02平面简谐波方程
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y Acost kx
注意：kx 前面的符号的含意！
3、平面简谐波方程的物理意义
运动学方程中有两个变量x和t，这反映
了波动过程中时间和空间上的联系
而kx和ω t则反映了时间和空间周期性的 联系。
1）设x=x0 时有:
y Acost kx0
此即空间某点的振动方程。它表达了距
• 波方程就是用已知波源的振动规律，表达出弹
性媒质中各点的振动的规律 y(x,t)平面简谐
波是指：波源作简谐振动，媒质中各点按一定 位相关系以同样频率作谐振动。 • 其中“平面”两字是指简谐振动在媒质中无能 量损耗地传播过程。 • 可以证明任何非简谐的复杂的波，均可视为由 若干个频率不同的简谐波叠加而成的。故研究 简谐波仍具有特别重要的意义。
点运动来看，反映在每个质点的振动周
期均为T；从整个波形看，反映在t时刻 的波形曲线与时刻t+T的波形曲线完全重
合。
• 波长λ代表了波在空间的周期性：空间
相隔λ的两个质点其振动规律完全相同 (两质点为同相点)；从波形来看，波形在 空间以λ为 “周期”分布着。所以波长
1、导出波方程的思路
1)已知波源的振动方程，当振动传到各质 元时，各质元都以相同的振幅、频率来 重复波源的振动。
2)波源的振动状态以某一速度先后传播到 各个质元，沿波的传播方向上的各质元 振动的相位依次落后。
2、导出波方程步骤
1) 选定坐标并明确波的传播方向。 2)给出波的传播方向上某点(参考点为波
二、频率、周期、波长与波速的关 系 波数
1、频率：质元单位时间内振动的次数
2、周期：质元振动一次所需的时间
3、波长：沿波传播方向上空间相邻同相位两质 元（点）之间的距离（两点同步调运动称两点 同相位）
4、波数：2π长度上波的数目
k、λ均是描写平面简谐波
空间周期性的物理量。有:
k 2
Biblioteka Baidu
• 周期T代表了波的时间周期性：从质
第十章 波动与声
振动状态随时间不断向外传播的过程称 之为波动，简称波。
波动是自然界广泛存在的一种运动形式.
机械波：机械振动通过弹性媒质传播的过程 电磁波：由电磁振动（荡）在空间（包括有 介质或真空）传播过程
机械波和电磁波本质上属于不同形式的物理过程， 遵守不同物理规律。
§10.1 波的基本概念
一、波的概念
t0 是此时波形图的初相。不同时刻对 应的不同初相。
这如看宽银幕电影的某一时刻的画面。
3）若x和t两个都变化时，波方程就表示了波 射线上所有质点在各个不同时刻的位移情况。
可以证明：
yx x,t t yx,t
其中 x vt
这说明了t时刻的振动状态在 t t
时刻传到了 x x 处。
源)的运动方程。
3)比较位于x处的任一点和参考点相位的
超前和落后关系，由参考点的运动表达 式即可得出波的表达式。
取坐标原点设在波源处。振源的运动规为：
y Acost
该振动沿x轴向传播。 可以看到沿x正向轴上各个点的运动形 式与波源的运动形式相同，只是在时间 上要落后。
t xp v
设：波的传播速度为v，那么原点o 运动传到
说明：
• 严格的简谐波只是一种理想化的模型。 它不仅具有单一的频率和振幅而且必须 在空间和时间上都是无限延展的，所以 严格的简谐波是无法实现的。
• 对于作简谐运动的波源在均匀、无吸收 的介质中所形成的波，只可近似地看成 是简谐波。
一、平面简谐波运动学方程推导
• 我们借助于数学工具推导平面简谐波运 动学方程
2)机械波的传播特性
• 媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动， 并末“随波逐流” 波源的振动状态沿波射线 的方向由近及远向外传播，因此沿波射线方 向各质元的振动相位是逐一落后的。
• 波的传播伴随着能量传播
二、波的分类、横波和纵波
• 按明显物理特征将其分为：声波、水波、地 震波及光波等；
• 按能量传播空间的维数可分为：一维、二维、 三维波；
• 波动具有一定的传播速度，并伴随着能 量的传播。
