线性代数向量空间的练习题

线性代数向量空间的练习题

一、单项选择题

1．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是由A 的列向量构成的向量组，向量组是由的列向量构成的向量组，则必有

A．若线性无关，则线性无关 B．若线性无关，则线性相关

C．若线性无关，则线性无关 D．若线性无关，则线性相关

2．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法

惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为

A．1 B．2

C．D．4

3．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则

A.?1，?3线性无关

B.?1，?2，?3，?4线性无关

C.?1，?2，?3，?4线性相关

D.?2，?3，?4线性相关 5．向量组?1,?2,?,?s的秩不为零的充分必要条件是 A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组

C．?1,?2,?,?s全是非零向量 B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量

6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=.如果|A|=2，则|-2A|=

A.-3

B.-4

C.D.32

7.设α1，α2，α3，α是三维实向量，则

A. α1，α2，α3，α4一定线性无关

B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C. α1，α2，α3，α4一定线性相关

D. α1，α2，α3一定线性无关

8.向量组α1=，α2=，α3=的秩为

A.1

B.2

C.D.4

9.下列命题中错误的是．．

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则

A.α1必能由α2,α3，β线性表出

C.α3必能由α1,α2，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有

A.α1，α2，α3，α4线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示

D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

二、填空题

1．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________.

2.设向量组?1=,?2=, ?3=线性相关，则数a=________.

3.向量组?1?,?2?,?3?的秩为_____________。

4．已知向量组?1?T,?2?T,?3?T线性相关，则数a?______.

5．设向量组?1?T,?2?T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为______.

6.实数向量空间V={|x1+x2+x3=0}的维数是_________. TT

7.设4维向量??,β=，若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.

8.设α=，则与α反方向的单位向量是_________________.

9.设A为5阶方阵，且r=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

三、计算题

1．求向量组α1=，α2=，α3=的秩.

2.求向量组?1=T，?2=T，?3=T，?4=T的一个极大无关

组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

3.设向量组为 ?1?

?2?

?3? ?4?

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

4．设向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

5.设向量α=，求101.

6.设向量组α1=，α2=，α3=，α4=.

求该向量组的一个极大线性无关组；

将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.设向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的

其余向量。

8.求向量组α1=，α2=，α3=的秩和一个极大无关组.

四、证明题

1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量

组β1，β2，β3线性无关.

2. 证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。

3．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组

?,?2,?3也线性无关．

4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

5. 若α1，α2，α3是Ax=b的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

《第四章向量空间》自测题

分钟）

1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是。

R中，分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量； R中，