高等数学(2017高教五版)课件格林公式·曲线积分与路线的无关性(工科类)资料
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
高等数学(2017高教五版)课件场论初步(工科类)
被吸收 M0 , 则
在点 A
S div A( M 0 ) 是流量对体积 V 的变化率,
A dS .
A
M 0 的流量密度.
量的流体流出这一点, 则称这一点
若
称这点为 “汇”. 若在每一点都有
则称 . div A 0, 为 “无源场” A
为 V 上的一个向量场.
R Q P R Q P F ( x, y, z ) i + j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. A F 是由向量场 派生出来的一个向量
例如电力线、
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 是由数量函数 它
u( x , 所定义的向量函数 y, z )
( u v ) u v .
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有 3. 若
(u2 ) 2u(u) . r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则 d dr .
f f (u) , u u( x , y, z ) , 则 f f ( u) u . f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , m f f ui . i 1 ui
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场
高等数学(2017高教五版)课件定积分的概念(工科类)
1 n 2 lim i 1 3 n n i 1
n 1 n2n 1 1 lim .
n
6n 3
3
这里利用了连续函数的可积性. 因为可积, 所以 i 1 . 可取特殊的分割(等分)和特殊的介点 i n
注3.积分的几何意义:
曲边梯形面积
当 T max xi 时,必有
f ( )x
i 1 i
b a
n
i
J ,
则称 f 在 [a , b] 上可积， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分, 记作 J f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
n
其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
T max Δxi i 1, 2, , n .
则当 T 0 时, 就能保证分割越来越细.
(2) 要刻画 f ( i )xi能无限逼近 S , 需要任意
i 1
n
给定的 0, 能够找到 0, 使得当
对任意 i [xi 1 , xi ], T max xi 时，
b
关于定积分定义，应注意以下几点：
注1 和式 f ( i )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
i 1
n
{1 , 2 , , n } 有关, 因此定积分的极限既不是数
列极限，也不是函数极限.
注2 并非每个函数在[a, b]上都可积. 在近似过程
中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时, 显然要求
一分为二
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
高等数学格林公式课件
他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向： 复合 闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)
D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分
D
P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解 令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
格林公式与曲线积分路径无关
A
c
C
oa
bx
同理可证
y
d
E
D
c o
C
x
两式相加得
证明(2)
D
证明(3) 由(2)知
G
E
C
D
B
F
A
三、简单应用
1. 简化曲线积分
y
A
o
L
Bx
2. 简化二重积分
y
o
x
解
y L
o
x
y
o
xyΒιβλιοθήκη ox(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
解
•格林公式的应用
从
证明了：
（格林公式）
全平面是单连通域。
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
解 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。
全平面是单连通域。
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
原函数概念：
若曲线积分 数 ：
与路线无关，则函 的全微分是
练习1 计算积分
y
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
1
解
②
L①
D
-1
O
1x
③
④
-1
练习2 求星形线 解
所界图形的面积。
y
1 L
D
-1 O
1x
-1
重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系
2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
格林公式曲线积分与路径的无关性-GraphicsXMU
L
x dy y dx .
(2)
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2 ( x y ) ax (a 0) 与 x 轴所围图 例3 计算抛物线
形的面积 (图21-17). 解 曲线 AMO 由函数
y ax x , x [0 , a ]
y
M
O
N
图 21 17
BSA
P dx Q dy
ARBSA
P dx Q dy 0,
ASB
所以
ARB
P dx Q dy
A
P dx Q dy .
y
R
y
y0
S
A
B
C
D
x
B
O
图 21 19
x0 x x x
图 21 20
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(ii) (iii) 设 A( x0 , y0 ) 为 D 内某一定点, B( x , y ) 为
Q P x y d D
Q P Q P Q P d d d x y x y x y D1 D2 D3
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L1
Pdx Qdy
Pdx Qdy .
