带电粒子和电磁场的相互作用解读

第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

§7.1 运动带电粒子的势和辐射电磁场

1. 运动带电粒子的势

设带电荷q 的粒子在't 时刻位于'r 处，以速度v

运动，如图1-6-1所示。

q

p

r

r

r r

v

图1-6-1 't 时刻粒子的位置为'r ，速度为v

它在'r

处（P ）点于c

r r t t '' -+=时刻产生的标势和矢势分别为

[]

R q

t r 041

),(πεϕ=

（7.1.1）

[]

R v

q t r A πμ4),(0=

（7.1.2） 式中

c r r v r r R )

'('

-⋅--= （7.2.3）

加上方括号表示是c

r r t t |

'|'

--=时刻的值，即其中粒子的坐标'r 、速度v 都是't 时

刻的值，它表明，带电粒子在距离为|'|r r

-处产生势，需要经过一段时间

c

r r t t t |

'|' -=-=∆。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。

2. 运动带电粒子的场

设带电荷q 的粒子在't 时刻位于'r 处，以速度v 和加速度a

运动。则它在r 处

于c

r r t t |

'|' -+=时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式

t

A E ∂∂--∇=

ϕ （7.1.4）

和

A H ⨯∇=0

1

μ

（7.1.5） 算出。注意：以上两式右边的ϕ∇，t

A

∂∂

和A ⨯∇都是t 时刻的值。算出的结果为

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯---⨯-+----=3

23220})|'|'{()'()|'|')(1(4),(R c a v c r r r r r r R c r r r r c v q t r E

πε （7.1.6）

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯+-⨯-⋅+-⨯-=3

2322)'()'()'()'()1(4),(R c r r a CR r r v r r a R r r v c v q t r H

π （7.1.7） 以上两式中的方括号表示其中的'r 、v 和a 都是c

r r t t |

'|'

--=时刻的值。

3. 自有场和辐射场

由（7.1.6）、（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。

一部分与加速度a 无关，叫做自有场；另一部分与加速度a

有关，叫做辐射场。

（1）自有场

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3)|'|')(1(4220R v c r r r r c v q E S

πε （7.1.8） ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯-=3

22)'()1(4R r r v c v q H S π （7.1.9）

这部分场的特点是：S E 和S H 都是与距离|'|r r

-的平方成反比。因此，场的能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库仑场通过洛伦兹变换求出。 （2）辐射场

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯---⨯-=3

0})|'|'{()'(4R a v c r r r r r r q E a

πε （7.1.10）

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⨯+-⨯-⋅=

32)'()'()'(4R r r a cR r r v r r a c q H a

π （7.1.11） 这部分场的特点是：S E 和S H 都是与距离|'|r r

-的一次方成反比。因此，场的能量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场。

§7.2 带电粒子加速运动时发出的辐射

1、辐射场和能流密度

带电荷q 的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--⨯-⨯=32

0)

1(|'|}){(4c e v r r a c v e e c q E r r r a

πε （7.2.1） a r a E e c H

⨯=0ε （7.2.2）

式中

|

'|'

r r r r e r

--= （7.2.3）

代表)'(r r

-方向上的单位矢量。

辐射场的能流密度为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣--==⨯=r r r a a a a c r r c q e cE H E S 62

30220)1(|'|16επε （7.2.4） 辐射场的能量密度为

c

S E H E a a a a a =

=+=202020)(2

1

εμεω （7.2.5）

2、辐射功率

't 时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为

3

22

2

2

22

0)1()(16)'(c

v a v c a c q t P -⨯-

=

πε （7.2.6）