养老金制度建模

企业退休职工养老金研究

摘要

本文针对我国企业退休职工养老保险基金收支平衡的问题，根据2005年颁发的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》，建立养老保险基金收支平衡模型，即缴存的养老保险金E与得到的养老保险金F保持一致；和对养老金替代率讨论模型uε

=±。分析了在该政策背景下，当已知基金收益率和缴费率时，各个因素对基

58.5%

金收支平衡的影响。

在问题一中首先采用国家统计局发布的GDP增长率对2011-2035年GDP进行预测，然后根据已知的GDP和平均工资对二者关系进行拟合得到关系式，最后根据GDP的预测值计算出平均工资的预测值。

对于题二计算出各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再使用加权平均得出缴费指数参考值。

针对问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。

问题四为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期内保持收支平衡，并要达到目标替代率，结合我国国情实际，从就业年龄，退休年龄，养老金替代率，工资增长率等影响养老保险基金收支平衡的各相关变量作了定量和定性分析讨论，得到了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取以下措施：

(1)提高就业年龄, 根据社会保险基金收入决定支出的原则进行测算, 推迟职工的就业年龄有利于减少养老金负担，缓解就业压力。

(2)提高退休年龄，退休年龄是决定养老金负担水平的一个基本因素，在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，提高退休年龄，不仅可以缩短平均享用养老金年限，降低养老金支付总负担，而且还可以相对延长职工缴纳养老保险费的期限，增加养老保险基金收入，从双向有利于实现养老基金收支的平衡。

（3）缩短养老金替代率降低时间，在假定其他因素不变的情况下，可以保证基金在2050年之前不出现赤字，可更好的维系养老金收支平衡，并达到养老金目标替代率。

（4）降低工资增长率,工资增长率对职工领取的保险费额的影响幅度远远超过对其所缴纳的保险费额的影响幅度，从而使E与F的正差额变小，即使积累或结余变少。因此，降低工资增长率可以缓解养老金支付负担,维持收支平衡。

关键词：最小二乘法拟合加权平均收支平衡曲线拟合替代率

1问题重述

1.1问题背景

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

1.2问题提出

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

2问题分析

过去30年我国经济发展迅速，而发达国家已处于平稳状态，可以预测的是在未来些许年中我国经济还会迅速发展，当达到发达国家水平时经济会处于一个稳定状态，此时

GDP 增长率会变慢。而工资的增长与经济增长相关。

问题一需要判断工资和GDP 存在某种函数关系。所以对于此问题应该先根据相关资料对GDP 进行预测，然后把GDP 和工资进行拟合，得出函数关系。最终得到工资的预测值。

问题二要用各年龄段职工工资与该企业平均工资之比作为作职工缴费指数的参考值，为了让数据更具有合理性，使用加权平均得出缴费指数参考值，再算出替代率。

问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。

问题四需找到既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的措施，那就需找到影响它们的相关变量，并对其做定量和定性分析讨论，最后找出合理且可实行的措施。

3假设条件

1）职工个人账户存储额的年利率统一为30%；

2）在未来所测年限中我国经济会稳定发展，不会出现经济危机等阻碍经济的状况； 3）假设男女职工退休年龄标准一致； 4）假设该企业各年龄段人员分布平均； 5）假设该企业各年龄段职工人数保持不变；

6）基金收益率8%和缴费率20%都是维系收支平衡的最佳点。

4符号说明

符号

意义

符号

意义

k A

第k 种情况企业职工退休时养

老金

k B 第k 种情况企业基础养老金 k D

第k 种情况企业职工个人账户

储存额 k H

第k 种情况企业职工个人账户养

老金 j c

表示当地第j 年职工实发平均

工资 j b 表示当地第j 年职工应发工资

p

表示退休年龄 q

表示参保年龄；

y

表示计发月数

1p c 表示在职职工退休前一年的当地

社会月平均工资水平 N

表示职工退休前累计缴费月数 k N

第k 种情况企业职工领取的养老

金

k G

第k 种情况下出现的缺口 w

为人均寿命 ij X

表示第 j 年份i 岁在职职工

的人数

i m

其缴存的养老保险金

i n

其退休后第一个月领取的养老

保险金

k u

职工领取养老金的年数；

E

养老保险费的收入

F

基本养老金的支出

5模型的建立与求解

5.1问题一 5.1.1模型准备

因为工资的增长和国家经济增长相关，因此我们先查询国家统计局发布的中国历年人均GDP 如表1：

表1 中国历年（1978-2010）人均GDP

00.51 1.52 2.5

3

x 10

4

5

10

15

20

25

30

35

图1 1978至2010年GDP增长趋势

我们国家从1953年开始制以五年为一个时段来做国家的中短期规划的，2011-2015年为十二五规划，往后依次类推，查询资料得到中华人民共和国国民经济和社会发展第十二个五年规划中GDP增长率和其往后5个五年规划的情况见表2：

