梯形中添加辅助线的六种常用技巧

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梯形辅助线的常见作法

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。

本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。

在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是A BC的中点，连接EF，求EF的长。

图2析解：过点E分别作AB、CD的平行线，BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证F是GH的中点所以)CHBGBC(21GH21EF--==3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//B AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。

图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长于点E，易得四边形BCED是平行四边形，DE=BC，CE=BD=25，所以AE=AD＋DE=AD＋BC＋7=10。

在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE中，22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC⊥CE ，于是AC ⊥BD 。

［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。

在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。

以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。

1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。

2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。

3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。

4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。

5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。

6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。

7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。

8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。

这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。

通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。

请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形;解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线;将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决..一般而言;梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线;将梯形转化为平行四边形和三角形;从而利用平行四边形的性质;将分散的条件集中到三角形中去;使问题顺利得解..例1、如图①;梯形ABCD中AD∥BC;AD=2cm;BC=7cm;AB=4cm;求CD的取值范围..解：过点D作DE∥AB交BC于E;∵AD∥BC;DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形∴DE=AB=4cm;BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中;EC－DE＜CD＜EC＋DE三角形两边之和大于第三边;两边之差小于第三边∴1cm＜CD＜9cm..二、延长两腰将梯形的两腰延长;使之交于一点;把梯形转化为大、小两个三角形;从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题..例2、如图②;已知梯形ABCD中;AD∥BC;∠B=∠C;求证：梯形ABCD是等腰梯形..证明：延长BA、CD;使它们交于E点;∵AD∥BC∴∠EAD=∠B;∠EDA=∠C两直线平行;同位角相等又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED;EB=EC等角对等边∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形..三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线;与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形直角三角形、等腰三角形等..例3、如图③;已知梯形ABCD中;AD=1.5cm;BC=3.5cm;对角线AC⊥BD;且BD=3cm;AC=4cm;求梯形ABCD的面积..解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC;DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形∴CE=AD=1.5cm;DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯h 为梯形的高 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= ..四、作高线从梯形上底的一个顶点或两个顶点向下底作高线;将特殊梯形等腰梯形、直角梯形转化成矩形和直角三角形..例4、如图④;已知梯形ABCD 中;DC ∥AB;DA ⊥AB 于A;DC=1;DA=2;AB=3;求∠B 的度数..解：过C 点作CE ⊥AB;E 为垂足;∵DC ∥AB;DA ⊥AB∴DA ⊥DC又∵CE ⊥AB∴四边形AECD 是矩形有三个角是直角的四边形是矩形∴AE=DC=1;CE=DA=2∵AB=3∴EB=AB －AE=3－1=2=CE∴∠B=45°等腰直角三角形锐角度数等于45°..五、作对角线在梯形中将没有画出的对角线作出来;利用特殊梯形对角线的性质如等腰梯形对角线相等将题目中的条件进行转化;从而解决问题..例5、如图⑤;已知梯形ABCD 中;DC ∥AB;AD=BC;延长AB 到E;使BE=CD;求证：AC=CE..证明：连结BD;∵AD与BC是腰且AD=BC∴梯形ABCD是等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形∴AC=BD等腰梯形两条对角线相等∵DC∥AB即DC∥BE;BE=CD∴四边形DBEC是平行四边形一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形∴BD=CE平行四边形对边相等∴AC=CE..六、过一顶点和一腰中点作直线过梯形的一个顶点及一腰中点作直线具体可利用旋转得到;与梯形底边的延长线相交;构成三个特殊三角形其中两个成中心对称;从而将问题转化到三角形中进行解决..例6、如图⑥;已知梯形ABCD中;AD∥BC;E是AB中点;DE⊥CE;求证：CD=AD＋BC..证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置;使AE与BE重合;记D的对应点为F;则BF=AD;ED=EF;∠A=∠EBF;∵AD∥BC∴∠A＋∠ABC=180°两直线平行;同旁内角互补∴∠EBF＋∠ABC=180°;即FB与BC在同一条直线上∵CE⊥DE;ED=EF∴CE是DF的中垂线∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等..。

