数列求和专项训练题(学生)
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}的前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.82.设1+2+22+23+…+2n-1>128(n∈N*),则n的最小值为()A.6B.7C.8D.93.设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数,前n项和为S n,log2a n+1=1+log2a n,且a3=4,则S6=()A.128B.65C.64D.634.已知数列{a n}的前n项和S n=4n+b(b是常数,n∈N*),若这个数列是等比数列,则b=()A.-1B.0C.1D.45.已知等比数列{a n},a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1<k,则k的取值范围是()A.12,23B.12,+∞C.12,D.23,+∞6.(多选)已知数列{a n}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n,则下列说法中正确的是()A.a n=n(n+1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D.数列{a n}的第50项为25507.(多选)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2nS4n为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A .b n =nB .b n =(-1)n (n +1)C .b n =4n -2D .b n =2n8.已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n =2n ,则使得S n -na n +1+50<0的最小正整数n 的值为________.9.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=20,a 3是a 2,a 5的等比中项,数列{b n }满足对任意的n ∈N *,S n +b n =2n 2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n n -n 2,n 为偶数,a n ,n 为奇数,求数列{c n }的前2n 项的和T 2n .10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 5=a 4+7,a 10=19,则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A .1009B .1010C .2019D .202011.(多选)已知数列{a n }满足a 1=32,a n =a 2n -1+a n -1(n ≥2,n ∈N *).记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ,则下列结论正确的是()A .A n =a n +1-32B .B n =23-1a n +1C .A n B n =32a nD .A n B n <32n +1412.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意正整数n ,均有S n +1=3S n -2n +2成立,a 1=2.(1)求证:数列{a n -1}为等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .13.已知数列{a n },其前n 项和为S n ,请在下列三个条件中补充一个在下面问题中,使得最终结论成立并证明你的结论.条件①:S n =-a n +t (t 为常数);条件②:a n =b n b n +1,其中数列{b n }满足b 1=1,(n +1)·b n +1=nb n ;条件③:3a 2n =3a 2n +1+a n +1+a n .数列{a n }中a 1是展开式中的常数项,且________.求证:S n <1∀n ∈N *恒成立.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}的前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8解析:A设{a n}的公差为d,根据题意得a23=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=-2,所以数列{a n}的前6项和为S6=6a1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24.2.设1+2+22+23+…+2n-1>128(n∈N*),则n的最小值为()A.6B.7C.8D.9解析:C∵1+2+22+…+2n-1为公比为2,首项为1的等比数列的前n项和S n,∴S n=12-1(2n-1)=2n-1>128=27,∴n≥8,∴n的最小值为8.故选C.3.设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数,前n项和为S n,log2a n+1=1+log2a n,且a3=4,则S6=()A.128B.65C.64D.63解析:D因为log2a n+1=1+log2a n,所以log2a n+1=log22a n,即a n+1=2a n,即数列{a n}是以2为公比的等比数列,又a3=4,所以a1=a34=1,因此S6=a1(1-26)1-2=26-1=63.故选D.4.已知数列{a n}的前n项和S n=4n+b(b是常数,n∈N*),若这个数列是等比数列,则b=()A.-1B.0C.1D.4解析:A显然数列{a n}的公比不等于1,所以S n=a1·(q n-1)q-1=a1q-1·q n-a1q-1=4n+b,所以b=-1.5.已知等比数列{a n},a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1<k,则k的取值范围是()A.12,23B.12,+∞C .12,D .23,+∞解析:D设等比数列{a n }的公比为q ,q ≠0,则q 3=a 4a 1=18,解得q =12,所以a n =12n -1,所以a n a n +1=12n -1×12n =122n -1,所以数列{a n a n +1}是首项为12,公比为14的等比数列,所以a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=21-14=<23.因为a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1<k ,所以k ≥23.故k 的取值范围是23,+D .6.(多选)已知数列{a n }满足a 1=1,且对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ,则下列说法中正确的是()A .a n =n (n +1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D .数列{a n }的第50项为2550解析:AC因为a n +1=a 1+a n +n ,a 1=1,所以a n +1-a n =1+n ,即a n -a n -1=n (n ≥2),所以n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+2+3+…+n =n (n +1)2,a 1=1也适合此式,所以a n =n (n +1)2,a 50=1275,A 正确,D 错误;1a n =2n(n +1)=2020项和S 2020=-12+12-13+…+12020-=40402021,B 错误,C 正确.故选A 、C .7.(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S2n S 4n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”.则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A .b n =nB .b n =(-1)n (n +1)C .b n =4n -2D .b n =2n解析:BC对于A ,S n =(1+n )n 2,S 2n =n (1+2n ),S 4n =2n (1+4n ),所以S2n S 4n =n (1+2n )2n (1+4n )=1+2n 2(1+4n )不为常数,故A 错误;对于B ,由并项求和法知:S 2n =n ,S 4n =2n ,S 2n S 4n =n 2n =12,故B 正确;对于C ,S n =2+4n -22×n =2n 2,S 2n =8n 2,S 4n =32n 2,所以S 2n S 4n =14,故C 正确;对于D ,S n =2(1-2n )1-2=2(2n -1),S 2n =2(4n -1),S 4n =2(16n -1),所以S2n S 4n =4n -116n -1=14n +1不为常数,故D 错误.故选B 、C .8.已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n =2n ,则使得S n -na n +1+50<0的最小正整数n 的值为________.解析:S n =1×21+2×22+…+n ×2n ,则2S n =1×22+2×23+…+n ×2n +1,两式相减得-S n =2+22+ (2)-n ·2n +1=2(1-2n )1-2-n ·2n +1,故S n =2+(n -1)·2n +1.又a n =2n ,∴S n-na n +1+50=2+(n -1)·2n +1-n ·2n +1+50=52-2n +1,依题意52-2n +1<0,故最小正整数n 的值为5.答案:59.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=20,a 3是a 2,a 5的等比中项,数列{b n }满足对任意的n ∈N *,S n +b n =2n 2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n n -n 2,n 为偶数,a n ,n 为奇数,求数列{c n }的前2n 项的和T 2n .解:(1)设数列{a n }的公差为d a 1+10d =20,1+2d )2=(a 1+d )(a 1+4d ),化简得1+2d =4,1d =0,因为d ≠0,所以a 1=0,d =2,所以a n =2n -2(n ∈N *),S n =n 2-n ,n ∈N *,因为S n +b n =2n 2,所以b n =n 2+n (n ∈N *).(2)由(1)知,c n n -n 2,n 为偶数,a n ,n 为奇数,n 为偶数,n -1,n 为奇数,所以T 2n =c 1+c 2+c 3+c 4+…+c 2n -1+c 2n =(2+4+…+2n )+(40+42+…+42n -2)=n (2+2n )2+1-16n 1-16=n (n +1)+115(16n -1).10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 5=a 4+7,a 10=19,则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A .1009B .1010C .2019D .2020解析:D设{a n }的公差为da 1+6d =a 1+3d +7,1+9d =19,1=1,=2,∴a n =2n-1,设b n =a n cos n π,则b 1+b 2=a 1cos π+a 2cos 2π=2,b 3+b 4=a 3cos 3π+a 4cos 4π=2,…,∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1+b 2)+(b 3+b 4)+…+(b 2019+b 2020)=2×20202=2020.11.(多选)已知数列{a n }满足a 1=32,a n =a 2n -1+a n -1(n ≥2,n ∈N *).记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ,则下列结论正确的是()A .A n =a n +1-32B .B n =23-1a n +1C .A n B n =32a nD .A n B n <32n +14解析:ABD由a n =a 2n -1+a n -1,得a 2n -1=a n -a n -1≥0,所以a n ≥a n -1≥32,A n =a 21+a 22+…+a 2n =a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n +1-a n =a n +1-a 1=a n +1-32,故A 正确;由a n =a 2n -1+a n -1=a n-1(a n -1+1),得1a n =1a n -1(a n -1+1)=1a n -1-1a n -1+1,即1a n -1+1=1a n -1-1a n ,所以B n =1a 1+1+1a 2+1+…+1a n +1=1a 1-1a 2+1a 2-1a 3+…+1a n -1a n +1=1a 1-1a n +1=23-1a n +1,故B 正确;易知A n ≠0,B n ≠0,所以A nB n =a n +1-3223-1a n +1=32a n +1,故C 不正确;易知a n =a 2n -1+a n -1<2a 2n -1,所以a n +1<2a 2n <23a 4n -1<…<22n -1a 2n 1=22n-1n =12×32n ,所以A n B n=32an +1<32×12×32n =32n +14,故D 正确.故选A 、B 、D .12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意正整数n ,均有S n +1=3S n -2n +2成立,a 1=2.(1)求证:数列{a n -1}为等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)当n ≥2时,S n =3S n -1-2(n -1)+2,又S n +1=3S n -2n +2,两式相减可得S n +1-S n =3S n -3S n -1-2,即a n +1=3a n -2,即有a n +1-1=3(a n -1),令n =1,可得a 1+a 2=3a 1,解得a 2=2a 1=4,也符合a n +1-1=3(a n -1),则数列{a n -1}是首项为1,公比为3的等比数列,则a n -1=3n -1,故a n =1+3n -1.(2)由(1)知b n =na n =n +n ·3n -1,则T n =(1+2+…+n )+(1·30+2·31+3·32+…+n ·3n -1),设M n =1·30+2·31+3·32+…+n ·3n -1,3M n =1·3+2·32+3·33+…+n ·3n ,两式相减可得-2M n =1+3+32+…+3n -1-n ·3n=1-3n 1-3-n ·3n ,化简可得M n =(2n -1)·3n +14.所以T n =12n (n +1)+(2n -1)·3n +14.13.已知数列{a n },其前n 项和为S n ,请在下列三个条件中补充一个在下面问题中,使得最终结论成立并证明你的结论.条件①:S n =-a n +t (t 为常数);条件②:a n =b n b n +1,其中数列{b n }满足b 1=1,(n +1)·b n +1=nb n ;条件③:3a 2n =3a 2n +1+a n +1+a n .数列{a n }中a 1是展开式中的常数项,且________.求证:S n <1∀n ∈N *恒成立.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.证明:二项展开式的通项为T k +1=C -k=C -k x12-3k,令12-3k =0,得k =4,得展开式的常数项为a 1=12.可选择的条件为①或②或③:若选择①:在S n =-a n +t 中,令n =1,得t =1,所以S n =-a n +1,当n ≥2时,S n -1=-a n -1+1.两式相减得a n =12a n -1,故{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列,所以S n =a 1(1-q n )1-q =1<1.所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立.若选择②:由(n +1)b n +1=nb n 得b n +1b n =nn +1,所以b n =b n b n -1·b n -1b n -2·…·b 2b 1b 1=1n (n ≥2),n =1时也满足,则a n =1n (n +1)=1n -1n +1,S n …1-1n +1<1.所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立.若选择③:由题意得3a 2n +1-3a 2n =-(a n +1+a n ),得a n +1-a n =-13或a n +1+a n =0,又a 1=12,当a n +1+a n =0时,有S n n 为偶数,n 为奇数,所以S n <1,当a n +1-a n =-13时,有S n =n 2-n (n -1)6=-16(n 2-4n )=-16(n -2)2+23,当n =2时,S n 有最大值,为23<1.所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立.。
小学数学《数列求和》练习题(含答案)
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小学数学《数列求和》练习题(含答案)【例1】找找下面的数列有多少项?(1)2、4、6、8、……、86、98、100(2)3、4、5、6、……、76、77、78(3)4、7、10、13、……、40、43、46(4)2、6、10、14、18、……、82、86分析:(1)我们都知道:1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(95、96)、(97、98)、(99、100),让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。
(2)连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项。
对于连续的自然数列,它们的项数是:末项—首项+ 1 。
(3)配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组。
当然,我们还可以有其他的配组方法。
(4)22项.对于一个等差数列的求和,在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后,也许稍显麻烦,但它的思路很重要,对于以后学习数论知识有较多的帮助。
希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】计算下列各题:(1)2+4+6+…+96+98+100(2)2+5+8+…+23+26+29分析:(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是2,末项是100,项数为50。
数列求和练习题(含答案)

2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1n (n +1),则S 5等于( )A .1 B.56 C.16D.130B [∵a n =1n (n +1)=1n -1n +1,∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=56.]3.(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中,a 2·a 8=4a 5,等差数列{b n }中,b 4+b 6=a 5,则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A .9B .18C .36D .72B [∵a 2·a 8=4a 5,即a 25=4a 5,∴a 5=4,∴a 5=b 4+b 6=2b 5=4,∴b 5=2, ∴S 9=9b 5=18,故选B.]已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和. [解](1)由已知得⎩⎨⎧2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,10a 1+10×92d =10a 1+45d =100,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,3分所以数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1.5分 (2)b n =1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,8分所以T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+13-15+…+12n -1-12n +1 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n2n +1.12分已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=6,S 5=15.(1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =2nna a ,求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1. ∵S 3=6,S 5=15,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+12×3×(3-1)d =6,5a 1+12×5×(5-1)d =15,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =2,a 1+2d =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =1.3分∴{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×1=n .5分 (2)由(1)得b n =a n 2a n=n2n ,6分∴T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,①①式两边同乘12, 得12T n =122+223+324+…+n -12n +n2n +1,② ①-②得12T n =12+122+123+…+12n -n 2n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12-n 2n +1=1-12n-n 2n +1,10分 ∴T n =2-12n -1-n2n .12分一、选择题1.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号:31222189】A .n 2+1-12n B .2n 2-n +1-12n C .n 2+1-12n -1D .n 2-n +1-12nA [该数列的通项公式为a n =(2n -1)+12n , 则S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+ (12)=n 2+1-12n .]2.在数列{a n }中,a n +1-a n =2,S n 为{a n }的前n 项和.若S 10=50,则数列{a n +a n +1}的前10项和为( )A .100B .110C .120D .130C [{a n +a n +1}的前10项和为a 1+a 2+a 2+a 3+…+a 10+a 11=2(a 1+a 2+…+a 10)+a 11-a 1=2S 10+10×2=120.故选C.]3.(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .192里B .96里C .48里D .24里B [由题意,知每天所走路程形成以a 1为首项,公比为12的等比数列,则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1261-12=378,解得a 1=192,则a 2=96,即第二天走了96里.故选B.] 6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =sin n π2,n ∈N *,则S 2 016=__________. 0 [a n =sin n π2,n ∈N *,显然每连续四项的和为0. S 2 016=S 4×504=0.]9.已知数列{a n }中,a 1=1,又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解](1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2,公差为1的等差数列,∴2na n =2+(n -1)=n +1,3分解得a n =2n (n +1).5分(2)∵a n =2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n-1n +1, ∴S n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n-1n +1 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=2n n +1.12分3.设S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 1=3,a n +1=2S n +3(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(2n -1)a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时,由a n +1=2S n +3得a n =2S n -1+3, 两式相减,得a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n , ∴a n +1=3a n ,∴a n +1a n=3.当n =1时,a 1=3,a 2=2S 1+3=2a 1+3=9,则a 2a 1=3.3分∴数列{a n }是以a 1=3为首项,公比为3的等比数列. ∴a n =3×3n -1=3n .5分(2)法一:由(1)得b n =(2n -1)a n =(2n -1)·3n ,7分 ∴T n =1×3+3×32+5×33+…+(2n -1)·3n ,① 3T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n -1)·3n +1,②①-②得-2T n =1×3+2×32+2×33+…+2×3n -(2n -1)·3n +1 =3+2×(32+33+…+3n )-(2n -1)·3n +1 =3+2×32(1-3n -1)1-3-(2n -1)·3n +1=-6-(2n -2)·3n +1.10分 ∴T n =(n -1)·3n +1+3.12分法二:由(1)得b n =(2n -1)a n =(2n -1)·3n .7分 ∵(2n -1)·3n =(n -1)·3n +1-(n -2)·3n , ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(0+3)+(33+0)+(2×34-33)+…+[(n -1)·3n +1-(n -2)·3n ] =(n -1)·3n +1+3.12分。
