MDC=60∘此时，动点M经过的弧长为13πr．25.【能力值】无【知识点】(1)略(2)略(3)略【详解】(1)【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）：（1）将A(−1,0),C(0,√3)代入抛物线y=αx2+2√33x+c(a≠0)，求出a、c的值；(2)由（1）得抛物线解析式：y=−√33x2+2√33+√3,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3),DH=√3，再证明△ACO∽△EAH，于是OCAH =OAEH即＝√33=1EH，解得：EH=2√3，则DE=2√3；(3)找点C关于DE的对称点N(4,√3)，找点C关于AE的对称点G(−2,−√3)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据SΔMFP=√33m2+√33m+4√33=√33(m−12)2+1712√3，m=12时，△MPF面积有最大值1712√3．【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．【答案】(1)解：（1）将A(−1,0),C(0,√3)代入抛物线y=a x2+2√33x+c(a≠0)，{a−2√33+c=0 c=√3∴a=−√33,c=√3(2)由（1）得抛物线解析式：y=√33x2+2√33+√3∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)∴D(2,√3)∴DH=√3令y＝0，即−√33x2+2√33x+√3=0，得x1=−1,x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，∴OC AH =OA EH =即=√33=1EH， 解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)， 连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33， 由（2）得E(2,−√3),A(−1,0)∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33， 联立{y =√33x −√33y =√33x −√33 解得{x =0y =√33∴F (0,−√33)，∵DH ⊥x 轴，∴将x ＝2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P (2,√32) ∴F (0,−√33)与P (2,√32)的水平距离为2 过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M (m,−√33m 2+2√33m +√3)， 则Q (m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)； ∴S ΔMFP =S ΔMQF +S ΔMQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33) S ΔMFP =√33m 2+√33m +4√33=√33(m −12)2+1712√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m 1+√172， ∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..。

广东省广州市2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y ＝﹣1x图象上的点，并且y 1＜0＜y 2＜y 3，则下列各式中正确的是（ ） A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 2＜x 3＜x 12．已知抛物线y ＝x 2+（2a+1）x+a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.501.601.651.701.751.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别为( ) A ．1.65、1.70B ．1.65、1.75C ．1.70、1.75D ．1.70、1.704．下列计算中，正确的是（ ） A ．a•3a=4a 2 B ．2a+3a=5a 2 C ．（ab ）3=a 3b 3D ．7a 3÷14a 2=2a5．函数228y x x m =--+的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<-，则（ ） A ．12y y <B ．12y y >C ．12 y y =D ．1y 、2y 的大小不确定6．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）A ．20B ．27C ．35D ．40716 ） A ．±4B ．4C ．2D ．±28．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是（ ）A ．3 B ．3 C ．3 D ．3 9．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件x 个，依题意列方程为（ ）A ．21021051.5x x -= B ．21021051.5x x -=- C ．21021051.5x x-=+ D ．2102101.55x=+ 10．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ） A ．4B ．2xC ．29D ．1211．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜112．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．52.510m -⨯B ．70.2510m -⨯C ．62.510m -⨯D ．52510m -⨯二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ．小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，则B 、C 两地的距离是_____千米．14．写出一个经过点（1，2）的函数表达式_____．15．如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．16．已知实数x ，y 满足2(x 5)y 70-+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 17．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．18．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，CE=CD ，连接EB 、ED ，延长BE 交AD 于点F ．求证：DF 2=EF•BF ．20．（6分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题：（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到 万人次，比2017年春节假日增加 万人次．（2）2018年2月15日﹣20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：日期2月15日（除夕）2月16日（初一）2月17日（初二） 2月18日（初三）2月19日（初四）2月20日（初五）日接待游客数量（万人次）7.5682.83119.5184.38103.2151.55这组数据的中位数是 万人次．（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为，理由是．（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签（除图案外完全相同）．正面分别印有“剪纸艺术”、“国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3），他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．21．（6分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C填空：b＝，c＝，点C的坐标为．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y 与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．22．（8分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.23．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：PC ＝PF ； (3)若tan ∠ABC ＝43，AB ＝14，求线段PC 的长．24．（10分）在传箴言活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行统计，并绘制成了如图所示的两幅统计图（1）将条形统计图补充完整；（2）该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是________；（3）如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学，现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加总结会，请你用列表或树状图的方法求出所选两位同学恰好是。

2019届广州二模文科数学试题答案原版

2019届广州二模文科数学试题答案原版

AO ．
在△ BOP 和△ BOA 中，因为 PO = AO ，P=B A=D AB ，BO = BO ，所以△ BOP ≅ △ BOA ．
数学（文科）答案 A 第 2 页 共 12 页
所以 ∠BOP = ∠BOA = 90A ．所以 OP ⊥ OB ．】 由（1）有 PO ⊥ AD ，且 AD BO = O ， AD ⊂ 平面 ABCD ， BO ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PO ⊥ 平面 ABCD ．…………………………………………………………………………………8 分 在△ PBC 中，由（1）证得 AD ⊥ PB ，且 BC / / AD ，所以 BC ⊥ PB ．
因为 PO2 + BO2 = PB2 ，所以 PO ⊥ BO ．…………………………………………………………10 分
【9-10 分段另证：在△ APD 中， ∠APD = 90A ， O 为 AD 的中点，所以= PO
1= AD 2
AO ．
在△ BOP 和△ BOA 中，因为 PO = AO ，P=B A=D AB ，BO = BO ，所以△ BOP ≅ △ BOA ．
化简得 2(sin Acos B + cos Asin B) = sin A + sin B ．………………………………………………2 分
即 2sin ( A + B)= sin A + sin B ．………………………………………………………………………3 分
因在 ∆ABC 中， A + B + C =π ，则 sin ( A + B=) sin (π − C=) sin C ．……………………………4 分
P
由（1）证得 AD ⊥ 平面 POB ，且 AD / / BC ，

2019年中考数学第二次模拟试题(广州地区)

2019年中考数学第二次模拟试题(广州地区)

绝密★启用前 试卷类型：A2019年中考二模数学试题（注：适合广州地区）本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.=-23（ ） A.91B.9C.6-D.9- 2.3-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A.3≥xB.3<xC.3>xD.3=x 3.如图所示，该图的俯视图是（ ）A. B. C. D. 4.下列说法中正确的是（ ）A.abc c b a =+)(B.)2)(1(22-+=--a a a aC.))((11c b b a c a c b b a ++-=+-+ D.n m n m a a +=)( 5.正n 边形的内角和不大于︒1000，则n 不可能是（ ）A.5B.6C.7D.86.已知5)2(2--x 与53+-y 互为相反数，则23-+y x 的值是（ ） A.5- B.51 C.51- D.5 7.边长为2的等边ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 是BC边上一点，若DEF ∆的面积是1S ，梯形DBCE 的面积是2S ，则21S S + 的值是（ ） A.23 B.3 C.233 D.32 8.已知反比例函数xk y 22-=满足：当0>x 时，y 随x 的增大而增大。

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学(解析版)

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学(解析版)

