《勾股定理中考十三大考点》 经典
勾股定理重点知识汇集
勾股定理知识点一：勾股定理1、勾股定理的内容及其应用范围勾股定理：在R t△ABC三角形中，若∠C=90°,则a2+b2=c2.它应用于任何形状的直角三角形。
注意：在用勾股定理时，要看清楚直角边和斜边（常用分类讨论）例1、已知直角三角形ABC中，AB=3cm，BC=4cm.试求AC的长.知识点二：勾股定理逆定理的内容及其基本应用程序勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
作用于判定某个三角形是否为直角三角形。
判定的一般步骤：（1）先确定最大边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若a2+b2=c2，则∠C=90°。
否则不是！知识点三：勾股定理的应用考点1：已知两边求第三边例1 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，如图1，则吸管长 cm.考点2：勾股定理与方程联手求线段的长例2 如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是 .考点3：用勾股定理逆定理判别一个三角形是否是直角三角形例3 若一个三角形的周长123cm，一边长33cm，其他两边之差为3cm，则这个三角形是 .考点4：规律探索型问题例4 在直线l上依次摆放着七个正方形，如图4.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S 1+S2+S3+S4= .。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
初中数学：勾股定理全章知识点总结大全及重点题型
初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理 直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。
4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明 勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法 ⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。
3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。
初中勾股定理知识点总结
初中勾股定理知识点总结一、勾股定理的表达勾股定理可以简单地表达为：直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
数学符号表达为：设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
勾股定理也可以表示为：由两垂直直线所围成的四边形中，两条相对的边的平方和等于对角线的平方，即AD²+BC²=AB²+CD²。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，其中最常见的是几何证明和代数证明。
几何证明：可通过绘制相似三角形、利用等边三角形的性质等方法来证明。
其中最经典的几何证明是由希腊几何学家毕达哥拉斯提出的，他通过利用平行线的性质和相似三角形的性质来证明了勾股定理。
代数证明：主要是利用了代数运算和方程式的性质来证明。
代数证明的思路是通过将直角三角形的两个直角边的平方相加并把等式两边同除以斜边的平方来得到结果。
三、勾股定理的应用1. 求直角三角形的任意边长：已知两条边长可以利用勾股定理求出第三条边的长，例如已知a、b，求c。
2. 判断三角形的形状：利用勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，如果满足a²+b²=c²的关系则为直角三角形。
3. 计算斜边的长度：在建筑设计、地理测量等领域中，可以利用勾股定理来计算斜边的长度。
4. 描述物体的运动轨迹：物体在做抛物线运动时可以利用勾股定理描述其运动轨迹。
勾股定理是直角三角形中一个重要的基本定理，它对于初中生的数学学习至关重要。
掌握勾股定理不仅可以帮助学生解决数学问题，还可以增强他们的逻辑思维和数学能力。
因此，在学习勾股定理的过程中，学生不仅要理解和掌握勾股定理的表达和证明，还要学会通过勾股定理解决具体问题，提高数学运用能力。
以上就是初中勾股定理的知识点总结，希望能够对初中学生的勾股定理学习有所帮助。
通过对勾股定理的深入了解和掌握，相信学生们可以在数学学习中取得更好的成绩。
《勾股定理中考十三大考点》-经典
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b 2，b2= c2-a2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3, 4, 5 ）（5，12，13 ）（ 6, 8，10 ）（ 7, 24, 25 ）（ 8，15，17 ）（9, 12, 15 ）、考点剖析4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.1. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm 2cm ，则斜边长为 ___________________2.（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和12，求斜边上的高.4、 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、 在 Rt △ ABC 中, Z C=90°①若 a=5，b=12,则 c= ___________ ;②若 a=15，c=25，则 b= __________ ; 6、 如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2-1，2n （n >1），那么它的斜边长是（）2 2A 、2nB 、n+1C 、n — 1D n 1 7、 在Rt △ ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）222 222 222A. a b=cB. a c=bC. c b= aD.以上都有可能2. 如图，以Rt △ ABC 勺三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半 圆的面积之间的关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S i + S 2= S 3C. S 2+S 3V S 1D. S -S=S4、四边形 ABCDK / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形 ABCD 勺面积。
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。
注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。
常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。
二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。
具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。
因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。
1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。
昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。
中考勾股定理知识点总结
中考勾股定理知识点总结勾股定理是许多学生在学习数学时接触到的一个重要内容。
它是一条基本定理，适用的范围非常广泛，对于解决直角三角形的各种问题都有着重要的意义。
勾股定理的内容是对直角三角形中的三条边之间的关系的描述。
具体来说，它是指在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。
这一定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。
在中学数学中，学生通常是在初中阶段接触到勾股定理的。
在初中数学教学中，勾股定理主要涉及到勾股定理的理论内容、勾股定理的应用和勾股定理的证明。
下面，我们就这三个方面对勾股定理的知识点进行总结。
一、勾股定理的理论内容勾股定理规定了直角三角形中三条边之间的关系，它是一个基础而重要的数学定理。
1. 直角三角形直角三角形是一个三角形，其中包含一个直角。
直角三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中角C为直角。