高中数学常见数列求和的方法训练(裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项)
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高中数学常见数列求和的方法训练(裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项)【题组一裂项相消】1.(2020·沭阳县修远中学高二月考)数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11,则n=________。
2.(2020·河南高二月考)已知等差数列{}n a 中,13212a a +=,12421a a a +=+。
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:121112123n S S S n +++<+++L ;3.已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =,且2a ,4a ,8a 成等比数列。
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求使1415n S <的n 的最大值。
练习1已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2347n n S a n =+-。
(1)证明:数列{}2n a -为等比数列;(2)若()()1211n n n n a b a a +-=--,求数列{}n b 的前n 项和n T ;2.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1=3a n -4n ,n ∈N *.(1)判断数列{a n -2n -1}是否是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)若b n =(2n -1)2n a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n ;【题组二错位相减】1.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n 。
(1)设b n =12n n a -.证明:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的前n 项和;2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,2121a a =+。
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 满足()214n n n a b -=,求数列{}n b 的前n 项和n R ;3.设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,且满足2d =-,476S =.等比数列{}n b 满足1310b b +=,2420b b +=。
小学六年级奥数数列求和问题专项强化训练(高难度)
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小学六年级奥数数列求和问题专项强化训练(高难度)例题:已知数列 an 的通项公式为 a n = n2 + 2n,求 s10,其中 s10 表示数列前 10 项的和。
解析:我们需要先找到数列的前 10 项,然后将它们相加。
数列的通项公式为 an = n^2 + 2n,所以我们可以求出数列的前 10 项:a1 = 12 + 2×1 = 3a2 = 22 + 2×2 = 8a3 = 32 + 2×3 = 15...a10 = 102 + 2×10 = 120接下来,将这些项相加得到数列前 10 项的和 s10:s10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10s10 = 3 + 8 + 15 + ... + 120这是一个等差数列,使用求和公式可以得到:s10 = (a1 + a10) × 10 ÷ 2s10 = (3 + 120) × 10 ÷ 2s10 = 1230所以,数列前 10 项的和为 1230。
接下来是 15 道对应题型的专项练习应用题:1.已知数列 an 的通项公式为 an = n2 + 3n,求 s12。
2.2. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = 2n + 1,求 s10。
3. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = n2 - n,求 s8。
4. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = 3n + 2,求 s15。
5. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = n2 + n + 1,求 s20。
6. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = 4n + 3,求 s18。
7. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = n2 + 5n,求 s16。
8. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = 2n2 + 3n,求 s14。
9. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn,an = 5n + 4,求 s13。
数列求和解答题50道(解析版)
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数列求和解答题50道1.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 和S n 满足4S n =(a n +1)2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n +2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)∵4S n =(a n +1)2(n ∈N *),n ≥2时,4S n-1=(a n -1+1)2,相减可得:4a n =(a n +1)2-(a n -1+1)2,化为:(a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0,∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1-2=0,即a n -a n -1=2,∴数列{a n }是公差为2的等差数列,n =1时,4S 1=4a 1=(a 1+1)2,解得a 1=1.∴a n =1+2(n -1)=2n -1.(2)b n =a n +2a n =2n -1+22n -1=2n -1+12×4n .∴数列{b n }的前n 项和T n =n (1+2n -1)2+12×4(4n -1)4-1=n 2+2(4n -1)3.2.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1,且6S n =(a n +1)(a n +2),n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式:(2)设数列{b n }满足b n =a n ,n 是奇数2n ,n 是偶数,并记T n 为{b n }的前n 项和,求T 2n .【解析】(1)由a 1=S 1=16(a 1+1)(a 1+2),整理可得:a 21-3a 1+2=0,结合a 1=S 1>1,解得a 1=2由a n +1=S n +1-S n =16(a n +1+1)(a n +1+2)-16(a n +1)(a n +2)得(a n +1+a n )(a n +1-a n -3)=0,又a n >0,得a n +1-a n =3从而{a n }是首项为2公差为3的等差数列,故{a n }的通项公式为a n =3n -1.(2)T 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n )=n (2+6n -4)2+4(1-4n )1-4=4n +1-43+3n 2-n . 3.已知数列{a n }满足a 1-12+a 2-122+⋯+a n -12n =n 2+n (n ∈N *).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)∵a 1-12+a 2-122+⋯+a n -12n =n 2+n ,(n ∈N +)①∴a 1-12+a 2-122+⋯+a n -1-12n -1=(n -1)2+n -1=n 2-n (n ≥2,n ∈N +),②由①-②得:a n -12n =2n ,∴a n =n •2n +1+1,n≥2,n ∈N +,③在①中,令n =1,得a 1=5,适合③式,∴a n =n •2n +1+1,n ∈N +.(Ⅱ)设b n =n •2n +1,其前n 项和为T n ,则:T n =1×22+2×23+⋯+n ×2n +1,①2T n =1×23+2×24+⋯+n ×2n +2,②②-①,得T n =-22-23-⋯-2n +1+n •2n +2=(n -1)•2n +2+4.∴S n =T n +n =(n -1)•2n +2+n +4.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (k ∈N ),且S n 的最大值为8(1)确定常数k ,求a n ;(2)设b n =1a n a n +1,若数列{b n }的前n 项和为T n ,T n >m 恒成立,求m 的取值范围.【解析】(1)数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (k ∈N ),即为S n =-12(n -k )2+k 22,可得当n =k 时,取得最大值k 22,即有k 22=8,解得k =4;则S n =-12n 2+4n ,a 1=S 1=72,n ≥2时,a n =S n -S n -1=-12n 2+4n --12(n -1)2+4(n -1) =92-n ,上式对n =1也成立,则a n =92-n ;(2)b n =1a n a n +1=4(9-2n )(7-2n )=212n -9-12n -7,可得前n 项和为T n =21-7-1-5+1-5-1-3+⋯+12n -9-12n -7=21-7-12n -7 ,当n ≤3时,T n 增大;当n ≥4时,T n 增大,由T 1=435,T 4=-167,可得T n 的最小值为-167,∵T n >m 恒成立,可得m <-167.5.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn ,k ∈N +,且S n的最大值为8.(1)确定k 的值;并求数列{a n }的通项公式;(2)若数列9-2a n2n 的前n 项和T n .证明:T n <4.【解析】(1)∵S n =-12n 2+kn =-12(n -k )2+12k 2,又n ,k ∈N +,所以当n =k 时,(S n )max =12k 2,由题设12k 2=8,故k =4,可得S n =-12n 2+4n ;当n =1时,a 1=S 1=72;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-12n 2+4n --12(n -1)2+4(n -1) =92-n ,上式也满足n =1,即a n =92-n ,n ∈N +;(2)证明:a n =92-n ,9-2a n 2n =n 2n -1,故前n 项和T n =1•12 0+2•12 1+⋯+n •12 n -1,12T n =1•12 +2•12 2+⋯+n •12 n ,两式相减可得12T n =1+12+12 2+⋯+12 n -1-n •12 n =1-12n 1-12-n •12 n ,化简可得T n =4-(n +2)•12 n -1,则T n <4.6.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为8.(Ⅰ)确定常数k ,并求a n ;(Ⅱ)求数列9-2a n2n 的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为8,当n =k 时,S n 取得最大值,则12k 2=8,解得k =4,可得S n =-12n 2+4n ,a 1=S 1=4-12=72,n ≥2时,a n =S n -S n -1=-12n 2+4n +12(n -1)2-4(n -1)=92-n ,上式对n =1也成立,则a n =92-n ;(Ⅱ)数列9-2a n 2n ,即为数列n 2n -1 ,则前n 项和T n =1•12 0+2•12 1+3•122+⋯+n •12n -1,12T n =1•12 +2•12 2+3•123+⋯+n •12n,两式相减可得,12T n =1+12 1+122+⋯+12 n -1-n •12 n =1-12 n1-12-n •12 n,化简可得T n =4-(n +2)•12n -1.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知a 3=5,S 7=49.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1由题意可得a 1+2d =57a 1+7×62d =49,解得a 1=1d =2 ,所以{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)由(1)得b n =1a n a n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ,从而T n =121-13+13-15 +⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1.8.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n -1.数列b 1=2,b n +1-2b n =8a n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n-1.当n =1时,解得a 1=1,当n ≥2时,S n -1=2n -1-1,所以a n =S n -S n -1=2n -1(首项符合通项),故a n =2n -1,数列b 1=2,b n +1-2b n =8a n =2n +2,所以b n +12n +1-b n 2n=2(常数),所以数列b n2n 是以b 121=1为首项,2为公差的等差数列.所以b n =(2n -1)⋅2n ,则T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n -1)⋅2n ①,2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n -1)⋅2n +1②,①-②得-T n =2(2+22+⋯+2n )-2-(2n -1)⋅2n +1,解得T n =(2n -3)⋅2n +1+6.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S l 5=225,a 3+a 6=16.(Ⅰ)证明:{S n }是等差数列;(Ⅱ)设b n =2n⋅a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S l 5=225,a 3+a 6=16.则:S 15=225a 3+a 6=16 解得:a 1=1,d =2,所以:S n =1+3+⋯+(2n -1)=n 2,则:S n =n ,所以:S n -S n -1=n -n +1=1(常数).故:数列{S n }是等差数列;(Ⅱ)由已知条件b n =2n⋅a n =(2n -1)⋅2n,所以:T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n -1)⋅2n①2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n -1)⋅2n +1②,①-②得:T n =(2n -3)⋅2n +1+6.10.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=3,a 1•a 4=a 22.(1)求{a n }的通项公式及a n 的前n 项和S n 的通项公式;(2)b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n,求数列{b n }的通项公式,并判断b n 与23的大小.【解析】(1)设a 1=a ,公差为d ,则a (a +3d )=(a +d )2,解得d =a =3,所以a n =3n ,S n =3n (n +1)2.(2)1S n =23⋅1n (n +1)=231n -1n +1,从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=231-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =231-1n +1 =23-23(n +1)<23,故b n <23.11.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列log 13a n是公差为-1的等差数列,且a 2+2是a 1,a 3的等差中项.(1)证明数列{a n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)若T n 是数列1a n的前n 项和,若T n <M 恒成立,求实数M 的取值范围.【解析】【解答】(1)证明:∵数列log 13a n 是公差为-1的等差数列,∴log 13a n =log 13a 1-(n -1),∴a na 1=3n -1.∴n ≥2时,a n a n -1=3n -13n -2=3,数列{a n }是以3为公比的等比数列.∴a 2=3a 1,a 3=9a 1.∵a 2+2是a 1,a 3的等差中项,∴2(a 2+2)=a 1+a 3,∴2(3a 1+2)=a 1+9a 1,解得a 1=1.∴数列{a n }是以3为公比,1为首项的等比数列.∴a n =3n -1.(2)解:1a n =13n -1.∴T n =1-13 n1-13=321-13 n.∵T n <M 恒成立,∴M ≥32.∴实数M 的取值范围是32,+∞ .12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 8=S 3,a 4=2a 2-2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1S n +2,其前n 项和为T n ,证明:T n <12.【解析】(1)解:设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得a 1+7d =3a 1+3da 1+3d =2(a 1+d )-2,解得:a 1=4d =2 ,∴a n =4+2(n -1)=2n +2;(2)证明:由(1)得:S n =(4+2n +2)n2=n 2+3n ,∴b n =1S n +2=1n 2+3n +2=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2,∴T n =12-13 +13-14+⋯+1n +1-1n +2 =12-1n +2<12.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2a n -S n =1(n ∈N *).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 2(1+S n ),求数列1b n b n +1的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)∵2a n -S n =1,令n =1,解得a 1=1,n≥2,又2a n -1-S n -1=1,两式相减,得a n =2a n-1,∴{a n }是以a 1=1为首项,q =2为公比的等比数列,∴a n =2n -1;(Ⅱ)∵1+S n =2n ,∴b n =log 2(1+S n )=log 22n=n ,1b n b n +1=1n (n +1)=1n -1n +1∴T n =11×2+12×3+⋯+1n (n +1)=1-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.14.已知正项等比数列{a n }满足a 1=2,a 3a 7=322,数列b n 的前n 项和为S n ,b n =2n -2.(Ⅰ)求{a n }的通项公式与S n ;(Ⅱ)设c n =a n +1S n +1,求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)根据题意,a 1=2,a 25=322,∴a 1=2,a 5=32,∴q =2,所以a n =2n ,因为b n =2n -2,数列{b n }为公差2,首项为0的等差数列,∴S n =n (0+2n -2)2=n 2-n ;(Ⅱ)根据题意,c n =a n +1S n +1=2n +1(n +1)n=2n +1n -1n +1所以T n =2(1-2n )1-2+1-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =2n +1-1-1n +1.15.在等差数列{a n }中,a 1=-8,a 2=3a 4.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =4n (12+a n )(n ∈N *),T n 为数列{b n }的前n项和,若T n =95,求n 的值.【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差是d ,由a 1=-8,a 2=3a 4得:-8+d =3(-8+3d )解得d =2,所以a n =-10+2n ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =-10+2n ,∴b n =4n (12+a n )=4n (2n +2)=21n -1n +1 ,所以T n=211-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =2n n +1,由T n =95解得n =9.16.