线性代数第一章矩阵的基本概念 - 副本
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注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
(6)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(7)元素之间满足关系 aij a ji (i, j 1, 2,L n) 的方阵
a11 a12 L
L L
a2n
L
副对角线 an1 an1 L ann
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O
0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
元素 行标 列标
称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.
记作： A (aij )mn
A (aij )
Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
（4）主对角线左下方或右上方的元素全为零 的方阵
a11 a12 L
0
a22 L
L
0
OL 0
L L
a1n
a11 0 L 0
a2n
或
a21
a22
L
O
0
L
L L L L
ann
an1
an2
L
ann
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
第一章 矩阵的概念与运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对 象，也是数学上的一个重要工具。矩阵 的应用已经渗透到了包括自然科学、人 文科学、社会科学在内的各个领域。在 矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作 用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些 基本规则与技巧。
一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、初等变换与初等矩阵
3.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
的解取决于
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
其中√ 表示有航班.
到站
北京 成都 广州 上海
为了便于计算,把表
北京
发站 成都
0
1
1 0
11 11
0 0
中的√ 改成１,空白 地方填上０,就得到一
广州 1 0 00 11 个数表:
上海
0
11 00
0
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
b1 b2
对线性方程组的
研究可转化为对
an1 an2 ann bn 这张表的研究.
类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科
学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表
§1.1矩阵的基本概念
一、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 粥
张三
4
2
2
1
李四
0
0
0
0
王五
4
9
8
6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
成都
北京
广州
上海 为了方便，常用下面的数表表示
a12
a22
L
a1n
a2n
称为对称矩阵
L L L L
a1n a2n L ann
A AT
元素之间满足关系aij a ji (i, j 1, 2,L n)的方阵
0 a12 L
a12
0L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
称为反对称矩阵
L
0
A AT
(8)当 A [aij ]mn为复矩阵时，以 aij 的共轭复数 aij
L L L L
称为矩阵A的转置矩阵，记作 AT 或 A
a1n
a2n
L
amn
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
2 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
a11 a12 L a1n
方阵
A
a21 L
a22 L
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4 是一个 11 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
负矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 元素的相反数构成的矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n L
(aij
)mn
amn
称为矩阵A的负矩阵，记作－A
转置矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 的各行换成序号相同的列， 同时把各列换成同序号的行，所得到的 n矩阵m
a11
a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n
a2n L
a
m1
am 2
L
amn
A
nm
a11 a21 L am1
a12 a22 L am2
为元素的方阵
a11 a12 L
Biblioteka Baidu
a12
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
L
ann
称为A的共轭矩阵，记作 A [aij ]mn
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同
型矩阵. 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
(6)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(7)元素之间满足关系 aij a ji (i, j 1, 2,L n) 的方阵
a11 a12 L
L L
a2n
L
副对角线 an1 an1 L ann
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O
0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
元素 行标 列标
称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.
记作： A (aij )mn
A (aij )
Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
（4）主对角线左下方或右上方的元素全为零 的方阵
a11 a12 L
0
a22 L
L
0
OL 0
L L
a1n
a11 0 L 0
a2n
或
a21
a22
L
O
0
L
L L L L
ann
an1
an2
L
ann
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
第一章 矩阵的概念与运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对 象，也是数学上的一个重要工具。矩阵 的应用已经渗透到了包括自然科学、人 文科学、社会科学在内的各个领域。在 矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作 用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些 基本规则与技巧。
一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、初等变换与初等矩阵
3.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
的解取决于
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
其中√ 表示有航班.
到站
北京 成都 广州 上海
为了便于计算,把表
北京
发站 成都
0
1
1 0
11 11
0 0
中的√ 改成１,空白 地方填上０,就得到一
广州 1 0 00 11 个数表:
上海
0
11 00
0
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
b1 b2
对线性方程组的
研究可转化为对
an1 an2 ann bn 这张表的研究.
类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科
学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表
§1.1矩阵的基本概念
一、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 粥
张三
4
2
2
1
李四
0
0
0
0
王五
4
9
8
6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
成都
北京
广州
上海 为了方便，常用下面的数表表示
a12
a22
L
a1n
a2n
称为对称矩阵
L L L L
a1n a2n L ann
A AT
元素之间满足关系aij a ji (i, j 1, 2,L n)的方阵
0 a12 L
a12
0L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
称为反对称矩阵
L
0
A AT
(8)当 A [aij ]mn为复矩阵时，以 aij 的共轭复数 aij
L L L L
称为矩阵A的转置矩阵，记作 AT 或 A
a1n
a2n
L
amn
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
2 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
a11 a12 L a1n
方阵
A
a21 L
a22 L
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4 是一个 11 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
负矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 元素的相反数构成的矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n L
(aij
)mn
amn
称为矩阵A的负矩阵，记作－A
转置矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 的各行换成序号相同的列， 同时把各列换成同序号的行，所得到的 n矩阵m
a11
a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n
a2n L
a
m1
am 2
L
amn
A
nm
a11 a21 L am1
a12 a22 L am2
为元素的方阵
a11 a12 L
Biblioteka Baidu
a12
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
L
ann
称为A的共轭矩阵，记作 A [aij ]mn
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同
型矩阵. 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且