上海初三数学一模压轴题汇总(各区23 25题)
2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)
压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（ ）A．32B C D【答案】B【分析】 首先通过折叠的性质得出四边形ABFE ，EDGH 都是正方形，然后设GH x =，根据平行线分线段成比例得出GH CG AD CD=，从而可求出x 的值，然后AD 的长度可求． 【详解】连接AC ，△四边形ABCD 是矩形，△1,90CD AB EAB ABF EDG ==∠=∠=∠=︒由折叠的性质可知，,,90,90AB BF DG GH BFE EAB EHG EGD ==∠=∠=︒∠=∠=︒,90AB BF EAB ABF BFE =∠=∠=∠=︒，△四边形ABFE 是正方形，90,1AEF AE AB ∴∠=︒== ，90DEH ∴=︒ ．,90DG GH DEH EHG EDG =∠=∠=∠=︒，△四边形EDGH 是正方形，//,AD GH GH DG ED ∴==，GH CG AD CD∴= ． 设GH x = ，111x x x -∴=+ ，解得x = 或x =，1AD x ∴=+=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．2．如图，四边形ABCD 为菱形，BF△AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（ ）A ．△ABE△△ADE ；B ．△CBE ＝△CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：9【答案】D【分析】 由四边形ABCD 为菱形，AB =AD ，△BAC =△DAC ，可证()ABE ADE SAS ∆∆≌可判定A ；由ABE ADE ∆∆≌，可得△ABE =△ADE ，由四边形ABCD 为菱形，可得△ABC =△ADC ，利用等角之差△CBE =△CDE ，可判定B ；连结BD 交AC 于O ，四边形ABCD 为菱形，可得BD =2OD ，可证△DOE △△DBF ，可证2DF DE =，可判定C ；根据OE 为△DBF 的中位线，△DOE △△DBF ，可得4DBF DOE S S ∆∆=，由CE ：AC ＝1：2．可得S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，S △DOE =2S △BCE ，可求10BCE ABFD S S ∆=四可判定D ．【详解】解：△四边形ABCD 为菱形，△AB =AD ，△BAC =△DAC ，△在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABE ADE SAS ∆∆≌故选项A 正确；△ABE ADE ∆∆≌△△ABE =△ADE ，△四边形ABCD 为菱形，△△ABC =△ADC ，△△CBE =△ABE -△ABC =△ADE -△ADC =△CDE ，故选项B 正确；连结BD 交AC 于O ，△四边形ABCD 为菱形，△DO =BO ，OE △BD ，△BD =2OD ，△BF∥AE ，△△DOE =△DBF ，△DEO =△F ，△△DOE △△DBF ， △12DO DE DB DF ==， △2DF DE =，△2DF EF DE DE =+=，△EF DE =，故选项C 正确；△DO =OB ，DE =EF ，△OE 为△DBF 的中位线，△BF =2OE ，△△DOE △△DBF ， △214DOE DBF S OE S BF ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ △4DBF DOE S S ∆∆=△CE ：AC ＝1：2．△AC =2CE ，△AO =OC =CE ，△S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，△S △DOE =2S △BCE ，△2410ABD DBF BCE DOE BCE ABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四故选项D 不正确．故选择D ．【点睛】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．3．如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB．C D．【答案】D【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H△EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT△EF于N，过点D作DM△EC于M．证明△CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H△EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT△EF于N，过点D作DM△EC于M．△△F AE=△CAB=90°，43 FAAE，△EF：AF：AE=5：4：3，△C′H△AF，△△EAF△△EHC′，△EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，由翻折可知，△AEN=△TEN，△NA△EA，NT△ET，△△NAE=△NTE，△NE=NE，△△NEA△△NET（AAS），△AN=NT，EA=ET，设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，△FN2=NT2+FT2，△（4m-x）2=x2+（2m）2，解得x=32 m，△AC=AB△CAB=90°，△BCAC△CD=BD△DM△CM，△DCM=45°，△CM=DM△AN△DM，△AN EA DM EM=，△31232mAN DMEA EM m===，△EM△ECk，△k=，△CH C H'==△CC'==△DC=DC′=DB，△△CC′B=90°，△BC'==故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4．如图，正方形ABCD边长为8，E为AD中点，线段PQ在边DC上从左向右以1个单位/秒的速度运动，3PQ=，从P点与D点重合时开始计时，到Q点与C点重合时停止，设运动时间为t秒，连结BE EP BQ､､，在运动过程中，下列4个结论：△当1t=时，BAE BCQ≌；△只有当53t=时，以点E D P､､构成的三角形与BCQ△相似；△四边形EPQB的周长最小等于16+△四边形EPQB的面积最大等于38．