等差数列{a n }中,公差d ≠0,a 5=14,a 23=a 1a 11.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)∵{a n }是等差数列,公差d ≠0,a 5=14,a 23=a 1a 11,可得a 1+4d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+10d ),解得a 1=2,d =3,所以{a n }的通项公式;a n =a 1+(n -1)d =3n -1;(2)bn=1a n a n +1=1(3n -1)(3n +2)=1313n -1-13n +2,数列{b n }的前n 项和S n =1312-15+15-18+⋯+13n -1-13n +2=1312-13n +2 =16-19n +6=n 6n +4.17.在等差数列{a n }中,已知a 2=3,a 7=8.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列1a n a n +1 的前n 项和为S n ,若S n =512,求n 的值.【解析】(1)设公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 2=3,a 7=8.所以a 7-a 2=5d =5,解得d =1,由于a 2=a 1+d ,所以a 1=2.故a n =n +1.(2)由于a n =n +1,所以1a n a n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2,则S n =12-13+13-14+⋯+1n +1-1n +2=512,整理得12-1n +2=512,解得n =10.18.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 3=9,a 2是a 1,a 7的等比中项.(1)求{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足b n =1n (a n +7),求{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),则a 1+2d =9(a 1+d )2=a 1⋅(a 1+6d )解得d =4或d =0(舍去),a 1=1,∴a n =1+4(n -1)=4n -3.(2)∵b n =1n (a n +7)=141n -1n +1 ,∴Sn=b 1+b 2+b 3+⋯+b n =1411-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =141-1n +1 =n 4n +4.19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n +4n -7.(1)证明:数列{a n -2}为等比数列;(2)若b n =a n -2(a n +1-1)(a n -1),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】【解答】证明:(1)数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n +4n -7①.当n =1时,解得:a 1=3,当n ≥2时,2S n -1=3a n -1+4n -11②.①-②得:a n =3a n -1-4,整理得:a n -2a n -1-2=3(常数)所以:数列{a 2-2}是以a 1-2=1为首项,3为公比的等比数列.(2)由于:数列{a 2-2}是以a 1-2=1为首项,3为公比的等比数列,故:a n -2=3n -1,所以:b n =a n -2(a n +1-1)(a n -1)=3n -1(3n +1)(3n -1+1)=1213n -1+1-13n +1,所以:Tn=12130+1-131+1+⋯+13n -1+1-13n +1=1212-13n +1.20.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在直线y =2x -2上,n ∈N *(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =n +(a n -1)log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在直线y =2x -2上,n ∈N *所以:S n =2a n -2①,当n =1时,a 1=2a 1-2,解得:a 1=2.当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2②,①-②得:a n =2a n -2a n -1,整理得:an a n -1=2(常数),故:数列的通项公式为:a n =2⋅2n -1=2n (首项符合通项).故:a n =2n .(2)b n =n +(a n -1)log 2a n =n •2n,所以T n =1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①,2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n +1②,①-②得:-T n =21+22+⋯+2n -n ⋅2n +1,整理得:T n =(n -1)⋅2n +1+2.21.已知{a n }是等差数列,且lg a 1=0,lg a 4=1.(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和.【解析】(1)数列{a n }是等差数列,设公差为d ,且lg a 1=0,lg a 4=1.则:a 1=1a 1+3d =10 ,解得:d =3所以:a n =1+3(n -1)=3n -2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,则:a 2k=a 1⋅a 6,整理得:a k =3k -2,解得:k =2;所以:等比数列{b n }的公比为q =4.所以:b n =4n -1.则a n +b n =3n -2+4n -1,故:S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n -2+4n -1)=n (3n -1)2+4n -14-1=32n 2-12n +13(4n-1).22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=4,2S n =(n +1)a n (n ∈N *).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =(a n +1)2S n,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=4,2S n =(n +1)a n (n ∈N *).当n =2时,2S 2=3a 2,整理得a 1=2.所以2S n =(n +1)a n ,故2S n -1=(n +1-1)a n-1,两式相减得(n -1)a n =na n -1,所以a n =a na n -1⋅a n -1a n -2⋯a2a 1⋅a 1=2n (首项符合通项).故a n =2n .(Ⅱ)由于a n =2n ,所以b n =(a n +1)2S n=4n 2+4n +1n (n +1)=4+1n (n +1)=4+1n -1n +1.故T n =b 1+b 2+⋯+b n =4n +1-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =4n +1-1n +1.23.已知数列{a n }满足a n +2=qa n (q 为实数,且q ≠1)n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(Ⅰ)求q 的值和{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 2a 2n -1a 2n,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(Ⅰ)数列{a n }满足a n +2=qa n (q 为实数,且q ≠1)n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列,所以(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3.所以a 2(q -1)=a 3(q -1),由于q ≠1,所以a 3=a 2=2,解得q =2.①当n =2k -1时,a n =a 2k -1=2n -12,②当n =2k 时,a n =a 2k =2n2.所以数列的通项公式为:an=2n -12(n 为奇数)2n 2(n 为偶数).(Ⅱ)由(Ⅰ)得:b n =log 2a 2n -1a 2n =n -12n,所以T n =021+122+⋯+n -12n ①,则12T n =022+123+⋯+n -12n +1,②①-②得12T n =141-12n -11-12-n -12n +1,整理得T n =1-n +12n .24.已知公差不为0的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 4=b 3.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式;(2)设T n =a 1b n +a 2b n -1+⋯+a n b 1,求T n .【解析】(1)设公差为d 且不为0的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 4=b 3.故a n =a 1+(n -1)d ,b n =b 1⋅q n -1,所以1+d =q 1+3d =q 2 ,解得d =1,q =2.故a n =n ,b n =2n -1.(2)由于a n =n ,b n =2n -1,所以T n =1⋅2n -1+2⋅2n -2+⋯+n ⋅20①,12T n =1⋅2n -2+2⋅2n -3+⋯+n ⋅20-1②①-②得:12T n =2n -1+2n -2+⋯+2+1-n2=2n -1-n2.所以T n =2n +1-(n +2).25.已知等比数列{a n }是首项为1的递减数列,且a 3+a 4=6a 5.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由a 3+a 4=6a 5,得6q 2-q -1=0,解得q=12或q =-13.∵数列{a n }为递减数列,且首项为1,∴q =12.∴a n =1×12 n -1=12n -1.(2)∵T n =1⋅12 0+2⋅12 1+3⋅122+⋯+n⋅12 n -1,∴12T n =1⋅12 1+2⋅12 2+3⋅12 3+⋯+n ⋅12 n .两式相减得12T n =12 0+12 1+12 2+⋯+12 n -1-n ⋅12n =1-12 n1-12-n 12 n =2-2⋅12 n -n ⋅12 n=2-n +22n,∴T n =4-n +22n -1.26.已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令b n =a n a n +2(n ∈N *),T n =b 1+b 2+⋯+b n ,求证:T n<34.【解析】(1)数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n ①,当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1=n -1②,①-②得:a n =1n,当n =1时,a 1=1(首项符合通项),故:a n =1n.(2)由于:a n =1n,所以:b n =a n a n +2=1n (n +2)=121n -1n +2 ,所以:T n =121-13+12-14+⋯+1n -1n +2 =121+12-1n +1-1n +2 <34.27.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3,且a 1+1,a 2+1,a 4+1成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,n ∈N *,S n 是{b n }的前n 项和,求使S n <113成立的最大的正整数n .【解析】(1)公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3,且a 1+1,a 2+1,a 4+1成等比数列.则:(a 2+1)2=(a 1+1)(a 4+1),解得:d =4或0(舍去),故:a n =3+4(n -1)=4n -1,(2)由于:a n =4n -1,所以:a n +1=4n +3,所以:b n =1a n a n +1=1(4n -1)(4n +3)=1414n -1-14n +3,故:S n =1413-17+17-111+⋯+14n -1-14n +3 =1413-14n +3 =n 12n +9,所以:要使S n <113成立整理得:1413-14n +3 <113,解得:n <9由于n 为自然数,所以:n 的最大值为8.28.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n -1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n -a n }是等差数列,且b 1=2,b 3=14,求数列{b n }的前n 项和T n ⋅【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n-1①.当n =1时,解得:a 1=1.当n ≥2时,2S n -1=3a n -1-1②,①-②得:a n =3a n -1,故:an a n -1=3(常数),所以:数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以:a n =3n -1(首项符合通项),故:a n =3n -1.(2)数列{b n -a n }是等差数列,且b 1=2,b 3=14,所以:设c n =b n -a n .c 1=b 1-a 1=1,c 3=b 3-a 3=14-9=5,则:公差d =c 3-c 12=5-12=2,所以:c n =2n -1.则:b n =a n +c n =3n -1+2n -1,故:T n =(30+31+⋯+3n -1)+(1+3+⋯+2n -1)=(3n -1)3-1+n (2n -1+1)2=3n -12+n 229.设数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n ,数列{b n }的前n 项和S n =12(n 2+n ).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)若c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(1)数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n ,则:a n +1a n=2(常数)所以:数列{a n }是以a 1=2为首项,2为公比的等比数列.故:a n =2⋅2n -1=2n ,由于:数列{b n }的前n 项和S n =12(n 2+n ).当n =1时,解得:b 1=1,当n ≥2时,b n =S n -S n -1=12(n 2+n )-12(n-1)2-12(n -1)=n .由于首项符合通项,故:a n =n .(2)由(1)得:c n =a n b n =n ⋅2n ,所以:T n =1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①,2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n +1②,①-②得:-T n =(21+22+⋯+2n )-n ⋅2n +1,解得:T n =(n -1)⋅2n +1+2.30.已知首项为1的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3为a 4与a 5的等差中项.数列{b n }满足b n =2S n +n2n.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)求数列{a n •b n }的前n 项和为T n .【解析】(1)设公差为d ,首项为1的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3为a 4与a 5的等差中项.则:2(3+3d )=1+3d +(1+4d ),解得:d =4,故:a n =1+4(n -1)=4n -3,所以:S n +n 2n =n (1+4n -3)2+n 2n =n .故:数列{b n }满足b n =2S n +n2n=2n .(2)根据已知条件:a n ⋅b n =(4n -3)⋅2n ,则:T n =1⋅21+5⋅22+⋯+(4n -3)⋅2n ①,2T n =1⋅22+5⋅23+⋯+(4n -3)⋅2n +1②,①-②得:T n =(4n -3)⋅2n -4(22+23+⋯+2n )-2,整理得:T n =(4n -7)•2n +1+14.31.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +1(a n +1-1)(a n +2-1),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1.①当n =1时,解得:a 1=1.当n ≥2时,S n -1=2a n -1-1.②①-②得:a n =2a n -2a n -1,整理得:a n =2a n -1,故:an a n -1=2(常数),所以:数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列.故:a n =1⋅2n -1=2n -1(首项符合通项).故:a n =2n -1,(2)由于b n =a n +1(a n +1-1)(a n +2-1)=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1,所以:T n =121-1-122-1+⋯+12n -1-12n +1-1=1-12n +1-1.32.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,S 6=27.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n ,记T n 为数列{b n }的前n 项和.若T m =124,求m .【解析】【解答】(本小题满分12分)解:(1)设{a n }的首项为a 1,公差为d ,由已知得a 1+2d =46a 1+15d =27,解得a 1=2d =1.所以a n =a 1+(n -1)d =n +1.(2)由(1)可得b n =2n +1,∴{b n }是首项为4,公比为2的等比数列,则T n =4(1-2n)1-2=4(2n -1).由T m =124,得4(2m -1)=124,解得m =5.33.已知数列{a n }的首项a 1>0,前n 项和为S n ,且满足a 1a n =S 1+S n .(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =a n +1S n ⋅S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)数列{a n }的首项a 1>0,前n 项和为S n ,且满足a 1a n =S 1+S n .当n =1时,解得:a 1=2.当n ≥2时,2a n =2+S n ,①2a n -1=2+S n -1,②①-②得:a n =2a n -1,整理得:a n a n -1=2(常数),所以:a n =2⋅2n -1=2n ,(Ⅱ)由于S n =2(2n -1)2-1=2⋅(2n -1),b n =a n +1S n ⋅S n +1=2n +12(2n -1)(2n +1-1)=1212n -1-12n +1-1,所以:T n =121-13 +⋯+12n-1-12n +1-1=121-12n +1-134.已知{a n }是公差不为0的等差数列,且满足a 1=2,a 1,a 3,a 7成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n +2a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,因为a 1,a 3,a 7成等比数列,所以a 23=a 1a 7.所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ).所以4d 2-2a 1d =0.由d ≠0,a 1=2得d =1,所以a n =n +1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n =a n +2a n =n +1+2n +1,所以S n =[2+3+4+⋯+(n +1)]+(22+23+24+⋯+2n +1)=n (n +3)2+4(1-2n)1-2=2n +2+n 2+3n -82.35.在数列{a n }中,已知a n >0,a 1=1,a n +21-a n 2-a n +1-a n =0.(1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =1S n,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】【解答】证明:(1)由a 2n +1-a 2n -a n +1-a n =0,得(a n +1-a n -1)(a n +1+a n )=0,因为a n >0,所以a n +1-a n =1,又因为a 1=1,所以数列{a n }是首项为a 1=1,公差为1的等差数列.解:(2)由(1)可得,S n =na 1+12n (n -1)d =n +12n (n -1)=n (n +1)2.∴b n =1S n =2n (n +1)=21n -1n +1 .∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =211-12+12-13+⋯++1n -1n +1=21-1n +1 =2nn +1.36.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2,b n =a n(4n 2-1)2n.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2,当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,则:a =S n -S n -1=2n +1-2-2n +2=2n .由于n =1时,符合通项,故:a n =2n .(2)由于:a n =2n ,故:bn=a n (4n 2-1)2n =14n 2-1=1(2n +1)(2n -1)=1212n -1-12n +1 .所以:T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1.37.已知数列{a n }的前n 项和是S n ,若a n +1=a n +1(n ∈N *),S 3=12.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)因为a n +1=a n +1(n ∈N *),所以数列{a n }是公差为1的等差数列.又因为S 3=12,则a 1=3,所以,a n =a 1+(n -1)d =n +2(n ∈N *).(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n =1a n a n +1=1(n +2)(n +3)=1n +2-1n +3,则T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =13-14+14-15+15-16+⋯+1n +2-1n +3=13-1n +3=n 3n +9(n ∈N *)38.设数列{a n }满足:a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -1a n =n 3,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =n ,n 为奇数1a n,n 为偶数,求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)数列{a n }满足:a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -1a n =n3①,当n ≥2时,数列{a n }满足:a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -2a n -1=n -13②,①-②得:3n -1a n =13,所以:a n =13n ,当n =1时,a 1=13(符合通项),故:a n =13n .