3 ⎭C ． ⎛ 2 ⎫⎝ 3 ⎭D ． -∞, ⎪ U(1,+∞),1⎪3 ⎭ ⎛x - 2 ⎭ ⎧解析：1 - 8 = = < 0 ，∴ ( x - 10)( x - 2) < 0 ，解得 2 < x < 10 ，所以 A = (2,10) ，2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．1．已知复数 z = m (3 + i) - (2 + i) 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是（ ）A ． (-∞,1)B ． -∞, ⎝ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎪⎝1．答案：B⎧3m - 2 < 0 2解析： z = m (3 + i) - (2 + i) = (3m - 2) + (m - 1)i 对应的点位于第三象限，所以 ⎨⇒ m < ． ⎩m -1 < 0 32．己知集合 A = ⎨ x 1 -⎩8 ⎫ < 0⎬ ，则 ð A = （ ） RA ．{x | x < 2 或 x ≥ 6}C ．{x | x < 2 或 x ≥ 10}B ．{x | x ≤ 2 或 x ≥ 6}D ．{x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}2．答案：D( x - 2) - 8 x - 10x - 2 x - 2 x - 2ð A = {x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}．R3．某公司生产 A, B, C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2:3: 4 ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n = （ ）A ．96B ．72C ．48D ．363．答案：B解析：设抽取 A, B, C 三种型号的车的数量分别为 2 x , 3x, 4 x ，则根据题意可得 3x - 2 x = 8, x = 8 ，所以 n = 2 x + 3x + 4 x = 9 x = 72 ．4．执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（）A ．214．答案：AB ．22C ．23D ．24解析：设 A( x , y ) ，则 AB 中点 M ⎪ 在直线 x + y + 3 = 0 上，⎛ x + 1 y + 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎪⎪ AB ⇒⎨ ⇒⎨ 0 所以 ⎨ ． 0 + 3 = 0 ⎩ 0 ⎩ 0 ⎪ 0 + 0B ．1C ． 77．已知： sin α + cos α = ，其中 α ∈ , π ⎪ ，则 tan 2α = （）3C ．724D ． 24解析：由 sin α + cos α = ，其中 α ∈ , π ⎪ ，可得 sin α = , cos α = - , ∴ tan α = 2 ⨯ - ⎪ 2 tan α= 16线右支交于点 P ，若 FP = 2FE ，则双曲线的离心率为（）uuur解析： x = 1, y = 2 → z = 3 → 是 → x = 2, y = 3 → z = 5 → 是 → x = 3, y = 5 → z = 8 → 是→ x = 5, y = 8 → z = 13 → 是 → x = 8, y = 13 → z = 21 → 是 → 输出 z = 21 ．5．己知点 A 与点 B(1,2) 关于直线 x + y + 3 = 0 对称，则点 A 的坐标为（）A ． (3,4)B ． (4,5)C ． (-4, -3)D ． (-5, -4)5．答案：D0 , 0 0 0⎧y - 2 k = 0 = 1x - 1 ⎧ x - y + 1 = 0 ⎧ x = -5 0 0 x + 1y + 2 x + y + 9 = 0 y = -4 0 ⎪⎩ 2 26．从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动．设所选 3 人中女生人数为 ξ ，则数学期望 E ξ = （）A ．456．答案：B5 D ．2解析： E ξ = 2 6⨯ 3 = 11 ⎛ π⎫ 5⎝ 2⎭A ． -247B ． -477．答案：D1 ⎛ π ⎫ 4 3 sin α 4=- ，5 ⎝ 2 ⎭5 5 cos α 3⎛ 4 ⎫ tan 2α = ⎝ 3 ⎭ = 24 1 - tan 2α 7 1 -9．8．过双曲线 x 2 y 2 a 2- = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 + y 2 = 的切线，切点为 E ，延长 FE 交双曲a 2b 2 9uuur3B ．176C ．105D ． 10解析：设右焦点为 F ，连接 PF ，由 FP = 2FE ，可知 E 为 PF 的中点，则 O E 为 △FPF 的中位线，所a, ∴ PF = a + 2a = a ，在 Rt △FPF 中， PF 2 + PF 2 = F F 2 ， 3 3 3 a 2 + a 2 = 4c 2 ， a 2 = 4c 2 , e 2 = = , e = 2 解析：设 f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 2 ，令 f '( x ) = 3x 2 - 4 x = 4 ，得 (3x + 2)( x - 2) = 0 ，解得 x = - 或 x = 2 ．又 f - ⎪ = - ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 26 2 4 ⨯ - ⎪ - 6 = - 27 9 27 + = 2 + ⎪ (m + n ) = 2 3 + + ⎪ ≥ 2 ⨯ (3 + 2 2) = 6 + 4 2 ．倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移 个单位长度，得到函数 y = g ( x ) 的图4B ． x =4D ． x = -A ．1728．答案：Auuur uuur222以 PF = 2 EO = 2 2 2 82 2 1 264 4 68 c 2 17 17 即 ．9 9 9 a 9 3PEFOF 29．若曲线 y = x 3 - 2 x 2 + 2 在点 A 处的切线方程为 y = 4 x - 6 ，且点 A 在直线 mx + ny - 1 = 0 (其中 m > 0 ，n > 0 )上，则A ． 4 2 1 2+ 的最小值为（ ） m nB ． 3 + 2 2C ． 6 + 4 2D ． 8 29．答案：C23- + 2 = ，而 ，故 x = - 不符合，舍去；⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3 3f (2) = 2 = 4 ⨯ 2 - 6 ，所以 x = 2 ，点 A 坐标为 (2, 2) ，所以 2m + 2n - 1 = 0, m + n =1 2 ⎛ 1 2 ⎫ ⎛ n 2m ⎫ 所以m n ⎝ m n ⎭ ⎝ m n ⎭1 2，10．函数 f ( x ) = 2sin(ωx + ϕ) (ω > 0, ϕ < π )的部分图像如图所示，先把函数 y = f ( x ) 图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 π2 4像，则函数 y = g ( x ) 的图像的一条对称轴为（）A ． x = 3ππ4C ． x = -π10．答案：C3π 4⎪⎪ ⎪⎪ 解析：由图象可知 ⎨ ，所以 f ( x) = 2sin x - ⎪ ．各点的横坐标缩短到原 ⎪4πω + ϕ = 7π ⎪ϕ = - ⎩⎩⎪倍，得 y = 2sin x - ⎪ ，再把得到的图像向右平移 个单位长度，得 g ( x) = 2sin ⎢ x - ⎪ - ⎥ = 2sin x - ⎪ ，由 x - = k π + , k ∈ Z ，所以 x = 31≤ y - x ≤ 7 ，则 0 的取值范围为（）A ． ⎢2,⎡ 12 ⎤B ． ⎢- ,0 ⎥, ⎥⎦ C ．⎢D ． ⎢ -2, ⎥⎦x - ，由1≤ y - x ≤ 7 ， 2 0 2 得 1≤ - x - ≤ 7 ，解得 -5 ≤ x ≤ -1，所以 0 = - - ∈ ⎢- ,0 ⎥ ． 2C ． 3 +又因为 t = e 2 x + x ，所以 e 2 x + x = x + 3 ，所以 e 2 x= 3, 2 x = ln 3, x = ln 3 r⎧ π ⎧1 2πω + ϕ = ω =23 ⎛ 1 π ⎫ ⇒⎨ π ⎝ 3 6 ⎭ ⎪ 6 6来的1 2 ⎛ 2 π ⎫ π ⎝ 3 6 ⎭ 4⎡ 2 ⎛ π ⎫ π ⎤ ⎛ 2 π ⎫ 2 π π ⎣ 3 ⎝4 ⎭ 6 ⎦ ⎝ 3 3 ⎭ 3 3 25ππ k π + , k ∈ Z ，当 k = -1 时，得 x = - ．2 4 411．已知点 P 在直线 x + 2 y - 1 = 0 上，点 Q 在直线 x + 2 y + 3 = 0 上， PQ 的中点为 M ( x , y ) ，且y0 0 x⎣ 5 ⎥11．答案：B⎡ 2 ⎤ ⎡ 5 1 ⎤ ⎣ 5 ⎣ 16 4⎦-⎡ 2 ⎤ ⎣ 5 ⎦解析： M ( x, y) 在直线 x + 2 y + 1 = 0 上，所以 x 0 + 2 y 0 + 1 = 0 ， y 0 = - 1 10 03 1 y 1 1 ⎡ 2 ⎤ 2 0 2 0x 2 2 x ⎣ 5 ⎦ 012．若点 A(t,0) 与曲线 y = e x 上点 P 的距离的最小值为 2 3 ，则实数 t 的值为（）A ． 4 - ln 23B ． 4 - ln 2ln 3 3 D． 3 + ln 3212．答案：D解析：设 P( x , e x ) ，则 AP 2 = e 2 x + ( x - t )2 = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 ，设 f ( x ) = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 ， 则 f '( x ) = 2e 2 x + 2 x - 2t = 0 ，令 f '( x ) = 0 ，得 e 2 x = t - x ，此时 f ( x ) 取得最小值，所以f ( x ) = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 = t - x + (t - x)2 = 12 ，显然 t - x > 0 ，所以 t - x = 3, t = x + 3 ，ln 3，此时 t = x + 3 = 2 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．ur uur ur uurr 13．若 e , e 是夹角为 60︒ 的两个单位向量，向量 a = 2e + e ，则 a =．121213．答案： 7+ 3 ．r 2 r ur uur 2 ur ( )解析： a = a 2 = 2e + e= 4e + 4e ⋅ e + e ur 2ur uur uur 2 ⎝ ⎭ ⎥⎦ 4 ⎢ 2 ⎝ ⎭ ⎥⎦ 4 ⎢ 2 4 ⎣ 4 ⎦ 4 ⎝ 4 ⎭⎢⎥(2 -5 ⎭ 5 ⎥⎦ ⎣c 2 = , a 2 = b 2 = 3 R ，所以 31 2 1 1 2 2 2 2 ur uur uur = 4 e + 4 e ⋅ e cos 60︒ + e 1 1 2 2= 4 + 2 + 1 = 7 ， r所以 a = 7 ．14．若 (ax - 1)5 的展开式中 x 3 的系数是 80，则实数 a 的值是 ．14．答案：2解析： (ax - 1)5 的展开式中含 x 3 的项为 C 2 (ax)3 ⋅ (-1)2 = 10a 3 x 3 ，所以10a 3 = 80, a 3 = 8, a = 2 ．515．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平1 ⎡ ⎛ a2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤ 方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S =⎢a 2c 2 - ⎪ ⎥ 其中 a, b , c 是 △ABC 的 ⎣内角 A, B, C 的对边．若 sin C = 2sin A c os B ，且 b 2 ,1, c 2 成等差数列，则 △ABC 面积 S 的最大值为．15．答案：55解析： 因为 C = π - ( A + B), ∴ s in C = sin( A + B) = sin A c os B + cos A s in B ，又因为 sin C = 2sin A c os B ，所以 sin A c os B - cos A s in B = 0 ，即 sin( A - B) = 0,∴ A = B, ∴ a = b ，因为 b 2 ,1, c 2 成等差数列，所以 b 2 + c 2 = 2 ，1 ⎡ ⎛ a2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤ 1 ⎡c 4 ⎤ 1 ⎛ 5 ⎫所以 S =⎢a 2c 2 - ⎪ ⎥= - c 4 + 2c 2 ⎪ ⎣= 1 ⎡ 5 ⎛ ⎢- c 4 ⎢ 4 ⎝2 - 4 ⎫2 4 ⎤ 1 4 5⎪ + ⎥ ≤ ⨯ = 4 5 5 4 6 ，当且仅当 时等号成立．故 △ABC 面积 5 5S 的最大值为55．16．有一个底面半径为 R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 a 的最大值为 ．16．答案： 2 2 R3解析：要使得四面体在纸盒内可以任意转动，且a 最大，则四面体的外接球就是圆锥的内切球，设该球的半径为 r ，则 r =6 6 3 2 2a ，且 r = a = R ，解得 a = R ． 4 4 3 3所以 ⎨ 1 ⎪⎩a ⋅ a q ⎪a 1 = , ⎪⎩ ⎪⎩q = 3.P SOFACOO1DT EB三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）己知{a n } 是递增的等比数列， a 2 + a 3 = 4, a 1a 4 = 3 ．（1）求数列{a n } 的通项公式；（2）令 b n = na n ，求数列{b n } 的前 n 项和 S n ．17．解法 1：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，因为 a + a = 4 ， a a = 3 ，n231 4⎧⎪a q + a q 2 = 4,1 3 = 3. 11……………………………………………………………………………………2 分⎧a = 9, ⎧ 1 ⎪ 1解得 ⎨ 1或 ⎨ 3 ………………………………………………………………………………4 分 q = ,3因为{a } 是递增的等比数列，所以 a = 1， q = 3 ．………………………………………………5 分n 13所以数列{a } 的通项公式为 a = 3n -2 ．………………………………………………………………6 分n n解法 2：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，因为 a + a = 4 ， a a = a a = 3 ，n231 42 3所以 a ， a 是方程 x 2 - 4 x + 3 = 0 的两个根．…………………………………………………………2 分23解得 ⎨ 或 ⎨ 2 ⎩ 3 ⎩ 3 1 - 3 所以 S = 1( 2n - 1)⨯ 3n -1 + 4 12⎧a = 1, ⎧a = 3,2 a = 3, a = 1.…………………………………………………………………………………4 分因为{a } 是递增的等比数列，n所以 a = 1， a = 3 ，则 q = 3 ．…………………………………………………………………………5 分2 3所以数列{a } 的通项公式为 a = 3n -2 ．………………………………………………………………6 分n n（2）由（1）知 b = n ⨯ 3n -2 ．………………………………………………………………………………7 分n则 S = 1⨯ 3-1 + 2 ⨯ 30 + 3 ⨯ 31 + L + (n - 1)⨯ 3n -3 + n ⨯ 3n -2 ，①…………………………8 分n在①式两边同时乘以 3 得，3S = 1⨯ 30 + 2 ⨯ 31 + 3 ⨯ 32 + L + (n - 1)⨯ 3n -2 + n ⨯ 3n -1 ，②…………………………9 分n①-②得 -2S = 3-1 + 30 + 31 + L + 3n -2 - n ⨯ 3n -1 ，…………………………………………………10 分n1 (1 - 3n ) 即 -2S = 3 - n ⨯ 3n -1 ，…………………………………………………………………………11 分 n n1．………………………………………………………………………12 分18．（本小题满分 12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据， 如下表：x （年龄/岁） y （脂肪量/%）2614.5 2717.83921.24125.94926.35329.65631.45833.56035.26134.6根据上表的数据得到如下的散点图．（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 y ˆ = 1.56 + bx ，求 b ˆ 的值（精确到 0.01），并根据回归方程估计年龄参考数据： y = 27,∑ x y = 13527.8, ∑ x 2 = 23638, ∑ y 2= 7759.6,43 ≈ 6.56, 2935 ≈ 54.18∑ ( x - x )( y - y )∑ ( x - x ) ∑ ( y - y )∑ x y - nx ⋅ y∑ x∑ y- nx 2 ⋅回归方程 y ˆ = a ˆ + bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 y ˆ =∑ ( x - x )( y - y )∑ ( x - x ), a ˆ = y - bx∑ x∑ x y - nx y( ) ∑ y2- n x 23638 - 10 ⨯ 472 7759.6 - 10 ⨯ 272 …………3 分2y（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求 x ；（ii ）计算样本相关系数（精确到 0. 01），并刻画它们的相关程度．ˆ为 50 岁时人体的脂肪含量。

2019年广东中考二模 数学

2019年广东中考二模 数学

中考第二次模拟考试数 学校区____ _____ 姓名_____________ 原就读学校_____________ 成绩_____________说明：1．全卷共10页，满分为120分，考试用时为100分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在试卷上填写自己的校区、姓名、原就读学校。

3．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的签字笔或钢笔在试卷上对应题目选项写上答案，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在试卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

5．考生务必保持卷面的整洁。

考试结束时，将试卷交回。

一、 选择题（每小题3分，共30分）1．如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ） A ．-2 B ．-21 C ．21D ．2 2．据统计，2012“中国好声音”短信投票的总票数约327 000 000张，将这个数写成科学记数法是（ ） A ．63.2710⨯ B ．73.2710⨯ C ．83.2710⨯ D ．93.2710⨯ 3．不等式组⎩⎨⎧>->-03,042x x 的解集为（ ）A ．x ＞2B ．x ＜3C ．x ＞2或x ＜－3D ．2＜x ＜34．若反比例函数y x=-1的图象经过点A （2，m ），则m 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-12 D ．215．一个袋中装有1个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外完全相同．小明从袋中任意摸出1个球， 摸出的是 白球的概率是（ ）A ．61B ．31C ．21 D ．16．已知a 为等边三角形的一个内角，则cos a 等于（ ）A ． 21B ．22C ．23D ．337.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.教练组对运动员正式比赛前的5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般需要考察这5次成绩的 （）A ．平均数或中位数B ．众数或频率C ．方差或极差D ．频数或众数9．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）10．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道右图中的大鱼与小鱼是位似图形， 若小鱼上的点P （a ，b ）对应大鱼上的点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．（-2a ，-2b ）B ．（-a ，-2b ）C ．（-2b ，-2a ）D ．（-2a ，-b ）二、填空题（每小题4分，共24分）11．比较大小：(选填“＞”、“＜”或“＝”）． 12．用字母表示图中阴影部分的面积为 ．13．某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折后，仍可获利20%， 设这种服装的成本价为x 元，则x 满足的方程是 ．14矩形、菱形、正方形）；②矩形（不包括正方形）；③正方形；④等边三角形；⑤等腰直 角三角形，其中一定能拼成的图形是 ．（只填序号）15．某班有49位学生，其中有21位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 .（第10题）（第14题）16．计算0|3|(1tan 45--的结果是 ．三、解答题（一）（每小题5分，共15分）17．先化简，再求值：x －y x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2xy －y 2x ，其中x ＝2，y ＝－1.18．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？⎝⎛参考数据：sin 36.90≈35，tan 36.90≈34，⎭⎪⎫sin 67.50≈1213，tan 67.50≈12519. 如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形， 即111A B C △和222A B C △．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重合到222A B C △上.四、解答题（二）（每小题8分，共24分）20．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F ．你认为四边形ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由．21. 如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正 方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体： （1）三面涂有颜色的概率； （2）两面涂有颜色的概率； （3）各个面都没有颜色的概率．22．对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪ a c⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪ a c⎪⎪⎪b d ＝ad －bc . (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68的值； (2)按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －23xx －1的值．D DD五、解答题（三）（每小题9分，共27分）23．如图，已知反比例函数y ＝kx的图象经过第二象限内的点A (－1，m )，AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2.若直线y ＝ax ＋b 经过点A ，并且经过反比例函数y ＝k x的图象上另一点C (n ，－2)． (1)求直线y ＝ax ＋b 的解析式；(2)设直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．24. 如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，且∠ACB＝90°，AB ＝5，BC ＝3。

