线性代数向量空间的练习题

线性代数向量空间的练习题一、单项选择题1．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是由A 的列向量构成的向量组，向量组是由的列向量构成的向量组，则必有A．若线性无关，则线性无关 B．若线性无关，则线性相关C．若线性无关，则线性无关 D．若线性无关，则线性相关2．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为A．1 B．2C．D．43．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则A.?1，?3线性无关B.?1，?2，?3，?4线性无关C.?1，?2，?3，?4线性相关D.?2，?3，?4线性相关 5．向量组?1,?2,?,?s的秩不为零的充分必要条件是 A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组C．?1,?2,?,?s全是非零向量 B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=.如果|A|=2，则|-2A|=A.-3B.-4C.D.327.设α1，α2，α3，α是三维实向量，则A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=，α2=，α3=的秩为A.1B.2C.D.49.下列命题中错误的是．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则A.α1必能由α2,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示二、填空题1．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________.2.设向量组?1=,?2=, ?3=线性相关，则数a=________.3.向量组?1?,?2?,?3?的秩为_____________。

4．已知向量组?1?T,?2?T,?3?T线性相关，则数a?______.5．设向量组?1?T,?2?T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为______.6.实数向量空间V={|x1+x2+x3=0}的维数是_________. TT7.设4维向量??,β=，若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.8.设α=，则与α反方向的单位向量是_________________.9.设A为5阶方阵，且r=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.三、计算题1．求向量组α1=，α2=，α3=的秩.2.求向量组?1=T，?2=T，?3=T，?4=T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.3.设向量组为 ?1??2??3? ?4?求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

4．设向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．5.设向量α=，求101.6.设向量组α1=，α2=，α3=，α4=.求该向量组的一个极大线性无关组；将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.7.设向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

8.求向量组α1=，α2=，α3=的秩和一个极大无关组.四、证明题1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关.2. 证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。

3．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组?,?2,?3也线性无关．4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.5. 若α1，α2，α3是Ax=b的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.《第四章向量空间》自测题分钟）1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是。

R中，分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量； R中，分量是整数的所有向量；R中，分量满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；Rn中，分量满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。

．设R的一组基为?1,?2,?3,?4,令nnn?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??1??4，则子空间W?{k1?1?k2?2?k3?3?k4?4|ki?F,i?1,2,3,4}的维数为，它的一组基为。

. 向量空间Rn 的子空间W?{|x1?x2?0,x1?xn?1?R}的维数为它的一组基为。

a114. 设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即Wa12?a12???aij?R?，则它的维数为，a22一组基为。

??a?5．若A=?b??0??12120?0??0?为正交矩阵，且|A|=－1，则a= ，?1?=。

二、计算题1.设R3的两组基为：?1?,?2?,?3?和?1?,?2?,?3?，TTTTTT向量α=求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。

求α关于这两组基的坐标。

将?1,?2,?3化为一组标准正交基。

2. 在R中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，T?3x1?2x2?5x3?4x4?0??3x1?x2?3x3?3x4?0?3x?5x?13x?11x?0234?13．已知?1,?2,?3是3维向量空间R3的一组基，向量组?1,?2,?3满足?1??3??1??2??3,?1??2??2??3,?2??3??1??3证明：?1,?2,?3是一组基。

求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。

求向量1?2?2??3关于基?1,?2,?3的坐标。

．已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A－E|。

三、证明题1. 设k1??k2??k3??0，且k1k3?0。

证明：L?L。

. 设A为正交矩阵，证明：A为正交矩阵。

3．设A、B为n阶正交矩阵，且|A|?|B|。

证明：A+B 为不可逆矩阵。

*参考答案一、选择、填空1． A2． dimW=3，一组基为?1,?2,?3.3． dimW=n-2，一组基为?1?T,?2?T,?n?2?T． dimW ＝3，一组基为???1?00??0?,??000??0?,??111??。

0??5． a=12，=12二、计算题?1?2?1,?3的过渡矩阵:??2?1??2101?0??1? ??1??1．基?1,?2,?3到基?1,?2 α关于?1,?2,?3的坐标是 α关于?1,?2,?3的坐标是 ?1??13??6?1??1??,??6?3???1??26?3????1???21??。

?,??2??0??,?2?93932．解空间的维数是2，一组基为?1。

3．提示：证明?1,?2,?3与?1,?2,?3等价，从而r=3，线性无关。

?0?,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵为?111?100?精品文档?2?0??基?1,?2。

向量?关于基?1,?2,?3的坐标为。

． A?E?AE?A?1?E?ATAT?E??2k?1?A?E?三、证明题1. 提示：证明两个向量组等价，即{?,?}?{?,?}，则生成子空间L?L。

. 证明：A*T?AA?1?AA?1??AA?1?A?1??AAT?E。

T2TT??A?E?A?E?0。

3．提示：A?B?AE?A?1B?AB?1?A?1B??A?B?A?B?011/ 11。