假设直角三角形的斜边长为c，直角边的长度分别为a、b。
2. 勾股定理的表述勾股定理指出在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
3. 勾股定理的要点勾股定理的要点是直角三角形中三条边之间的关系。
斜边的平方等于直角边的平方和。
二、勾股定理的应用勾股定理在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决直角三角形的各种问题。
1. 求边长由勾股定理可知，如果已知直角三角形的两个直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
即c = √(a^2 + b^2)。
2. 验证直角三角形在求解直角三角形的相关问题时，有时需要先验证三角形是否为直角三角形。
这时可以利用勾股定理进行验证。
3. 解决现实问题勾股定理在现实生活中也有着广泛的应用。
比如，利用勾股定理可以计算建筑物的高度、测量地理位置、解决航空航天等问题。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中比较常用的有几何法证明、代数法证明和物理法证明等。
八年级上册数学勾股定理20个常考知识点归纳
八年级上册数学勾股定理20个
常考知识点归纳
八年级上册数学《勾股定理》20个常考知识点归纳_直线_内错角_三角形
八年级上册数学
《勾股定理》20个常考知识点归纳
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理三角形两边的和大于第三边
16、推论三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"
18、推论1直角三角形的两个锐角互余
19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角八年级上册数学解题方法+技巧，暑假熟练掌握，开学无忧！【人教版】七年级数学上册基础知识归纳，暑期预习必备！初中数学30个“知识点记忆口诀”，暑假提前预习背诵！
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勾股定理复习考点全经典
勾股定理复习考点（全)－经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么ａ2 + ｂ２= c2。
公式的变形：a2 = ｃ2- b2， b2= c２-a２。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b２＝ｃ2,那么三角形AＢC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方＋中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
３、勾股数满足a2 ＋b２＝ c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:（3,4，５)（５，12，1３) ( 6，8，10 ) （７，24，25 )( 8,１５，1７) (9，12,１5 ）4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（３）阴影部分是半圆.S 3S 2S 1２． 如图,以Ｒt △ＡBC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、Ｓ３,则它们之间的关系是( )A. S １- S 2＝ S 3 Ｂ. S １+ S 2= S 3 C. S 2+S ３< S 1 D. S 2- Ｓ3=S １4、四边形ABCD 中，∠B ＝90°,AB=3,BC=4，ＣD ＝１２,AD=13,求四边形ABCD 的面积。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c=，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如a b c若三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直a c b角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
初中数学勾股定理必考点汇总
初中数学勾股定理必考点汇总01勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
02勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理☞常见方法如下：方法一：，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：，，化简得证.03勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
04勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题。
05勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
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《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 ) (9，12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．S 3S 2S 12. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍5、在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； 6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+7、在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. 222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c m B、36 2c m C、482c m D、602c m9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、若三角形的三边之比为2:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222+++=++，试判断△ABC的形状。
a b c20012a16b20c8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．考点七：折叠问题1、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,求CF 和EC 。
4、如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长5、 如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2-512、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
ABCEFDAB CD E FG考点八：应用勾股定理解决勾股树问题已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．考点九、图形问题1、如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．2、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 .考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。
考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’的表面上，求从顶点A 到顶点C ’的最短距离．2、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm考点十二、航海问题1、一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。
该货船航行30分钟到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。
AB 东北30︒60︒B ACMD考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5BCAABCC（图1） （图2） （图3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3； ②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．甲乙。