2019年广东省广州二中中考数学二模试卷 解析版

2019年广东省广州二中中考数学二模试卷 解析版

2019年广东省广州二中中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.16的算术平方根是()A. 2B. −2C. 4D. −42.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列说法正确的是()A. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%B. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖4.为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意调查，从而最终决定买什么水果．下列调查数据中最值得关注的是()A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数5.若分式x2−x−2的值为0，则x的值为()x+1A. x=1或x=2B. x=0C. x=2D. x=−16.下列计算中，正确的是()A. 2√3+4√2=6√5B. √27÷√3=3C. 3√3×3√2=3√6D. √(−3)2=±37.已知扇形的弧长为6πcm，该弧所对圆心角为90°，则此扇形的面积为()A. 36πcm2B. 72πcm2C. 36cm2D. 72cm28.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分．当y<0时，自变量x的范围是()A. x<−1或x>2B. x<−1或x>5C. −1<x<5D. −1<x<29.如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块()A. 4n+6，n(n+1)B. 4n+6，n(n+2)C. n(n+1)，4n+6D. n(n+2)，4n+610.a≠0，函数y =ax与y=−ax2+a同一直角坐标系中的大致图象可能是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.−√3的相反数是______．12.太阳系外距离地球最近的一颗恒星叫做比邻星，它离地球的距离约为360 000 000 000 000千米，这个数用科学记数法表示为______千米．13.分解因式：−3x2+6xy−3y2=______．14.如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,0)，B(0,3)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为______时，△BOC与△AOB相似．15.如图，在直角坐标系中，点A(0,3)、点B(4,3)、C(0,−1)，则△ABC外接圆的半径为______．16.如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF=12AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE =12AF×DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的是______(填序号)三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.已知关于x的方程x2−(k+2)x+14k2+1=0(1)k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2(x1<x2)满足x1+|x2|=3，求k的值和方程的两根．第2页，共19页四、解答题（本大题共9小题，共98.0分）)−2+tan45°18.计算：−12+(2019−π)0+(1319.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点在格点上，且A(−4,−4)，B(6,−6)，C(0,−2)(1)画出△ABC，并求出△ABC的面积；(2)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使之与△ABC的相似比为1：2．20.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E．(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=8，AC=6，求DE的长．21.某商场销售A，B两种商品，售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；(2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A，B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么此商场至少需购进多少件A种商品？22.为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布()组别成绩分组频数频率147.5～59.520.05259.5～71.540.10371.5～83.5a0.2483.5～95.5100.25595.5～107.5b c6107.5～12060.15合计40 1.00根据表中提供的信息解答下列问题：(1)频数分布表中的a=______，b=______，c=______；(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人)，用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为______，72分及以上为及格，预计及格的人数约为______，及格的百分比约为______；(3)补充完整频数分布直方图．第4页，共19页(x<0,a为常数)的图象经过点B(−4,2)．23.已知反比例函数y=ax(1)求a的值；(2)如图，过点B作直线AB与函数的图象交于点A，与x轴交于点C，且AB=3BC，过点A作直线AF⊥AB，交x轴于点F，求线段AF的长．24.如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上(异于点B、C)，直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q(1)若BP=√3，求∠BAP的度数；3(2)若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；(3)以PQ为直径作⊙M．①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．25.如图(1)，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为(4,3)，抛物线y=−12x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=−12x2+bx+c交于第四象限的F点．(1)求该抛物线解析式与F点坐标；(2)如图(2)，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒√132个单位长度的速度向终点E 运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH.设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．第6页，共19页答案和解析1.【答案】C【解析】解：√16=4，故选：C．根据算术平方根，即可解答．本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．2.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．3.【答案】A【解析】解：A、正确；B、这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，错误；C、这是一个随机事件，掷一颗骰子，出现奇数或者偶数都有可能，但事先无法预料，错误；D、这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误．故选：A．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．正确理解概率的含义是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：D．根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5.【答案】C为0，【解析】解：∵x2−x−2x+1∴{x2−x−2=0，x+1≠0∴x=2，故选：C．分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．6.【答案】B【解析】解：A、错误．不是同类二次根式不能合并；B、正确；C、错误．3√3×3√2=9√6；D、错误．√(−3)2=3；故选：B．根据二次根式的性质一一判断即可．本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：设扇形的半径为rcm，，由题意：6π=90⋅π⋅r180∴r=12，∴扇形的面积=90⋅π⋅122=36π(cm2)，360故选：A．利用弧长公式求出扇形的半径r，再利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】C【解析】解：∵由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，对称轴为直线x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴当y<0时，−1<x<5．故选：C．先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论．本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式组的解是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：通过观察图形可知，当n=1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；当n=2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；当n=3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n(n+1)；白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6．故选：A．第8页，共19页分别清点题目给出的三个图形中的白瓷砖和黑瓷砖的块数，然后通过分析，找出白瓷砖和黑瓷砖的块数与图形数之间的规律，即可解答此题．此题主要考查学生对图形变化的规律，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律，利用规律解决问题．10.【答案】D的图象位于一、三象限，y=−ax2+a的开口向下，【解析】解：当a>0时，函数y=ax交y轴的正半轴，没有符合的选项，的图象位于二、四象限，y=−ax2+a的开口向上，交y轴的负当a<0时，函数y=ax半轴，D选项符合；故选：D．分a>0和a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．11.【答案】√3【解析】解：∵−√3的相反数是√3，故答案为√3．根据相反数的定义进行填空即可．本题考查了实数的性质以及算术平方根，掌握相反数的定义是解题的关键．12.【答案】3.6×1014【解析】解：将360 000 000 000 000用科学记数法表示为：3.6×1014．故答案为：3.6×1014．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.【答案】−3(x−y)2【解析】解：−3x2+6xy−3y2，=−3(x2−2xy+y2)，=−3(x−y)2．故答案为：−3(x−y)2．先提取公因式−3，再对余下的多项式利用完全平方公式进行因式分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14.【答案】(−1.5,0)，(1.5,0)，(−6,0)【解析】解：∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=6，C(−6,0)；若OC与OB对应，则OC=1.5，C(−1.5,0)或者(1.5,0)．∴C点坐标为：(−1.5,0)，(1.5,0)，(−6,0)．故答案为：(−1.5,0)，(1.5,0)，(−6,0)．本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．本题考查了相似三角形的判定、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系的两种可能，分别求解．15.【答案】2√2【解析】解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，∵A(0,3)、点B(4,3)、C(0,−1)，∴点H的坐标为(2,1)，则△ABC外接圆的半径=√22+22=2√2，故答案为：2√2．连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，根据垂径定理、坐标与图形性质求出点H的坐标，根据勾股定理计算即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、坐标与图形性质，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．16.【答案】③④【解析】解：∵△ABC沿DE折叠点A与BC边的中点F重合，∴AE=EF，AF⊥DE，∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，只有AB=AC时，∠BAF=∠CAF=∠AFE，EF//AB，故①②错误；∵AF⊥DE，∴S四边形ADFE =12AF⋅DE，故③正确；由翻折的性质得，∠ADE=12(180°−∠BDF)，∠AED=12(180°−∠FEC)，在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠BAC=180°，∴12(180°−∠BDF)+12(180°−∠FEC)+∠BAC=180°，整理得，∠BDF+∠FEC=2∠BAC，故④正确．综上所述，正确的是③④共2个．故答案为：③④．根据翻折变换的性质可得AE=EF，AF⊥DE，∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，根据平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质判断只有AB=AC时①②正确；根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半可得S四边形ADFE =12AF⋅DE，判断出③正确；根据翻折的性质和平角的定义表示出∠ADE和∠AED，然后利用三角形的内角第10页，共19页和定理列式整理即可得到∠BDF +∠FEC =2∠BAC ，判断出④正确．本题考查了翻折变换的性质，主要利用了平行线判定，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．17.【答案】解：(1)在已知一元二次方程中，a =1，b =−(k +2)，c =(14k 2+1)，又由△=b 2−4ac=[−(k +2)]2−4(14k 2+1) =k 2+4k +4−k 2−4=4k >0，得k >0，即k >0时方程有两个不相等的实数。

2019年广东省广州市白云区中考数学二模试卷(解析版)

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2019年广东省广州市白云区中考数学二模试卷一、选择题1.计算20的结果是（）A. 0B. 1C. 2D. 1 2【答案】B【解析】【分析】根据：a0＝1（a≠0）可得结论．【详解】解：20＝1，故选：B．【点睛】本题考查了零指数幂的计算，比较简单，熟练掌握公式是关键．2.下列运算正确的是（）A. （a﹣b）2＝a2﹣b2B. （a+b）2＝a2+b2C. a2b2＝（ab）4D. （a3）2＝a6【答案】D【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．【详解】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；C、a2b2＝（ab）2，故此选项错误；D、（a3）2＝a6，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.下列调查方式，合适的是（）A. 要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B. 要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C. 要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D. 要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式【答案】D【解析】【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验；B、要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；C、要了解我国15岁少年身高情况，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；D、要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，必须选用普查；故选：D．【点睛】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．4.若分式212xx-+的值为0，则x的值为（）A. ﹣1B. 0C. 1D. ±1 【答案】D【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．【详解】∵分式212xx-+的值为0，∴x2-1=0，解得：x=±1．故选D．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．5.解方程x5x1123--+=时，去分母后得到的方程是（）A. 3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B. 3（x﹣5）+2x﹣1＝1C. 3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D. 3（x﹣5）+2x﹣1＝6【答案】C【解析】【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【详解】解：等式两边同时乘以6可得：3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程去分母的方法是两边都乘各分母的最小公倍数，一是不要漏乘不含分母的项，二是去掉分母后要把多项式的分子加括号.6.下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A. y＝﹣2x+1B. y＝2xC. y＝﹣2x2+1D. y＝2x【答案】D 【解析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A、y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；B、y＝2x，k＝2＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故B错误；C、y＝﹣2x2+1（x＞0），二次函数，a＜0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故C错误；D、y＝2x，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故D正确．故选：D．【点睛】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．7.如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A. 5B. 10C. 13D. 15【答案】C【解析】【分析】根据四边形CDEF是正方形，即可得出CD4＝2，根据矩形ABCD的面积为6，即可得出AD＝3，再根据勾股定理即可得到AC的长．【详解】解：由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，由折叠可得，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴CD4＝2，又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，∴Rt△ACD中，AC＝22＝13，23故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，以及勾股定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A. △AOB∽△CODB. ∠AOB＝∠ACBC. 四边形BDCE是平行四边形D. S△AOD＝S△BOC【答案】B【解析】【分析】根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，故A正确；∵CD∥BE，DB∥CE，∴四边形BDCE是平行四边形，故C正确；∵△ABC的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积＝△ADB的面积＝△AOD的面积+△AOB的面积，∴△AOD的面积＝△BOC的面积，故D正确；∵∠AOB＝∠COD，∴∠DOC＝∠OCE＞∠ACB，故B错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似.9.在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案．【详解】解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合．故选：D．【点睛】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10.k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝kx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分两种情况讨论，当k ＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k ＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【详解】解：①当k ＞0时，y ＝kx ﹣k 过一、三、四象限；y ＝k x 过一、三象限； ②当k ＜0时，y ＝kx ﹣k 过一、二、四象象限；y ＝k x过二、四象限． 观察图形可知，只有A 选项符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k 和b 的符号对函数图象的影响是解题的关键．二、填空题11.计算：6ab 2÷3ab ＝_____． 【答案】2b【解析】【分析】根据单项式的除法法则即可求出答案．【详解】解：原式＝2b ，故答案为：2b【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．12.不等式组10 2350xx⎧-<⎪⎨⎪+>⎩的解集是_____．【答案】x＞0【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式﹣12x＜0得x＞0，解不等式3x+5＞0得x＞﹣53，所以不等式组的解集为x＞0，故答案为：x＞0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝_____．【答案】15【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【详解】解：∵AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，∴CB CDAC CE=，即202736BC=，解得：BC＝15，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.14.某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是_____．【答案】0.28【解析】【分析】直接利用5各小组的频率之和为1，进而得出答案．【详解】解：∵某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，∴第4组和第5组的频率和为：1﹣0.3﹣0.14＝0.56，∵第4组和第5组的频率相等，∴第5组的频率是：0.28．故答案为：0.28．【点睛】此题主要考查了频率的意义，正确得出第4组和第5组的频率和是解题关键．15.一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了__________道题．【答案】19【解析】【分析】设他做对了x道题，则小英做错了（25-x）道题，根据总得分=4×做对的题数-1×做错的题数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：设他做对了x道题，则他做错了（25-x）道题，根据题意得：4x-（25-x）=70，解得：x=19，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据总得分=4×做对的题数-1×做错的题数列出关于x的一元一次方程是解题的关键.16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F 是AC上一动点，则EF+BF的最小值是_____．【答案】7【解析】【分析】连接DF，过E作EG⊥BD于G，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值．【详解】解：如图所示，连接DF，过E作EG⊥BD于G，∵AC垂直平分BD，∴FB＝FD，AB＝AD，∴EF+BF＝EF+FD，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝30°，又∵AB＝4，点E是AB的中点，∴EG＝12BE＝1，AH＝12AB＝2，∴BG ＝3，BH ＝23，GH ＝3，∴DH ＝23，DG ＝33，∴Rt △DEG 中，DE ＝22EG DG +＝221(33)+＝27，故答案为：27．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，以及勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题17.计算：112sin 30362-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝2×12﹣（﹣2）﹣6＝1+2﹣6＝﹣3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.如图，在Y ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且BE=FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】证明：在ABCD中，AD=BC且AD∥BC，∵BE=FD，∴AF=CE。