(2)由于b n =n ,n 为奇数1a n,n 为偶数,所以:b n =n ,n 为奇数3n ,n 为偶数,①当n 为奇数时:S n =1+32+3+34+⋯+3n -1+n=(n +1)2⋅(1+n )2+99n -12-1 9-1=n 2+2n +14+9(3n -1-1)8.②当n 为偶数时,S n =1+32+3+34+⋯+(n -1)+3n=n 2⋅(1+n -1)2+99n 2-1 9-1=n 24+9(3n -1)8.39.在数列{a n }中,a 1=3,a n =2a n -1+(n -2)(n ≥2,n ∈N *).(1)求证:数列{a n +n }是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的与前n 项和S n .【解析】(1)证明:∵a 1=3,a n =2a n -1+(n -2)(n ≥2,n ∈N *).∴a n +n =2(a n -1+n -1),∴数列{a n +n }是等比数列,首项为4,公比为2.∴a n =4×2n -1-n =2n +1-n .(2)解:数列{a n }的与前n 项和S n =(22+23+⋯+2n +1)-(1+2+⋯+n )=4(2n -1)2-1-n (1+n )2=2n +2-4-n 2+n 2.40.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=6,S 6=42.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式(Ⅱ)设b n =a n ,n 为奇数2a n2,n 为偶数,求数列{b n }的前2n 项和.【解析】(Ⅰ)设首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和为S n ,由a 3=6,S 6=42得a 1+2d =66a 1+6×52d =42,解得a 1=2d =2 ,所以a n =2+2(n -1)=2n .(Ⅱ)由于a n =2n ,所以设b n =a n ,n 为奇数2a n2,n 为偶数=2n (n 为奇数)2n(n 为偶数) ,所以T n =[2+6+10+14+⋯+2(2n -1)]+(22+24+⋯+22n )=2n 2+434n -141.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S nn是等差数列,a 1=2,a 2=4.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =1(a n -1)(2n +1),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意得S 11=1,S22=3,设等差数列S nn 的公差为d ,则d =S 22-S 11=1.∴Sn n=2+(n -1)×1=n +1,∴S n =n (n +1),当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n ,经检验a 1=2也满足上式,∴a n =2n (n ∈N *),(2)b n =1(a n -1)(2n +1)=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1,∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1,∴T n =n2n +1.42.已知正项等差数列{a n }满足:S n 2=a 31+a 32+⋅⋅⋅+a n 3,n ∈N *,S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n 4n(2a n -1)(2a n +1)(n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .【解析】(1)正项等差数列{a n }满足:S n 2=a 31+a 32+⋅⋅⋅+a n 3,①,当n =1时,解得a 1=1;当n =2时,S 22=a 31+a 32,整理得a 22-a 2-2=0,解得a 2=2或-1(负值舍去),故公差d =a 2-a 1=1,故a n =n .(2)由(1)得:b n =(-1)n4n(2a n -1)(2a n +1)=(-1)n4n(2n -1)(2n +1)=(-1)n12n -1+12n +1 ,所以T 2n =-1-13+13+15+...+14n -1+14n +1=14n +1-1=-4n4n +143.已知数列{a n }满足:a 1=12,数列1a n 的前n 项和S n =3n 2+n2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)当n ≥2时,S n -1=3(n -1)2+(n -1)2=3n 2-5n +22,则1a n =S n -S n -1=3n 2+n 2-3n 2-5n +22=3n -1.又当n =1时,1a 1=2满足上式,所以1a n =3n -1,则a n =13n -1.(2)又(1)可知b n =a n a n +1=1(3n -1)(3n +2)=1313n -1-13n +2,所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n -1+b n =1312-15+15-18+18-111+⋯+13n -4-13n -1+13n -1-13n +2 =1312-13n +2 =n 6n +4.所以数列{b n }的前n 项和T n =n 6n +4.44.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +1=2S n +1(n ∈N +).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n =3b n-1,求数列b n a n 的前n 项和T n .【解析】(1)当n =1时,a 2=2a 1+1,当n ≥2时,a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n ,即a n +1=3a n ,∴等比数列{a n }的公比是3,∴a 2=3a 1,即2a 1+1=3a 1,故a 1=1,故数列{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n -1;(2)由(1)知,a n =3n -1,又a n =3b n -1,∴b n -1=n -1,故b n =n ,∴b n a n =n3n -1,则T n =130+231+332+⋅⋅⋅+n -23n -3+n -13n -2+n 3n -1,①,13T n =131+232+333+⋅⋅⋅+n -23n -2+n -13n -1+n 3n,②两式相减得:23T n =130+131+132+⋅⋅⋅+13n -3+13n -2+13n -1-n 3n =1-13n1-13-n 3n =32-2n +32×3n,∴T n =94-2n +34×3n -1.45.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 均满足S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n 2n =n -1+12n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =2n S n S n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求满足T n ≥20212022的最小正整数n 的值.【解析】(1)当n =1时,S 12=12,得S 1=1.当n ≥2时,由S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n2n =n -1+12n ①,得S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n -12n -1=(n -1)-1+12n -1②,①-②得S n 2n =1-12n (n ≥2),∴S n =2n -1(n ≥2),当n =1时,得a 1=S 1=1;当n ≥2时,由a n =S n -S n -1=2n -1-2n -1+1=2n -1.又a 1=1也满足上式,所以a n =2n -1.(2)由(1)得b n=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,所以S n=12-1-122-1+122-1-123-1+⋯+12n-1-1 2n+1-1=1-12n+1-1,由1-12n+1-1≥20212022得2n+1-1≥2022,即2n+1≥2023,因为210<2023<211,所以n+1≥11,即n≥10,故满足T n≥20212022的最小正整数为10.46.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足2a n-S n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n+1(a n+1-1)(a n+2-1),数列{b n}的前n项和为T n,求证:23≤T n<1.【解析】(1)由2a n-S n=1(n∈N*),可得2a1-S1= 2a1-a1=1,即a1=1,当n≥2时,2a n-1-S n-1=1,又2a n-S n=1,相减可得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1,则a n=2n-1;(2)证明:b n=a n+1(a n+1-1)(a n+2-1)=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,T n=1-13+13-17+17-115+...+12n-1-1 2n+1-1=1-12n+1-1,由{T n}是递增数列,可得T n≥T1=23,且T n<1.所以23≤T n<1.47.已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=16,a22=a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式a n和S n;(2)若b n=1a n a n+1,数列{b n}的前n项和T n满足T n≥48101,求n的最小值.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d,由题意知4a1+6d=16,(a1+d)2=a1(a1+4d),解得a1=1,d=2,所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)由(1)得,b n=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以T n=121-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1,令n2n+1≥48101,得n≥485,又n∈N*,所以n的最小值为10.48.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1,a2,a6成等比数列,S6=51.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1(n∈N*),数列{b n}的前n项和记为T n,求证:T n<13.【解析】(1)设{a n}公差为d,∵a1,a2,a6成等比数列,S6=51,∴a1⋅a6=a22a1+a2+a3+a4+a5+a6=51,即a1(a1+5d)=(a1+d)26a1+6×52d=51,解得a1=1,d=3,∴a n=3n-2,(2)证明:b n=1a n a n+1=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1,∴T n=131-14+14-17+⋅⋅⋅+13n-2-13n+1=131-13n+1=13-133n+1<13,∴T n<13.49.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足2a n=S n+n-1.(1)求证:{a n+1}为等比数列;(2)设b n=2n(a n+2)(a n+1+2),数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<1.【解析】【解答】证明:(1)当n=1时,2a1=a1+1-1,解得a1=0,当n≥2时,2a n-2a n-1=S n+n-1-(S n-1+n-2),化为:a n=2a n-1+1.变形为:a n+1=2(a n-1+1),a1+1=1,∴{a n+1}为等比数列,首项为1,公比为2.(2)由(1)可得:a n+1=2n-1,∴a n=2n-1-1.∴b n=2n(a n+2)(a n+1+2)=2n(2n-1+1)(2n+1)=212n-1+1-12n+1,∴数列{b n}的前n项和为T n=2120+1-121+1++⋯⋯+12n-1+1-12n+1=212-12n+1<1,∴T n<1.50.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).(1)证明:数列{a n+1}是等比数列;(2)设b n=2na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)当n=1时,a1+1=2a1得a1=1.当n≥2时,S n+n=2a nS n-1+n-1=2a n-1,两式相减得a n=2a n-1+1(n≥2),即a n+1=2(a n-1+1)(n≥2),所以数列{a n+1}是以2为公比,以2为首项的等比数列,(2)由(1)知a n+1=2n(n∈N*),即a n=2n-1(n∈N*).∵b n=2na n a n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,则T n=b1+b2+⋯+b n=1-13+13-17+⋯+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1.。
小学奥数全能解法及训练(数列求和)
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44 44 44 44 44 44 44 44 44
(6+38)×9÷2 =198
S=(a1+an)n÷2
典例精析
例1 有一个数列:4、10、16、22······52,这个数列
共有多少项? an=a1+(n-1)×d
等差 数列
n=(an-a1)÷d+1
典例精析
例1 有一个数列:4、10、16、22······52,这个数列 共有多少项? (52-4)÷6+1 =48÷6+1 =8+1 =9(项)
小学奥数全能解法及训练
数列求和
精讲1
解法精讲
(1)1、2、3、4、5、6
(2)2、4、6、8、10、12
数列
(3)5、10、15、20、25、30
首项
项数
末项
a1
n
an
精讲2
(1)1、2、3、4、5、6
1
2 (2)2、4、6、8、10、12
(3)5、10、15、20、25、30
5
等差数列
公差
d
精讲3 数列:1、3、5、7、9、11……
举一反三
练习1 有一数列:101,203,105,207,109,211…
求这数列的前20项的和。
(101+137)×10÷2=119+0
奇数项一列,偶数 项一列;据等差数列求和
(203+239)×10÷2=2210
前2ห้องสมุดไป่ตู้项的和是: 1190+2210=3400
公式求解。 规 律 总 结
练习2 求7800-124-128-132···-272-276的差。 124+128 + 132··· + 272 + 276
专题14.2 等差数列及其求和(专题训练卷)(解析版)
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专题14.2 等差数列及其求和(专题训练卷)一、单选题A .5B .7C .8D .16 【答案】B【解析】 因为11a =,2d =,所以1431327a d a +=+⨯==.故选:B.A .尺B .尺C .尺D .尺 【答案】B【解析】试题分析:由题可知女子每天织布尺数呈等差数列,设为,首项为,,可得,解之得.A .8B .6C .4D .3 【答案】D【解析】由题意,设等差数列的公差为d ,则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=,即1104a d +=,又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=,故选D.A .6B .4C .11D .3 【答案】A【解析】因为1166S =,由等差数列前n 项和公式可得,()1111111662a a S +==,解得11112a a +=, 由等差数列的性质可得,11162a a a +=,所以66a =.故选:AA .0B .1C .12D .32【答案】B【解析】 ()199599272a a S a +===,解得53a =, 所以75531752a a d --===-. 故选:B.A .当1b =-时,1n n a a +>B .当1b =-时,12n n a a +≤C .当2b =时,134n n a -> D .当2b =时,12n n a a +≤ 【答案】D【解析】 因为112a =,21()n n n a a ba n *+=+∈N , 所以当1b =-时,2111244a =-=,311341616a =-=,满足1+12n n n a a a +<≤, 当2b =时,2112124a =+⋅=,31213a =+⋅=不满足322a a ≤; 故选:D.A .0B .3C .3-D .3 【答案】A 【解析】 10a =,()*1313nn n a a n N a ++=∈-,1213313a a a +∴==-,2323313a a a +==--,3433013a a a +==-,()3n n a a n N *+∴=∈,因此,20203673110a a a ⨯+===.故选:A.A .B .C .D .【答案】D【解析】∵等差数列前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由S 15>0,S 16<0,得111570,02a d a d +>+<,∴890,0,0a a d ><<, 若视为函数则对称轴在89,S S 之间,∵89S S >,∴Sn 最大值是8S ,分析n nS a ,知n a 为正值时有最大值,故为前8项,又d <0,n a 递减,前8项中n S 递增, ∴前8项中n S 最大n a 最小时n n S a 有最大值,∴88S a 最大.A .5B .6C .7D .8【答案】D【解析】 由题意,根据等差数列的性质,可得68726a a a +==,即73a =又由96789833S S a a a a -=++==,即81a =,所以等差数列的公差为872d a a =-=-,又由7116123a a d a =+=-=,解得115a =,所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-,令1720n a n =-≥,解得182n ≤+, 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8,故选D.A .2019B .2020C .4039D .4040【答案】B【解析】∵12n n a a n ++=①,∴()1221n n a a n +++=+②,②-①得22n n a a +-=,∴数列{}n a 的偶数项是以21212a a =⨯-=为首项,2为公差的等差数列.∴()202021010122020a a =+-⨯=.故选:B.A .3699块B .3474块C .3402块D .3339块【答案】C【解析】设第n 环天石心块数为n a ,第一层共有n 环,则{}n a 是以9为首项,9为公差的等差数列,9(1)99n a n n =+-⨯=,设n S 为{}n a 的前n 项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --,因为下层比中层多729块,所以322729n n n n S S S S -=-+, 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =,解得9n =, 所以32727(9927)34022n S S +⨯===. 故选:CA .6B .7C .8D .9 【答案】D【解析】第i 行第j 列的数记为ij A .那么每一组i 与j 的组合就是表中一个数因为第一行数组成的数列1(1,2,)j A j =⋯是以2为首项,公差为1的等差数列所以12(1)11j A j j =+-⨯=+所以第j 列数组成的数列(1,2,)ij A i =⋯是以1j +为首项,公差为j 的等差数列所以(1)(1)1ij A j i j ij =++-⨯=+令137ij A ij =+=,则223623ij ==⨯则1,36i j ==;2,18i j ==;3,12i j ==;4,9i j ==;6,6i j ==;9,4i j ==;12,3i j ==;18,2i j ==;36,1i j ==所以37出现的次数为9故选:D二、多选题A .12a =-B .12a =C .4d =D .4d =-【答案】AC【解析】 因为45161272461548a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩,所以124a d =-⎧⎨=⎩, 故选:AC.A .7B .0C .3D .5 【答案】ACD【解析】对于A ,792n =-,解得1n =,故A 满足;对于B ,092n =-,解得92n =,故B 不满足; 对于C ,392n =-,解得3n =,故C 满足;对于D ,592n =-,解得2n =,故D 满足;故选:ACDA .数列的前n 项和为B .数列的通项公式为C .数列为递增数列D .数列为递增数列【答案】AD【解析】因此数列为以为首项,为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确; 所以,即A 正确; 当时 所以,即B ,C 不正确;故选:ADA .若数列{}n a 是单增数列,但其“倒差数列”不一定是单增数列;B .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最大值;C .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最小值;D .若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【解析】A .若数列{}n a 是单增数列,则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+, 虽然有1n n a a ->,但当1110n n a a -+<时,1n n b a -<,因此{}n b 不一定是单增数列,A 正确; B .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,无最大值,B 错; C .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,有最小值,最小值为1b ,C 正确;D .若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则111()121()2n n n b =-----, 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数, 当n 为偶数时,11()(0,1)2n n a =-∈,∴10n n nb a a =-<, 当n 为奇数时,11()2n n a =+1>,显然n a 是递减的,因此1n n n b a a =-也是递减的, 即135b b b >>>,∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>, ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值.D 正确. 故选:ACD .三、单空题【答案】121n - 【解析】 因为121n n n a a a +=+,所以1112n n a a +=+, 所以1112n n a a +-=,故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,2为公差的的等差数列, 所以()112121n n n a =+-=-,所以121n a n =-,填121n -. 点睛:常见的递推关系和变形方法如下:(1)11n n n pa a qa p --=+,取倒数变形为111n n q a a p--=; (2)()10n n a q p p q a -+≠=,变形为()110,1n nn n n a q pq p p p a p --+≠≠=,也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-;【答案】1980.【解析】1(2)n n n c b n c -=≥,11n n n c c c -∴+=整理得:1111n n c c --=,(2)n ≥ 由111b c a ==且111b c +=得112c =,111(1)11n n n c c ∴=+-⨯=+. 