• 波动具有时空周期性，固定空间一点来 看，振动随时间的变化具有时间周期性， 而固定一个时刻来看，空间各点的振动 分布也具有空间周期性。
• 波动具有可入性和可叠加性
1)机械波的产生条件
• 要有作机械振动的物体作为振源； • 有能传播这种波动的弹性媒质
离坐标原点为x0处的质点的振动规律。
kx0 是该点运动方程的初相位。不同的x0
处对应有不同的初相。
这尤如看宽银幕电影的某一点变化的画面。
2）设t=t0 时有:
y Acoskx t0
此即某一时刻空间各点的波形方程 。 它给出了该瞬时波射线上各质元相对 于平衡位置的位移分布情况 ,表示某 一瞬时的空间波形
xp v
我们没有对点作任何限制，故x轴上各点
有：
y A cost x
v
该式含义是： x轴上距o点x处的质元运动 位相比原点落后 x
v
这也可作为平面简谐波运动方程定义
思考题：
能否用“空间各点质元均以相同频率和 相同振幅作简谐振动”作为平面简谐波 定义？
不行！
距原点为xp处的p 点需要时间为： t xp v
o点的振动状态要经 t xp 时间后传到p点。
v
即t时刻点p 的运动状态是o点 xp 时间 v
以前的状态。
若t时刻o点运动方程为 :
y Acost
那么p点运动方程为：
y Acost t
即：
yp
A c os t
这是因为平面简谐波不仅要满足时间 上的周期性，还要满足空间上的周期 性。
我们定义 k
v
为“波
改写以上方程为数： ”，
y Acost kx
这样kx正与描述时间周期性ωt的位相
相对应
故kx体现了空间周期性，相当于空间上 的位相 。
当波向x 轴反向传播时（此时x轴正向各 点位相比原点超前）故有：
• 按传播媒质的行为可分为：脉冲波、简谐波 等；
• 按质元振动方向与波动传播方向的关系可分 为：横波和纵波
三、波的几何描写
• 波射线：波的传播方向一般可以用波线表示。 • 波（阵）面：各振动相位相同的点的连面轨
迹 • 波前：某一时刻振动传播抵达点的连面轨迹 • 球面波和平面波
§10.2 平面简谐波方程
注意：kx 前面的符号的含意！
3、平面简谐波方程的物理意义
运动学方程中有两个变量x和t，这反映
了波动过程中时间和空间上的联系
而kx和ω t则反映了时间和空间周期性的 联系。
1）设x=x0 时有:
y Acost kx0
此即空间某点的振动方程。它表达了距
• 波方程就是用已知波源的振动规律，表达出弹
性媒质中各点的振动的规律 y(x,t)平面简谐
波是指：波源作简谐振动，媒质中各点按一定 位相关系以同样频率作谐振动。 • 其中“平面”两字是指简谐振动在媒质中无能 量损耗地传播过程。 • 可以证明任何非简谐的复杂的波，均可视为由 若干个频率不同的简谐波叠加而成的。故研究 简谐波仍具有特别重要的意义。
点运动来看，反映在每个质点的振动周
期均为T；从整个波形看，反映在t时刻 的波形曲线与时刻t+T的波形曲线完全重
合。
• 波长λ代表了波在空间的周期性：空间
相隔λ的两个质点其振动规律完全相同 (两质点为同相点)；从波形来看，波形在 空间以λ为 “周期”分布着。所以波长
1、导出波方程的思路
1)已知波源的振动方程，当振动传到各质 元时，各质元都以相同的振幅、频率来 重复波源的振动。
2)波源的振动状态以某一速度先后传播到 各个质元，沿波的传播方向上的各质元 振动的相位依次落后。
2、导出波方程步骤
1) 选定坐标并明确波的传播方向。 2)给出波的传播方向上某点(参考点为波
二、频率、周期、波长与波速的关 系 波数
1、频率：质元单位时间内振动的次数
2、周期：质元振动一次所需的时间
3、波长：沿波传播方向上空间相邻同相位两质 元（点）之间的距离（两点同步调运动称两点 同相位）
4、波数：2π长度上波的数目
k、λ均是描写平面简谐波
空间周期性的物理量。有:
k 2
Biblioteka Baidu
• 周期T代表了波的时间周期性：从质
第十章 波动与声
振动状态随时间不断向外传播的过程称 之为波动，简称波。
波动是自然界广泛存在的一种运动形式.