广东省广州市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析

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广东省广州市2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k 与ky x=（k 为常数，k≠0）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．2．m-n 的一个有理化因式是（ ） A ．m n +B ．m n -C ．m n +D ．m n -3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）5．下列关于x 的方程一定有实数解的是( ) A ．2x mx 10--= B ．ax 3= C x 64x 0--=D ．1x x 1x 1=-- 6．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=7．下面运算正确的是（ ） A ．111()22-=-B ．（2a ）2=2a 2C ．x 2+x 2=x 4D ．|a|=|﹣a|8．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线L 的距离为2，则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定9．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AGGF的值是( )A ．43B ．54C ．65D ．7610．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（ ） A ．平均数是15B ．众数是10C ．中位数是17D ．方差是44311．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B′处，此时，点A 的对应点 A′恰好落在 BC 边的延长线上，下列结论错误的是（ ）A ．∠BCB′=∠ACA′B ．∠ACB=2∠BC ．∠B′CA=∠B′ACD ．B′C 平分∠BB′A′12．某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：下列说法正确的是（ ）A ．这10名同学体育成绩的中位数为38分B ．这10名同学体育成绩的平均数为38分C ．这10名同学体育成绩的众数为39分D ．这10名同学体育成绩的方差为2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．八位女生的体重（单位：kg ）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg ．14．如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_______．15．方程32x x =+的根是________．16．唐老师为了了解学生的期末数学成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表： 分数（单位：分） 100 90 80 70 60 人数14212则这10名学生的数学成绩的中位数是_____分．17．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+x+2上有一动点P ，直线y=﹣x ﹣2上有一动线段AB ，当P 点坐标为_____时，△PAB 的面积最小．18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=kx(x>0)的图象和菱形OABC ，且OB=4，tan ∠BOC=12，若将菱形向右平移，菱形的两个顶点B 、C 恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式是______________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图， 二次函数23y ax bx =++的图象与 x 轴交于()30A -,和()10B ,两点，与 y 轴交于点 C ，一次函数的图象过点 A 、C ．（1）求二次函数的表达式（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．20．（6分）某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查了部分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理．（1）填空m =_______，n =_______，数学成绩的中位数所在的等级_________． （2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计D 等级的人数；（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A 级学生的数学成绩的平均分数． ①如下分数段整理样本 等级等级分数段各组总分人数 A110120X <≤ P4B100110X <≤ 843 n C90100X <≤ 574 mD8090X <≤1712②根据上表绘制扇形统计图21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，点F为BE上一点，连接AF，∠AFE=∠D．（1）求证：∠BAF=∠CBE；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45．求证：AF=BF．22．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．23．（8分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？24．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3=0；（2）解不等式组：25．（10分）如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF ＝BE ，求证：∠D ＝∠B ．26．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点D ，且AE ⊥CD ，垂足为点E ．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线． （2）若BC ＝3，CD ＝32，求弦AD 的长．27．（12分）先化简，再求值：22x 3x 311x 1x 2x 1x 1--⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭，再从0x 4<<的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 【分析】 【详解】选项A 中，由一次函数y=x+k 的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A 错误；选项B 中，由一次函数y=x+k 的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B 正确；由一次函数y=x+k 的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C 、D 错误．故选B.2．B【解析】【分析】找出原式的一个有理化因式即可．【详解】m-n的一个有理化因式是m-n，故选B．【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．3．D【解析】试题分析：由主视图和左视图可得此几何体上面为台，下面为柱体，由俯视图为圆环可得几何体为．故选D．考点：由三视图判断几何体．视频4．D【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．5．A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得．【详解】A ．x 2-mx-1=0中△=m 2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；B ．ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意；C ．由6040x x -≥⎧⎨-≥⎩可解得不等式组无解，不符合题意；D ．111x x x =--有增根x=1，此方程无解，不符合题意； 故选A ． 【点睛】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根． 6．B 【解析】 【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键. 7．D 【解析】 【分析】分别利用整数指数幂的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、 绝对值的性质分别化简求出答案. 【详解】解:A,-11=22（）,故此选项错误; B,222a 4a =（）,故此选项错误;C ，2222x x x +=,故此选项错误;D ，a a =-，故此选项正确.所以D选项是正确的.【点睛】灵活运用整数指数幂的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质可以求出答案．8．A【解析】试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．考点：直线与圆的位置关系．9．C【解析】【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32 a，∴FM=52a ， ∵AE ∥FM ，∴36552AG AE a GF FM a ===，故选C ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10．C 【解析】 【详解】解：中位数应该是15和17的平均数16，故C 选项错误，其他选择正确． 故选C ． 【点睛】本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键. 11．C 【解析】 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质，A:∠'BCB 与∠ACA '均为旋转角，故∠'BCB =∠ACA '，故A 正确； B:CB CB ='Q ,B BB C ∴∠=∠', 又A CB B BB C ∠=∠+∠'''Q2A CB B ''∴∠=∠, ACB A CB ∠=∠''Q 2ACB B ∴∠=∠,故B 正确；D:A BC B ''∠=∠Q ,A B C BB C ∴∠=∠'''∴B′C 平分∠BB′A′,故D 正确.无法得出C 中结论， 故答案：C. 【点睛】本题主要考查三角形旋转后具有的性质，注意灵活运用各条件 12．C【解析】试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=39； 平均数==38.4 方差=[（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64； ∴选项A ，B 、D 错误；故选C ．考点：方差；加权平均数；中位数；众数．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】根据中位数的定义，结合图表信息解答即可．【详解】将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45， 则这八位女生的体重的中位数为38402+=1kg ， 故答案为1．【点睛】本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数．14．2933cm π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】解：如图，作OH ⊥DK 于H ，连接OK ，∵以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，∴AD=2CD ．∴根据折叠对称的性质，A'D=2CD ．∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°．∴∠ODH=30°．∴∠DOH=60°．∴∠DOK=120°．∴扇形ODK 的面积为()2212033cm 360ππ⨯⨯=．∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm ，∴3OH cm,DH 2==．∴DK =．∴△ODK 的面积为()213cm 224⨯=．∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：23cm π⎛ ⎝⎭．故答案为：23cm π⎛- ⎝⎭．15．x=2【解析】分析：解此方程首先要把它化为我们熟悉的方程（一元二次方程），解新方程，检验是否符合题意，即可求得原方程的解．详解：据题意得：2+2x=x 2，∴x 2﹣2x ﹣2=0，∴（x ﹣2）（x+1）=0，∴x 1=2，x 2=﹣1．，∴x=2．故答案为：2．点睛：本题考查了学生综合应用能力，解方程时要注意解题方法的选择，在求值时要注意解的检验． 16．1【解析】【分析】根据中位数的概念求解即可．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：60，60，70，80，80，90，90，90，90，100， 则中位数为：90802+=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．17．（-1，2）【解析】【分析】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P 点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．【详解】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P 点，设平移后的直线为y=-x-2+b ，∵直线y=-x-2+b 与抛物线y=x 2+x+2相切，∴x 2+x+2=-x-2+b ，即x 2+2x+4-b=0，则△=4-4（4-b ）=0，∴b=3，∴平移后的直线为y=-x+1，解212y x y x x -+⎧⎨++⎩＝＝得x=-1，y=2， ∴P 点坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P 点是解题的关键．18．4y x= 【解析】解：连接AC ，交y 轴于D ．∵四边形形OABC 是菱形，∴AC ⊥OB ，OD=BD ，AD=CD ．∵OB=4，tan ∠BOC=12，∴OD=2，CD=1，∴A （﹣1，2），B （0，4），C （1，2）．设菱形平移后B 的坐标是（x ，4），C 的坐标是（1+x ，2）．∵B 、C 落在反比例函数的图象上，∴k=4x=2（1+x ），解得：x=1，即菱形平移后B 的坐标是（1，4），代入反比例函数的解析式得：k=1×4=4，即B 、C 落在反比例函数的图象上，菱形的平移距离是1，反比例函数的解析式是y=4x ．故答案为y=4x．点睛：本题考查了菱形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）223y x x =--+；（2）30x -<<．【解析】【分析】（1）将()30A -,和()10B ,两点代入函数解析式即可； （2）结合二次函数图象即可．【详解】解：(1)∵二次函数23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点， 933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的表达式为223y x x =--+．(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围是30x -<<．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 20．（1）6；8；B ；（2）120人；（3）113分．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以得到m 、n 的值，从而可以得到数学成绩的中位数所在的等级；（2）根据表格中的数据可以求得D 等级的人数；（3）根据表格中的数据，可以计算出A 等级学生的数学成绩的平均分数．【详解】（1）本次抽查的学生有：72420360︒÷=︒（人），2030%62043211 m n=⨯==---=，，数学成绩的中位数所在的等级B，故答案为：6，11，B；（2）2120020⨯=120（人），答：D等级的约有120人；（3）由表可得，A等级学生的数学成绩的平均分数：102208435741711134⨯---=（分），即A等级学生的数学成绩的平均分是113分．【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，易证△ABF∽△BEC，从而可以证明∠BAF=∠CBE成立；（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC，∴∠BAF=∠CBE；（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=45，∴AE=4，DE=3∴EC=5∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：=∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF ∽△BEC ，∴ AF BC =AB AE =BF EC即5AF =5BF解得：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答22．∠DAC=20°．【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD ，然后根据∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD 计算即可得解．【详解】∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°．∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．23．（1）120，补图见解析；（2）96；（3）960人.【解析】【分析】（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；（3）求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：24÷20%=120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）=60（人），“一般”占的百分比为36120×100%=30%， 补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60=96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：96120×1200=960（人），则全校达标的学生有960人．故答案为（1）120；（2）96人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1），；（2）1≤x＜1．【解析】试题分析：利用配方法进行解方程；首先分别求出两个不等式的解，然后得出不等式组的解．试题解析：（1）－1x=3－1x+1=7=7 x－2=±解得：，（2）解不等式1，得x≥1 解不等式2，得x＜1 ∴不等式组的解集是1≤x＜1考点：一元二次方程的解法；不等式组．25．证明见解析．【解析】【分析】根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是⊙O的直径，则¼¼CFD AEB=，由FD=EB，得，»»FD EB=，由等量减去等量仍是等量得：¼»¼»CFD FD AEB EB-=-，即»»FC AE=，由等弧对的圆周角相等，得∠D=∠B．【详解】解：方法（一）证明：∵AB、CD是⊙O的直径，∴¼¼CFD AEB=．∵FD=EB，∴»»FD EB=．∴¼»¼»CFD FD AEB EB-=-．即»»FC AE=．∴∠D=∠B．方法（二）证明：如图，连接CF，AE．∵AB、CD是⊙O的直径，∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．∵AB=CD，DF=BE，∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．∴∠D=∠B．【点睛】本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解．26．（1）证明见解析（26【解析】【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）由△CDB∽△CAD，可得CD CB BDCA CD AD==，推出CD2=CB•CA，可得（2）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==，设2k，AD=2k，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．【详解】（1）证明：连结OC，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CD CB BD CA CD AD==，∴CD2=CB•CA，∴（2）2=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==,设2k，AD=2k，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k=306，∴3027．原式=11x-，把x=2代入的原式=1.【解析】试题分析：先对原分式的分子、分母进行因式分解，然后按顺序进行乘除法运算、加减法运算，最后选取有意义的数值代入计算即可.试题解析：原式=()()()21311·1131x x x x x x x +-+--+--- =11x - 当x=2时，原式=1。

2019广州二模文科数学试题及答案WORD

2019广州二模文科数学试题及答案WORD

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 AC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列.（1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH FE D CB (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分 即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414nn n -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

(完整word版)2019广东省广州市二模数学文科word精校版

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2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}60|{<<∈=x x A N ，}8,6,4,2{=B ，则=B A I （ ）A ．}5,3,1,0{B ．}6,4,2,0{C ．}5,3,1{D ．}6,4,2{2．已知复数)2()3(i i m z +-+=在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．)32,(-∞C ．)1,32(D ．),1()32,(+∞-∞Y3．某公司生产C B A ,,三种不同型号的轿车，产量之比依次为4:3:2，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则=n （ ）A ．96B ．72C ．48D ．36 4．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（ ）A ．109 B ．107 C ．103 D ．1016．函数)||,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A ．)661sin(2π+=x yB ．)631sin(2π-=x yC ．)331cos(2π+=x yD ．)361cos(2π-=x y7．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列等式中一定成立的是（ ）A ．n n n S S S 32=+B ．n n n S S S 322=C ．n n n n S S S S 2222-+=D ．)(32222n n n n n S S S S S +=+8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为035=±y x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．362 B ．334 C ．534 D ．34 9．一个圆锥的体积为6π，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ） A ．33B ．22C ．36D ．210．设c b a ≥≥，且1是一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根，则ac的取值范围为（ ） A ．]0,2[-B ．]0,21[-C ．]21,2[--D ．]21,1[--11．在三棱锥ABC P -中，3,1,2======BC AC AB PC PB PA ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π316C ．34π D ．π2733212．己知函数a ex e x f x+-=)(与xx x g 1ln )(+=的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),[+∞-eB ．),1[+∞-C ．]1,(--∞D ．],(e --∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．已知向量)1,2(),1,1(=-=b a ，向量b a c +=2，则=||c．14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小一份的量为 ． 15．若函数x a x x x f ln 1)(2++-=在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是．16．己知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x ，PQ 的中点为),(00y x M ，且7100≤-≤-x y ，则x y 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知ABB A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+ （1）求cba +的值； （2）若3,2π==C c ，求ABC ∆的面积．18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，︒=∠90APD ，且PD PA =，PB AD =．（1）求证：PB AD ⊥；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求x ；（ii ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为x b y ˆ56.1ˆ+=，求b ˆ的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量． 附：参考数据：27=y ，8.13527101=∑=i i i y x ，236381012=∑=i ix ，6.77591012=∑=i i y ，56.643≈，18.542935≈．参考公式：相关系数))()()(()()())((212212112121y n y x n x yx n yx y yx x y yx x r ni i n i i ni ii ni ini ini ii---=----=∑∑∑∑∑∑======回归方程x b a yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b 121ˆ，x by a ˆ-=20．从抛物线x y 362=上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2=． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线)(1R ∈+=m my x 与轨迹C 交于B A ,两点，T 为C 上异于B A ,的任意一点，直线BT AT ,分别与直线1-=x 交于E D ,两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数a x ax x x x f 74ln )1()(2+-++=．（1）若21=a ，求函数)(x f 的所有零点； （2）若21≥a ，证明函数)(x f 不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题目积分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=αt y αt x sin 3cos 2（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为8cos 22+=θρρ． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且24||=AB ，求直线l 的倾斜角． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 己知函数a x x f --=|12|)(．（1）当1=a 时，解不等式1)(+>x x f ； （2）若存在实数x ，使得)1(21)(+<x f x f 成立，求实数a 的取值范围．。