例谈梯形中常见的辅助线的作法

数学篇梯形作为一种比较特殊的四边形，其特点就是只有一组对边是平行的.因此，解答梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”，对梯形进行割补、拼接，将其转化为熟悉的基本图形来解答.合理、巧妙地添加辅助线，不仅可以极大地降低解题难度，而且可以提高同学们思维的灵活性和创造性.一、平移一（两）腰平移腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形；或利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中，进而为解题创造条件.例1如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B +∠C =90°，AD =10，BC =30，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长.图1图2解：过E 作EG //AB 交BC 于G ，过E 作EH //CD 交BC 于点H ，如图2所示.∵AD //BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，同理可得DE =CH ，∴BG +CH =AE +DE =AD =10，又∵BC =30，∴GH =BC -BG -CH =20，又∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴BF =CF ，且AE =DE ，又∵AE =BG ，DE =CH ，∴GF =FH ，即F 为GH 的中点，在Rt△EGH 中GH =20，F 是GH 的中点，由直角三角形中线与斜边关系可知，EF =12CH =10，即EF =10.评注：平移梯形的一腰或两腰，可把梯形转化成三角形和平行四边形，从而把相对分散的条件集中到一个图形中以方便解题.二、平移对角线平移对角线即过梯形上底的一个端点作梯形一条对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和几个三角形.当题目中有梯形的对角线相等或互相垂直时，可以平移对角线把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中，就会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，然后利用特殊三角形的性质来解答此类问题.例2如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，BC =7，BD =52，求证：AC ⊥BD.图3图4证明：过点C 作CE //BD 交AD 延长线于学思导引27数学篇学思导引E，如图4所示.∵AD//BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴DE=BC且BD=CE，又∵AD=3，BC=7，∴AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10，∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，又∵BD=CE且BD=52，∴AC=CE=BD=52，在△ACE中，AC2+CE2=(52)2+(52)2=100，AE2=102=100，即AC2+CE2=AE2，所以，△ACE是以∠C为直角的直角三角形，即AC⊥BD.评注：过梯形的一个顶点平移对角线，把两条对角线转移到同一个三角形中，若对角线相等，则这个三角形是等腰三角形；若对角线垂直，则这个三角形是直角三角形；若对角线相等又垂直，则这个三角形是等腰直角三角形.这些结论可以为解题创造有利条件.三、延长两腰延长两腰即延长梯形的两腰使其交于一点，化梯形为两个（相似的）三角形.如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形.延长两腰可以将梯形转化为多个三角形，从而借助三角形的性质定理等知识要点，为解题铺平道路.例3如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.图5图6解：四边形ABCD为等腰梯形，证明如下.延长AD、BC交于E，如图6所示.在△ABD和△BAC中，有ìíîïïBD=AC，AD=BC，AB=AB，∴△ABD≌△BAC，∴∠BAD=∠ABC，在△EAB中，∵∠BAD=∠ABC，∴△EAB为等腰三角形，即AE=BE，又∵AD=BC，∴DE=CE，∴DE AE=CE BE，即AB//CD，又∵AD=BC，∴四边形ABCD为等腰梯形.评注：预测四边形形状后根据需要寻找条件即可.此题要灵活运用三角形全等、对应线段成比例、平行线的判定等知识点.四、作对角线作对角线即连接对角线将梯形转化为三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解答四边形的问题.尤其在特殊梯形中，将没有画出的对角线作出来，再利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)，将题目中的条件进行转化，可以实现有效解题.例4如图7，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE.图7图8解：连接BD，如图8所示.∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵AD//BC，∴∠1=∠3，∵BC=CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，在△DBE和△DBA中，28数学篇学思导引有ìíîïï∠1=∠2,∠BAD =∠BED BD =BD ,,∴△DBE ≌△DBA ,∴AD =DE .评注：在直角梯形中连接对角线往往可以构造直角三角形，然后利用直角三角形与全等三角形的知识来证明.五、连接顶点和一腰中点并延长连接梯形上底一端点和一腰的中点，并延长与下底延长线相交，从而将梯形割补成几个三角形.这样作辅助线可以充分利用梯形中的平行和等量关系，将上下底之和统一到一段线段上来，再结合三角形全等和其他特殊三角形的性质使问题得到解答.例5如图9，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是DC 的中点，连接AE 和BE ，求证：∠AEB =2∠CBE.1234图9图10证明：延长AE 、BC 交于F ，如图10所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，且AD //BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABF 为以∠ABF 为直角的直角三角形.∵AD //BC ，∴∠1=∠2，又∵E 是DC 的中点，∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，有ìíîïï∠1=∠2,∠3=∠4,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，即E 是AF 的中点，又∵△ABF 是直角三角形，∴BE =12AF =EF ，∴△BEF 是等腰三角形，∴∠F =∠CBE ，∴∠AEB =∠F +∠CBE =2∠CBE ，即∠AEB =2∠CBE .评注：在梯形中，只要有腰上的中点，可过中点构造全等三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而这个三角形又是一个特殊三角形，问题就简单了.在解答有关梯形的证明题和计算题时，辅助线的作法并不是单一的，有时可同时作两种或两种以上的辅助线，但目的是一致的，就是在梯形中构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识来解题.同学们要结合已知条件添加合适的辅助线，以探求简捷的解题方法.《〈圆〉拓展精练》参考答案1.D ；2.A ；3.C ；4.A ；5.23-π；6.6cm ；7.相离；8.30°或150°；9.100或700;10.（1）证明略；（2）S 阴影部分＝S △OAC -S 扇形AOE ＝12×3×33-60π×32360=32π．11.（1）证明略；（2）解：由题意知方程x 2+（m -2）x +m +1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（m -2）2-4（m +1）＝0，∴m ＝0或8，当m ＝0时，方程为x 2-2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，∴CE ＝1．当m ＝8时，方程为x 2+6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝-3（不符合题意舍去）．∴CE ＝1．综上所述，CE ＝1．29。