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 根据“SAS ”即可判断△；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断△，用含t 的代数式表示出EP + BQ ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP + BQ 的最小值，进而即可判断△；用含t 的代数式表示四边形EPQB 的面积，结合05t ≤≤，即可判断△．【详解】解：由题意得：当1t =时，CQ =8-3-1=4，AE =12AD =12×8=4，△AE =CQ ，△在正方形ABCD 中，△A =△C =90°，AB =CB ，△BAE BCQ ≌，故△正确；△△D =△C =90°，△点E D P ､､构成的三角形与BCQ △相似时，ED BC DP CQ =或ED CQ DP BC =， △4883t t =--或4838t t --=，解得：53t =或无解， △△正确；△EP =BQ△EP + BQ 可以看作是点(t ，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和，△EP + BQ 的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离13=，△四边形EPQB 的周长最小值=BE +PQ 16+ 故△正确；△四边形EPQB 的面积=11188222AB AE DE DP QC BC ⨯-⋅-⋅-⋅= ()11641645822t t --⋅--⨯=228t +， 又△05t ≤≤，△四边形EPQB 的面积最大值=252838⨯+=，故△正确．故选D ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质以及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式以及相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74C ．2D ．3【答案】A【分析】 构造如图所示的正方形CMPD ，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP 即可．【详解】如图，延长CE ，FG 交于点N ，过点N 作//l AB ，延长,CB DA 交l 于,M P ，△△CMN =△DPN =90°，△四边形CMPD 是矩形，根据折叠，△MCN =△GCN ，CD =CG ，DF FG =，△△CMN =△CGN =90°，CN =CN ，△Rt MNC Rt GNC ∆≅∆，△6CM CG CD ===，MN NG =∴四边形CMPD 为正方形，//BE MN△CBE CMN ， △4263BE CB MN CM ===， 2BE =，3MN ∴=，3NP ∴=，设DF x =,则4AF x =-， 在Rt PNF 中，由222FP NP NF +=可得222(42)3(3)x x -++=+解得2x =；故选A ．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．6．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结论：△ABC S △当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△【答案】B【分析】 过A 作AI △BC 垂足为I ，然后计算△ABC 的面积即可判定△；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定△；如图将△BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到△ABN ，求证NE =DE ；再延长EA 到P 使AP =CD =AN ，证得△P =60°，NP =AP =CD ，然后讨论即可判定△；如图1，当AE =CD 时，根据题意求得CH =CD 、AG =CH ，再证明四边形BHFG 为平行四边形，最后再说明是否为菱形．【详解】解：如图1, 过A 作AI △BC 垂足为I△ABC 是边长为1的等边三角形△△BAC =△ABC =△C =60°，CI =1212BC =△AI△S △ABC =11122AI BC =⨯=故△正确；如图2，当D 与C 重合时△△DBE =30°，ABC 是等边三角形 △△DBE =△ABE =30°△DE =AE =1122AD = △GE //BD △1BG DE AG AE== △BG =1122AB = △GF //BD ,BG //DF △HF =BG =12,故△正确；如图3，将△BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到△ABN △△1=△2，△5=△6=60°，AN =CD ,BD =BN△△3=30°△△2+△4=△1+△4=30°△△NBE=△3=30°又△BD=BN，BE=BE△△NBE△△DBE（SAS）△NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN△△NAP=180°-60°-60°=60°△△ANP为等边三角形△△P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD成立，则PE,需△NEP=90°，但△NEP不一定为90°，故△不成立；如图1，当AE=CD时，△GE//BC△△AGE=△ABC=60°，△GEA=△C=60°△△AGE=△AEG=60°，△AG=AE同理：CH=CD△AG=CH△BG//FH,GF//BH△四边形BHFG是平行四边形△BG=BH△四边形BHFG为菱形，故△正确．故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 上一动点，E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得EF ，连接DE ，DF ，CF ．下列结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△AEM FEC ∠=∠；△45BCM DCF ∠+∠=︒．其中结论正确的序号是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】D 【分析】延长AE 交DC 的延长线于点H ，由“AAS ”可证△AME △△HCE ，可得AE =EH ，由直角三角形的性质可得AE =EF =EH ，可判断△；由四边形内角和定理可求2△ADE +2△EDF =270°，可得△ADF =135°，可判断△；M 为AB 上动点，△AEM 为动态变化的角，可判断△ ；连接AC ，证明△DCF △△ACM ，即可得到△DCF =△ACM ，即可判断△． 