梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常

用技巧

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梯形中添加辅助线的六种常用技巧

浙江唐伟锋

梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——

一、平移一腰

从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm

，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，

∵AD∥BC，DE∥AB

∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm

∴EC=BC－BE=7－2=5cm

在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰

将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为

大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决

梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠

C ，求证：梯形ABC

D 是等腰梯形。

证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点，

∵AD ∥BC

∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）

又∵B=∠C

∴∠EAD=∠EDA

∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边）

∴AB=DC

∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线

从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD=，BC=，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。

解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E

∵AD ∥BC ，DE ∥AC

∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平

行的四边形是平行四边形）

∴CE=AD=，DE=AC=4cm

∵AC ⊥BD

∴DE ⊥BD

∴S 梯形ABCD =111()()222

AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22

BD DE =⨯=⨯⨯= 。

四、作高线

从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。

例4、如图④，已知梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB于A，DC=1，DA=2，AB=3，求∠B的度数。

解：过C点作CE⊥AB，E为垂足，

∵DC∥AB，DA⊥AB

∴DA⊥DC

又∵CE⊥AB

∴四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

∴AE=DC=1，CE=DA=2

∵AB=3

∴EB=AB－AE=3－1=2=CE

∴∠B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。

五、作对角线

在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。

例5、如图⑤，已知梯形ABCD中，DC∥AB，

AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，求证：AC=CE。

证明：连结BD，

∵AD与BC是腰且AD=BC

∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）

∴AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）

∵DC∥AB即DC∥BE，BE=CD

∴四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）

∴BD=CE（平行四边形对边相等）

∴AC=CE。

六、过一顶点和一腰中点作直线

过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。

例6、如图⑥，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，DE⊥CE，求证：CD=AD＋BC。

证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置，使AE

与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，∠A=∠

EBF，

∵AD∥BC

∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠EBF＋∠ABC=180°，即FB与BC在同一条直线上

∵CE⊥DE，ED=EF

∴CE是DF的中垂线

∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD（线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等）。