111n n n c b n n ∴=∴=++,,2111n n n a n n n n-∴=-=++. 从而21nn n a =+,因为2244441980,45452070+=+=. 故答案为:1980.【答案】4、5或32【解析】因为正整数列{}n a 满足1a a =,且对于n *∈N 有131 2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数, 由61a =,则52a =或50a =(舍),则44a =,则31a =,22a =,14a =或38a =,216a =,15a =或38a =,216a =,132a =, 即a 的所有可能取值为4、5或32,故答案为:4、5或32.四、双空题【答案】2 21n a n =-【解析】213a a d =+=,414616S a d =+=,解得11a =,2d =,故21n a n =-.故答案为:2;21n a n =-.【答案】18 6【解析】设得橘子最少的个数为1a ,公差为3 所以51154536062⨯=+⨯=⇒=S a a 所以得橘子最多的个数为51(51)361218=+-⨯=+=a a故答案为:18,6【答案】3 4【解析】因为{}n a 是等差数列,所以41813287842a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=-⎪⎩,解得1113a d =-⎧⎨=⎩ , 所以()()21131325112222n n n n n na d n S n n --=+=-+=-, 因为()232522f x x x =-的图象开口向上,对称轴为2526b x N a *=-=∉, 由25254566-<-,所以当4n =时,n S 取最小值. 故答案为:3;4.【答案】1- 1【解析】因为数列{}n a 满足17a =-,且()*12N n n a a n +-=∈, 所以数列{}n a 是以2为公差,7-为首项的等差数列,所以 72(1)29n a n n =-+-=-,所以1129n a n =-, 令1()29f x x =-,此函数在9(,)2-∞上单调递减,且()0f x < 在9()2+∞,上单调递减,且()0f x > 所以对于1129n a n =-,当4n =时,其有最小值411a =-, 当5n =时,其有最大值511a =, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1-,最大项为1, 故答案为:1-;1五、解答题(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令11n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)222n n n a ++=;(2)21n n S n =+. 【解析】(1)因为11n n a a n +=++,所以1(2)n n a a n n --=≥,累加得 123(2)n a a n n -=+++≥,所以22(2)2n n n a n ++=≥, 又12a =符合上式, 所以222n n n a ++= (2)由(1)知2112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111111122211223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故数列{}n b 的前n 项和n S 21n n =+ (1)求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)32n a n =-;(2)最小项是第4项,该项的值为23.【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ,则有11241472170a d a d +=⎧⎨+=⎩, 即1127310a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得113a d =⎧⎨=⎩. 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-.(2)()2313222n n n n S n -=+-=⎡⎤⎣⎦, 所以23484831123n n n b n n n -+==+-≥=, 当且仅当483n n=,即4n =时上式取等号, 故数列{}n b的最小项是第4项,该项的值为23.(1)求数列{S n }的通项公式;(2)设b n =(1)-nna ,求{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1)=n S ;(2)(1)n T =-【解析】(1)因为S n +12=S n 2+1,所以数列{S n 2}是以S 12= a 12=1为首项,公差为1的等差数列,因此221(1)111n S S n n n =+-⋅=+-=,因为{a n }是各项都为正数的数列,所以=n S ;(2)由(1)知:n S ,当2,n n N *≥∈时,1-=-=n n n a S S当1n =时,111a S ==适合上式,所以=n a (1)(1)n nn n n b a -===-, 当n 为奇数时,1231n n n T b b b b b -=+++++11)[([n =-++-++-+-=当n 为偶数时, 1231n n n T b b b b b -=+++++11)[[(n =-++-++-++=综上所述:(1)n T =-(1)求数列{}n a 的通项公式n a (2)当n 取何值时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最值 ,并求出最值.【答案】()1214n a n =-()2当n 67=或时,n S 取最小值,最小值为42-【解析】 ()13112,8a a =-=-31231a a d -∴==- ()1212214n a n n ∴=-+-⨯=-()()()212122132n n n S n n n -=⨯-+⨯=-21316924n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∴当n 6=或7n = 时n S ,取最小值,最小值为42-(1)求{}n a 的通项公式; (2)设1302n n b a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T 的最小值. 【答案】(1)42n a n =-;(2)225-【解析】(1)方法一:由()1333182a a S +==, 又因为12a =,所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===, 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二:设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. (2)方法一:由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈,所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二:由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦, 所以数列{}n b 是首项为129b =-,公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时,数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值, 最小值为15225T =-.(1)求等差数列{}n a 的通项公式; (2)若公差0d >,求数列{}n a 的前n 项和n T . 【答案】(1)49n a n =-或74n a n =-(2)25,1{2712,2nn T n n n ==-+≥ 【解析】(1)设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-,得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-,即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩,或 134a d =⎧⎨=-⎩ 即49n a n =-或74n a n =- (2)当公差0d >时,49n a n =- 1)当2n ≤时,490n a n =-<,112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ,则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2)当3n ≥时,490n a n =-> 123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++ ()()123122n a a a a a a =++++-+ 2222712n S S n n =-=-+当1n =时,15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=,当2n =时,26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=,所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩。
高斯求和--小升初专项训练 学生版

高斯求和第一关已知首项、末项和项数,求和【知识点】高斯求和公式:S n =a 1+a n 2×n 1.计算:1+3+5+7+⋯+192.计算:110+111+112+⋯+1263.计算:4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少?5.计算:1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算:(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算:(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算:1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数,求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算:(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算:(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算:1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算:1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列,那么这个表中所有自然数的总和是多少?16.加工一架梯子,扶杆长为4米,上下横档的长分别为0.35米、0.62米,中间还有7根横档,横档平行且间距均匀.制这架梯子共需多少米的毛竹?(损耗与接头均不计,结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上,将军这样安排了100个哨兵,他们从城堡门口开始,依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米.请问,哨兵中任意两人的距离的总和为多少米?18.周长不超过100(包括100),且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少?19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟,会员们发现在一棵大树上:第1分钟飞来1只鸟,第2分钟飞来2只鸟,第3分钟飞走3只鸟,第4分钟飞来4只鸟,第5分钟飞来5只鸟,第6分钟又飞走6只鸟,⋯,照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟?20.在1-100这100个自然数中,所有不能被6整除的数的和为多少?21.我们知道:9=3×3,16=4×4,这里9、16叫做“完全平方数”,在前300个自然数中,去掉所有的“完全平方数”,剩下的自然数的和是多少?22.求:1~999这些连续自然数所有数字之和是多少?23.数1,2,3,4,⋯,10000按下列方式排列:任取其中一数,并划去该数所在的行与列.这样做了100次以后,求所取出的100个数的和?第二关已知首项、公差及项数,求和【知识点】高斯求和公式:S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式:末项=首项+(项数-1)×公差,项数=(末项-首项)÷公差+1,首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34,公差是5的等差数列的前50项的和.2.计算:2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算:17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算:131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78页正好看完.这本书共有多少页?6.一个剧院,第一排有20个座位,以后每排总比前一排多2个座位,一共是25排.这个剧院共有多少个座位?7.同学们做广播操,一共排了8排,第一排有4人,以后每排比前一排多1人,一共有多少人做广播操?8.一堆木料,最上面一层有4根,最下面一层有20根,每相邻两层之间相差2根,这堆木料共有多少根?9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树,三年级时植了2棵,以后每年都比前一年多植树2棵.那么,果果高中毕业时一共植树多少棵?10.有一串数:1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55,⋯它前2004个数的和是多少?11.1995003这个数,最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和?第三关【知识点】高斯求和公式:S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式:末项=首项+(项数-1)×公差,项数=(末项-首项)÷公差+1,首项=末项-(项数-1)×公差1.计算:1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声,凌晨1时敲1下,凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下,下午1时敲1下,下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下,那么一昼夜该时钟共要敲多少下?3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个,其中正中间那一个最贵,从某一端算起,后一个珠子比前一个贵3元.直至到中间那个为止;若从另一端算起,后一个珠子比前一个贵4元,直至到中间那个为止.这串珠子总价值为2260元,那么中间的那一颗珠子价值多少元?5.张教授连续做实验若干小时.开始和结束时,墙上的挂钟都正在报时,他做完实验后大约16分钟,钟面上时针与分针重合.已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下,如下午1点敲1下),整个实验过程中挂钟共敲了39下.问:(1)张教授的实验一共做了多少小时?(2)他做完实验时,挂钟敲了多少下?第四关【知识点】高斯求和公式:S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式:末项=首项+(项数-1)×公差,项数=(末项-首项)÷公差+1,首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上二位乘客,第三站上三位乘客,依次下去,多少站以后,车上坐满乘客?2.小明读一本书.第一天读了8页,第二天读了11页,以后每天都比前一天多读3页,最后一天他读了32页,正好读完.这本书有多少页?3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支.这个V形架上共放了多少支铅笔?4.一群小猴上山摘野果,第一只小猴摘了1个野果,第二只小猴摘了2个野果,第三只小猴摘了3个野果,依此类推,后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果,最后,每只小猴分得8个野果,这群小猴一共有多少只?5.小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子⋯,他准备扔到大池的石子总数被106除,余数是0止,那么小明应扔多少次?第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始,按自然数的顺序做连加练习,当他加到某数时,结果是2014,后来发现中间有个数多加了一次,多加的那个数是多少?2.王涛将连续的自然数1,2,3,⋯逐个相加,一直加到某个自然数为止,由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012.那么,他漏加的自然数是多少?3.小强练习加法计算,他从1加到某个数时,和是1993,但他发现计算时少加了一个数,小强少加了的那个数是多少?4.从15开始的若干个连续自然数,如果去掉其中一个,剩下的数的平均数是311217,则去掉的自然数是多少?第六关【知识点】高斯求和公式:S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式:末项=首项+(项数-1)×公差,项数=(末项-首项)÷公差+1,首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米,第10个小时蜗牛爬了1.9米,第1小时蜗牛爬了多少米?2.27个连续自然数的和是1998,其中最小的自然数是多少?。
高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)一、选择题1.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ≥1),则a 6=( ) A .3×44 B .3×44+1 C .44D .44+1A [因为a n +1=3S n ,所以a n =3S n -1(n ≥2), 两式相减得,a n +1-a n =3a n ,即a n +1a n=4(n ≥2),所以数列a 2,a 3,a 4,…构成以a 2=3S 1=3a 1=3为首项,公比为4的等比数列,所以a 6=a 2·44=3×44.]2.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 1a 2a 3=15,且3S 1S 3+15S 3S 5+5S 5S 1=35,则a 2等于( ) A .2B .12C .3D .13C [∵在等差数列中,S 2n -1=(2n -1)a n ,∴S 1=a 1,S 3=3a 2,S 5=5a 3,∴35=1a 1a 2+1a 2a 3+1a 1a 3,∵a 1a 2a 3=15,∴35=a 315+a 115+a 215=a 25,即a 2=3.]3.已知数列{b n }满足b 1=1,b 2=4,b n +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+sin 2n π2b n +cos 2n π2,则该数列的前23项的和为( )A .4 194B .4 195C .2 046D .2 047A [当n 为偶数时,b n +2=⎝⎛⎭⎪⎫1+sin 2n π2b n +cos 2n π2=b n +1,有b n +2-b n =1,即偶数项成等差数列,所以b 2+b 4+…+b 22=11b 2+11×102×1=99.当n 为奇数时,b n +2=2b n ,即奇数项成等比数列,所以b 1+b 3+…+b 23=b 11-2121-2=212-1=4 095.所以该数列的前23项的和为99+4 095=4 194,故选A .]4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n +a n +1=2n +1,则S 2 0192 019=( )A .1 010B .1 009C .2 020D .2 019A [S 2 019=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2 018+a 2 019), =(2×0+1)+(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2 018+1), =1+2×2 018+11 0102=2 019×1 010,∴S 2 0192 019=1 010,故选A .]5.已知数列{a n }的前n 项和S n =2+λa n ,且a 1=1,则S 5=( ) A .27 B .5327C .3116D .31C [∵S n =2+λa n ,且a 1=1,∴S 1=2+λa 1, 即λ=-1,∴S n =2-a n ,当n ≥2时,S n =2-(S n -S n -1),∴2S n =2+S n -1,即S n =12S n -1+1,∴S n -2=12(S n -1-2),∴S n -2=(-1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.当n =1时也满足.∴S 5=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫124=3116.故选C .]6.设曲线y =2 018x n +1(n ∈N *)在点(1,2 018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =log 2 018x n ,则a 1+a 2+…+a 2 017的值为( )A .2 018B .2 017C .1D .-1D [因为y ′=2 018(n +1)x n ,所以切线方程是y -2 018=2 018(n +1)(x -1),所以x n =nn +1,所以a 1+a 2+…+a 2 017=log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)=log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018=log 2 01812 018=-1.]7.在等比数列{a n }中,公比q =2,前87项和S 87=140,则a 3+a 6+a 9+…+a 87等于( )A .1403B .60C .80D .160C [法一:a 3+a 6+a 9+…+a 87=a 3(1+q 3+q 6+…+q 84)=a1q 2×1q 3291-q 3=q 21+q +q 2×a 11-q 871-q =47×140=80.故选C . 法二:设b 1=a 1+a 4+a 7+…+a 85,b 2=a 2+a 5+a 8+…+a 86,b 3=a 3+a 6+a 9+…+a 87,因为b 1q =b 2,b 2q =b 3,且b 1+b 2+b 3=140,所以b 1(1+q +q 2)=140,而1+q +q 2=7,所以b 1=20,b 3=q 2b 1=4×20=80.故选C .]8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=9,a 2为整数,且S n ≤S 5,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n +1前n 项和的最大值为( )A .49B .1C .4181D .151315A [a 1=9,a 2为整数,可知:等差数列{a n }的公差d 为整数,由S n ≤S 5,∴a 5≥0,a 6≤0,则9+4d ≥0,9+5d ≤0,解得-94≤d ≤-95,d 为整数,d =-2.∴a n =9-2(n -1)=11-2n . 1a n ·a n +1=111-2n9-2n =12⎝⎛⎭⎪⎫19-2n -111-2n , 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n +1前n 项和为 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17-19+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫19-2n -111-2n =12⎝⎛⎭⎪⎫19-2n -19, 令b n =19-2n ,由于函数f (x )=19-2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫92,0对称及其单调性,可知:0<b 1<b 2<b 3<b 4,b 5<b 6<b 7<…<0,∴b n ≤b 4=1.