初中数学常用辅助线添加技巧

初中数学常用辅助线添加技巧人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一.添辅助线有二种情况：1 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。

梯形辅助线大全.

六梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：（一）、平移1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

AEBDCADCB解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以EF==11GH=(BC-BG-CH) 2211(BC-AE-DE)=[BC-(AE+DE)]2211=(BC-AD)=(3-1)=1223、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则DH=BD⨯ED12= BE5B H C E ∴S梯形ABCD=(AD+BC)⨯DH=25⨯12=6．2例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，求证：AC⊥BD。

梯形中常用添加辅助线的方法

梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。

练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。

求证：AC2=AB2+BC·AD。

2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。

3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。

练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。

求证：AB=CD。

4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。

求证：EF=DG。

5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。

6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。

求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。

7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题
1. 梯形中常见的辅助线
我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.
1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.
2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.
3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下：
梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三
角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线。

梯形中辅助线的添法举例

梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合 ”。

可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。

下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。

一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。

例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ⊥BD,梯形的高CF 为10，求梯形ABCD 的面积。

分析：由于等腰梯形ABCD 的对角线AC ⊥BD 且AC=BD ，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。

二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。

例2 如图，等腰梯形ABCD 两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( ) A.9O ° B.6O ° C.45° D.30°例3 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．AD<BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。

求证：∠B=∠C 。

三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。

例4 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD 平分∠ABC ，求梯形的周长。

四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。

例5 已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm ，腰长是4cm ，则下底是。

例6、如图3，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC=BD ，AD=AB=4cm ，∠A=1200，求梯形ABCD 的面积。

图3BC五、连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点。

例7、如图5，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，M 、N 分别为AB 、DC 的中点。

梯形常用辅助线的做法汇总

梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。

在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵ ,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

图5析解：延长BA、CD交于点E。

梯形问题中如何添加辅助线

＝
、（／ｘ３／Ｘ＋／－Ｖ￣－６－
＋１．
）：，：
、（一／）：一／，／４、了４、了
１＝２１１
所以１ｂ３、了．，＝一／
所以
一
所以６、百一．＝／２
所以一１一
一
１．８
四、算值法估
解：因分是。／１、，小数部分是ｂ那，
、／（
一
亍一／、
），：
么求
＋
舱
所以０、一．＝／１
又因为、／
：
解：因为ｘ２一／＝／ｚ、了＋、了）／１、、４８／（／一
２２年６月０１
关于整数部分＼小数部分求
⑧黑龙江省肇源县三站中学张生
求无理式的整数部分、数部分是经常出现的问题，人通小本
过多年的教学感到此类问题可以从以下几方面进行．
一
所以ＡＢＭ为等腰三角形．因为ＭＥＣ所以ＢＣ又＝Ｅ，Ｅ上Ｃ，Ｍ
即ＣＥ上ＢＥ．
例５在梯形ＡＣＢＤ中，／ＡＢ，Ｂ，若ＡＤ５Ｃ２ＤＣｌＡＤ＝Ｃ＝，Ｄ＝，
ＡＢ８求梯形ＡＢＤ面积．＝，Ｃ的
小结：在梯形中，只要有腰上的中点，采用过中点构造全等
解：通过作高ＤＣ把这个梯形分割成两个全等的直角三Ｅ、Ｆ，
三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而

