高中数学课时分层作业5综合法及其应用(含解析)新人教B版选修12
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高中数学课时分层作业5综合法及其应用（含解析）新人教B 版
选修12
课时分层作业(五)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a ≤－2成立的一个充分不必要条件是(
) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0
C ．a >0，b <0
D ．a >0，b >0
[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.
∵a 2＋b 2>0，
∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.
[答案] C
2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形
[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，
∴OA →－OB →＝OD →－OC →，
∴BA →＝CD →，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
[答案] D
3．若实数a ，b 满足0 A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a [解析] ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12. 而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0 ∴a <12 ，∴a 2＋b 2最大，故选B. [答案] B 4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝b sin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . [答案] C 5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ [解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直． [答案] C 二、填空题 6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则 k ＝________. [解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2 ＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2 >1，∴c >b ，∴a >c >b . [答案] a >c >b 8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题． [解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔ bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题． [答案] 3 三、解答题 9．如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC . [证明] ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB CD . 又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF AE . ∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC . 又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC . 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形． [证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3 ，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝ a ＋c 2， 代入上式得(a ＋c )24 ＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2 ＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3 ， 从而△ABC 为等边三角形． [能力提升练] 1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 [解析] ∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C. [答案] C 2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 [解析] 因为tan A ·tan B >1， 所以角A ，角B 只能都是锐角， 所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0. 所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角． [答案] A