高等数学(2017高教五版)课件格林公式·曲线积分与路线的无关性(工科类)资料

间的联系.
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
格林公式
设区域 D 的边界 L 是由
一条或几条光滑曲线所
曲线积分与路线的无关性
L
组成. 边界曲线的正方向
D
规定为: 当人沿边界行走
时, 区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
L1
L2
L3
L Pdx Qdy .
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
曲线积分与路线的无关性
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线
所围成, 如图21-15 所示. 这 时可适当添加线段 AB, CE, 把区域化为 (ii) 的情形来处
G
E L3
C
DF
L2 B
L1 A
理. 在图21-15中添加了 AB,
图 21 15
CE 后, D 的边界则由 AB, L2 , BA, AFC ,CE, L3, EC 及CGA 构成. 由(ii)知
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
曲线积分与路线的无关性
D
Q x
P y
d
(Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
(Pdx Qdy) Pdx Qdy .
L2
L3
L1
L
注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由 y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此.
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
xdy ydx
L x2 y2
=
D
x
x2
x
y2
y
y x2 y2
d
0,
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
在格林公式中, 令P y, Q x, 则得到一个计算平
面区域 D 的面积 SD 的公式:
SD
d
D
1 2
L
x dy
y dx .
(2)
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
别为曲线 ACB 和 AEB 的方
程, 而 x 1( y)和 x 2 ( y) 则
y
E
2(x)
B
AD
C 1( x)
Oa
bx
图 21-13
分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程.
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
于是,
Q d
dy
2 ( y) Q dx
D x
同理又可证得
D
P y
d
L P(x,
y)dx .
将上述两个结果相加即得
D
Q x
P y
d
L Pdx
Qdy .
(ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成,
且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是 x 型
又是 y 型的子区域 , 则可逐块按 (i) 得到它们的
格林公式, 然后相加即可.
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
曲线积分与路线的无关性
如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x型又
是 y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 于是
D
Q x
P y
d
L3 D1
L2 D2
D3
L1
图 21 14
D1
Q x
P y
d
D2
Q x
P y
d
D3
Q x
P y
d
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
格林公式
曲线积分与路线的无关性
注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例:
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
例1 计算
x dy , 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在
D
4
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
例2 计算 I
L
xdy x2
ydx y2
,
其中
L
为任一不包含原
点的闭区域 D 的边界线.
解 因为
x y2 x2
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
y
y x2 y2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
于是，由格林公式
1( y) x
Q( 2 ( y), y)dy Q(1( y), y)dy
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
CAE
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
EAC
LQ( x , y)dy .
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
数学分析 第二十一章 重积分
§3格林公式·曲线积
在计算定积分时, 分与路线的无关性
牛顿-莱布尼茨公式反映
了区间上的定积分与其 一、格林公式
端点上的原函数值之间
的联系; 本节中的格林 二、曲线积分与路线的
公式则反映了平面区域
无关性
上的二重积分与其边界
上的第二型曲线积分之 *点击以上标题可直接前往对应内容
AB
第一象限部分 (图21-16).
y
解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, A
应用格林公式:
D
d L x dy
D
O
L B x
x dy x dy x dy .
OA
AB
BO
图 21 16
由于 x dy 0Βιβλιοθήκη Baidu x dy 0, 因此
OA
BO
x dy
d 1 πr 2 .
AB
格林公式
曲线积分与路线的无关性
例3 计算抛物线 ( x y)2 ax (a 0) 与 x 轴所围图
形的面积 (图21-17).
y
M
解 曲线 AMO 由函数
O
y ax x , x [0, a]
表示, ONA 为直线 y 0, 于是
作出证明:
(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13),
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
则 D 可表为
1( x) y 2( x), a x b,
又可表为
1( y) x 2( y), y . 这里 y 1( x) 和 y 2 ( x) 分
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
定理20.1
若函数 P( x , y), Q( x , y)在闭区域 D 上有连续的一
阶偏导数, 则有
D
Q x
P y
d
Pdx L
Qdy ,
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式(1)称为格林公式.
证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形