数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法

第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的

n

3 1 2

5、 S n

k 3 [ n(n 1)]2 k 1 2

例】已知数列 a n 满足 a 1 1,a n 1 a n 4,n N *

，求数列

a n 的前

n 项和 S n .

练习 】已知 log 3 x ，求 x x 2 x 3

x n

的前

n 项和 .

log 23

第二类：分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .

若数列 c n 的通项公式为 c n a n b n ，其中数列 a n ， b n 分别是等差数列和等比数 列，求和时一般用分组结合法。

na 1

(q 1)

2、等比数列前 n 和公式：

S

n

a

1(1 q

n )

a

1 a n q

(q 1)

1 q 1 q

(q 1)

S

n

n a

1 a n

na 1

21

自然数方幂和公式：

1、等差数列前 n 和公式： 3、

S

n n k k1

1

n(n 1)

2 n

4、 S n

k 2

k1

1

n(n 1)(2n 1)

6

1 1 1 1 1

【例】数列1 ,2 ,3 ,4 , ,n n, 求数列的前n项和.

2 4 8 16 2n

练习】数列a n 的通项公式a n 2n2n 1 第三类：裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的

常用的通项分解(裂项)如：

1 1 1

例1】数列1,112,1 213, ,1 2 31n, ，求该数列的前n项和 .通项)

1) a

n

2) a

n

n1 a

n

11

nk

3)

a

n 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1

a n

5) a n log a 1 1log a n 1 log

例 4 】数列 a n 的通项公式是 a n 1

， n 1 n 若前 n 项和为 10，则项数为(

A. 11

B. 99

C. 120

D. 121

例 5 】数列 a n 的通项公式是 a n log 2 1 1

，求该数列的前

n

127 项和 . 例 2 】已知等差数列 a n 满足 a 3 5,a 5 a 7 22 .

小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例 1 一样剩下首尾

两项， 还是像例 3 一样剩下四项 . 1)求 a n ；

2) 令 b

n

a a

a

n a n 1

求数列 b n 的前 n 项和 S n .

例 3 】数列 1 13 1 24 1

35

,,

,， 求该数列的前 n 项和 .

第三类：错位相减法求和

这种方法主要用于求数列a n b n 的前n 项和( S n a1b1a2b2a3b3

a n

b n)，

其中a n ，b n 分别是等差数列和等比数列 . 例 1 】求数列a n 的前n项和S n .

1)1 2,2 22,3 23,4 24, ,n 2n

练习】求数列a n 的前n项和S n .

2) 222,233, 244, ,2n n

1) 1 2,3 22,5 23,7 24, , 2n 1 2n

22,

242

,

263

,

284

, ,2

2n n

11

【例 2 】已知数列｛ a n｝是首项为 a1 1,公比q 1的等比数列，设44

b n 2 3log1a n（n N*），数列｛

c n｝满足c n a n b n .求数列｛c n｝的前 n项和

S n；

4

第四类：合并求和法

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项放在一起求和，然后再求S n .

【例】求12 22 32 42 52 62992 100 2的值.

第五类：倒序相加法

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个a1 a n。

【例】若函数f x 对任意x R，都有f x f 1 x 2.

1 2 n 1

（1）a n f 0 f 1f 2f n 1f 1 ，数列a n是等差数列吗？是证n n n

明你的结论；

2)

1

（2）数列的前n项和S n.

a n a

n 1