盘点梯形中的辅助线

盘点梯形中的辅助线要解决梯形问题，通常添加辅助线将其转化为平行四边形与三角形的组合图形，再运用相关知识加以解决，添加辅助线的方法有：一、平移一腰，即从上底的端点作一腰的平行线例1：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=040，∠C=070如图1. 求证：AB+AD=BC.分析：过A 点作AE ∥DC 交BC 于E ，则有EC=AD ，如能证明AB=BE ，问题就解决了. 证明:过A 点作AE ∥DC 交BC 于E. ∵AD ∥BC ， ∴AD=EC. ∵∠C=070，∠AEB=070.∵∠B=040，∴∠EAB=0180,)(000704070=--∴△BEA 为等腰三角形，AB=EB ， ∴AB+AD=EB+EC=BC.点拨::通过平移一腰把梯形转化为平行四边形和三角形，然后运用它们的性质解题，实际上这是“截长法”.二、延长两腰把梯形变成三角形来解决例2：在图1中，延长BA ，CD 交于H ，则可证明△BCH 和△ADH 都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以达到目的.证明:延长BA 和CD 交于H.∵∠B=040，∠C=070，∴∠H=070，∴BH=BC. ∵AD ∥BC ， ∴∠HAD=∠B=040，∠HAD=∠C=070， ∴AH=AD ， ∴AB+AD=AB+AH=BH=BC.点拨::延长两腰变梯形为等腰三角形，这实际是“补短法”. 三、过同一底两端作高例3:如图2，四边形ABCD 为等腰梯形， CD ∥AB ，AD=BC ，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD 的面积.图1图2图3分析:已知梯形的上底和下底，要求面积，必须先求高.作DE ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，然后在直角三角形中，用勾股定理求高DE.解答:D ，C DE ⊥ABE ， CF ⊥ABF .∵AD=BC ，DE=CF ， ∠AED=∠BFC=090， ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF ， ∴AE=BF . CD ∥AB ， DE ⊥AB ， CF ⊥AB ， ∴CDEF ∴DC=EF ， ∴AE=.)()()(328212121=-=-=-CD AB EF AB Rt △ADE ，DE=,4352222=-=-AE AD∴.)()(204282121=⨯+=⋅+=DE CD AB S ABCD 梯点拨::通过作两条高，把梯形转化为矩形和两个全等的直角三角形，再运用全等三角形的性质和勾股定理求解.四、平移对角线例4:如图3，等腰梯形ABCD 的面积为1002cm ，AB ∥CD ，AD=BC ，且AC ⊥BD ，求梯形的高.分析:因为AC ⊥BD ，若把BD 向外平移，过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E ，则梯形就转化为平行四边形DBEC 和 Rt △ACE ，而△ACE 的面积等于梯形的面积，AE 边上的高就是梯形的高.解答:过C 作CE ∥BD ，交AB 的延长线于E ，作CF ⊥AB 于F . ∵CE ∥BD ， AB ∥CD ，∴四边形DBEC 平行四边形， ∴DC=BE ，DB=CE.∴AE=AB+BE=AB+CD ， ∴.)(1002121==⋅+=⋅=∆ABCD ACE S CF CD AB CF AE S 梯形 ∵AD=BC ， ∴BD=AC. ∴CE=AC. ∵AC ⊥BD ， CE ∥BD ，∴AC ⊥CE ， ∴△ACE 为等腰直角三角形. 而CF ⊥AF ， ∴,100221212==⋅⨯=⋅=∆CF CF CF CF AE S ACE∴CF=10cm，即梯形的高为10cm.点拨:解决有对角线夹角的有关问题，一般是把其中一条对角线向外平移，平移后梯形转化为平行四边形和特殊的三角形问题，运用各自的性质解题.五、过一底中点作两腰平行线例5：已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC.求证：∠B=∠C.分析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形，利用等腰三角形有关性质，证明这个问题.证明：过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M、N，则得平行四边形ABME，平行四边形NCDE∴AE=BM，AB平行且等于EM，DE=CN，CD平行且等于NE.∵AE=DE，∴BM=CN.又∵BF=CF，∴FM=EN.∴∠1=∠2.∵AB∥EM，CD∥EN.∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C六、过一顶点与另一腰中点作直线例6:已知:如图5，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE=EC=BC.