余弦定理课件
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《高中数学余弦定理》课件
及解决相关问题。
2. 余弦定理的证明
证明方法一：向量方法
通过向量的运算，我们可以推导出余弦定理的公式，并理解其几何意义。
证明方法二：平面几何方法
通过平面几何的推导，我们可以清晰地展示余弦定理的正确性和适用范围。
3. 应用举例
1
求三角形的边长或角度
余弦定理可以帮助我们计算未知边长或
求三角形的面积
2
《高中数学余弦定理》 PPT课件
欢迎大家来到今天的课堂！在本节课中，我们将学习和探讨高中数学中的一 个重要定理：余弦定理。
1. 余弦定理的概念及含义
• 余弦定理，它是一个用于求解三角形边长和角度的重要定理。 • 通过余弦定理的公式，我们可以推导出三角形内角的余弦值与边长之
间的关系。 • 余弦定理的含义是帮助我们理解三角形内角度和边长之间的关系，以
角度，解决各种实际问题。
通过余弦定理和其他几何方法，我们可
以计算出三角形的面积。
3
求点与线段之间的距离
余弦定理也可以应用于求解点与线段之 间的距离，解决空间几何问题。
4. 注意点
1 根据余弦定理注意事项
在应用余弦定理时，需要注意边长和角度的对应关系，以及角度值的范围。
2 计算过程中需要注意的细节
使用余弦定理进行计算时，需要注意计算精度、单位转换等细节，避免出现错误。
5. 总结回顾
余弦定理的重要性
余弦定理是解决三角形相关问 题的基础，具有重要的理论和 实际意义。
余弦定理的优缺点
余弦定理可以解决各种复杂问 题，但在某些情况下，也有其 局限性和适用范围。
余弦定理的实际应用 场景
除了数学领域，余弦定理Байду номын сангаас广 泛应用于物理、工程、计算机 图形学等领域。
2. 余弦定理的证明
证明方法一：向量方法
通过向量的运算，我们可以推导出余弦定理的公式，并理解其几何意义。
证明方法二：平面几何方法
通过平面几何的推导，我们可以清晰地展示余弦定理的正确性和适用范围。
3. 应用举例
1
求三角形的边长或角度
余弦定理可以帮助我们计算未知边长或
求三角形的面积
2
《高中数学余弦定理》 PPT课件
欢迎大家来到今天的课堂！在本节课中，我们将学习和探讨高中数学中的一 个重要定理：余弦定理。
1. 余弦定理的概念及含义
• 余弦定理，它是一个用于求解三角形边长和角度的重要定理。 • 通过余弦定理的公式，我们可以推导出三角形内角的余弦值与边长之
间的关系。 • 余弦定理的含义是帮助我们理解三角形内角度和边长之间的关系，以
角度，解决各种实际问题。
通过余弦定理和其他几何方法，我们可
以计算出三角形的面积。
3
求点与线段之间的距离
余弦定理也可以应用于求解点与线段之 间的距离，解决空间几何问题。
4. 注意点
1 根据余弦定理注意事项
在应用余弦定理时，需要注意边长和角度的对应关系，以及角度值的范围。
2 计算过程中需要注意的细节
使用余弦定理进行计算时，需要注意计算精度、单位转换等细节，避免出现错误。
5. 总结回顾
余弦定理的重要性
余弦定理是解决三角形相关问 题的基础，具有重要的理论和 实际意义。
余弦定理的优缺点
余弦定理可以解决各种复杂问 题，但在某些情况下，也有其 局限性和适用范围。
余弦定理的实际应用 场景
除了数学领域，余弦定理Байду номын сангаас广 泛应用于物理、工程、计算机 图形学等领域。
高中数学《余弦定理》课件
20
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解析 (1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得 a∶ b∶c＝7∶5∶3，∴边 a 最大．又 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23，
29
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 3】 在△ABC 中，若(a－ccosB)sinB＝(b －ccosA)sinA，判断△ABC 的形状．
解 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法 一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用 解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
19
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 2】 (1)在△ABC 中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__1_2_0_°___；
(2)在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长．
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理PPT优秀课件
∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
高中数学《余弦定理》精品PPT课件
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB
c
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
余弦定理 课件
（角度精确到1′）
解：由余弦定理的推论得
cos A b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62 0.5543,
2bc
2 87.8 161.7
A≈56°20′;
cos B c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82 0.8398,
2ca
2 134.6 161.7
B D C
∴ AB= 13 . 猜想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
三.疑难解惑1
•从什么途径来解决问题1?
