线性代数第一章矩阵的基本概念 - 副本
《线性代数》第一节矩阵
相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix)
记作 L ( left ).
1
0 0
如
L 2 1 0
3
1 5
1
是个 3 阶下三角阵
一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当 i>j 且
aij =0时A为上三角阵；而当且仅当 i< j 且aij = 0 时 A为下三角阵；
矩阵概念
1 m n常个用元大，写排黑成斜m体行字n母列如（A横、称B、行C，， ·····记之，
纵称列必）要的时矩也型可阵以列以（下表标）来区别不同的矩阵，
a11
如Aa112，A2，
·····
a1n
a
21
在书a2写2 矩阵时a，2n也 有将(2-1)
am1
称为维是
简称为m
mamn2[aan型1n11的]矩矩a阵阵mnaa. 1n(nnma或triaax1n)11
就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维。故所谓n维向量就是 n 维数组，即 n个数的一个有序数组，亦即是个n×1的列矩阵 或 1 × n的行矩阵. 这样, 称（2-3）是二维向量。
今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量。
概念 在用同一个字母代表不同向量时，常以下标区别，
n 个元，如排：成a1m, a行2 ,··n··列··（横称行，
而 diag (δ1 ,δ2 ,·····,δn ) 表示一组对角元分 别为δ1 ,δ2 ,·····,δn的 n 阶对角阵， 详细写出就是
diag ( 1 , 2 , , n ) def
01
0
2
0
0
线性代数课件--第一章矩阵
数与m n矩阵 A (a ij)的 乘积 仍是m n矩 阵，记 为A, 即
A
( a ij ) mn
a11 a 21
a m1
a12 a 22
am2
a1n a2n
a mn
解 析 几 何 中 定 义 的 向 量 乘 以 一 个 数 的 规 则 与 定 义1.6相 同 。
矩阵的数乘运算满足下列运算定律(设A、B为m n矩阵，1， 2是数)：
例1.4设有城市x1,x2, ,xm,它们之间有高 速公路a1,a2, ,an相连(这些公路是单向道， 方向用箭头表示)，如图定义
x2
a1
a2
x1
a5
x3
a4
a3
x4
1.1 矩阵的概念
定义
1
mij -1
0
若
x
i
是
a
的
j
起
点
若
x
i
是
a
的
j
终
点
若
x
i
不
是
a
的
j
端
点
矩阵M = (mij )称为该图的关联矩阵。上图的关联矩阵为
具 有 相 同 行 数 和 列 数 的 矩 阵 才 能 相 加|减 。
例如
50
45
60 35
80 62
40 50
55 42
50 63
90 95
115 77
130 125
2
1
3 1 03
2 5
3 0
0 1 13
4 1
1 1
3 1
0 2
0
4
1.2 矩阵的运算
定义1.6 矩阵的数乘
线性代数第一章 矩阵
11矩阵看作是一个数，但数不能看成是矩阵.
若一个矩阵的所有元素都为0，称它
为m n零矩阵，记为 0mn
0 0 L 0
0mn
0 M
0L MM
0 M
0
0
L
0
定义1.2
主对角线，主对角元
设A是n阶矩阵，元素ai i称为A的第i主对角线元 元素a11, a22 , , an n组成A的主对角线
a11 M
L
am1 L
a1 n M
bM1
称为方程组的增广矩阵，
amn bm
增广矩阵 A%与线性方程组具有一一对应关系。
例 1.解方程组:
x1 2x2 x3 0 2x2 8x3 8
4x1 5x2 9x3 9
解: （方程 1）*4 + （方程 3）：
称A为上三角矩阵。
同样，若在n阶矩阵A中，当i j时都有aij 0，
称A为下三角矩阵。
5 1 2 4
0
2
4
3
0 0 3 5
0
0
0
7
1 0 0 0
2
3
0
0
0 5 4 0
6
8
9
1
第二节 矩阵的运算
矩阵相等
若两个m n矩阵A和B的对应元素都相等，即 ai j bi j (1 i m, 1 j n),
a1n
a2n
amn
（1.1）
称为m n矩阵。矩阵常用大写黑体字母表示。数aij 称为矩阵A的第i行第j列的元素，简称(i, j) 元素。
基础公共课复习资料-线性代数知识点汇总
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
线性代数—矩阵的基本概念
n
注 对角阵是主对角元素不全为零, 其余元素都为零的方阵.
注 对角元素足以确定对角方阵本身.
(6) 标量阵和单位阵
当一对角阵的对角元全为同一非零常量时称为标量
阵(scalar matrix) ,如
5 0 0 0
K
0 0 0
5 0 0
0 5 0
0 50
1 0 0
形如
E
En
0
1
0
的方阵,称为单位阵或称
(1)零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如 果矩阵有零行的话);
(2)非零行的首非零元 (即位于最左边的非零元) 的列标随 其行标严格递增.