L2
Pdx Qdy
L3
Pdx Qdy
L
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 时可适当添加线段 AB , CE ,
G
L3
E
C
F
D
L2
B A
L1
17-1格林公式及曲线积分与路径无关的条件
第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。
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图 21 15
CE 后, D 的边界则由 AB, L2 , BA, AFC ,CE, L3, EC 及CGA 构成. 由(ii)知
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
曲线积分与路线的无关性
D
Q2 BA AFC CE L3 EC CGA
间的联系.
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
格林公式
设区域 D 的边界 L 是由
一条或几条光滑曲线所
曲线积分与路线的无关性
L
组成. 边界曲线的正方向
D
规定为: 当人沿边界行走
时, 区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
L1
L2
L3
L Pdx Qdy .
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
格林公式
曲线积分与路线的无关性
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线
所围成, 如图21-15 所示. 这 时可适当添加线段 AB, CE, 把区域化为 (ii) 的情形来处
G
E L3
C
DF
L2 B
L1 A
理. 在图21-15中添加了 AB,
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
定理20.1
若函数 P( x , y), Q( x , y)在闭区域 D 上有连续的一
阶偏导数, 则有
D
Q x
P y
d
Pdx L
Qdy ,
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式(1)称为格林公式.
证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形
数学分析 第二十一章 重积分
§3格林公式·曲线积
在计算定积分时, 分与路线的无关性
牛顿-莱布尼茨公式反映
了区间上的定积分与其 一、格林公式
端点上的原函数值之间
的联系; 本节中的格林 二、曲线积分与路线的
公式则反映了平面区域
无关性
上的二重积分与其边界
上的第二型曲线积分之 *点击以上标题可直接前往对应内容
别为曲线 ACB 和 AEB 的方
程, 而 x 1( y)和 x 2 ( y) 则
y
E
2(x)
B
AD
C 1( x)
Oa
bx
图 21-13
分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程.
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
于是,
Q d
dy
2 ( y) Q dx
D x
格林公式
曲线积分与路线的无关性
例3 计算抛物线 ( x y)2 ax (a 0) 与 x 轴所围图
形的面积 (图21-17).
y
M
解 曲线 AMO 由函数
O
y ax x , x [0, a]
表示, ONA 为直线 y 0, 于是
格林公式
曲线积分与路线的无关性
如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x型又
是 y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 于是
D
Q x
P y
d
L3 D1
L2 D2
D3
L1
图 21 14
D1
Q x
P y
d
D2
Q x
P y
d
D3
Q x
P y
d
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
(Pdx Qdy) Pdx Qdy .
L2
L3
L1
L
注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由 y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此.
§3格林公式·曲线积分与路线的无关性
同理又可证得
D
P y
d
L P(x,
y)dx .
将上述两个结果相加即得
D
Q x
P y
d
L Pdx
Qdy .
(ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成,
且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是 x 型
又是 y 型的子区域 , 则可逐块按 (i) 得到它们的
格林公式, 然后相加即可.
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1( y) x
Q( 2 ( y), y)dy Q(1( y), y)dy
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
CAE
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
EAC
LQ( x , y)dy .
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
xdy ydx
L x2 y2
=
D
x
x2
x
y2
y
y x2 y2
d
0,
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
在格林公式中, 令P y, Q x, 则得到一个计算平
面区域 D 的面积 SD 的公式:
SD
d
D
1 2
L
x dy
y dx .
(2)
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作出证明:
(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13),
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
则 D 可表为
1( x) y 2( x), a x b,
又可表为
1( y) x 2( y), y . 这里 y 1( x) 和 y 2 ( x) 分
AB
第一象限部分 (图21-16).
y
解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, A
应用格林公式:
D
d L x dy
D
O
L B x
x dy x dy x dy .
OA
AB
BO
图 21 16
由于 x dy 0, x dy 0, 因此
OA
BO
x dy
d 1 πr 2 .
AB
格林公式
曲线积分与路线的无关性
注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例:
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
例1 计算
x dy , 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在
D
4
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格林公式
曲线积分与路线的无关性
例2 计算 I
L
xdy x2
ydx y2
,
其中
L
为任一不包含原
点的闭区域 D 的边界线.
解 因为
x y2 x2
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
y
y x2 y2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
于是，由格林公式