广东省广州市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析

广东省广州市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某校今年共毕业生297人，其中女生人数为男生人数的65%，则该校今年的女毕业生有（）A．180人B．117人C．215人D．257人2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k≠0)图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，将一副三角板如此摆放，使得BO和CD平行，则∠AOD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A．33πB．32πC．πD．32π5．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．36．两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是1：p，而在另一个瓶子中是1：q，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A．2P q+B．2P qPq+C．2+2p qP q Pq+++D．2+2p q pqP q+++7．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若140∠=︒则∠2的度数为( )A．50°B．110°C．130°D．150°8．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞98B．m89f C．m=98D．m=899．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y (m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；③图1中线段EF应表示为5005x；④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1．其中所有的正确结论是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④10．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A ．18πB ．27πC ．452πD ．45π11．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-12．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A ．18分，17分B ．20分，17分C ．20分，19分D ．20分，20分二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （53，0），B （0，4），则点B 4的坐标为_____，点B 2017的坐标为_____．14．已知直线m ∥n ，将一块含有30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1=20°，则∠2=_____度．15．抛物线 y ＝3x 2﹣6x+a 与 x 轴只有一个公共点，则 a 的值为_____．16．若x=﹣1是关于x 的一元二次方程x 2+3x+m+1=0的一个解，则m 的值为______．17．在一个不透明的空袋子里放入3个白球和2个红球，每个球除颜色外完全相同，小乐从中任意摸出1个球，摸出的球是红球，放回后充分摇匀，又从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ____ ． 18．如图，如果四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，点E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点，那么△EGF面积的最大值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了_____名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是____°；(2)将条形统计图补充完整；(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？(4)甲、乙两名同学从微信，QQ，电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．20．（6分）综合与探究：如图1，抛物线y=322333与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（03．（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x 轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t （t＞0）秒．探究下列问题：①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BF=DE ．求证：AE ∥CF ．22．（8分）已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图1，连接BC ．（1）填空：OBC ∠= ︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？23．（8分）先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中a=1+2，b=1﹣2． 24．（10分）如图，⊙O 的半径为4，B 为⊙O 外一点，连结OB ，且OB ＝6.过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为点D ，延长BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为点C ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)求AC 的长．25．（10分）计算:230120.12520041 2-⎛⎫-⨯++- ⎪⎝⎭26．（12分）如图，在△ABC中，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线．过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求证：DH＝12 BF．27．（12分）计算：3﹣2）0+（13）﹣1+4cos30°﹣|412|参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】设男生为x人，则女生有65%x人，根据今年共毕业生297人列方程求解即可.【详解】设男生为x人，则女生有65%x人，由题意得，x+65%x=297，解之得x=180,297-180=117人.故选B.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键.2．B【解析】试题分析：当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可判定k＞0，所以﹣k＜0，即可判定一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．3．B【解析】【分析】根据题意可知，∠AOB=∠ABO=45°，∠DOC=30°，再根据平行线的性质即可解答【详解】根据题意可知∠AOB=∠ABO=45°，∠DOC=30°∵BO∥CD∴∠BOC=∠DCO=90°∴∠AOD=∠BOC-∠AOB-∠DOC=90°-45°-30°=15°故选B【点睛】此题考查三角形内角和，平行线的性质，解题关键在于利用平行线的性质得到角相等4．A【解析】试题分析：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=23A=30°，∴3AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧»BC长为6033 1803π=．故选A.考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．5．B【解析】【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．故选：B ．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形6．C【解析】【分析】混合液中的酒精与水的容积之比为两瓶中的纯酒精与两瓶中的水之比，分别算出纯酒精和水的体积即可得答案．【详解】设瓶子的容积即酒精与水的和是1，则纯酒精之和为：1×11p ++1×11q +＝11p ++11q +， 水之和为：1p p ++1q q +， ∴混合液中的酒精与水的容积之比为：(11p ++11q +)÷(1p p ++1q q +)＝2+2p q P q Pq +++， 故选C ．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，找到相应的等量关系是解决本题的关键．7．C【解析】【分析】如图，根据长方形的性质得出EF ∥GH ，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A 求出即可．【详解】∵EF ∥GH ，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键．8．C【解析】试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32-4×2m=9-8m=0，解得：m=98．故选C．9．A【解析】分析：①根据图象2得出结论; ②根据(75,125)可知：75秒时，两车的距离为125m,列方程可得结论; ③根据图1，线段的和与差可表示EF的长；④利用待定系数法求直线的解析式，令y=0可得结论.详解：①y是两车的距离，所以根据图2可知：图1中a的值为500，此选项正确；②由题意得：75×20+500-75y=125,v=25,则乙车的速度为25m/s,故此选项不正确；③图1中：EF=a+20x-vx=500+20x-25x=500-5x.故此选项不正确；④设图2的解析式为：y=kx+b,把（0,500）和（75,125）代入得：50075125bk b=⎧⎨+=⎩，解得5500kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-5x+500,当y=0时，-5x+500=0,x=1,即图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1，此选项正确；其中所有的正确结论是①④；故选A.点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，读懂题目信息，理解两车间的距离与时间的关系是解题的关键.10．B【解析】【分析】先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可. 【详解】如图1中，∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG=120°，∴S 扇形BAG =21203360π⋅=3π， ∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；故选B ．【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形．11．A【解析】【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，A ∴，B 两点纵坐标相同，设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.12．D【解析】分析：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．详解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，故选：D．点睛：本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（20，4）（10086，0）【解析】【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．【详解】解：由题意可得：∵AO=53，BO=4，∴AB=133，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，B2016的横坐标为：20162×10=1．∵B2C2=B4C4=OB=4，∴点B4的坐标为（20，4），∴B2017的横坐标为1+53+133=10086，纵坐标为0，∴点B2017的坐标为：（10086，0）．故答案为（20，4）、（10086，0）．【点睛】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题的关键．14．1【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，据此进行计算即可．【详解】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．3【解析】【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共交点，则判别式等于0，据此即可求解．【详解】∵抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，∴判别式Δ=36-12a=0，解得：a=3，故答案为3【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点.16．1【解析】试题分析：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．考点：一元二次方程的解．17．2 5【解析】【分析】袋子中一共有5个球，其中有2个红球，用2除以5即可得从中摸出一个球是红球的概率. 【详解】袋子中有3个白球和2个红球，一共5个球，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为：25，故答案为2 5 .【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.18．4.1．【解析】【分析】取CD的值中点M，连接GM，FM．首先证明四边形EFMG是菱形，推出当EF⊥EG时，四边形EFMG 是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，由此可得结论．【详解】解：取CD的值中点M，连接GM，FM．∵AG＝CG，AE＝EB，∴GE是△ABC的中位线∴EG＝12 BC，同理可证：FM＝12BC，EF＝GM＝12AD，∵AD＝BC＝6，∴EG＝EF＝FM＝MG＝3，∴四边形EFMG是菱形，∴当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，∴△EGF的面积的最大值为12S四边形EFMG＝4.1，故答案为4.1．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，利用了三角形中位线定理，掌握菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1)120，54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)1 3 .【解析】【分析】(1)用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以样本中电话人数所占比例；(2)先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：(1)这次统计共抽查学生24÷20%＝120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360°×18120＝54°，故答案为120、54；(2)喜欢使用短信的人数为120﹣18﹣24﹣66﹣2＝10(人)，条形统计图为：(3)1200×66120＝660，所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；(4)画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．20．（1）A（﹣1，0），B（3，0），y=33（2）①A′（32t﹣1，32t）；②A′BEF为菱形，见解析；（3）存在，P点坐标为（53，33）或（73，﹣233）．【解析】【分析】（13223330得A（−1，0），B（3，0），然后利用待定系数法确定直线l的解析式；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图2，利用OA＝1，OD3得到∠OAD＝60°，再利用平移和对称的性质得到EA＝EA′＝t，∠A′EF＝∠AEF＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A′H，EH 即可得到A′的坐标；②把A′（32t−1，32t）代入y＝−33x2＋233x3−33（32t−1）2＋33（32t−1）332t，解方程得到t＝2，此时A′点的坐标为（23，E（1，0），然后通过计算得到AF＝BE＝2，A′F∥BE，从而判断四边形A′BEF为平行四边形，然后加上EF＝BE可判定四边形A′BEF为菱形；（3）讨论：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，利用点A′和点B的横坐标相同得到32t−1＝3，解方程求出t得到A′（3，433），再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A′B⊥EA′，如图4，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，先确定此时A′点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标．【详解】（1）当y=0时，﹣3x2+233x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），D（0，﹣3）代入得{3k bb-+==-，解得3{3kb=-=-，∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣3；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，∵OA=1，3∴∠OAD=60°，∵EF∥AD，∴∠AEF=60°，∵点A 关于直线l的对称点为A′，∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，33t，∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，∴A′（32t﹣13t）；②把A′（32t﹣1，3t）代入y=322333（32t﹣1）223（32t﹣1）33，解得t1=0（舍去），t2=2，∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），∵∠OEF=60°∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，∴F（0，3），∴A′F∥x轴，∵A′F=BE=2，A′F∥BE，∴四边形A′BEF为平行四边形，而EF=BE=2，∴四边形A′BEF为菱形；（3）存在，如图：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，43），∵OE=t﹣1=53，∴此时P点坐标为（53，43）；当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，∵∠AEA′=120°，∴∠A′EB=60°，∴∠EBA′=30°∴33332t，∴32t ﹣1+32t=3，解得t=43，此时A′（1，3），E （13，0），点A′向左平移23个单位，向下平移3个单位得到点E ，则点B （3，0）向左平移23个单位，向下平移个单位得到点P ，则P （73，综上所述，满足条件的P 点坐标为（5373）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．21．证明见解析【解析】试题分析：通过全等三角形△ADE ≌△CBF 的对应角相等证得∠AED=∠CFB ，则由平行线的判定证得结论．证明：∵平行四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBF ．∵在△ADE 与△CBF 中，AD=BC ，∠ADE=∠CBF ， DE=BF ，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）．∴∠AED=∠CFB ．∴AE ∥CF ．22．（1）1；（2）7；（3）x 83=时，y 有最大值，最大值3=． 【解析】【分析】（1）只要证明△OBC 是等边三角形即可；（2）求出△AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x 83≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E ．②当83＜x≤4时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．③当4＜x≤4.8时，M 、N 都在BC 上运动，作OG ⊥BC 于G ．【详解】（1）由旋转性质可知：OB ＝OC ，∠BOC ＝1°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC＝1°．故答案为1．（2）如图1中．∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA12=OB＝2，AB3=OA＝23，∴S△AOC12=•OA•AB12=⨯2×2323=．∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC＝1°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，∴AC2227AB BC=+=，∴OP243221727AOCSAC===V．（3）①当0＜x83≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE＝ON•sin1°32 =，∴S△OMN12=•OM•NE12=⨯1.5x3x，∴y33=x2，∴x83=时，y有最大值，最大值83=．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH ⊥OB 于H ．则BM ＝8﹣1.5x ，MH ＝BM•sin1°32=（8﹣1.5x ）， ∴y 12=⨯ON×MH 33=-x 2+23x ． 当x 83=时，y 取最大值，y 83＜， ③当4＜x≤4.8时，M 、N 都在BC 上运动，作OG ⊥BC 于G ．MN ＝12﹣2.5x ，OG ＝AB ＝3∴y 12=•MN•OG ＝533x ， 当x ＝4时，y 有最大值，最大值＝3综上所述：y 83． 【点睛】 本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．原式=2a b a b-=+ 【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+， 当a=1+2，b=1﹣2时，原式=12121212+-+++-=2. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 24．（1）证明见解析；（2）AC=． 【解析】(1)证明：连接OD ．∵BD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BD ．∵AC ⊥BD ，∴OD ∥AC ，∴∠2＝∠1．∵OA ＝OD ．∴∠1＝∠1，∴∠1＝∠2，即AD 平分∠BAC ．(2)解：∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴OD BO AC BA =，即4610AC =． 解得203AC =．25．5【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】原式=4-8×0.125+1+1=4-1+2=5【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．26．见解析.【解析】【分析】先证明△AFC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一证明H为FC的中点，又D为BC的中点，根据中位线的性质即可证明.【详解】∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF＝AC，HF＝CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH＝12 BF．【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解决本题的关键是证明H点为FC的中点，然后利用中位线的性质解决问题.本题中要证明DH ＝12BF ，一般三角形中出现这种2倍或12关系时，常用中位线的性质解决.27．4【解析】【分析】 直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案．【详解】2）0+（13）﹣1+4cos30°﹣|4|=1+3+4×2﹣（4﹣【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。

2019广州二模理科数学试题及答案WORD

2019广州二模理科数学试题及答案WORD

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

2019年广州市二模文科数学试题及答案解析

2019年广州市二模文科数学试题及答案解析

高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：B20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）20xx.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++> B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a bB ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值 5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y xω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．2B ．3C ．6D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：模块 模块选择的学生人数模块 模块选择的学生人数A 28 A 与B 11 B 26 A 与C 12 C26B 与C13则三个模块都选择的学生人数是A ．7B ．6C ．5D ．4图1 S S i =+ 0,1S i ==结束 开始 否 是 输出S 27?i > 2i i =+ 46图2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．17．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 18．（本小题满分14分）视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数2 2 2 1 1图3MPAB如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长． 19．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．21．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =．所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=． 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， 所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠．…………………………………………………………11分所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分ABCODABCOD18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分 因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分 因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分PABC因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分 所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分解得11,3.a d =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分所以224361m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以231133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==， 所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分 （ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BCk x =．…………………………3分 A B CDO xylE由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2212120121114442BC x x x x k x x x -+===-， 即1202x x x +=．………………………………………………4分 因为2210101011444AC x x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-． 即()()102016x x x x --=-． ①由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为()2222202*********AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭， 同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．。

2019广州二模理科数学试题及答案

2019广州二模理科数学试题及答案

试卷类型：A2019年市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19 D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4.将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 5．有两卡片，一的正反面分别写着数字0与1，另一的正反面分别写着数字2与3， 将两卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C ．6D ．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为.10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为.11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为.12．设,x y 满足约束条件220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为.13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为.15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，FED CBA a图3重量/克0.0320.02452515O 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为21EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1,直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点" 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，数k 的取值围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．413．222n n -+14115．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯.……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==.……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=，……………11分∴1sin sin AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，……………1分 解得0.03x =.……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）.……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分ξ的取值为0,1,2,3，……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB .……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形.……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB=∴EM =……………3分M O H F E D C B A 在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥.……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC ⊥.……………5分∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF .……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==.……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO .……………10分∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD .……………11分∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角.……………12分在Rt △AOE 中，tan AOAEO EO∠==……………13分∴直线AE 与平面BDE .……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==.……………7 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD .……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--.……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-.……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=.……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE .……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--，……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=.……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=.……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-.……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++，……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++，……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+.……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-.……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-.……………5分 又10a =适合上式，……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅.……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，②……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅.……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-.………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线.……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =.……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+, 1y =+,……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =.……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440xkx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-.……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-.……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++.……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==.……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++.……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=.……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.…………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+.……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+.…………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+.……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =.……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=.……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+，∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--.……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=.……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤.……………8分 ∴所求k 的取值围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立.……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.. .- 优选 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x -+>，与题设矛盾.…………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意.………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+.………7分而()2222ln 2x kg x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x -+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <.故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意.……………8分综上所述，k 的取值围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022xx x -+<，可化为21ln 2x x x -<，…10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+.……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+……………13分223222n n n n --=+.……………14分。