定义 若梯矩阵具有如下特征就称之为简化梯矩阵 (1) 非零行的首非零元为1; (2) 非零行的首非零元所在列的其余元素皆为零.
例
2 1 1 3
A
3
2
1
0
1
5 4 3 2 1
7 6 5 4 3
2、一些特殊的矩阵
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
至少有一个元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例
1
9
0 6
3 4
5
3
是一个2×4实矩阵;
13 6 2i
2
2i
2
是一个3×3 复矩阵;
2 2 2
1
2 3 5 9 是一个1×4实矩阵;
2
是一个3×1实矩阵;
yA x′
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x y
cos
sin
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
线代第一章、矩阵
n
n
a11 a21 An = M a n1
a12 a22 M an 2
L a1n L a2 n L M L ann
付对角线
主对角线
（3）一阶矩阵就是一个数。 A = (a ) = a
几种比较特殊的矩阵：
只有一行的矩阵称为行矩阵， 只有一行的矩阵称为行矩阵， = (a1 a2 Lan ) 行矩阵 A
0 a22 L 0 的方阵， 的方阵， L L L an2 L ann 0 L
称为下三角矩阵 称为下三角矩阵
●形如
λ1 0 L 0 0 λ2 L 0 A= M M M 0 0 L λn
特点:不在主对角线上的元素全为 ，这种方阵称为 特点 不在主对角线上的元素全为0， 不在主对角线上的元素全为 对角矩阵，记作 diag(λ1 λ2 L λn ) 对角矩阵， 特别的，当λ1 =λ2 = ...=λn=λ时, 称A为数量矩阵。其 特别的， 为数量矩阵。 中λ=１时，就是单位矩阵。 λ=１ 就是单位矩阵。
A 1 = A2 0
0 A3
怎么样就 成为对角 矩阵？
A 1 A= O Am
阶方阵A的分块矩阵为 设n阶方阵 的分块矩阵为 阶方阵
A2
除主对角线上的子块为非零子块外,其余子块都为 除主对角线上的子块为非零子块外 其余子块都为 零矩阵,且Ai(i=1,2,…,m)为方阵 则A称为分块对角矩 零矩阵 且 为方阵,则 称为分块对角矩 为方阵 称为 阵(或准对角矩阵 或准对角矩阵).
a 0 A= 1 0
1 0 0 A 1 a 0 0 A2 = A , 0 b 1 3 1 1 b A4
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
（上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。
性 共六种。那么齐王的赢得矩阵应为：（6×6 维的矩阵）
田忌策略
代
3
1
1
1 √-1
1
齐
根据上面的矩阵，事 实上田忌和齐王获胜的
-√1 3 1 1 1 1 王 可能性是完全相同，那
数
1 1
1 1
3 √-1
13
1 1
1
√-1
策 略
么齐王为什么每次都会 输100金呢？关键就是齐 王先公布排阵方式，而
再根据大儿子比二儿子大几岁可知甲的三个儿子年龄分别代代数数设a省的两个城市a间的交通网络图如下图中每条线上的数字表示两个城市间的不同通路总数请用矩阵表示它们之间的通路信息
《线性代数与概率统计》 之
线性代数
Tel：13925128576
e-mail：yzjdoctor@， yangzhj@
线 到一个列数为3的矩阵（不妨假设按儿子大小的顺序排列）：
性
大 36
18
代 12
9
9
数6
6
4
二 小和
虽然我们并不知道高楼的窗户
1
1 38 数，但乙是知道的，因此如果窗户
2 3
1 1
21
数为38、21、16、14、11、10，那 么甲无须说第三句话，乙就可以说
16 出甲三个儿子的年龄。但事实是乙
4
1
14 无法说出，说明他们甲的三个儿子
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
大一线性代数矩阵知识点
大一线性代数矩阵知识点在大一的学习中，线性代数是一门基础而重要的数学课程。
其中，矩阵是线性代数的核心概念之一。
本文将介绍大一线性代数中的矩阵知识点，包括矩阵的基本概念、运算规则以及特殊类型的矩阵。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定顺序排列成的矩形阵列。
矩阵的行数和列数分别构成矩阵的维数。
一个m × n的矩阵有m行n列，通常用A、B、C等大写字母表示矩阵。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵加法矩阵加法是指将两个行列相等的矩阵按照相同位置的元素进行相加。
若A与B是同维数的矩阵，则它们的和A + B的第i行第j列元素是A和B的对应元素之和。
2. 矩阵数乘矩阵数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数。
若A是一个m ×n的矩阵，k是一个常数，则kA是一个同维数的矩阵，它的第i行第j列元素等于k乘以A的第i行第j列元素。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指将一个m × n的矩阵A与一个n × p的矩阵B相乘得到一个m × p的矩阵C。
其中，C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
三、特殊类型的矩阵1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为0的矩阵。
零矩阵通常表示为O。
2. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵。
单位矩阵通常表示为I，它是一个方阵。
3. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。
即A的转置等于A，通常表示为A^T = A。
4. 逆矩阵对于一个方阵A，若存在一个方阵B，使得AB = BA = I，那么B称为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
四、矩阵的应用矩阵在许多领域中有着广泛的应用，例如线性方程组的求解、向量空间的研究、图像处理等。
通过矩阵的运算，我们可以描述、分析和解决各种实际问题。
结语矩阵作为线性代数的核心概念之一，在大一的线性代数课程中扮演着重要的角色。
本文介绍了矩阵的基本概念、运算规则，以及几种特殊类型的矩阵。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
《线性代数》学习指南
学习指南《线性代数》是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。
它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技术领域打下坚实的基础 。
第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究对象之一。
矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。