表2 国家5年规划期间GDP预测

根据表2

会达到Logistic阻滞增长模型中的最大值，在这里用阻滞增长模型反而有些麻烦，因此不采取阻滞增长模型。

为了观察工资走势，用Matlab编程软件画出1978年到2010年山东省人均工资的走势如图2：

图2 1978至2010年工资趋势

00.51 1.52 2.53 3.5

x 104

根据国家统计局下发的《中华人民共和国和社会发展规划》中的GDP增长率预测值（表2）计算得到2011-2035年的每年的GDP值如表3：

表3 2011年到2035年人均GDP预测值

我们发现图2的平均工资增长趋势和图1的平均GDP 增长趋势的曲线是基本相同的，因此用Matlab 画出全国平均GDP 与山东省的平均工资关系图如下图3：

00.51 1.52 2.53 3.5x 10

4

4

图3 全国平均GDP与平均工资函数关系

由图3可以看出全国平均GDP 我山东省人均工资是成正比的，因此我们可以用正比例函数拟合出平均工资。 5.1.3模型建立与求解

令i y 等于第i 年人均工资，i x 等于第i 年平均GDP ，由图3我们设其关系为：

)33..1(=+=i b ax y i i

用最小二乘法确定a ,b 的值：

()33..1)(33

12=-+=∑=i y b ax Minz i i i

用Lingo 软件编程求得：

1.1=a 0=b

因此平均工资与平均GDP 的关系为：

i i x y 1.1=

根据上式和表3内容对2011年-2035年山东省年均工资预测如下表4：

表4 2011-2035年山东平均工资预测

5.2.1数据处理

根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。 该企业平均工资：

()11012503061750392225041027502673250115375052450012650016642580.23;

?+?+?+?+?+?+?+?÷=综上情况得各年龄段职工工资与该企业平均工资之比见表5：

5.2.2模型的建立与求解

1.10

1.10

该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。对于养老保险公司的缺口情况，本文是根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来衡量。

1）30岁到55岁

其缴存的养老保险金：

2525

251200020000

20%8%(13%)i i i i i m b b -++===?+??+∑∑

其退休后第一个月领取的养老保险金：

25

2520000

2024

118%(13%)(

)2251%170

12

i i

i b

c n S -+=??+=

++÷??∑ 其中()2520241202402024128%12i i i c S b c -=-?

?=?? ???∑

至75岁死亡共取得的养老保险金：

25

20

25200020240

118%(13%)(

)20122251%(2251%)2012170

12

i

i

i

i i b

c

N S -++==??+=??+

÷??+÷????∑∑

经计算得: 1m =649570元 , 1N =1019600元

对于这结果，很显然11m N <，在这种情况下养老保险基金收支平衡较难维持，出现了缺口。

缺口：111G N m =-=370040元

职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，职工领取养老金1u 年，即1f 越小越好，又因为缴存养老保险基金不变的，只有1N 要发生变化。故：

125

2520001112024120240010.250.250.280.08 1.03120.72170

220.72u i i i i i c f m u c u c -++==????=-?????+?+??? ? ?

????∑∑ 经计算得：1u =15

故该职工领取养老金到70岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收

支平衡。

2）30岁到60岁

其缴存的养老保险金：

30

30

302200020000

20%8%(13%)i i i i i m b b -++===?+??+∑∑

其领取的养老保险金：

30

3020000

2029

228%(13%)(

)2301%139

12

i i

i b

c n S -+=??+=

++÷??∑ 其中()3020292202902029128%12i i i c S b c -=-?

?=?? ???

∑ ；

60岁至75岁死亡共取得的养老保险金：

30

15

30200020290

228%(13%)(

)15122301%(2301%)1512139

12

i

i i i i b c N S -++==??+=??+

÷??+÷????∑∑

同理计算可得：2m =1108100元, 2N =1269400元, 2G =161310元 ， 2u =14 故该职工领取养老金到74岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到

收支平衡。

3）30岁到65岁

其缴存的养老保险金：

35

35

353200020000

20%8%(13%)i i i i i m b b -++===?+??+∑∑

其领取的养老保险金：

35

3520000

2034

338%(13%)(

)2351%101

12

i i

i b

c n S -+=??+=

++÷??∑ 其中()352034

3203402034128%12i i i c S b c -=-?

