基于秩次的非参数检验

基于秩次的非参数检验

1. 问题的提出

前面学习了连续型资料两组样本均数差异的假设检验方法：

小样本用t检验，条件是变量服从正态分布和方差齐;大样本用标准正态分布的Z检验。

如果是小样本，变量的分布不清，或者已知不服从正态分布或经变量转换后仍不服从正态分布时，如何检验两个样本或多个样本均数差异的统计学意义呢？

需要一种不依赖于分布假定的检验方法，即非参数检验。

2. 基本概念

前面介绍的检验方法首先假定分析变量服从特定的已知分布（如正态分布），然后对分布参数（如均数）作检验。

这类检验方法称参数检验（parametric test）。

今天介绍的检验方法不对变量的分布作严格假定，检验不针对特定的参数，而是模糊地对变量的中心位置或分布位置作比较。这类检验称非参数检验（nonparametric test），由于其对总体分布不作严格假定，所以又称任意分布检验。（distribution-free test）

非参数检验的优点：

a.不受总体分布的限制，适用范围广。

b.适宜定量模糊的变量和等级变量。

c.方法简便易学。

缺点：

如果是精确测量的变量，并且已知服从或者经变量转换后服从某个特定分布（如正态分布），这时人为地将精确测

量值变成顺序的秩，将丢失部分信息，造成检验功效能下降。基于秩次非参数检验(秩和检验)的基本思想

假设变量X有观察值1.1, 1.3, 1.7, 4.3, 11.4

显然这变量不服从正态分布，观察值间差异较大，既不对称，标准差也较大。但如果将变量作转换，变成秩变量

Y=1,2,3,4,5，则分布对称了，观察值间的差异也均匀了，标准差也减小了。然后对这秩分布的中心位置(中位数)作检验，这就是秩和检验。

7.1 配对样本的符号秩检验（Wilcoxon signed rank test）例7.1为研究出生先后的孪生兄弟间智力是否存在差异，12对孪生兄弟测试的结果见表7.3。

表7.3 12对孪生兄弟测试结果

T +=24.5，T -=41.5

符号秩检验的分布理论：假定有4个差值，如果H 0成立时，这4个差值有同等的概率取正值或负值，即每个值取正值的概率等于1/2。4个差值每种组合发生的可能性就是：

0625

.02

1

212121=⨯⨯⨯=P 。所有可能的秩和情况和T *

的分布见

表7.1。

表7.1 n＝4时所有可能秩和情况和T*的分布

正差数的秩次负差值

的秩次

正秩和

T+

负秩和

T-

检验统计

量T*

概率

P

1,2,3,4 -- 10 0 0 0.0625 2,3,4 1 9 1 1 0.0625 1,3,4 2 8 2 2 0.0625 1,2,4 3 7 3 3 0.1250 3,4 1,2 7 3 3

1,2,3 4 6 4 4 0.1250 2,4 1,3 6 4 4

1,4 2,3 5 5 5 0.1250 2,3 1,4 5 5 5

1,3 2,4 4 6 4 0.1250 4 1,2,3 4 6 4

1,2 3,4 3 7 3 0.1250

3 1,2,

4 3 7 3

2 1,3,4 2 8 2 0.0625

1 2,3,4 1 9 1 0.0625

- 1,2,3,4 0 10 0 0.0625

如果零假设成立，观察的结果应该服从这分布，即出现极端的可能性很小。如果真是出现小概率，那么我们对零假设的真实性产生怀疑，拒绝零假设。

表 7.2 Wilcoxon符号秩检验的判断原则

双侧检验单侧检验(1) 单侧检验(2) 检验假设H0：Md(d)＝0 H0：Md(d)＝0 H0：Md(d)＝0 H1：Md(d)≠0 H1：Md(d)＞0 H1：Md(d)＜0

统计决策：

小样本查表法若T*≤Tα/2(n),

则拒绝H0

若T-≤Tα(n),

则拒绝H0

若T+≤Tα(n),

则拒绝H0

大样本正态近似法 若│Z │＞Z α/2 , 则拒绝H 0 若│Z │＞Z α , 则拒绝H 0 若│Z │＞Z α, 则拒绝H 0

当研究例数较大时(n>50)，秩和T 的分布近似正态分布，可以用正态分布理论作假设检验。

这时正态分布的均数和标准差分别等于： μT ＝n(n ＋1)/4

24/)12)(1(++=n n n T σ 检验的公式为：

24/)12)(1(5

.04/)1(5

.0*

*

++-+-=

--=

n n n n n Z T T T

T σ

μ

具体计算步骤： a. 建立检验假设：

H0: 中位数为零； H1:中位数不等于零；α=0.05

b. 编秩、计算秩和：差数为零不参加编秩，相同差值求平均秩。分别求正号和负号的秩和，取绝对值小的为T。

c. 确定概率：查附表10，在n=11时，T0.05=11。现24.5>11，故p>0.05。

7.2 两独立样本的秩和检验(Wilcoxon rank sum test)

例7.2 在缺氧条件下，观察4只猫与12只兔的生存时间(分)，结果见表7.5。试判断猫、兔在缺氧条件下生存时间的差异是否具有统计学意义。

这是生存时间资料，一般不服从正态分布，样本也较小，需考虑用非参数检验---秩和检验。

秩和检验的基本思想：两组观察值共有n例，设例数较少的组有n1例，按观察值大小顺序分别编秩为1,2,…,n。如