本章从实际问题出发，引出矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵的概念与性质。
重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算，逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。
1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。
矩阵不仅是线性代数主要讨论的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。
本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩阵的乘法最为重要，它也是难点之一。
两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。
AB 有意义，必须是A 的列数等于B 的行数，而积矩阵AB 的行数等于A 的行数，列数等于B 的列数。
积矩阵AB 的第i 行第j 列元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和。
读者务必掌握矩阵乘法的实质。
矩阵的乘法与数的乘法不同。
尤其要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律。
当乘积AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使BA 有意义，也不一定有AB BA =。
线性代数复习提纲
第一章 矩阵1 矩阵的概念特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。
2 矩阵的运算：（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。
（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。
乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律） （3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一 运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。
3 分块矩阵及其运算第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。
3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211r r rn r r rr nr r nr r d d c c c d c c c c d c c c c c（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax ＝0只有零解； （3）A 可以经过有限次初等行变换化为In ； （4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。
9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1P s …P 2P 1 (A | I n )=(I n |A -1)第三章 行列式1 n 阶行列式的定义（1）全排列及其奇偶性：逆序数的概念，对换，相邻对换。
线性代数中矩阵的基本概念与运算
线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。
本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。
矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。
一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。
也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。
矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。
对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。
线性代数的矩阵理论
线性代数的矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，涉及向量空间以及在这些空间中的线性变换。
矩阵是线性代数核心的工具之一，其不仅在理论上具有深远的意义，还在计算和应用中起着不可或缺的作用。
本文将探讨矩阵的基本概念、性质、运算以及在实际中的应用。
一、矩阵的基本概念定义矩阵是按照矩形排列的复数或实数集合，用方括号或圆括号表示。
一个 m 行 n 列的矩阵称为 m x n 矩阵。
矩阵元素通常用 a_ij 表示，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。
特例矩阵零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作 O。
单位矩阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵称为单位矩阵，记作 I。
对称矩阵：若 A = A^T（A 的转置），则称 A 为对称矩阵。
逆矩阵：若存在一个 B 使得 AB = I，则 B 称为 A 的逆矩阵，记作 A^(-1)。
二、矩阵的性质加法性质两个同型矩阵相加结果也是同型矩阵，即对于任意的 m x n 矩阵 A 和 B，有 C = A + B 也是 m x n 矩阵。
乘法性质矩阵乘法并不满足交换律，但满足结合律和分配律。
在计算时，如果 A 是 m x n 矩阵，B 是 n x p 矩阵，则 C = AB 是 m x p 矩阵。
转置性质矩阵的转置乘积法则为 (AB)^T = B^T A^T，可以利用这个性质简化计算。
行列式与迹方阵的行列式是标量，拥有判别矩阵可逆性的意义。
迹是方阵对角线元素之和，在多种计算中具有重要作用。
三、矩阵运算加法与减法对于同型矩阵，可以逐元素进行加法或减法。
例如：数乘对任意实数或复数 k，与矩阵 A 的乘积 kA 是新的一组修改后的元素，该运算对每个元素进行扩展。
乘法假设 A 为 m x n 矩阵，B 为 n x p 矩阵，对应元素乘积规则如下：转置与逆转置是一种符号操作，将行列互换。
逆是求解 Ax = b 的重要方法，只有当行列式不为零时才存在。
四、特征值与特征向量定义及求解给定一个方阵 A，若存在标量λ 和非零向量 v，使得 Av = λv，则称λ 为 A 的特征值，而 v 为对应的特征向量。
《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)
…
… … …
0 0 … 1 n×n
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
5. 反对称矩阵
若矩阵A = (aij)m×n满足:
m = n且aij = −aji (i, j = 1, 2, …, n),
则称A为反对称矩阵(antisymmetric matrix/
skew–symmetric matrix).