2019年白云区初中毕业班综合测试二(数学答案)(19-5-21)

2019年白云区初中毕业班综合测试二(数学答案)(19-5-21)

.2019年白云区初中毕业班综合测试（二）数学参考答案及评分标准三、解答题17．（本小题满分9分）解：原式=2×21－(－2)－6…………………………………………………………………………4分 =1+2－6………………………………………………………………………………………8分 =－3…………………………………………………………………………………………9分18．（本小题满分9分）证明：在 ABCD 中，∵AD = BC ， ………………………………………………………………………………………2分 FD=EB ，∴AD －FD = BC －EB .……………………………………………………………………………4分 即AF = EC .………………………………………………………………………………………5分 在 ABCD 中，∵AD ∥BC ， 即AF ∥EC .……………………………………………………………………7分 ∴四边形AECF 是平行四边形. …………………………………………………………………9分（第18题图）解：22a b a b a b--- =22a b a b--…………………………………………………………………………………………………2分 =()()+a b a b a b-- ………………………………………………………………………………………4分=+a b . …………………………………………………………………………………………………6分 方法一：2540x x -+=．()()410x x --=．…………………………………………………………………………7分解得1=4x 或2=1x ．……………………………………………………………………………………8分∵a 、b (a b >)是方程2540x x -+=的两个不相等的实数根，∴ a =4，b =1．…………………………………………………………………………………9分 ∴原式=+=4+1=5a b . ………………………………………………………………………………10分 方法二：∵a 、b (a b >)是方程2540x x -+=的两个不相等的实数根，∴ a + b = 5，…………………………………………………………………………………8分 ∴原式=5． …………………………………………………………………………………10分20．（本小题满分10分） 答：…………………………………………………………………………4分（2）这两天最低气温之差是 3 ℃； …………………………………………………………6分 （3）23S < 25S ，………………………………………………………………………………8分2019年 3 月份的更稳定. ………………………………………………………………10分解：(1) 由图①可得，当0≤t ≤30时，可设日销售量w ＝k t ． ∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60＝30k ．∴ k ＝2．即w ＝2 t ．………………………………………………………………3分 当30<t ≤40时，可设日销售量w ＝k 1t +b ． ∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴ ⎩⎨⎧+=+=bk b k 114003060解得 k 1＝－6，b ＝240．…………………………………………………………………………6分 ∴w ＝－6t ＋240．综上所述，日销售量03020260043t t t w t ⎧=⎨-+≤≤<≤⎩）4（（）（当0≤t ≤30时，日销售量w ＝2t ；当30 < t ≤40时，日销售量w ＝－6t ＋240．） …7分 (2)由图①知，当t ＝30（天）时，日销售量w 达到最大，最大值60w =max （件）；……8分 又由图②知，当t ＝30（天）时，产品A 的日销售利润y 达到最大，最大值60y =max （元/件）．…………………………………………………………………………9分∴当t ＝30（天）时，日销售量利润Q 最大，…………………………………………………10分最大日销售利润60603600Q w y =∙=⨯=max max max （元）．答：第一批产品A 上市后30天，这家商店日销售利润Q 最大，日销售利润Q 最大是3600元． …………………………………………………………………………………………………………12分 22．（本小题满分12分）解：过点B 作BF ⊥AD 、BE ⊥CD ，垂足分别为E 、F ……………………………………………2分在Rt △ABF 中，∵∠F AB =60º，………………………………………………………………………………3分∴AF =AB co s ∠F AB =20×12 =10. ………………5分在Rt △BCE 中，∵∠EBC =45º，BC =40. ………………6分∴BE =BC co s ∠EBC =40×22=20 2 . …8分 在矩形BEDF 中，FD = BE =20 2 ，∴AD = AF +FD =10+20 2 .…………………11分 答：AD 的长约为（10+20 2 ）米. ……………12分F E花园人工湖CBAD北23．（本小题满分12分）解：(1) 令y =0，得kx -8k=0，∵k ≠0，解得x =8，2分∴直线l 与x 轴的交点N 的坐标为(8，0) ．4分(2)连结OB ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ． ∴点O 到直线AB 的距离为线段 OD 的长度．∵⊙O 的半径为5，∴OB = 5．又∵AB = 6， ∴BD =116322AB =⨯=． ………………………………………………………………6分 在Rt △OBD 中，∵∠ODB =90°，∴OD =OB 2-BD 2 = 52-32 =4 ．答：点O 到直线AB 的距离为4．…………………………………………………………………8分(3) 由(1)得N 的坐标为(8，0)，∴ON = 8.由(2)得OD = 4.方法一：∴在Rt △ODN 中，DN =ON 2-OD 2 ==82-42 = 4 3 ．……………………………10分又∵∠OMD + ∠MOD =90°，∠NOD + ∠MOD =90°， ∴∠OMD =∠NOD ．∴Rt △OMD ∽Rt △NOD ， ∴ OM NO = ODND．∴OM =OD ND ·NO = 443 ×8 =8 33 ．………………11分 ∴直线AB 与y 轴的交点为（0，8 33）. ………………………………………12分 方法二：∴在Rt △OND 中，41sin 82OD OND ON ∠===. ………………………………………9分 ∴∠OND =30°. …………………………………………………………………………10分 ∵在Rt △OMN 中，tan OM ON OND =∠， ∴838tan 30=OM =.…………………………………………………………………11分 ∴直线AB 与y 轴的交点为（0，8 33）. ………………………………………12分24．（本小题满分14分） 解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠CAB = 60°，∠ACB = 90°， ∴∠ABC = 30°． 又∵BC =6，∴OC =BC sin ∠ABC =6sin30°=3． ∴C 点的坐标为(0，3)． 在Rt △COB 中，∴OB =OC cot ∠CBO =3×cot30°=33． ∴B (33，0)． 在Rt △AOC 中，∴AO =OC cot ∠CAO =3×cot60°． ∴A (3-，0)．∵抛物线y = ax 2+ bx + c 经过点C (0，3)，∴c =3．………………………………………………………………………………………………1分 ∵抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 两点，∴330,2730.a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得1,3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………3分综上所述，1, 3.3a b c =-== （2）当等腰Rt △DEF 的直角顶点F 在y 轴负半轴时，∵DE =6，∴OE =OF =362121=⨯=DE ．……………………………………………………………4分 ∴F 点起始位置的坐标为(0，-3)，E 点起始位置的坐标为(3，0)，………………………5分 ∵B (33，0)，∴BE =OB -OE =333-．……………………………………………………………………6分 ∴△DEF 沿x 轴正方向（向右）平移（333-）个单位长度，可使点E 与点B 重合．当点E 与点B 重合时，点F 的坐标为(333-，-3)．……………………………………………………7分 (3)设⊙P 的半径为r ，⊙P 与直线AC 和BC 都相切，有两种情况：①圆心P 1在直线AC 的右侧时，过点P 1作P 1Q 1⊥AC ，垂足为Q 1，作P 1R 1⊥BC ，垂足为R 1． ∵∠ACB = 90°，∴四边形Q 1CR 1P 1是矩形．∵⊙P 1与AC 、BC 相切于点Q 1、R 1， ∴R 1P 1=P 1Q 1，∴矩形Q 1CR 1P 1是正方形．…………………………………………………………………8分 设 Q 1C =CR 1=R 1P 1=P 1Q 1= r 1，∴在Rt △P 1R 1B 中，BR 1=R 1P 1cot ∠CBA = r 1cot 30°=3 r 1， ∴BC =CR 1+BR 1= r 1 +3 r 1=()13+ r 1，又∵BC = 6， ∴()13+ r 1 = 6，∴()()3313321361361-=-=-=+=r ………………………………………9∴P 1B = 2R 1P 1=2r 1 =()236， ∴OP 1= OB -BP 1=()33663633-=--， ∴P 1的坐标为(336-，0)． ∵OE =3，∴(1136 3.EP OE OP =-=--=∴把△DEF 沿x 轴负方向（向左）平移()3个单位长度，可使⊙E 与直线AC 和BC 均相切．………………………………………………………………………………………10分②当圆心P 2在直线AC 的左侧时，过点P 2作P 2Q 2⊥AC ，垂足为Q 2，作P 2R 2⊥BC ，垂足为R 2． ∵∠ACB = 90°， ∴∠R 2CQ 2 = 90°，∵⊙P 2与AC 、BC 相切于点Q 2、R 2，∴矩形Q 2CR 2P 2是正方形．…………………………………………………………………11分 设 Q 2C =CR 2=R 2P 2=P 2Q 2= r 2，∴在Rt △P 2R 2B 中，BR 2=R 2P 2cot ∠CBA = r 2cot 30°=3 r 2， ∴BC =BR 2-CR 2 =3 r 2 - r 2 =()13- r 2，又∵BC = 6， ∴()13- r 2 = 6，∴()()33313321361362+=+=+=-=r ，……………………………………12分∴P 2B = 2R 2P 2=2r 2 =()6363332+=+，∴OP 2= BP 2 - OB =33633636+=-+， ∴P 2的坐标为(6--，0)． ∵OE =3，2OP =∴(22+3+EP OE OP ===∴把△DEF 沿x 轴负方向（向左）平移(个单位长度，可使⊙E 与直线AC 和BC 均相切．……………………………………………………………………………………………13分⊙E与直线AC 和BC 均相切．……………………………………………………………………………14分A BF G25．（本小题满分14分）（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴CE =FE ，AD =DC ，∠CEF =90°，AD ∥EF ．∴∠1＝∠2．在△AMD 和△FMN 中，∵ 1234MA MF ⎧⎪⎨⎪∠∠∠∠⎩＝，＝，＝，∴△AMD ≌△FMN ．……………………3分（2）答：△DEM 是等腰直角三角形． 证明：由（1）得△AMD ≌△FMN ，∴MD =MN ，AD =FN ． …………………………………………………………………………4分 在正方形ABCD 中，∵AD =DC ，∴DC =NF ．…………………………………………………………………………5分 又∵EC =EF ，∴EC - DC =EF - NF 即 ED =EN ． ………………………………………………6分 又∵∠DEN =90°，∴△DEN 是等腰直角三角形．∴EM ⊥MD ，ME =MD ． …………………………………………………………………………7分 ∴△DEM 是等腰直角三角形． …………………………………………………………………8分（3）答：仍然成立．证法一：如图，在MN 上截取MP =MD ，连结EP 、FP ，延长FP 与DC 延长线交于点H ．……………………………………………………………………………9分在△AMD 和△FMP 中，∵ 12MA MF MD MP ⎧⎪⎩∠⎪∠⎨＝，＝，＝， ∴△AMD ≌△FMP ．∴∠3＝∠4，AD =PF ．…………………………又∵四边形ABCD 、四边形CGFE 均为正方形， ∴CE =FE ，AD =DC ，∠ADC ＝90°，∠CEF =∠ADC =∠EFG =∠ECG ＝90°． ∴DC =PF ．∵∠3＝∠4，∴AD ∥FH ．∴∠H ＝∠ADC ＝90°． ∵∠G ＝90°，∠5＝∠6， ∠GCH ＝180°-∠H -∠5，N B∠GFH＝180°-∠G -∠6，∴∠GCH＝∠GFH．∵∠GCH＋∠DCE＝∠GFH＋∠PFE＝90°，∴∠DCE＝∠PFE．………………………………………………………………………………11分在△DCE和△PFE中，∵DC PFDCE PFECE FE∠⎪⎨⎪⎩∠⎧＝，＝，＝，∴△DCE≌△PFE．∴ED=EP，∠DEC=∠PEF．……………………………………………………………………12分∵∠CEF＝90°，∴∠DEP＝90°．∴△DEP是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME=MD．…………………………………………………………………………13分∴△DEM是等腰直角三角形．…………………………………………………………………14分证法二：过点F作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于P、H，连结EP．（与证法一相近，评分标准参照证法一）。