∴最大值为49.故选A .]二、填空题 9.已知a n =2n ,b n =3n -1,c n =b n a n,则数列{c n }的前n 项和S n 为________.5-3n +52n [由题设知,c n =3n -12n ,所以S n =221+522+823+…+3n -12n , ①2S n =2+521+822+…+3n -12n -1,②由②-①得,S n =2+321+322+…+32n -1-3n -12n .故所求S n =2+32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -11-12-3n -12n =5-3n +52n .]10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,a n +1a n=n +1n,b n a n=sin 2n π3-cos 2n π3,n ∈N *,则数列{b n }的前47项和等于________.1 120 [依题意得a n +1n +1=a nn ,故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是常数列,于是有a n n =1,a n =n 2,b n =-n 2cos 2n π3,b 3k -2+b 3k -1+b 3k =3k -223k -122-(3k )2=-9k +52(k ∈N *),因此数列{b n }的前47项和为S 47=S 48-b 48=-9×161+162+52×16+482=1 120.]11.设某数列的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称该数列为“和谐数列”.若一个首项为1,公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”,则该等差数列的公差d =________.2 [由S nS 2n =k (k 为常数),且a 1=1,得n +12n (n -1)d =k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +12×2n 2n -1d ,即2+(n -1)d =4k +2k (2n -1)d ,整理得,(4k -1)dn +(2k -1)(2-d )=0,∵对任意正整数n ,上式恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧d 4k -10,2k -12-d0,得⎩⎪⎨⎪⎧d =2,k =14.∴数列{a n }的公差为2.]12.记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=3,则S 6-S 4的最小值为________.12 [由题可知数列{a n }的公比q >0,a n >0,则3=(a 4-a 2)+(a 3-a 1)=a 1(q +1)·(q 2-1),则有q >1,所以3S 6-S 4=3a 6+a 5=3a 1q +1q 4=a 1q +1q 2-1a 1q +1q 4=1q 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 22=14-⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2-122≤14(当且仅当q =2时,取等号),所以S 6-S 4≥12,即S 6-S 4的最小值为12.]三、解答题13.(2018·黔东南州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =43(a n -1),n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =log 2a n ,记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n -1b n +1的前n 项和为T n ,证明:T n <12.[解] (1)当n =1时,有a 1=S 1=43(a 1-1),解得a 1=4.当n ≥2时,有S n -1=43(a n -1-1),则a n =S n -S n -1=43(a n -1)-43(a n -1-1),整理得:a na n -1=4,∴数列{a n }是以q =4为公比,以a 1=4为首项的等比数列.∴a n =4×4n -1=4n (n ∈N *)即数列{a n }的通项公式为:a n =4n (n ∈N *). (2)由(1)有b n =log 2a n =log 2 4n =2n ,则1b n +1b n -1=12n +12n -1=12⎝⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1. ∴T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫11-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +1. 易知数列{T n }为递增数列, ∴T 1≤T n <12,即13≤T n <12.14.(2018·邯郸市一模)已知数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,b n -a n =2n +1,且S n +T n =2n +1+n 2-2.(1)求T n -S n ; (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .[解] (1)依题意可得b 1-a 1=3,b 2-a 2=5,…,b n -a n =2n +1, ∴T n -S n =(b 1+b 2+…+b n )-(a 1+a 2+…+a n ) =n +(2+22+…+2n )=2n +1+n -2. (2)∵2S n =S n +T n -(T n -S n )=n 2-n , ∴S n =n 2-n2,∴a n =n -1. 又b n -a n =2n +1, ∴b n =2n +n .∴b n2n =1+n2n , ∴R n =n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12+222+…+n 2n ,则12R n =12n +⎝ ⎛⎭⎪⎫122+223+…+n 2n +1,∴12R n =12n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n -n2n +1, 故R n =n +2×12-12n +11-12-n 2n =n +2-n +22n .。
数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中,已知34151296=+++a a a a ,求前20项之和。
2.已知等差数列{}n a 的公差是正数,且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。
3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n ),求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠,且两数列y a a a x ,,,,321和4321b y b b x b ,,,,,均为等差数列,求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中,前n 项和S n ,前m 项和为S m ,且S m =S n , n m ≠,求S n+m6.在等差数列{}n a 中,已知1791,25S S a ==,问数列前多少项为最大,并求出最大值。
7.求数列的通项公式:(1){}n a 中,23,211+==+n n a a a(2){}n a 中,023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证:对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中,前n 项和为S n ,并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列;(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列;11.设数列满足,(Ⅰ)求数列的通项公式:(Ⅱ)令,求数列的前n 项和.【规范解答】(Ⅰ)由已知,当时,而,满足上述公式,所以的通项公式为. (Ⅱ)由可知,①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ,22. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()n nan a b n 12-+=,求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦(Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .(Ⅰ)由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ,又941=+a a , 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a (舍去)由314q a a =得公比2=q ,故1112--==n n n qa a . (Ⅰ)1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.(I )求{}n a 的通项公式;(II )若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以,13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ,又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足:,,的前n 项和为.(1)求及;(2)令(n N *),求数列的前n 项和. 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;(2)由(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】(1)设等差数列的公差为d ,因为,,所以有,解得, 所以;==. (2)由(1)知,所以b n ===, 所以==,即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-(n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-(114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。
数列求和综合练习题(含答案)
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数列求和综合练习题一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11++=n n a n ,10n S =,则=n ( )A .90B .121C .119D .1202.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) A.172 B.192C.10D.12 3.数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+,则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =+,则6S 等于( )A .142 B .45 C .56 D .675.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2·a 4=1,S 3=7,则S 5=( ) A.12 B.314 C.172 D.1526.设是等差数列的前项和,已知,则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637.等差数列的前n 项和为= ( ) A .18 B .20 C .21D .228.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且336,0S a ==,则公差d 等于( ) A.1- B.1 C.2- D.29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111-=a ,664-=+a a ,则当n S 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 10.在等差数列中,已知,则该数列前11项的和等于( )A .58B .88C .143D . 17611.已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是( )A .-76B .76C .46D .1312.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2+a 3+a 4=1,a 5+a 6+a 7+a 8=2,S n =15,则项数n 为( ) A .12 B .14 C .15 D .1613.等差数列{}n a 中,若14739a a a ++=,36927a a a ++=,则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14.已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等比数列,公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+,求数列{}n b 的前n 项和n T .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且93=S ,731,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n a 的公差不为0,数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=,求数列{}n b 的前n 项和n T .16.设数列{}n a 的前n 项和122nn S ,数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .17.已知数列}{n a 的各项均为正数,n S 是数列}{n a 的前n 项和,且3242-+=n n n a a S . (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.18.已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=,数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =.(1)求数列}{n a 的通项n a ; (2)求数列}{n b 的通项n b ; (3)若nb ac nn n ⋅=,求数列}{n c 的前n 项和n T .19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n n S n +=2.(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20.已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-,数列{b n }满足b 1=1,b 3+b 7=18,且112n n n b b b -++=(n ≥2).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)若nnn a b c =,求数列{c n }的前n 项和T n.21.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}1{+n S 是公比为2的等比数列,2a 是1a 和3a 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .22.设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若11a =,34a =,则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24.已知等差数列{}n a 中,52=a ,114=a ,则前10项和=10S .25.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 . 26.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =,则912S S = .27.等差数列{}n a 中,10120S =,那么29a a += .28.[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知a 5=2S 4+3,a 6=2S 5+3,则此数列的公比q =________.29.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30.已知等差数列{}n a 中,已知8116,0a a ==,则18S =________________.31.已知等比数列的前项和为,若,则的值是 .32.已知{a n }是等差数列,a 1=1,公差d≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8= _________ . 33.数列{}n an 项和为9n S =,则n =_________.34.[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 1=1,a n =-S n ·S n -1(n≥2),则S n =________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1.D【解析】n n n n a n -+=++=111 ,()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ,1011=-+n ,解得120=n .【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识,意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力. 2.B 【解析】试题分析:∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯,解得1a =12,∴1011199922a a d =+=+=,故选B. 考点:等差数列通项公式及前n 项和公式3.B 【解析】试题分析:因为13n n a a +=+,所以13n n a a +-=。
【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)
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【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)试题部分一、选择题:1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn = n^2 + n,则数列{an}的通项公式为()A. an = 2nB. an = 2n + 1C. an = n + 1D. an = n^22. 等差数列{an}的前5项和为35,第5项为15,则数列的公差为()A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n 2,则数列的前10项和为()A. 85B. 95C. 105D. 1154. 等比数列{an}的首项为2,公比为3,前4项和为()A. 80B. 81C. 82D. 835. 数列{an}的通项公式为an = 2^n,则数列的前5项和为()A. 30B. 31C. 32D. 336. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + n,则数列的前6项和为()A. 126B. 136C. 146D. 1567. 等差数列{an}的公差为2,第7项为17,则数列的前7项和为()A. 84B. 88C. 92D. 968. 等比数列{an}的首项为3,公比为1/2,前5项和为()A. 15/2B. 17/2C. 19/2D. 21/29. 数列{an}的通项公式为an = n(n+1),则数列的前4项和为()A. 20B. 24C. 28D. 3210. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn = n^3 + n^2,则数列{an}的通项公式为()A. an = 3n^2 + 2nB. an = 3n^2 + 3nC. an = 2n^2 + 3nD. an = 2n^2 + 2n二、判断题:1. 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
()2. 等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 q^n)/(1 q),其中q为公比。
()3. 数列{an}的通项公式为an = 2n,则数列的前n项和为n^2。
数列求和 经典练习题(含答案解析)