长度、方向是向量的特征.联系已学过的 知识，运用向量工具解决三角形中的度量问 题.
证明猜想：
证明：在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推 广，或者说勾股定理是余弦定理的特例.
归纳总结余弦定理的作用：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关 三角形的问题
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和 其他两个角； （2）已知=8,c=3,A= 60°，求a.
a²= b²+c²－2bccosA = 64+9－2×8×3cos 60° = 49，
余弦定理
一.目标导学
1.能否从量化的角度研究已知三角形的两边 及夹角求出它的另一边和另两个角的问题?
2.能从什么途径来解决问题1呢?
3.怎么确定解决已知三角形的三边求三角 形的角的问题?
4.从余弦定理和余弦函数的性质你能推 出什么结论吗?
二.主体自学
•1.能从什么途径来解决问题1呢? •2.怎么确定解决已知三角形的三边求三 角形的角的问题?
•3.从余弦定理和余弦函数的性质你能 推出什么结论吗?
解：由余弦定理的推论得
cos A b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62 0.5543,
2bc
2 87.8 161.7
A≈56°20′;
cos B c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82 0.8398,
2ca
2 134.6 161.7
B D C
∴ AB= 13 . 猜想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
三.疑难解惑1
•从什么途径来解决问题1?
长度、方向是向量的特征.联系已学过的 知识，运用向量工具解决三角形中的度量问 题.
证明猜想：
证明：在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推 广，或者说勾股定理是余弦定理的特例.
归纳总结余弦定理的作用：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关 三角形的问题
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和 其他两个角； （2）已知=8,c=3,A= 60°，求a.
a²= b²+c²－2bccosA = 64+9－2×8×3cos 60° = 49，
余弦定理
一.目标导学
1.能否从量化的角度研究已知三角形的两边 及夹角求出它的另一边和另两个角的问题?
2.能从什么途径来解决问题1呢?
3.怎么确定解决已知三角形的三边求三角 形的角的问题?
4.从余弦定理和余弦函数的性质你能推 出什么结论吗?
二.主体自学
•1.能从什么途径来解决问题1呢? •2.怎么确定解决已知三角形的三边求三 角形的角的问题?
•3.从余弦定理和余弦函数的性质你能 推出什么结论吗?
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
余弦定理_PPT课件
人教版A版 高中数学必修5 第一章《解三角形》
1.1.2 余弦定理
复习回顾
1.正弦定理
abc sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用
C
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
b
a
另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另
A
B 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下： 若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解; 若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
＝2R
（R为△ABC 外接圆半径）
补充作业
O
∴cosA＝ AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
＝2
√365
,
∴ A≈84°.
A C
x
加深提高： 1.在ABC中，已知 a 7，b 10， c 6，试判断 ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3：5：7， 求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
延伸变形：
cos
A
b2
c2
a2
，
2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1.1.2 余弦定理
复习回顾
1.正弦定理
abc sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用
C
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
b
a
另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另
A
B 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下： 若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解; 若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
＝2R
（R为△ABC 外接圆半径）
补充作业
O
∴cosA＝ AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
＝2
√365
,
∴ A≈84°.
A C
x
加深提高： 1.在ABC中，已知 a 7，b 10， c 6，试判断 ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3：5：7， 求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
延伸变形：
cos
A
b2
c2
a2
，
2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 。 2ab
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1.已知两边及其夹角
﹚
2.已知三边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
思考：怎样确定解决问题的方案？
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
小组合作，相互讨论，展示结果.
几何法:
向量法:
﹚
﹚
D 坐标法:
问题二：已知三边解三角形 探究二:在ABC中,已知 a,b,c ,解三角形.