2019年白云区初中毕业班数学2模试卷及答案

2019年白云区初中毕业班数学2模试卷及答案

2019年白云区初中毕业班综合测试（二）数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟，不能．．使用计算器． 注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算20所得结果是（ ＊ ）． （A ）0（B ）1（C ）2（D ）122．下列运算正确的是（ ＊ ）． （A ）()222a b a b -=-（B ）()222a b a b +=+（C ）()422a bab =（D ）()236aa =3．下列调查方式，合适的是（ ＊ ）．（A ）要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式（B ）要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式 （C ）要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式（D ）要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4．若分式211x x --的值为0，则实数x 的值为（ ＊ ）．（A ）-1 （B ）1± （C ）0（D ）15．解方程51123x x --+=时，去分母后得到的方程是（ ＊ ）． （A ）()()35211x x -+-=（B ）()35211x x -+-=（C ）()()35216x x -+-=（D ）()35216x x -+-=6．下列函数中，当x >0时， y 随x 的增大而增大的是（ ＊ ）． （A ）21y x =-+（B ）2y x=（C ）221y x =-+ （D ）2y x =7．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点E 重合，折痕为线段DF ，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF 的面积为4，则AC =（ ＊ ）． （A（B（C（D8．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，过点C 作∥CE BD ，交AB 延长线于点E ，对角线AC BD 、相交于点O ，下列结论中，错误的是（ ＊ ）．（A ）△AOB ∽△COD （B ）=AOB ACB ∠∠ （C ）四边形BDCE 是平行四边形（D ）AODBOC SS =△△9．在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（ ＊ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）（第9题图）（第8题图）FEDCBA（第7题图）10．0k ≠，函数y kx k =-与ky x=在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ＊ ）．第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：263ab ab ÷12．不等式组1235-x x ⎧<⎪⎨⎪+⎩13．如图，如果AE BD ∥，CD =20，CE =36，AC =27，那么BC = ＊ ．14．某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是 ＊ ．15．一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了 ＊ 道题．16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 垂直平分BD ，∠BAD =120°，AB =4，点E 是AB 的中点，点F 是AC 上一动点，则EF +BF 的最小值是 ＊．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分）计算： 2sin30°-11--2⎛⎫⎪⎝⎭（第13题图）E DCB A （第16题图）FEDCBAxxxx18．（本小题满分9分）如图，在 ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、DA 上，且FD =EB ．求证：四边形AECF 是平行四边形.19．（本小题满分10分）已知a 、b (a b >)是方程2540x x -+=的两个不相等的实数根，求22a b a b a b---的值. 20．（本小题满分10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）3月份 3月份 5月份图①图②图③（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图； （2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是 ＊ ℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用25S 表示5月份的方差；用23S 表示3月份的方差，比较大小：23S ＊ 25S ；比较3月份与5月份， ＊ 月份的更稳定．21．（本小题满分12分）某商场销售产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A 上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w 与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A 的销售利润y 与上市时间t 的关系．(1) 观察图①，试写出第一批产品A 的日销售量w 与上市时间t 的关系；(2) 第一批产品A 上市后，哪一天这家商店日销售利润Q 最大？日销售利润Q 最大是多少元？（日销售利润=每件产品A 的销售利润×日销售量）（第20题图）（第18题图）最低气温（℃）（第22题图）花园人工湖C B AD北上市时间t （天）O 204060每件产品A 的销售利润y （元/件）日销售量w （件）上市时间t （天）604030O图① 图②22．（本小题满分12分）某校初三(1)班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是小路，小东同学进行如下测量：D 点在A 点的正北方向，B 点在A 点的北偏东60º方向，C 点在B 点的北偏东45º方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB =20米，BC =40米，求AD 的长. (结果保留根号)23．（本小题满分12分）如图，⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 上，过点A 的直线l 与⊙O 相交于点B ，AB =6，以直线l 为图象的一次函数解析式为y = kx -8k (k 为常数且k ≠0)． (1) 求直线l 与x 轴交点的坐标；(2) 求点O 到直线AB 的距离； (3) 求直线AB 与y 轴交点的坐标．第23题图l5yxBA O（第21题图）24．（本小题满分14分）如图①，△ABC 表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC 的长为6，以斜边AB 所在直线为x 轴，AB 边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF 的直角顶点F 初始位置落在y 轴的负半轴，斜边DE 始终在x 轴上移动，且DE=6．抛物线y =ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点．（1）求a 、b 、c ；（2）△DEF 经过怎样的平移后，点E 与点B 重合？求出点E 与点B 重合时，点F 的坐标； （3）△DEF 经过怎样的平移后，⊙E 与直线AC 和BC 均相切？（参考数据：2）图①图② （备用图）25．（本小题满分14分）已知：如图①，四边形ABCD 是正方形，在CD 的延长线上任取一点E ，以CE 为边作正方形CEFG ，使正方形ABCD 与正方形CEFG 分居在CD 的两侧，连接AF ，取AF 的中点M ，连接EM 、DM ，DM 的延长线交EF 于点N ． （1）求证：△ADM ≌△FNM ； （2）判断△DEM 的形状，并加以证明； （3）如图②，将正方形CEFG 绕点C 按逆时针方向旋转n °（30< n <45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．图①图②（第25题图）BB（第24题图）2019年白云区初中毕业班综合测试（二）数学参考答案及评分标准三、解答题17．（本小题满分9分）解：原式=2×21－(－2)－6…………………………………………………………………………4分 =1+2－6………………………………………………………………………………………8分 =－3…………………………………………………………………………………………9分18．（本小题满分9分）证明：在 ABCD 中，∵AD = BC ， ………………………………………………………………………………………2分 FD=EB ，∴AD －FD = BC －EB .……………………………………………………………………………4分 即AF = EC .………………………………………………………………………………………5分 在 ABCD 中，∵AD ∥BC ， 即AF ∥EC .……………………………………………………………………7分 ∴四边形AECF 是平行四边形. …………………………………………………………………9分（第18题图）解：22a b a b a b--- =22a b a b--…………………………………………………………………………………………………2分 =()()+a b a b a b-- ………………………………………………………………………………………4分=+a b . …………………………………………………………………………………………………6分 方法一：2540x x -+=．()()410x x --=．…………………………………………………………………………7分解得1=4x 或2=1x ．……………………………………………………………………………………8分∵a 、b (a b >)是方程2540x x -+=的两个不相等的实数根，∴ a =4，b =1．…………………………………………………………………………………9分 ∴原式=+=4+1=5a b . ………………………………………………………………………………10分 方法二：∵a 、b (a b >)是方程2540x x -+=的两个不相等的实数根，∴ a + b = 5，…………………………………………………………………………………8分 ∴原式=5． …………………………………………………………………………………10分20．（本小题满分10分） 答：…………………………………………………………………………4分（2）这两天最低气温之差是 3 ℃； …………………………………………………………6分 （3）23S < 25S ，………………………………………………………………………………8分2019年 3 月份的更稳定. ………………………………………………………………10分解：(1) 由图①可得，当0≤t ≤30时，可设日销售量w ＝k t ． ∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60＝30k ．∴ k ＝2．即w ＝2 t ．………………………………………………………………3分 当30<t ≤40时，可设日销售量w ＝k 1t +b ． ∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴ ⎩⎨⎧+=+=bk b k 114003060解得 k 1＝－6，b ＝240．…………………………………………………………………………6分 ∴w ＝－6t ＋240．综上所述，日销售量03020260043t t t w t ⎧=⎨-+≤≤<≤⎩）4（（）（当0≤t ≤30时，日销售量w ＝2t ；当30 < t ≤40时，日销售量w ＝－6t ＋240．） …7分 (2)由图①知，当t ＝30（天）时，日销售量w 达到最大，最大值60w =max （件）；……8分 又由图②知，当t ＝30（天）时，产品A 的日销售利润y 达到最大，最大值60y =max （元/件）．…………………………………………………………………………9分∴当t ＝30（天）时，日销售量利润Q 最大，…………………………………………………10分最大日销售利润60603600Q w y =∙=⨯=max max max （元）．答：第一批产品A 上市后30天，这家商店日销售利润Q 最大，日销售利润Q 最大是3600元． …………………………………………………………………………………………………………12分 22．（本小题满分12分）解：过点B 作BF ⊥AD 、BE ⊥CD ，垂足分别为E 、F ……………………………………………2分在Rt △ABF 中，∵∠F AB =60º，………………………………………………………………………………3分∴AF =AB co s ∠F AB =20×12 =10. ………………5分在Rt △BCE 中，∵∠EBC =45º，BC =40. ………………6分∴BE =BC co s ∠EBC =40×22=20 2 . …8分 在矩形BEDF 中，FD = BE =20 2 ，∴AD = AF +FD =10+20 2 .…………………11分 答：AD 的长约为（10+20 2 ）米. ……………12分F E花园人工湖CBAD北23．（本小题满分12分）解：(1) 令y =0，得kx -8k=0，∵k ≠0，解得x =8，2分∴直线l 与x 轴的交点N 的坐标为(8，0) ．4分(2)连结OB ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ． ∴点O 到直线AB 的距离为线段 OD 的长度．∵⊙O 的半径为5，∴OB = 5．又∵AB = 6， ∴BD =116322AB =⨯=． ………………………………………………………………6分 在Rt △OBD 中，∵∠ODB =90°，∴OD =OB 2-BD 2 = 52-32 =4 ．答：点O 到直线AB 的距离为4．…………………………………………………………………8分(3) 由(1)得N 的坐标为(8，0)，∴ON = 8.由(2)得OD = 4.方法一：∴在Rt △ODN 中，DN =ON 2-OD 2 ==82-42 = 4 3 ．……………………………10分又∵∠OMD + ∠MOD =90°，∠NOD + ∠MOD =90°， ∴∠OMD =∠NOD ．∴Rt △OMD ∽Rt △NOD ， ∴ OM NO = ODND．∴OM =OD ND ·NO = 443 ×8 =8 33 ．………………11分 ∴直线AB 与y 轴的交点为（0，8 33）. ………………………………………12分 方法二：∴在Rt △OND 中，41sin 82OD OND ON ∠===. ………………………………………9分 ∴∠OND =30°. …………………………………………………………………………10分 ∵在Rt △OMN 中，tan OM ON OND =∠， ∴838tan 30=3OM =.…………………………………………………………………11分 ∴直线AB 与y 轴的交点为（0，8 33）. ………………………………………12分24．（本小题满分14分） 解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠CAB = 60°，∠ACB = 90°， ∴∠ABC = 30°． 又∵BC =6，∴OC =BC sin ∠ABC =6sin30°=3． ∴C 点的坐标为(0，3)． 在Rt △COB 中，∴OB =OC cot ∠CBO =3×cot30°=33． ∴B (33，0)． 在Rt △AOC 中，∴AO =OC cot ∠CAO =3×cot60°． ∴A (3-，0)．∵抛物线y = ax 2+ bx + c 经过点C (0，3)，∴c =3．………………………………………………………………………………………………1分 ∵抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 两点，∴330,2730.a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得1,33a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………3分综上所述，1, 3.3a b c =-== （2）当等腰Rt △DEF 的直角顶点F 在y 轴负半轴时，∵DE =6，∴OE =OF =362121=⨯=DE ．……………………………………………………………4分 ∴F 点起始位置的坐标为(0，-3)，E 点起始位置的坐标为(3，0)，………………………5分 ∵B (33，0)，∴BE =OB -OE =333-．……………………………………………………………………6分 ∴△DEF 沿x 轴正方向（向右）平移（333-）个单位长度，可使点E 与点B 重合．当点E 与点B 重合时，点F 的坐标为(333-，-3)．……………………………………………………7分 (3)设⊙P 的半径为r ，⊙P 与直线AC 和BC 都相切，有两种情况：①圆心P 1在直线AC 的右侧时，过点P 1作P 1Q 1⊥AC ，垂足为Q 1，作P 1R 1⊥BC ，垂足为R 1． ∵∠ACB = 90°，∴四边形Q 1CR 1P 1是矩形．∵⊙P 1与AC 、BC 相切于点Q 1、R 1， ∴R 1P 1=P 1Q 1，∴矩形Q 1CR 1P 1是正方形．…………………………………………………………………8分 设 Q 1C =CR 1=R 1P 1=P 1Q 1= r 1，∴在Rt △P 1R 1B 中，BR 1=R 1P 1cot ∠CBA = r 1cot 30°=3 r 1， ∴BC =CR 1+BR 1= r 1 +3 r 1=()13+ r 1，又∵BC = 6， ∴()13+ r 1 = 6，∴()()3313321361361-=-=-=+=r ………………………………………9∴P 1B = 2R 1P 1=2r 1 =()236， ∴OP 1= OB -BP 1=()33663633-=--， ∴P 1的坐标为(336-，0)． ∵OE =3，∴(1136 3.EP OE OP =-=--=∴把△DEF 沿x 轴负方向（向左）平移()3个单位长度，可使⊙E 与直线AC 和BC 均相切．………………………………………………………………………………………10分②当圆心P 2在直线AC 的左侧时，过点P 2作P 2Q 2⊥AC ，垂足为Q 2，作P 2R 2⊥BC ，垂足为R 2． ∵∠ACB = 90°， ∴∠R 2CQ 2 = 90°，∵⊙P 2与AC 、BC 相切于点Q 2、R 2，∴矩形Q 2CR 2P 2是正方形．…………………………………………………………………11分 设 Q 2C =CR 2=R 2P 2=P 2Q 2= r 2，∴在Rt △P 2R 2B 中，BR 2=R 2P 2cot ∠CBA = r 2cot 30°=3 r 2， ∴BC =BR 2-CR 2 =3 r 2 - r 2 =()13- r 2，又∵BC = 6， ∴()13- r 2 = 6，∴()()33313321361362+=+=+=-=r ，……………………………………12分∴P 2B = 2R 2P 2=2r 2 =()6363332+=+，∴OP 2= BP 2 - OB =33633636+=-+， ∴P 2的坐标为(6--，0)． ∵OE =3，2OP =∴(22+3+EP OE OP ===∴把△DEF 沿x 轴负方向（向左）平移(个单位长度，可使⊙E 与直线AC 和BC 均相切．……………………………………………………………………………………………13分⊙E与直线AC 和BC 均相切．……………………………………………………………………………14分A BF G25．（本小题满分14分）（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴CE =FE ，AD =DC ，∠CEF =90°，AD ∥EF ．∴∠1＝∠2．在△AMD 和△FMN 中，∵ 1234MA MF ⎧⎪⎨⎪∠∠∠∠⎩＝，＝，＝，∴△AMD ≌△FMN ．……………………3分（2）答：△DEM 是等腰直角三角形． 证明：由（1）得△AMD ≌△FMN ，∴MD =MN ，AD =FN ． …………………………………………………………………………4分 在正方形ABCD 中，∵AD =DC ，∴DC =NF ．…………………………………………………………………………5分 又∵EC =EF ，∴EC - DC =EF - NF 即 ED =EN ． ………………………………………………6分 又∵∠DEN =90°，∴△DEN 是等腰直角三角形．∴EM ⊥MD ，ME =MD ． …………………………………………………………………………7分 ∴△DEM 是等腰直角三角形． …………………………………………………………………8分（3）答：仍然成立．证法一：如图，在MN 上截取MP =MD ，连结EP 、FP ，延长FP 与DC 延长线交于点H ．……………………………………………………………………………9分在△AMD 和△FMP 中，∵ 12MA MF MD MP ⎧⎪⎩∠⎪∠⎨＝，＝，＝， ∴△AMD ≌△FMP ．∴∠3＝∠4，AD =PF ．…………………………又∵四边形ABCD 、四边形CGFE 均为正方形， ∴CE =FE ，AD =DC ，∠ADC ＝90°，∠CEF =∠ADC =∠EFG =∠ECG ＝90°． ∴DC =PF ．∵∠3＝∠4，∴AD ∥FH ．∴∠H ＝∠ADC ＝90°． ∵∠G ＝90°，∠5＝∠6， ∠GCH ＝180°-∠H -∠5，N B∠GFH＝180°-∠G -∠6，∴∠GCH＝∠GFH．∵∠GCH＋∠DCE＝∠GFH＋∠PFE＝90°，∴∠DCE＝∠PFE．………………………………………………………………………………11分在△DCE和△PFE中，∵DC PFDCE PFECE FE∠⎪⎨⎪⎩∠⎧＝，＝，＝，∴△DCE≌△PFE．∴ED=EP，∠DEC=∠PEF．……………………………………………………………………12分∵∠CEF＝90°，∴∠DEP＝90°．∴△DEP是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME=MD．…………………………………………………………………………13分∴△DEM是等腰直角三角形．…………………………………………………………………14分证法二：过点F作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于P、H，连结EP．（与证法一相近，评分标准参照证法一）。