求证:∠AEC=3∠DAE.分析:要证∠AEC=3∠DAE，而∠AEC=∠DAE+∠ADC，只需证∠ADC=2∠DAE.如连结BE并延长交AD的延长线于N，则△DEN≌△CEB，有BC=DN，BE=EN，则AE=EN，DE=DN，从而∠DAE=∠N，∠DEN=∠N，所以∠ADC=2∠DAE，问题得证.证明:连结BE并延长，交AD的延长线于N. ∵AD∥BC，∴∠3=∠N，又∵∠1=∠2，ED=EC，△∴DEN≌△CEB.∴BE=EN，DN=BC.∵AB⊥AD，∴AE=EN=BE.N 图6图4∴∠N=∠DAE.∴∠AEB=∠N+∠DAE=2∠DAE.∵DE=BC，BC=DN，∴DE=DN，∴∠N=∠1.∵∠1=∠2，∠N=∠DAE，∴∠2=∠DAE.∴∠AEB+∠2=2∠DAE+∠DAE ，即∠AEC=2∠DAE说明：梯形的辅助线有多种，但总的思想是一致的，那就是把梯形转化为我们熟悉的三角形和平行四边形来处理.具体应用时，应根据题意，具体问题具体分析.添加辅助线解梯形题解决梯形问题，往往需要通过平移的方法将梯形问题转化为平行三边形，特殊三角形等已知问题解决.下面就常用的几种平移举例如下:一、平移一腰通过平移将梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题解决．例 1 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=8，AD=DC=4，∠A=40°，求BC的长度.解析:过点C作CE//AD，交AB于点E，则∠CEB=∠A=60°，又四边形AECD为平行四边形，所以AE=DC=4，EC=AD=4，又因为AB=8，所以BE=AB-AE=4，在△EBC中，∠CEB=60°，BE=EC=4，所以△EBC为等边三角形，所以BC=BE=EC=4. 图1例2 如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=40°，∠C=70°.试说明AB+AD=BC.解析:过点A作AE//CD，因为AD//BC，所以四边形AECD是平行四边形，所以AD=EC，因为∠C=70°，所以∠AEB=70°，因为∠B=40°，所以∠BAE=180°-70°-40°=70°，所以AB=BE，BC=BE+EC=AB+AD. 图2评注：在梯形的计算或说理中，通过作一腰的平行线，将梯形问题转化为平行四边形和特殊的三角形是解决问题的重要思想方法．二、平移两腰通过平移两腰，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.例2 如图3，在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C.解析: 过点E作EM//AB，EN//CD，分别交BC于M、N，则四边形ABME和四边形NCDE都是平行四边形，所以AE=BM，DE=CN，AB=EM，CD=NE，因为AE=DE，所以BM=CN，又因为BF=CF，所以FM=FN，因为EF⊥BC，所以EM=EN，图3所以∠1=∠2，因为AB//EM，CD//EN，所以∠1=∠B，∠2=∠C，所以∠B=∠C.评注：当题目中，已知梯形两底的中点，一般需要作两腰的平行线，将梯形问题转化为三角形和平行四边形解决．三、平移对角线通过平移对角线，将等腰梯形问题转化为平行四边形和等腰三角形问题求解.例4 如图4，等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角AC=BC+AD.求∠DBC的度数.解析:过点D点作DE//AC，交BC的延长线于E点，因为AD//BC，所以四边形ACED是平行四边形，所以AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=BC+AD，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，因为AC=BC+AD，所以AC=BE，所以BD=AC=BE=DE，所以△BDE是等边三角形，图4所以∠DBC=60°.评注：当已知等腰梯形的对角线时，作辅助线的方法一般为作一条对角线的平行线，将梯形问题转化特殊的三角形解决．探索梯形问题的变换策略梯形问题的研究一般可通过图形变换适当添加辅助线转化为三角形或平行四边形来解决，本文举例介绍几种常见变换．一、平移变换 1．平移腰例1．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ，ＢＣ＝2ＡＢ试判别△ＡＢＣ的形状．解：△ＡＢＣ的形状为直角三角形．理由如下：过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交ＢＣ于Ｅ，∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ＝ＥＣ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＤＣ＝ＡＢ，又∵ＢＣ＝2ＡＢ，∴ＢＥ＝ＣＢ－ＥＣ＝ＡＢ＝ＥＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，又ＢＣ＝2ＡＥ，故△ＡＢＣ为直角三角形．