16×10 + 20×20 + 18×30 = 1100
4
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
二. 矩阵的乘积(matrix-multiplicative product)
A = 20 40 30
16 20 18
20 0 20 10
B = 10 25 20 20
15 10 0 30
2×3
3×4
C=
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法(addition of matrices)
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 220 185 200
180 120
190 100
B=
220 105
185 120
200 110
(2) 具体操作: 对应元素相加
A+ B=
420 205
365 240
390 210
第一章 矩阵
线性代数的矩阵理论
线性代数的矩阵理论矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
矩阵理论是研究矩阵性质和运算规律的数学分支，它为解决线性方程组、矩阵变换、特征值问题等提供了有力的工具和方法。
本文将介绍线性代数的矩阵理论的基本概念、运算规则以及一些重要的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
一个m行n列的矩阵可以表示为：A = [a_ij]m×n其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数，如果矩阵的行数等于列数，则称为方阵。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：对应元素相加设A和B是同阶矩阵，则它们的和C = A + B的每个元素c_ij等于A 和B对应元素的和a_ij + b_ij。
2. 矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以一个数设A是一个矩阵，k是一个数，则kA的每个元素等于k乘以A的对应元素。
3. 矩阵的乘法：行乘以列的和设A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C = AB是一个m行p列的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置：行变列，列变行设A是一个m行n列的矩阵，它的转置记作A^T，A^T是一个n行m列的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
三、矩阵的重要应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以求解线性方程组的解。
设A是一个m行n列的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量，线性方程组可以表示为Ax = b。
通过矩阵的逆、行列式等运算，可以求解出线性方程组的解。
2. 矩阵变换矩阵可以表示线性变换，例如平移、旋转、缩放等。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量进行线性变换，从而实现对图像、图形等的变换操作。
3. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个常数，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应的特征向量。
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例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
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0
0.
0 0 0 0
(6)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(7)元素之间满足关系 aij a ji (i, j 1, 2,L n) 的方阵
a11 a12 L
其中√ 表示有航班.
到站
北京 成都 广州 上海
为了便于计算,把表
北京
发站 成都
0
1
1 0
11 11
0 0
中的√ 改成１,空白 地方填上０,就得到一
广州 1 0 00 11 个数表:
上海
0
11 00
0
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
(aij
)mn
amn
称为矩阵A的负矩阵，记作－A
转置矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 的各行换成序号相同的列， 同时把各列换成同序号的行，所得到的 n矩阵m
a11
a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n
a2n L
a
m1
am 2
L
amn
A
nm
a11 a21 L am1
a12 a22 L am2
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4 是一个 11 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
负矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 元素的相反数构成的矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n L
第一章 矩阵的概念与运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对 象，也是数学上的一个重要工具。矩阵 的应用已经渗透到了包括自然科学、人 文科学、社会科学在内的各个领域。在 矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作 用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些 基本规则与技巧。
一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、初等变换与初等矩阵
L L
a2n
L
副对角线 an1 an1 L ann
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O
0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
§1.1矩阵的基本概念
一、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 粥
张三
4
2
2
1
李四
0
0
0
0
王五
4
9
8
6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
成都
北京
广州
上海 为了方便，常用下面的数表表示
3.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
的解取决于
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
（4）主对角线左下方或右上方的元素全为零 的方阵
a11 a12 L
0
a22 L
L
0
OL 0
L L
a1n
a11 0 L 0
a2n
或
a21
a22
L
O
0
L
L L L L
ann
an1
an2
L
ann
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
元素 行标 列标
称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.
记作： A (aij )mn
A (aij )
Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
为元素的方阵
a11 a12 L
a12
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
L
ann
称为A的共轭矩阵，记作 A [aij ]mn
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同
型矩阵. 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
a12
a22
L
a1n
a2n
称为对称矩阵
L L L L
a1n a2n L ann
A AT
元素之间满足关系aij a ji (i, j 1, 2,L n)的方阵
0 a12 L
a12
0L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
称为反对称矩阵
L
0
A AT
(8)当 A [aij ]mn为复矩阵时，以 aij 的共轭复数 aij
L L L L
称为矩阵A的转置矩阵，记作 AT 或 A
a1n
a2n
L
amn
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
2 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
a11 a12 L a1n
方阵
A
a21 L
a22 L
b1 b2
对线性方程组的
研究可转化为对
an1 an2 ann bn 这张表的研究.
类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科
学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表