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1.在等差数列{a n }中,已知a 6+a 9+a 12+a 15=34,求前20项之和.解法一 由a 6+a 9+a 12+a 15=34 得4a 1+38d =34=20a 1+190d=5(4a 1+38d)=5×34=170由等差数列的性质可得:a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20 ∴a 1+a 20=17 S 20=1702.已知等差数列{a n }的公差是正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,求它的前20项的和S 20的值.解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则d >0,由已知可得由②,有a 1=-2-4d ,代入①,有d 2=4 再由d >0,得d =2 ∴a 1=-10最后由等差数列的前n 项和公式,可求得S 20=180 解法二 由等差数列的性质可得: a 4+a 6=a 3+a 7 即a 3+a 7=-4 又a 3·a 7=-12,由韦达定理可知: a 3,a 7是方程x 2+4x -12=0的二根 解方程可得x 1=-6,x 2=2又=+×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×+(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111++=-①+++-②⎧⎨⎩∵ d >0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3=-6,a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n(m >n),求前m +n 项和S m+n .解法一 设{a n }的公差d 按题意,则有=-(m +n)解法二 设S x =Ax 2+Bx(x ∈N)①-②,得A(m 2-n 2)+B(m -n)=n -m ∵m ≠n ∴ A(m +n)+B=-1 故A(m +n)2+B(m +n)=-(m +n) 即S m+n =-(m +n)4.设x ≠y ,且两数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x ,d =a =2a 10S 1807120--a 373,=-,=S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11=+=①=+=②①-②,得-·+·-n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即+-∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22+=①+=②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234,,,均为等差数列,求.b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中,设前m 项和为S m ,前n 项和为S n ,且S m =S n ,m ≠n ,求S m+n .且S m =S n ,m ≠n∴S m+n =06. 在等差数列{a n }中,已知a 1=25,S 9=S 17,问数列前多少项和最大,并求出最大值.解法一 建立S n 关于n 的函数,运用函数思想,求最大值.∵a 1=25,S 17=S 9 解得d =-2∴当n=13时,S n 最大,最大值S 13=169解法二 因为a 1=25>0,d =-2<0,所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用=由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷,得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵=++++-=+++-1212∴+-=+-整理得-+-+-ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即-++-由≠,知++-=(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意:+×,=+×S =17a d S 9a d 1719117162982∴=+--+--+S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1=25,S 9=S 17∴a n =25+(n -1)(-2)=-2n +27即前13项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169. 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系. 由题意S 9=S 17得a 10+a 11+a 12+…+a 17=0 而a 10+a 17=a 11+a 16=a 12+a 15=a 13+a 14 ∴a 13+a 14=0,a 13=-a 14 ∴a 13≥0,a 14≤0 ∴S 13=169最大.解法四 根据等差数列前n 项和的函数图像,确定取最大值时的n . ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n =An 2+Bn二次函数y=Ax 2+Bx 的图像过原点,如图3.2-1所示∵S 9=S 17,∴取n=13时,S 13=169最大差数列,若使前项和最大,只需解≥≤,可解出.n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×+××+×,解得-9252d =1725d d =29817162∴-+≥-++≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137.求数列的通项公式:(1){a n }中,a 1=2,a n+1=3a n +2(2){a n }中,a 1=2,a 2=5,且a n+2-3a n+1+2a n =0 思路:转化为等比数列.∴{a n +1}是等比数列 ∴a n +1=3·3n-1 ∴a n =3n -1∴{a n+1-a n }是等比数列,即 a n+1-a n =(a 2-a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2-a 1=3,a 3-a 2=3·21,a 4-a 3=3·22,…,a n -a n-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到+2说明 解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{a n +1}是等比数列,(2)中发现{a n+1-a n }是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.8. 三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.解法一 按等比数列设三个数,设原数列为a ,aq ,aq 2 由已知:a ,aq +4,aq 2成等差数列 即:2(aq +4)=a +aq 2①a ,aq +4,aq 2+32成等比数列 即:(aq +4)2=a(aq 2+32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n +++⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n -+--⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1+++…+·-21211n ----⇒aq 2=4a +②解法二 按等差数列设三个数,设原数列为b -d ,b -4,b +d由已知:三个数成等比数列 即:(b -4)2=(b -d)(b +d)b -d ,b ,b +d +32成等比数列 即b 2=(b -d)(b +d +32)解法三 任意设三个未知数,设原数列为a 1,a 2,a 3 由已知:a 1,a 2,a 3成等比数列a 1,a 2+4,a 3成等差数列 得:2(a 2+4)=a 1+a 3②a 1,a 2+4,a 3+32成等比数列 得:(a 2+4)2=a 1(a 3+32)③①,②两式联立解得:或-∴这三数为:,,或,,.a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162-①⇒32b d 32d =02--②①、②两式联立,解得:或∴三数为,,或,,.b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得:①a =a a 2213说明 将三个成等差数列的数设为a -d ,a ,a +d ;将三个成简化计算过程的作用.9.证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n )类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n )说明 本题直接运用前n 项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 10.数列{a n }是等比数列,其中S n =48,S 2n =60,求S 3n .解法一 利用等比数列的前n 项和公式若q=1,则S n =na 1,即na 1=48,2na 1=96≠60,所以q ≠1①、②、③式联立,解得:或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为,,或,,是一种常用技巧,可起到a aq aq (a aq)2aq++.S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴++++S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n +++++++∴++∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1+q n +q 2n )解法二 利用等比数列的性质:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列 ∴ (60-48)2=48·(S 3n -60) ∴ S 3n =63. 解法三 取特殊值法取n=1,则S 1=a 1=48,S 2n =S 2=a 1+a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1+a 2+a 3=6311.已知数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,并且S n+1=4a n +2(n ∈N*),a 1=1(1)设b n =a n+1-2a n (n ∈N*),求证:数列{b n }是等比数列;解 (1)∵ S n+1=4a n +2 S n+2=4a n+1+2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈,求证:数列是等差数列.两式相减,得S n+2-S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即:a n+2=4a n+1-4a n变形,得a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n ) ∵ b n =a n+1-2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知,数列{b n }是公比为2的等比数列. 由S 2=a 1+a 2=4a 1+2,a 1=1 可得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入,得说明 利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n -∈由此可知,数列是公差的等差数列,它的首项,故+-·即:{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。
(完整版)数列求和练习题
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数列求和1.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ). A .15B .12C .-12D .-153.数列112,314,518,7116,…的前n 项和S n 为( ).A .n 2+1-12n -1B .n 2+2-12nC .n 2+1-12nD .n 2+2-12n -14.已知数列{a n }的通项公式是a n =1n +n +1,若前n 项和为10,则项数n 为( ). A .11B .99C .120D .1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,令b n =1n(a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A .70B .75C .80D .856.已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a 、b ∈R),且S 25=100,则a 12+a 14等于( )A .16B .8C .4D .不确定 7.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1的结果可化为( ).A .1-14nB .1-12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n二、填空题8.数列{a n }的通项公式为a n =1n +n +1,其前n 项之和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n +1)x +y +n =0在y 轴上的截距为________.9.等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =________.10.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n +1的前n 项和S n =________.11.定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd =ad -bc ,若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1=1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n +1=12(n ∈N *),则a 3=________,数列{a n }的通项公式为a n =________.12.已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,那么数列{b n }=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前n 项和S n 为________.三、解答题13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=5,S 15=225. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +2n ,求数列{b n }的前n 项和T n .14.设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n .15.设{a n }是等差数列,{b n }是各项都为正数的等比数列,且a 1=b 1=1,a 3+b 5=21,a 5+b 3=13.(1)求{a n },{b n }的通项公式;(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16.等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ; (2)求1S 1+1S 2+…+1S n.。
小学数学《数列求和》练习题(含答案)(1)
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小学数学《数列求和》练习题(含答案)【例1】找找下面的数列有多少项?(1)2、4、6、8、……、86、98、100(2)1、3、5、7、……、87、89、91(3)3、4、5、6、……、76、77、78(4)4、7、10、13、……、40、43、46(5)2、6、10、14、18、……、82、86分析:(1)我们都知道:1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(95、96)、(97、98)、(99、100),让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。
(2)配组:(1、2)、(3、4)、(5、6)、(7、8)、……、(87、88)、(89、90)、(91、92),1—92有92项,每组2项,那么可以得到92÷2=46组,所以原数列有46项。
(3)连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10……,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项。
对于连续的自然数列,它们的项数是:末项—首项+ 1 。
(4)配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷3=15组,原数列有15组。
当然,我们还可以有其他的配组方法。
(5)22项.对于一个等差数列的求和,在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后,也许稍显麻烦,但它的思路很重要,对于以后学习数论知识有较多的帮助。
高考数列求和专项训练及解答

高考数列求和专项训练及解答一.选择题〔共3小题〕1.数列1,3,5,7,…那么其前n项和S n为〔〕A.n2+1﹣B.n2+2﹣C.n2+1﹣D.n2+2﹣2.项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,那么项数n的值是〔〕A.9B.10C.11D.133.等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为T n,假设T n=,那么n=〔〕A.19B.20C.21D.22二.解答题〔共5小题〕4.数列{a n}的通项是a n=2n﹣1.〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n,求T n.5.正项数列满足4S n=a n2+2a n+1.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.6.等比数列{a n}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕记b n=,求数列{b n}的前n项和T n.7.在数列{a n}中,a1=1,.〔1〕求a2,a3,a4,猜测a n,无需证明;〔2〕假设数列,求数列{a n}的前n项和S n.8.数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=2a n+2n.〔1〕证明数列{}是等差数列,并求出a n;〔2〕求S n;〔3〕令b n=,假设对任意正整数n,不等式b n<恒成立,XX数m 的取值X围.2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题〔共3小题〕1.数列1,3,5,7,…那么其前n项和S n为〔〕A.n2+1﹣B.n2+2﹣C.n2+1﹣D.n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:S n=1+3+5+…+〔2n﹣1〕++…+=+=n2+.应选:A.【点评】此题考察了等差数列与等比数列的前n项和公式,属于根底题.2.项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,那么项数n的值是〔〕A.9B.10C.11D.13【分析】利用项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,求出奇数项之和,偶数项之和,然后通过比值求解即可.【解答】解:由题意,;;∴,∴n=11.应选:C.【点评】此题考察数列求和,数列的应用,考察计算能力.3.等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为T n,假设T n=,那么n=〔〕A.19B.20C.21D.22【分析】等差数列{a n}的公差设为d,由等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项、公差,求得==﹣,由裂项相消求和可得前n项和T n,解方程可得n的值.【解答】解:等差数列{a n}的公差设为d,前n项和为S n,S3=6,S5=15,可得3a1+3d=6,5a1+10d=15,解得a1=d=1,即a n=1+n﹣1=n,==﹣,前n项和为T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,由T n=,可得n=20,应选:B.【点评】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用,考察数列的求和方法:裂项相消求和,考察运算能力,属于中档题.二.解答题〔共5小题〕4.数列{a n}的通项是a n=2n﹣1.〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n,求T n.【分析】〔1〕利用等差数列的通项公式求解数列的和即可.〔2〕利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】〔12分〕解:〔1〕∵a n=2n﹣1,∴a1=1,∴〔2〕①,②①减②得:==,∴.【点评】此题主要考察数列通项公式和前n项和的求解,利用错位相减法的应用,考察计算能力.5.正项数列满足4S n=a n2+2a n+1.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】〔1〕由,可知当n≥2时,,两式作差可得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕,再求出首项,代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式;〔2〕把数列{a n}的通项公式代入b n=,再由裂项相消法求数列{b n}的前n 项和T n.【解答】解:〔1〕由,可知当n≥2时,,两式作差得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕,又,得a1=1,∴a n=2n﹣1;〔2〕由〔1〕知,,∴T n=b1+b2+…+b n==.【点评】此题考察等差数列的通项公式,训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和,是中档题.6.等比数列{a n}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕记b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】〔1〕利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组,求出数列的首项与公比,然后求解数列的通项公式;〔2〕化简通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:〔1〕由a1a5=8a2得:a1q3=8,即a4=8,又∵3a4,28,a6成等差数列,∴3a4+a6=56,将a4=8代入得:a6=32.从而:a1=1,q=2.∴a n=2n﹣1;〔2〕b n==2n•〔〕n﹣1,T n=2×〔〕0+4×〔〕1+6×〔〕2+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣2+2n•〔〕n﹣1……………………①T n=2×〔〕1+4×〔〕2+6×〔〕3+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣1+2n•〔〕n……………………②①﹣②得:T n=2×[〔〕0+2〔〕1+〔〕2+…+〔〕n﹣1]﹣2n•〔〕n=2+2×﹣2n•〔〕n=4﹣〔n+2〕•〔〕n﹣1.∴T n=8﹣〔n+2〕•〔〕n﹣2.【点评】此题考察等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考察转化首项以及计算能力,是中档题.7.在数列{a n}中,a1=1,.〔1〕求a2,a3,a4,猜测a n,无需证明;〔2〕假设数列,求数列{a n}的前n项和S n.【分析】〔1〕利用条件通过递推关系式求解a2,a3,a4,猜测a n;〔2〕化简数列,利用裂项消项法求数列{a n}的前n项和S n.【解答】解:〔1〕∵a1=1,a n+1=,∴a2==,a3=═,a4=═.猜测:a n=.〔2〕由〔1〕知:b n===2[﹣],从而s n=b1+b2+…+b n=2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=2[1﹣]=.【点评】此题考察数列求和,数列的递推关系式的应用,考察计算能力.8.数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=2a n+2n.〔1〕证明数列{}是等差数列,并求出a n;〔2〕求S n;〔3〕令b n=,假设对任意正整数n,不等式b n<恒成立,XX数m 的取值X围.【分析】〔1〕两边同除以2n+1,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;〔2〕运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和;〔3〕求得b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n,讨论b n的单调性,求得最大值,可得m2﹣m﹣6>0,解不等式即可得到所求X围.【解答】解:〔1〕证明:a1=1,a n+1=2a n+2n,可得=+,可得数列{}是首项和公差均为的等差数列,可得=n,即a n=n•2n﹣1;〔2〕S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1,2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n,=﹣n•2n,化简可得S n=1+〔n﹣1〕•2n;〔3〕b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n,b n+1﹣b n=〔〕n+1+n•〔〕n+1﹣〔〕n﹣〔n﹣1〕•〔〕n=,当n=1时,b2﹣b1=;n=2时,b3﹣b2=;即b1<b2<b3,当n≥3时,b n+1﹣b n<0,即b3>b4>b5>…,那么n=3时,b n的最大值为b3=,不等式b n<恒成立,可得<,即为m2﹣m﹣6>0,解得m>3或m<﹣2.那么m的取值X围是〔﹣∞,﹣2〕∪〔3,+∞〕.【点评】此题考察等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考察数列的求和方法:错位相减法,以及数列的单调性的运用:解不等式,考察化简整理的运算能力,属于中档题.。
高三数学数列求和试题
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高三数学数列求和试题1.数列{an }的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400【答案】B【解析】S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3) -…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.2.函数f(x)对任意x∈R都有.(1)求和(n∈N*)的值;(2)数列{an }满足:,求an;(3)令,,,试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】(1),;(2);(3).【解析】(1)由于函数f(x)对任意x∈R都有,则令可求的;再令求出;(2)利用倒序相加结合(1)的结论可求出;(3)由及第(2)问的结论求出,用放缩法变形(),用裂项相消法求,再与比较大小.(1)令=2,则;令得,(4分)(2)由,两式相加得:,∴,(8分)(3),(n≥2)∴.(12分)【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.已知函数,且,则()A.0B.100C.5050D.10200【答案】C【解析】因为,所以,选C.4.已知数列中,, ,,则= .【答案】1275【解析】,,∴,【考点】数列求和。