?

=?? ???

∑ 至75岁死亡共取得的养老保险金：

35

10

35200020340

338%(13%)(

)10122351%(2351%)1012101

12

i

i

i

i i b

c

N S -++==??+=??+

÷??+÷????∑∑

同理计算可得：3m =1771400元， 3N =1751600元

对于这结果，很显然33m N >，所以没有缺口出现。同样可计算表出：3u =12 故该职工领取养老金到77岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 5.4问题四

为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期内保持收支平衡，并要达到目标替代率，本文中就就业年龄，退休年龄，养老金替代率，工资增长率来作变量分析。

1）达到收支平衡，以缴费期的收入满足若干年后退休养老金的支付。

设养老金收支平衡的目标期为n 年，n 年期间内社会养老金收支平衡可表示为各年养老金积累额的等于零，建立以下模型：

()1111=20%8%13%p p

n

j j ij j ij i i q i q E b X b X -==+=+????+??+ ???

∑∑∑

()1

1118%13%1=()()1%122p p i

i n w i q p ij j i p b c F s p q X y -=+-==+???+ ? ?++??-??

? ???

∑∑∑

则：E F ≈

其中()11

11128%12p p p i q p i c S b c --=+--??

=?? ? ??

?

∑。 2）达到养老金替代率

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。即我们算得的养老金/退休前的工资与58.5%相差不大。

1

11

8%(13%)

1

(()()1%)122

58.5%(

)

12

p i

p

i

i q p p b c s p q y

u c ε-=+--??+++??-?=

=±∑

5.4.1影响基金收支平衡的相关变量分析

5.4.1.1参保年龄

根据我国的基本养老保险制度，每个职工从q 岁开始参保，到p 岁退休的工作期间内每年缴纳的养老保险费之和即为该职工的总供款额，将这笔款额折算为其在q 岁初的现值为：

{}1

1

(1220%)(128%)(13%)p

j j j p j q Z b b -=+=??+???

+∑ 则每个退休职工从p 岁到1ω-岁每年获得的养老金总和为该职工的总领款额，将这笔领款额也折算为其在p 岁初的现值Y ，其中包括基础养老金在p 岁初的现值1Y 和个人账户养老金在p 岁初的现值2Y 。则

1

111111

12()()1%)(1)122(1)p j q

j P c Y s p q r r ω--+-=??=?+??-???-??+??

∑ 12111112128%(13%)(1)(1)j j i i j q

j P i q Y b y r r ω--+-==+??=???+÷??-??+??

∑∑; 其中：12Y Y Y =+

根据社会保险基金收入决定支出的原则进行测算，则：0Z Y -≥

据此，在其他变量不变的情况下，q 每增大一岁，养老保险的缴费年限就会减少一年，总供款额会因此减少，进入个人账户的供款额也相应减少，故个人账户储存额减少，从而个人账户养老金年领取额也降低。在领取年限不变的情况下，总领款额也因此而减少。但据上式的数量分析结果表明，总领款额Z 的减少幅度要大于总供款额Y 的减少幅度。故Z 和Y 的正差额变大，即结余或积累增大。因此，推迟职工的就业年龄有利于减少养老金负担，缓解就业压力。而限制正式职工最低年龄，延长年轻人的教育年限等，

都可以为推迟职工开始工作年龄的有效途径。另外，从经济发达国家的经验来看，推迟就业年龄也是符合社会经济发展的客观规律的。

5.4.1.2 退休年龄

退休年龄是决定养老金负担水平的一个基本因素。在平均预期寿命和保障水平一定

ω--，降低养老金的情况下，提高退休年龄P，不仅可以缩短平均享用养老金年限1p

支付总负担，而且还可以相对延长职工缴纳养老保险费的期限q

p-，增加养老保险基金收入，从双向有利于实现养老基金收支的平衡。据国际劳工局估计，退休年龄从60岁提高到65岁，养老金负担能下降近50％。在人口年龄结构既定时，退休年龄p越低则扶养比(即退休职工数与在职职工数的比率)越高，退休金支出就越大；反之，退休年龄p越高，抚养比就越低，退休金支付也就越少，就越利于收支平衡。通过观察问题3的结果，也可得到，在q相同时，p越大，缺口越小，当p达到一定时，将不会出现缺口，即达到养老保险金收支平衡。