余弦定理及其推论：
c2 a2 b2 2ab cosC
a2 b2 c2 cos C
2 ab
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 2bc cos A
人教A版必修五第一章解三角形
1.1.2 余弦定理
毓英中学 曾庆国
复习回顾:
1.正弦定理的形式是什么?
a b c 2R sin A sin B sin C
2.正弦定理解决了解三角形的哪些类型？ （1）已知两角和任一边 （2）已知两边和一边的对角
提出问题:
3.对于解三角形，还有哪些类型我们没 有解决呢？
y
﹚
x
c2 a2 b2 2ab cos C
思考：观察上述等式的结构特征，谈一 谈你对等式的理解。
余弦定理
三角形一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
C 60 .
例3 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab，
且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 .
解：由已知得，cos A sinC 2 sin B
即
b2 c2 a2 c
ab.
2bc
2b
又 (a b c)(a b c) 3ab，
(2b c)(2b c) 3b2 ， b c .
2 2 3 1
23 2 3 1 4 2 2 3 1
2 2 3 2 2 3 1
3 1,b 2,a 2,
又0 A
A
4
2 2
例2 在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,
求cosA:cosB:cosC.
例2.在ABC中，若（sin A sin B sinC）（sin A sin B sinC） 3sin Asin B，求 C .
b2 c2 a2 cos A
2 bc
巩固定理：
例：在 ABC中，c 2 3,b 3, A 30, 解三角形.
例1、在ABC中，c 3 1,b 2,a 2, 求角A。
例1、在ABC中，c
求角A。
解：cos A b2 c2 a2 2bc
2
2
3 1 2 22
abc.
故△ABC为等边三角形 .
小结提炼：
已知两边及其夹角
解三角形
已知三边
证 几何法
几何方法 几
明 发
向量法
何 代数方法 问
现
坐标法
题
余弦定理及其推论
由条件 （sin A sin B）2 sin2 C 3sin Asin B
sin2 A sin2 B sin2 C sin Asin B
由正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
2R
(
a 2R
)2
( 2bR
)2
(
c 2R
)2
a 2R
b 2R
a2 b2 c2 ab
1 2
﹚
2.已知三边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
思考：怎样确定解决问题的方案？
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
小组合作，相互讨论，展示结果.
几何法:
向量法:
﹚
﹚
D 坐标法:
问题二：已知三边解三角形 探究二:在ABC中,已知 a,b,c ,解三角形.
余弦定理及其推论：
c2 a2 b2 2ab cosC
a2 b2 c2 cos C
2 ab
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 2bc cos A
人教A版必修五第一章解三角形
1.1.2 余弦定理
毓英中学 曾庆国
复习回顾:
1.正弦定理的形式是什么?
a b c 2R sin A sin B sin C
2.正弦定理解决了解三角形的哪些类型？ （1）已知两角和任一边 （2）已知两边和一边的对角
提出问题:
3.对于解三角形，还有哪些类型我们没 有解决呢？
y
﹚
x
c2 a2 b2 2ab cos C
思考：观察上述等式的结构特征，谈一 谈你对等式的理解。
余弦定理
三角形一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
C 60 .
例3 在△ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab，
且 2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状 .
解：由已知得，cos A sinC 2 sin B
即
b2 c2 a2 c
ab.
2bc
2b
又 (a b c)(a b c) 3ab，
(2b c)(2b c) 3b2 ， b c .
2 2 3 1
23 2 3 1 4 2 2 3 1
2 2 3 2 2 3 1
3 1,b 2,a 2,
又0 A
A
4
2 2
例2 在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,
求cosA:cosB:cosC.
例2.在ABC中，若（sin A sin B sinC）（sin A sin B sinC） 3sin Asin B，求 C .
b2 c2 a2 cos A
2 bc
巩固定理：
例：在 ABC中，c 2 3,b 3, A 30, 解三角形.
例1、在ABC中，c 3 1,b 2,a 2, 求角A。
例1、在ABC中，c
求角A。
解：cos A b2 c2 a2 2bc
2
2
3 1 2 22
abc.
故△ABC为等边三角形 .
小结提炼：
已知两边及其夹角
解三角形
已知三边
证 几何法
几何方法 几
明 发
向量法
何 代数方法 问
现
坐标法
题
余弦定理及其推论
由条件 （sin A sin B）2 sin2 C 3sin Asin B
sin2 A sin2 B sin2 C sin Asin B
由正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
2R
(
a 2R
)2
( 2bR
)2
(
c 2R
)2
a 2R
b 2R
a2 b2 c2 ab
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