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2019年广东省广州市白云区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a63．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±15．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D．3（x﹣5）+2x﹣1＝66．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了道题．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：S S；比较3月份与5月份，月份的更稳定．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B 点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx﹣8k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．2019年广东省广州市白云区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．【分析】根据：a0＝1（a≠0）可得结论．【解答】解：20＝1，故选：B．【点评】本题考查了零指数幂的计算，比较简单，熟练掌握公式是关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a6【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；C、a2b2＝（ab）2，故此选项错误；D、（a3）2＝a6，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验；B、要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；C、要了解我国15岁少年身高情况，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；D、要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，必须选用普查；故选：D．【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0，x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．5．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D．3（x﹣5）+2x﹣1＝6【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：等式两边同时乘以6可得：3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6，故选：C．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；B、y＝，k＝2＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故B错误；C、y＝﹣2x2+1（x＞0），二次函数，a＜0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故C错误；D、y＝2x，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故D正确．故选：D．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．【分析】根据四边形CDEF是正方形，即可得出CD＝＝2，根据矩形ABCD的面积为6，即可得出AD＝3，再根据勾股定理即可得到AC的长．【解答】解：由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，由折叠可得，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴CD＝＝2，又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，∴Rt△ACD中，AC＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC【分析】根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，故A正确；∵CD∥BE，DB∥CE，∴四边形BDCE是平行四边形，故C正确；∵△ABC的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积＝△ADB的面积＝△AOD的面积+△AOB的面积，∴△AOD的面积＝△BOC的面积，故D正确；∵∠AOB＝∠COD，∴∠DOC＝∠OCE＞∠ACB，故B错误；故选：B．【点评】此题考查相似三角形的判定，关键是根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答．9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．【分析】具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案．【解答】解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合．故选：D．【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解答】解：①当k＞0时，y＝kx﹣k过一、三、四象限；y＝过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx﹣k过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知，只有A选项符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝2b．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2b，故答案为：2b【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．（3分）不等式组的解集是x＞0．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣x＜0得x＞0，解不等式3x+5＞0得x＞﹣，所以不等式组的解集为x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝15．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，∴，即，解得：BC＝15，故答案为：15【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是0.28．【分析】直接利用5各小组的频率之和为1，进而得出答案．【解答】解：∵某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，∴第4组和第5组的频率和为：1﹣0.3﹣0.14＝0.56，∵第4组和第5组的频率相等，∴第5组的频率是：0.28．故答案为：0.28．【点评】此题主要考查了频率的意义，正确得出第4组和第5组的频率和是解题关键．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了19道题．【分析】设他做对了x道题，则小英做错了（25﹣x）道题，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设他做对了x道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，解得：x＝19．故答案为：19．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数列出关于x的一元一次方程是解题的关键．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是2．【分析】连接DF，过E作EG⊥BD于G，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值．【解答】解：如图所示，连接DF，过E作EG⊥BD于G，∵AC垂直平分BD，∴FB＝FD，AB＝AD，∴EF+BF＝EF+FD，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝30°，又∵AB＝4，点E是AB的中点，∴EG＝BE＝1，AH＝AB＝2，∴BG＝，BH＝2，GH＝，∴DH＝2，DG＝3，∴Rt△DEG中，DE＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣（﹣2）﹣6＝1+2﹣6＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】在▱ABCD中，AD＝BC，又BE＝DF，可得AF＝EC，得出AF平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形∴AD＝BC．又∵BE＝DF，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．【分析】利用平方差公式可将原式化简成a+b，再根据方程的系数结合根的判别式可得出a+b＝5，此题得解．【解答】解：﹣＝，＝，＝a+b．∵a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝5，∴原式＝a+b＝5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及平方差公式，利用平方差公式将原式化简成a+b 是解题的关键．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是3℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：S＜S；比较3月份与5月份，3月份的更稳定．【分析】（1）最低气温14℃的有3天，据此补充频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是15﹣12＝3（℃）；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定．【解答】解：（1）最低气温14℃的有3天，所以补充频数分布直方图如下：（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是15﹣12＝3（℃），故答案为3；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定，故但为＜，3．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）根据函数图象中的数据可以求得第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大，并求出Q的最大值．【解答】解：（1）由图①可得，当0≤t≤30时，可设日销售量w＝kt，∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k．∴k＝2，即w＝2t；当30＜t≤40时，可设日销售量w＝k1t+b．∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴，解得，k1＝﹣6，b＝240，∴w＝﹣6t+240．综上所述，日销售量w＝；即当0≤t≤30时，日销售量w＝2t；当30＜t≤40时，日销售量w＝﹣6t+240；（2）由图①知，当t＝30（天）时，日销售量w达到最大，最大值w＝60，又由图②知，当t＝30（天）时，产品A的日销售利润y达到最大，最大值y＝60（元/件），∴当t＝30（天）时，日销售量利润Q最大，最大日销售利润Q＝60×60＝3600（元），答：第一批产品A上市后30天，这家商店日销售利润Q最大，日销售利润Q最大是3600元．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B 点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）【分析】过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F，已知AD＝AF+FD，则分别求得AF、DF的长即可求得AD的长．【解答】解：过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F．在Rt△ABF中，∵∠F AB＝60°，AB＝20，∴AF＝AB cos∠F AB＝20×＝10．在Rt△BCE中，∵∠EBC＝45°，BC＝40，∴BE＝BC cos∠EBC＝40×＝20．在矩形BEDF中，FD＝BE＝20，∴AD＝AF+FD＝10+20．答：AD的长为（10+20）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx﹣8k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．【分析】（1）令y＝0，得kx﹣8k＝0，解出即可；（2）作OD⊥AB，垂足为D．可知点O到直线AB的距离为线段OD的长度，利用勾股定理可得OD的长；（3）介绍两种方法：方法一，先根据勾股定理计算DN的长，证明Rt△OMD∽Rt△NOD，列比例式求OM的长，可得结论；方法二：先得∠OND＝30°．根据30度的正切列式可得OM的长，可得结论．【解答】解：（1）令y＝0，得kx﹣8k＝0，∵k≠0，解得x＝8，∴直线l与x轴的交点N的坐标为（8，0）．（2）连接OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D．∴点O到直线AB的距离为线段OD的长度，∵⊙O的半径为5，∴OB＝5．又∵AB＝6，∴BD＝AB＝＝3．在Rt△OBD中，∵∠ODB＝90°，∴OD＝＝＝4．答：点O到直线AB的距离为4．（3）由（1）得N的坐标为（8，0），∴ON＝8．由（2）得OD＝4．方法一：∴在Rt△ODN中，DN＝＝＝4．又∵∠OMD+∠MOD＝90°，∠NOD+∠MOD＝90°，∴∠OMD＝∠NOD．∵∠ODM＝∠ODN，∴Rt△OMD∽Rt△NOD，∴．∴OM＝•NO＝×8＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．方法二：∴在Rt△OND中，sin∠OND＝＝．∴∠OND＝30°．∵在Rt△OMN中，tan30°＝∴OM＝ON•tan∠OND，∴OM＝8tan30°＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．【点评】此题考查了一次函数的综合题，考查了待定系数法和解直角三角形，三角形相似的性质和判定，同时也利用了垂径定理和勾股定理解决问题，难度适中．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）【分析】（1）通过解直角三角形可求出点A，B，C的坐标，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出a，b，c的值；（2）求出当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时点E，F的坐标，结合点B的坐标可得出将△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3﹣3）个单位长度可使点E与点B重合，再结合点F的坐标即可得出平移后点F的坐标；（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，分两种情况考虑：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，则四边形Q1CR1P1是正方形，设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，在Rt△P1R1B中通过解直角三角形BR1＝r1，进而可得出BC＝（+1）r1，结合BC＝6可求出r1的值，由BR1＝r1，结合OP1＝OB﹣BP1可求出点P1的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF 沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）个单位长度可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，则四边形Q2CR2P2是正方形，同理，可求出点P2的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度可使⊙E与直线AC 和BC均相切．综上，此题得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6，∴∠ABC＝30°，OC＝BC•sin∠ABC＝6×sin30°＝3，∴点C的坐标为（0，3）；在Rt△COB中，OC＝3，∠OBC＝30°，∴OB＝OC•cot∠OBC＝3×cot30°＝3，∴点B的坐标为（3，0）；在Rt△AOC中，OC＝3，∠CAO＝60°，∴AO＝OC•cot∠CAO＝3×cot60°＝，∴点A的坐标为（﹣，0）．将A（﹣，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴a＝﹣，b＝，c＝3．（2）当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时，∵DE＝6，∴OE＝OF＝DE＝×6＝3，∴点F起始位置的坐标为（0，﹣3），点E起始位置的坐标为（3，0）．∵点B的坐标为（3，0），∴BE＝OB﹣OE＝3﹣3，∴△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3﹣3）个单位长度，可使点E与点B重合，∴当点E与点B重合时，点F的坐标为（3﹣3，﹣3）．（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，有两种情况：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，如图③所示．∵∠ACB＝90°，∴四边形Q1CR1P1是矩形．∵⊙P1与AC、BC相切于点Q1、R1，∴R1P1＝P1Q1，∴矩形Q1CR1P1是正方形．设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，∴在Rt△P1R1B中，BR1＝R1P1cot∠CBA＝r1cot30°＝r1，∴BC＝CR1+BR1＝r1+r1＝（+1）r1，又∵BC＝6，∴（+1）r1＝6，∴r1＝＝＝3（﹣1）＝3﹣3．∴P1B＝2R1P1＝2r1＝2（3﹣3）＝6﹣6，∴OP1＝OB﹣BP1＝3﹣（6﹣6）＝6﹣3，∴P1的坐标为（6﹣3，0）．∵OE＝3，∴EP1＝OE﹣OP1＝3﹣（6﹣3）＝3﹣3，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，如图④所示．∵∠ACB＝90°，∴∠R2CQ2＝90°，∵⊙P2与AC、BC相切于点Q2、R2，∴矩形Q2CR2P2是正方形．设Q2C＝CR2＝R2P2＝P2Q2＝r2，∴在Rt△P2R2B中，BR2＝R2P2cot∠CBA＝r2cot30°＝r2，∴BC＝BR2﹣CR2 ＝r2 ﹣r2＝（﹣1）r2，又∵BC＝6，∴（﹣1）r2＝6，∴r2＝＝＝3（+1）＝3+3，∴P2B＝2R2P2＝2r2＝2（3+3）＝6+6，∴OP2＝BP2﹣OB＝6+6﹣3＝6+3，∴P2的坐标为（﹣6﹣3，0）．∵OE＝3，OP2＝6+3，∴EP2＝OE+OP2＝3+（6+3）＝9+3，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．综上所述，把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）或（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．【点评】本题考查了解直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形、正方形的判定与性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出a，b，c的值；（2）利用等腰直角三角形的性质求出点E，F的坐标；（3）分两种情况求出点P的坐标（即点E移动到的位置）．25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）①根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可；②在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠CEF＝90°，AD∥EF．∴∠1＝∠2．在△AMD和△FMN中，∵∴△AMD≌△FMN（ASA）（2）答：△DEM是等腰直角三角形．由（1）得△AMD≌△FMN，∴MD＝MN，AD＝FN．在正方形ABCD中，∵AD＝DC，∴DC＝NF，又∵EC＝EF，∴EC﹣DC＝EF﹣NF，即ED＝EN．又∵∠DEN＝90°，∴△DEN是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD．∴△DEM是等腰直角三角形；（3）答：仍然成立．如图，在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H．在△AMD和△FMP中，∵∴△AMD≌△FMP（SAS）．∴∠3＝∠4，AD＝PF，又∵四边形ABCD、四边形CGFE均为正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠ADC＝90°，∠CEF＝∠ADC＝∠EFG＝∠ECG＝90°．∴DC＝PF．∵∠3＝∠4，∴AD∥FH．∴∠H＝∠ADC＝90°．∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∠GCH＝180°﹣∠H﹣∠5，∠GFH＝180°﹣∠G﹣∠6，∴∠GCH＝∠GFH．∵∠GCH+∠DCE＝∠GFH+∠PFE＝90°，∴∠DCE＝∠PFE，在△DCE和△PFE中，∵∴△DCE≌△PFE（SAS）．∴ED＝EP，∠DEC＝∠PEF，∵∠CEF＝90°，∴∠DEP＝90°．∴△DEP是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD，∴△DEM是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是四边形的综合题，关键是根据正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的判定进行解答．。

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