观察模型三的结果，也可以得到，当参保年龄为30岁时，在55岁退休的缺口远大于60岁退休的缺口，而在65岁退休没有缺口出现，显然延长退休年龄是维持收支平衡的重要因素。

5.4.1.3 养老金替代率

根据养老保险制度改革的规划，养老金的替代率要在35年内降低到58．5％。根据财政部社会保障司对2000—2050年的基金收支情况所作的预测，在假定其他因素不变的情况下，如果把目标替代率降低的时间缩短，可以保证基金在2050年之前不出现赤字，可更好的维系养老金收支平衡，并达到养老金目标替代率。可见，目标替代率降低的时间长短对基金收支平衡也会产生很大的影响。

5.4.1.4 工资增长率

由于职工缴纳的保险费与领取的保险费均按一定的比例与工资挂钩，因此一旦工资增长，职工所缴纳与所领取的保险费也会随着增长。根据对以上公式的计算分析可知，工资增长率对职工领取的保险费额的影响幅度远远超过对其所缴纳的保险费额的影响

幅度，从而使E与F的正差额变小，即使积累或结余变少。因此，降低工资增长率可以缓解养老金支付负担。

5.4.2 结论分析

由前面分析可知，由于就业年龄低、退休年龄低、养老金替代率高、工资增长率高导致了基金收入总额减少，从而对基金收支平衡和养老金替代率产生影响。进一步说，目前我国的养老基金制度基本上是处在收不抵支，不能维持养老保险基金收支平衡以及不能到达养老金替代率的恶劣局面，为了扭转这种状况，只有恰当提高就业年龄、退休年龄，降低养老金替代率和工资增长率，才能良好地解决基金收支不平衡的难题；当养老基金达到了收支平衡，则在保证了退休职工良好生活水平下，又不会出现缺口，那我们的目标替代率就可达58.5%，或者58.5%ε

±。

6模型的评价

优点：能够查询权威资料得到相关数据，使问题简便化，利用数学工具，严格的对模型进行求解，具有科学性。建立的模型与实际紧密联系，充分考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。

缺点：在问题一中的求解为了简便只是以查询资料得到未来25年GDP平均增长率预测未来25年的工资增长情况。根据过去预测未来，更多的是一种线性的预测，只具有参考意义；对于问题二把2009年该企业各个年龄段的职工工资与该企业平均工资之比看做

职工缴费指数的参考值有一定的局限性；对于问题三中缺口差值的求法依赖于附件3中的计算式，并不能完全满足实际解决问题的需要。此外，对某些数据处理过于理想化，对结果误差考虑较少。

7附录

程序1：

sets:

q/1..33/:a,b,y;

endsets

data:

a=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 1007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;

b=381 479 463 492 528 583 695 858 963 1112 1366 1519 1644 1893 2311 2998 4044 5046 5846 6420 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14185 16500 20169 23708 25605 29748;

enddata

min=@sum(q(i):(m*b(i)+n-a(i))^2);

@for(q(i):y(i)=m*b(i)+n);

程序2：

a=[566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 1007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074];

b=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33];

plot(a,b,'o')

grid

title('图2 1978至2010年工资趋势','FontName','黑体' ,'FontSize',10)

程序3

a=[566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 1007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074];

b=[381 479 463 492 528 583 695 858 963 1112 1366 1519 1644 1893 2311 2998 4044 5046 5846 6420 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14185 16500 20169 23708 25605 29748];

plot(a,b,'o')

grid

title('图3 全国平均GDP与平均工资函数关系','FontName','黑体' ,'FontSize',10) 程序4：

a=[381 479 463 492 528 583 695 858 963 1112 1366 1519 1644 1893 2311 2998 4044 5046 5846 6420 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14185 16500 20169 23708 25605 29748];

b=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33];

plot(a,b,'o')

grid

title('图1 1978至2010年GDP增长趋势','FontName','黑体' ,'FontSize',10)

附表1

山东省职工历年平均工资统计表

年份平均工资年份平均工资年份平均工资1978 566 1989 1920 2000 8772

1979 632 1990 2150 2001 10007

1980 745 1991 2292 2002 11374

1981 755 1992 2601 2003 12567

1982 769 1993 3149 2004 14332

1983 789 1994 4338 2005 16614

1984 985 1995 5145 2006 19228

1985 1110 1996 5809 2007 22844

1986 1313 1997 6241 2008 26404

1987 1428 1998 6854 2009 29688

1988 1782 1999 7656 2010 32074

附表2

附件2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表