2．平移底例2．已知直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ，Ｏ是ＣＤ中点，连ＯＢ、ＯＡ，试判断△ＡＢＣ的形状，并证明你的猜想．解：△ＡＯＢ的形状是等腰直角三角形．延长ＡＯ、ＢＣ交于Ｅ，∵∠Ｄ＝∠ＤＣＥ，ＯＤ＝ＯＣ， ∠ＤＯＡ＝∠ＣＯＥ，∴△ＡＤＯ≌△ＥＣＯ，∴ＡＯ＝ＥＯ，ＡＤ＝ＣＥ，又∵ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ，∴ＣＥ＋ＢＣ＝ＡＢ，即ＢＥ＝ＡＢ，∴△ＡＢＥ是等腰直角三角形，∵Ｏ为中点，∴△ＡＯＢ的形状是等腰直角三角形．3．平移对角线例3．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，高ＤＦ＝10㎝．求：梯形的中位线的长．解：过Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ，∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，∴ＡＣ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＣＥ，ＥＯＤＣＢＡＥＤＦＣＢＡＢＣＤＥＡ图1图2图3∵ＡＣ＝ＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ，又∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ∥ＤＥ， ∴ＢＤ⊥ＤＥ，∴ＤＦ⊥ＢＥ，∴ＤＦ＝21（ＢＣ＋ＣＥ）＝21（ＡＢ＋ＡＤ）＝10㎝，即梯形的中位线的长是10㎝．二、割补变换1．补形法——延长梯形两腰例4．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝15㎝，ＢＣ＝49㎝，∠Ｂ＝600，求腰长ＡＢ．解：延长ＢＡ、ＣＤ相交于Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝600，∴∠Ｃ＝∠Ｂ＝600，∴△ＡＯＤ是等边三角形， ∴ＯＡ＝ＡＤ＝15㎝，∴ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝34㎝．2．分割法——作梯形的高例5．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝5，ＢＣ＝32，∠ＢＣＤ＝450， ∠ＡＤＣ＝600，求ＤＣ的长．解：作ＢＥ⊥ＣＤ，ＡＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ、Ｆ， ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＥＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＡＢ， ∵∠ＢＣＤ＝450，ＢＣ＝32，∴ＢＥ＝ＣＥ＝3，∴ＡＦ＝ＢＥ＝3，∵∠ＡＤＣ＝600，∴ＡＤ＝2ＦＤ，由勾股定理得，ＡＦ＝3ＦＤ，∴ＦＤ＝3，∴ＤＣ＝3＋5＋3 ＝８＋3．三、旋转变换旋转变换是指平面图形绕着定点旋转一定角度而得到与原图形全等的图形的方法．例6．如图（6），在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＢＣＤ的平分线与腰ＡＤ交于Ｍ，且ＡＭ＝ＤＭ，试说明：ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ．理由：由于ＡＭ＝ＤＭ，将△ＤＣＭ绕Ｍ点旋转至△ＡＭＥ处，则△ＡＭＥ≌△ＤＭＣ，∴∠Ｅ＝∠2，ＡＥ＝ＤＣ，又∵∠1＝∠2，∴∠Ｅ＝∠1，∴ＢＥ＝ＢＣ，又∵ＡＢ＋ＡＥ＝ＢＥ，∴ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ．ＯＤＣＢＡＦＥＤＣＢＡＣ2Ａ 1 ＥＭＤＢ图4图5图6四、翻转变换翻转变换是指平面图形绕着定直线翻转而得到与原图形全等的图形的方法．例7．如图（7），直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ⊥ＡＢ，ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ，Ｐ为ＡＤ的中点，试判别ＣＰ与ＢＰ的位置关系．简析：ＣＰ⊥ＢＰ为利用条件ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ将梯形ＡＢＣＤ绕ＡＤ翻转作一倒置全等梯形ＡＤＥＦ，使ＡＦ＝ＣＤ，ＤＥ＝ＡＢ，则得一菱形ＢＣＥＦ，且菱形的对角线ＢＥ、ＣＦ相交于Ｐ，由ＢＥ⊥ＣＦ得ＣＰ⊥ＢＰ．ＥＦＰＤＣＢＡ图6。