机械波：机械振动通过弹性媒质传播的过程 电磁波：由电磁振动（荡）在空间（包括有 介质或真空）传播过程
机械波和电磁波本质上属于不同形式的物理过程， 遵守不同物理规律。
§10.1 波的基本概念
一、波的概念
t0 是此时波形图的初相。不同时刻对 应的不同初相。
这如看宽银幕电影的某一时刻的画面。
3）若x和t两个都变化时，波方程就表示了波 射线上所有质点在各个不同时刻的位移情况。
可以证明：
yx x,t t yx,t
其中 x vt
这说明了t时刻的振动状态在 t t
时刻传到了 x x 处。
源)的运动方程。
3)比较位于x处的任一点和参考点相位的
超前和落后关系，由参考点的运动表达 式即可得出波的表达式。
取坐标原点设在波源处。振源的运动规为：
y Acost
该振动沿x轴向传播。 可以看到沿x正向轴上各个点的运动形 式与波源的运动形式相同，只是在时间 上要落后。
t xp v
设：波的传播速度为v，那么原点o 运动传到
说明：
• 严格的简谐波只是一种理想化的模型。 它不仅具有单一的频率和振幅而且必须 在空间和时间上都是无限延展的，所以 严格的简谐波是无法实现的。
• 对于作简谐运动的波源在均匀、无吸收 的介质中所形成的波，只可近似地看成 是简谐波。
一、平面简谐波运动学方程推导
• 我们借助于数学工具推导平面简谐波运 动学方程
2)机械波的传播特性
• 媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动， 并末“随波逐流” 波源的振动状态沿波射线 的方向由近及远向外传播，因此沿波射线方 向各质元的振动相位是逐一落后的。
• 波的传播伴随着能量传播
二、波的分类、横波和纵波
• 按明显物理特征将其分为：声波、水波、地 震波及光波等；
• 按能量传播空间的维数可分为：一维、二维、 三维波；
• 波动具有一定的传播速度，并伴随着能 量的传播。
• 波动具有时空周期性，固定空间一点来 看，振动随时间的变化具有时间周期性， 而固定一个时刻来看，空间各点的振动 分布也具有空间周期性。
• 波动具有可入性和可叠加性
1)机械波的产生条件
• 要有作机械振动的物体作为振源； • 有能传播这种波动的弹性媒质
离坐标原点为x0处的质点的振动规律。
kx0 是该点运动方程的初相位。不同的x0
处对应有不同的初相。
这尤如看宽银幕电影的某一点变化的画面。
2）设t=t0 时有:
y Acoskx t0
此即某一时刻空间各点的波形方程 。 它给出了该瞬时波射线上各质元相对 于平衡位置的位移分布情况 ,表示某 一瞬时的空间波形
xp v
我们没有对点作任何限制，故x轴上各点
有：
y A cost x
v
该式含义是： x轴上距o点x处的质元运动 位相比原点落后 x
v
这也可作为平面简谐波运动方程定义
思考题：
能否用“空间各点质元均以相同频率和 相同振幅作简谐振动”作为平面简谐波 定义？
不行！
距原点为xp处的p 点需要时间为： t xp v
o点的振动状态要经 t xp 时间后传到p点。
v
即t时刻点p 的运动状态是o点 xp 时间 v
以前的状态。
若t时刻o点运动方程为 :
y Acost
那么p点运动方程为：
y Acost t
即：
yp
A c os t
这是因为平面简谐波不仅要满足时间 上的周期性，还要满足空间上的周期 性。
我们定义 k
v
为“波
改写以上方程为数： ”，
y Acost kx
这样kx正与描述时间周期性ωt的位相
相对应
故kx体现了空间周期性，相当于空间上 的位相 。
当波向x 轴反向传播时（此时x轴正向各 点位相比原点超前）故有：
• 按传播媒质的行为可分为：脉冲波、简谐波 等；
• 按质元振动方向与波动传播方向的关系可分 为：横波和纵波
三、波的几何描写
• 波射线：波的传播方向一般可以用波线表示。 • 波（阵）面：各振动相位相同的点的连面轨
迹 • 波前：某一时刻振动传播抵达点的连面轨迹 • 球面波和平面波
§10.2 平面简谐波方程