5.数列{an }的通项公式an=,若{an}的前n项和为24,则n为________.【答案】624【解析】an ==-(),前n项和Sn=-[(1-)+(-)]+…+()]=-1=24,故n=624.6..己知数列满足,则数列的前2016项的和的值是___________.【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列,因此我们要研究数列的各项之间有什么关系,与它们的和有什么联系?把已知条件具体化,有,,,,…,,,我们的目的是求,因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和,可能首先想到把出现“+”的式子相加(即为偶数的式子相加),将会得到,好像离目标很近了,但少,而与分布在首尾两个式子中,那么能否把首尾两个式子相减呢?相减后得到,为了求,我们又不得不求,依次下去,发现此路可能较复杂或者就行不通,重新寻找思路,从头开始我们有,即,而,∴,因此,我们由开始的三个等式求出了,是不是还可用这种方法求出呢?下面舍去,考察,,,同样方法处理,,从而,于是,而,正好504组,看来此法可行,由此我们可得.【考点】分组求和.7.已知,其导函数为,设,则数列自第2项到第项的和_____________.【答案】【解析】已知,则有,所以,,所以,所以.【考点】1、数列的函数特性及其与函数的综合运用;2、简单复合函数的导数;3、累加法求数列的和.8.数列的通项公式,其前项和为,则.【答案】1006【解析】所以,于是.【考点】数列前n项和.9.已知数列的前项和为,数列的首项,且点在直线上.(1)求数列,的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据求出,根据已知条件和等比数列定义求出;(2)应用错项相减法求差比数列的前项和.试题解析:(1)由得, 1分∴ 2分当=1时,, 3分综上. 4分∵点在直线上,∴,又, 5分∴是以2为首项2为公比的等比数列,. 7分(2)由(1)知,当时,; 8分当时,, 9分所以当时,;当时,①则② 10分②①得: 12分即, 13分显然,当时,,所以. 14分.【考点】等差数列,等比数列的通项求法,差·比数列前项和求法.10.设数列{an }是集合{3s+3t| 0≤s<t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表:410 1228 30 36…= (用3s+3t形式表示).【答案】【解析】根据,且,,观察题目的结构:第一行:第二行:第三行:根据前面数据的规则可知,第n行的数据依次为:,总共有个数。
数列求和专题——奇数、偶数--学生版
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数列求和专题——奇数、偶数19.(12分)(2016•滨州二模)已知数列{a n}的前n项和S n=.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=(﹣1)n(a n•+),求数列{b n}的前n项和T n.19.(12分)(2015•潍坊模拟)已知等差数列{a n}的公差d≠0,首项a1=3,且a1、a4、a13成等比数列,设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N+).(1)求a n和S n;(2)若b n=,数列{b n}的前n项和T n.求证:3≤T n<24.19.(12分)(2015•温州二模)已知数列{a n}满足:a1=1,a2=2,且a n+1=2a n+3a n﹣1(n≥2,n ∈N+).(Ⅰ)设b n=a n+1+a n(n∈N+),求证{b n}是等比数列;(Ⅱ)(i)求数列{a n}的通项公式;(ii)求证:对于任意n∈N+都有++…++<成立.19.(12分)(2016•山东二模)已知正数数列{a n}满足:a1=1,a n+12﹣2a n+1=a n2+2a n.数列{b n}满足b n•b n+1=3n且b2=9.(I)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)已知c n=2n a n+b n,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•威海一模)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,且.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设数列与的前n项和为T n,求证:.19.(12分)(2016•山东模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=a n+.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求T2n.19.(12分)(2016•德州校级二模)已知数列{a n}的前n项和为S n,若对任意正整数n,都有a n=+2.(1)设b n=log2a n,求证:数列{b n}为等差数列;(2)在(1)的条件下,设c n=(﹣1)n+1,数列{c n}的前n项和为T n,求证:≤T n ≤.18.(12分)(2016•临沂二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=6,S5=45;数列{b n}前n项和为T n,且T n﹣2b n+3=0.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=,求数列{c n}的前n项和Q n.19.(12分)(2016•山东三模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+2n;数列{b n}是公比大于1的等比数列,且满足b1+b4=9,b2b3=8.(Ⅰ)分别求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)若c n=(﹣1)n S n+a n b n,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•江门模拟)已知{a n}是正项等差数列,∀n∈N*,数列{}的前n 项和S n=.(Ⅰ)求a n;(Ⅱ)设b n=(﹣1)n a n2,n∈N*,求数列{b n}的前n项和T n.数列求和专题——裂项相消(累乘与累加)19.(12分)(2016•威海二模)设单调数列{a n}的前n项和为S n,6S n=a n2+9n﹣4,a1,a2,a6成等比数列.(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•日照一模)已知数列{a n}前n项和S n满足:2S n+a n=1(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.19.(12分)(2016•青岛二模)等差数列{a n}的前n项和为S n,a22﹣3a7=2,且成等比数列,n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n,若对于任意的n∈N*,都有64T n<|3λ﹣1|成立,求实数λ的取值范围.19.(12分)(2016•青岛一模)已知数列{a n}满足2a n a n+1=a n﹣a n+1,且a1=,n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}的前n项和为S n,若数列{b n}满足b n=(k∈N+),求S64;(3)设T n=+++…+,是否存在实数c,使{}为等差数列,请说明理由.19.(12分)(2016•济宁二模)已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n,在等比数列{b n}中,b1+b3=5.b4+b6=40.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=,设数列{c n}的前n项和为T n,求T2n.18.(12分)(2016•济宁三模)已知数列{a n}满足:++…+=(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n a n+1,S n为数列{b n}的前n项和,对于任意的正整数n,S n>2λ﹣恒成立,求实数λ的取值范围.18.(12分)(2016•德州二模)已知数列{a n}满足a1=1,a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1(n∈N),数列{a n}的前n项和为S n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,T n是数列{b n}的前n项和,求使得T n<对所有n∈N,都成立的最小正整数m.20.(12分)(2016•莱芜一模)已知数列a n是公差不为零的等差数列,且a3=5,a2,a4,a12成等比数列.数列{b n}的每一项均为正实数,其前n项和为S n,且满足4S n=b n2+2b n﹣3(n∈N*)(I)数列{a n},{b n}的通项公式(Ⅱ)令c n=,记数列{c n}的前n项和为T n,若≥对∀n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.17.(12分)(2016•衡阳三模)设函数f(x)=+(x>0),数列{a n}满足a1=1,a n=f(),n∈N*,且n≥2(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N*,设S n=+++…+,若S n≥恒成立,求实数t的取值范围.19.(12分)(2015•山东一模)数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和为S n,满足S n2=a n (S n﹣).(1)求S n的表达式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,不等式T n≥(m2﹣5m)对所有的n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.20.(12分)(2016•日照二模)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=+log2图象上任意两点,M为线段AB的中点.已知点M的横坐标为.若S n=f()+f()+…+f(),n∈N*,且n≥2.(Ⅰ)求S n;(Ⅱ)已知a n=,其中n∈N*,T n为数列{a n}的前n项和,若T n<λ(S n+1)对一切n∈N*都成立,试求实数λ的取值范围.+118.(12分)(2016•泰安二模)已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2,前n项和为S n,若a1+3,2a2+2,a6+8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记P n=+++…+,Q n=+++…+,证明:P n≥Q n.19.(12分)(2015•茂名一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且2nS n+1﹣2(n+1)S n=n (n+1)(n∈N*).数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0(n∈N*).b3=5,其前9项和为63.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=+,数列{c n}的前n项和为T n,若对任意正整数n,都有T n﹣2n∈[a,b],求b﹣a的最小值.数列求和专题——错位相减专题19.(12分)(2016•济宁一模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,S5=30,数列{b n}的前n项和为T n,且T n=2n﹣1.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=(﹣1)n(a n b n+lnS n),求数列{c n}的前n项和.18.(12分)(2016•平度市三模)已知数列{a n}的前n项和为S n,向量=(S n,1),=(2n ﹣1,),满足条件∥,(1)求数列{a n}的通项公式,(2)设函数f(x)=()x,数列{b n}满足条件b1=1,f(b n+1)=.①求数列{b n}的通项公式,②设c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•平度市模拟)单调递增数列{a n}的前n项和为S n,且满足4S n=a n2+4n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足a n+1+log2b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•青岛一模)已知等差数列{a n}的公差d=2,其前n项和为S n,数列{b n}的首项b1=2,其前n项和为T n,满足=T n+2,n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n.19.(12分)(2016•邹城市校级模拟)已知正项数列{a n},若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3,且a2是a1和a7的等比中项(1)求数列{a n}的通项公式;(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数,记b n=[log2()],求b1+b2+b3+….19.(12分)(2016•菏泽二模)数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n(n+1)(n∈N+)数列{b n}满足a n=+++…+(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=(n∈N+),求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•德州一模)已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令,写出T n关于n的表达式,并求满足T n>时n的取值范围.19.(12分)(2016•菏泽一模)已知数列{b n}的前n项和.(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式;(Ⅱ)设数列{a n}的通项,求数列{a n}的前n项和T n.19.(12分)(2016•滨州一模)设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n﹣2(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=log2a n,c n=,求数列{c n}的前项和T n.18.(12分)(2016•临沂一模)已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2,且a2是a1和a6的等比中项.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)符合[x]表示不超过实数x的最大整数,如[log23]=1,[log25]=2.记,求数列的前n项和T n.18.(12分)(2016•泰安一模)已知等比数列{a n}的公比q>1,a1=1,且a1,a3,a2+14成等差数列,数列{b n}满足:a1b1+a2b2+…+a n b n=(n﹣1)•3n+1,n∈N.(I)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)若ma n≥b n﹣8恒成立,求实数m的最小值.数列求和专题——分组求和19.(12分)(2016•济南模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a2=3,a n+2=(2+cosnπ)(a n+1)﹣3(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=,T n为数列{b n}的前n项和,求T2n.数列求和专题——数学归纳法证明18.(12分)(2016•潍坊二模)已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1(n∈N*),数列{b n}的前n项和为S n,且b n=log2a n.(I)求b n,S n;(Ⅱ)设c n=,证明:++…+<S n+1(n∈N*).。
数列求和专项复习答案
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知数列 各项为正, , ,记 , ,则
A. B.
C. D.
2.已知数列 满足 ,则 ()
A. B. C. D.
二、填空题
3.已知数列 中, , ,前n项和为 .若 ,则数列 的前15项和为______.
①当 为偶数时, ;
由 得: ,又 , ;
②当 为奇数时, ;
综上所述:满足 的最小正整数 的值为 .
10.(1) ;
(2) .
【分析】(1)由题知 ,进而结合 得数列 是等差数列,进而得答案;
(2)结合(1)得 ,进而根据错位相减法求解即可.
(1)
解: ( ),
当 时, ,∴ ,
当 时,由 ,得 ①
(2)结合(1)写出 的表达式,利用裂项相消的方法求出 ,即可证明结论.
(1)
(i)证明:∵数列 均为正项数列,其中 ,
且满足 成等比数列, 成等差数列,
∴ , ,
∴ , ,
∴ , ,即 ,
∴ , ,
∴{ }是等差数列.
(ii)∵ , ,∴ ,
∴ ,
∴ .
.
(2)
证明:∵
,
∴
,
∴ .
12.答案见解析
若补充条件②: ,
由 ,即 ,又 ,
所以 ,
所以 ,
由于该数列 是递减数列,所以不存在k,使得 取最小值,故实数λ不存在.
若补充条件③: ,
由 ,得 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
由等差数列 的前n项和 存在最小值 ,则 ,
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数列求和的常用方法
第一类:公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的
n
3 1 2
5、 S n
k 3 [ n(n 1)]2 k 1 2
例】已知数列 a n 满足 a 1 1,a n 1 a n 4,n N *
,求数列
a n 的前
n 项和 S n .
练习 】已知 log 3 x ,求 x x 2 x 3
x n
的前
n 项和 .
log 23
第二类:分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 .
若数列 c n 的通项公式为 c n a n b n ,其中数列 a n , b n 分别是等差数列和等比数 列,求和时一般用分组结合法。
na 1
(q 1)
2、等比数列前 n 和公式:
S
n
a
1(1 q
n )
a
1 a n q
(q 1)
1 q 1 q
(q 1)
S
n
n a
1 a n
na 1
21
自然数方幂和公式:
1、等差数列前 n 和公式: 3、
S
n n k k1
1
n(n 1)
2 n
4、 S n
k 2
k1
1
n(n 1)(2n 1)
6
1 1 1 1 1
【例】数列1 ,2 ,3 ,4 , ,n n, 求数列的前n项和.
2 4 8 16 2n
练习】数列a n 的通项公式a n 2n2n 1 第三类:裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
常用的通项分解(裂项)如:
1 1 1
例1】数列1,112,1 213, ,1 2 31n, ,求该数列的前n项和 .通项)
1) a
n
2) a
n
n1 a
n
11
nk
3)
a
n 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
a n
5) a n log a 1 1log a n 1 log
例 4 】数列 a n 的通项公式是 a n 1
, n 1 n 若前 n 项和为 10,则项数为(
A. 11
B. 99
C. 120
D. 121
例 5 】数列 a n 的通项公式是 a n log 2 1 1
,求该数列的前
n
127 项和 . 例 2 】已知等差数列 a n 满足 a 3 5,a 5 a 7 22 .
小结:要先观察通项类型,在裂项求和时候,尤其要注意究竟是像例 1 一样剩下首尾
两项, 还是像例 3 一样剩下四项 . 1)求 a n ;
2) 令 b
n
a a
a
n a n 1
求数列 b n 的前 n 项和 S n .
例 3 】数列 1 13 1 24 1
35
,,
,, 求该数列的前 n 项和 .
第三类:错位相减法求和
这种方法主要用于求数列a n b n 的前n 项和( S n a1b1a2b2a3b3
a n
b n),
其中a n ,b n 分别是等差数列和等比数列 . 例 1 】求数列a n 的前n项和S n .
1)1 2,2 22,3 23,4 24, ,n 2n
练习】求数列a n 的前n项和S n .
2) 222,233, 244, ,2n n
1) 1 2,3 22,5 23,7 24, , 2n 1 2n
22,
242
,
263
,
284
, ,2
2n n
11
【例 2 】已知数列{ a n}是首项为 a1 1,公比q 1的等比数列,设44
b n 2 3log1a n(n N*),数列{
c n}满足c n a n b n .求数列{c n}的前 n项和
S n;
4
第四类:合并求和法
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起求和,然后再求S n .
【例】求12 22 32 42 52 62992 100 2的值.
第五类:倒序相加法
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个a1 a n。
【例】若函数f x 对任意x R,都有f x f 1 x 2.
1 2 n 1
(1)a n f 0 f 1f 2f n 1f 1 ,数列a n是等差数列吗?是证n n n
明你的结论;
2)
1
(2)数列的前n项和S n.
a n a
n 1
例习】求sin21 sin2 2 sin23 sin 2 88 sin 2 89 的值.
第六类:利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通
项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法 .
【例】求1 11 111 111 1 的和
n个1
数列通项与求和的综合题
1.已知各项均为正数的数列a n 中,a1 1,S n是数列a n 的前n项和,对任意n
N
2
有2S n 2pa n2pa n p ,p R .
(1)求常数p 的值;( 2)求数列a n 的通项公式;
例习】求sin21 sin2 2 sin23 sin 2 88 sin 2 89 的值.(3)记b n4S n 2n,求数列b n的前n 项和T n.
n3
2.设数列a n 的前n项和为S n n2, b n 为等比数列,且a1 1 b1,b1 a2 a1 b2,
(1) 求数列a n和b n的通项公式 ;
(2) 设c n a n, 求数列c n的前n 项和T n.
b n
3.( 2013 广东文科) 设各项均为正数的数列a n 的前n项和为S n ,满足4S n a n2 1 4n 1n, N 且, a2 , a5, a14 构成等比数列.
(1) 证明:a2 4a1 5 ;
(2) 求数列a n 的通项公式;
(3)
1 1 1 证明:对一切正整数n ,有
a1a2 a2a3 a n a n 1 4.已知等差数列a n 的公差d 0,它的前n项和为S n,若S5 70,且a2,a7,a22成等比数列.
( 1)求数列a n 的通项公式;
1 1 3
(2)设数列的前n项和为T n,求证:1≤T n 3.
n 6 n 8
S
n
5.(2010·山东高考理科· T 18)已知等差数列a n满足:a3 7,a5 a7 26 ,a
的前n 项和为S n.
n
(1)求a n及S n;( 2)令b n 21(n N*),求数列b n 的前n 项和T n .
a n2 1。