梯形辅助线的常见作法

梯形辅助线的常见作法梯形辅助线的常见作法梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰。

例1(如图1)已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。

求证：B=C证明：过点D作DM//AB交BC于点M。

因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM因为 BA=DC 所以 DM=DCDMC=CDMC=BB=C(2)梯形外平移一腰例2 (如图2)在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F求证:EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵□ACED中，AD∥CE AD=CE∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF ∴:EF=FB(3)梯形内平移两腰例3 (如图3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE ∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN又∵BF=CF ∴FM=FN ∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C∴∠B=∠C(4)延长两腰例4(如图4)在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。

求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA,CD交于点E∵∠B=∠C ∴BE=CE∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA∴AB=CD结论得证(5)过梯形上底的两端点向下底作高例5(如图5)在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。

解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形∴DC=EF∴AE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 ∴ DE===4 ∴=(2+8)x4=20(6)平移对角线例6求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。

为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。

下面介绍六种常用的技巧。

1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。

然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。

这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。

2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。

3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。

这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。

4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。

5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。

利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。

6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。

根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。

这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。

通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。

在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。

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梯形中添加辅助线的六种常
用技巧
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
浙江唐伟锋
梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——
一、平移一腰
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm
，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm
∴EC=BC－BE=7－2=5cm
在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰
将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为
大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决
梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠
C ，求证：梯形ABC
D 是等腰梯形。

证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点，
∵AD ∥BC
∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）
又∵B=∠C
∴∠EAD=∠EDA
∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边）
∴AB=DC
∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD=，BC=，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。

解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E
∵AD ∥BC ，DE ∥AC
∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平
行的四边形是平行四边形）
∴CE=AD=，DE=AC=4cm
∵AC ⊥BD
∴DE ⊥BD
∴S 梯形ABCD =111()()222
AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22
BD DE =⨯=⨯⨯= 。

四、作高线
从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。

例4、如图④，已知梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB于A，DC=1，DA=2，AB=3，求∠B的度数。

解：过C点作CE⊥AB，E为垂足，
∵DC∥AB，DA⊥AB
∴DA⊥DC
又∵CE⊥AB
∴四边形AECD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴AE=DC=1，CE=DA=2
∵AB=3
∴EB=AB－AE=3－1=2=CE
∴∠B=45°（等腰直角三角形锐角度数等于45°）。

五、作对角线
在梯形中将没有画出的对角线作出来，利用特殊梯形对角线的性质（如等腰梯形对角线相等）将题目中的条件进行转化，从而解决问题。

例5、如图⑤，已知梯形ABCD中，DC∥AB，
AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，求证：AC=CE。

证明：连结BD，
∵AD与BC是腰且AD=BC
∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）
∴AC=BD（等腰梯形两条对角线相等）
∵DC∥AB即DC∥BE，BE=CD
∴四边形DBEC是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）
∴BD=CE（平行四边形对边相等）
∴AC=CE。

六、过一顶点和一腰中点作直线
过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。

例6、如图⑥，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，DE⊥CE，求证：CD=AD＋BC。

证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置，使AE
与BE重合，记D的对应点为F，则BF=AD，ED=EF，∠A=∠
EBF，
∵AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠EBF＋∠ABC=180°，即FB与BC在同一条直线上
∵CE⊥DE，ED=EF
∴CE是DF的中垂线
∴CD=CF=CB＋BF=CB+AD（线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等）。

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