【详解】解：如图，延长AE 交DC 的延长线于点H ，△点E 是CM 的中点， △ME =EC ， △AB △CD ，△△MAE =△H ，△AME =△HCE ，△△AME△△HCE（AAS），△AE=EH，又△△ADH=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，△DE=AE=EH，△AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，△AE=EF，△AEF=90°，△AE=DE=EF，故△正确；△AE=DE=EF，△△DAE=△ADE，△EDF=△EFD，△△AEF+△DAE+△ADE+△EDF+△EFD=360°，△2△ADE+2△EDF=270°，△△ADF=135°，△△CDF=△ADF-△ADC=135°-90°=45°，故△正确；假如△正确，则△AEM=△FEC=(180°-△AEF)÷2=45°，为确定的大小，由于M为AB上动点，则△AEM为一个动态变化的值，故△错误；连接AC，过PE△AD，FN△PE交CD于Q点，如下图所示：△△FEN+△AEP=90°，△EAP+△AEP=90°，△△FEN=△EAP，且△APE=△ENF=90°，EA=EF，△△APE△△ENF(AAS)，△AP=NE，△AM△PE△DC，且E是MC的中点，△PE是梯形AMCD的中位线，△111111()222222PE AM CD AM CD AM AD AM AP，又PE =PN +NE ， △PN =12AM ，又PN =DQ ，△QDF =45°，△DQF =90°， △△DQF 为等腰直角三角形，△DF ，△DFAM在等腰直角△ACD 中，22DC AC， △DF AMDCAC， 且△CDF =△MAC =45°， △△CDF △△CAM ， △△DCF =△MCA ，△BCM ∠+△MCA =△BCM +△DCF =△BCA =45°，故△正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，旋转的性质，梯形中位线的定理等知识，综合性较强，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122OCDk kS-=；△()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△【答案】B 【分析】 设P （m ，1k m ），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB和PCPA的关系，可判断△；利用三角形面积公式计算，可得△PDC 的面积，可判断△；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算△OCD 的面积，可判断△．【详解】解：△PB △y 轴，P A △x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2ky x=上， 设P （m ，1k m）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m），令12k k m x =，则21k m x k =，即D （21k m k ，1km ），△PC =12k k m m -=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -，△()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m k PA k m--==，即PD PCPB PA=， 又△DPC =△BP A ， △△PDC △△PBA ， △△PDC =△PBC ， △CD △AB ，故△正确；△PDC 的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k k m --⨯⨯=()21212k k k-，故△正确；OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△=()112221222112k k k k k k ----=()2121122k k k k k ---=()()21121112222k k k k k k k ---=()22112211222k k k k k k ---=221212k k k -，故△错误；故选B ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，正方形2021202120212020A B C C 的面积为（ ）A ．2021352⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2020954⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4040954⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4042352⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：△正方形ABCD 的点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），△OA ＝1，OD ＝2，AD =12OA OD =， 延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ， △△AA 1B △△DAO ， △112A B AB =，△AD ＝AB =△A 1B =△第1个正方形的面积为：S 1＝A 1C 22＝5•（32）2；同理可得，A 2C 2122第2个正方形的面积为：S2＝5•（32）4…第n个正方形的面积为：S2＝5•（32）2n△第2021个正方形的面积为：S2021＝5•（32）4042．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．10．如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）A．8B．6C．94πD．2516π【答案】B【分析】连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．【详解】解：连接CQ，PQ，△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，△PQ =CQ =12EF ，△点Q 在CP 的垂直平分线上，如图，连接CP ，作CP 的垂直平分线交BC 于M ，交AC 于N ，即点Q 在MN 上， △PQ 扫过的面积为△PMN 的面积， △△ACB =90°，AC =6，BC =8，△AB ， △AP =3.6， 则35AP AC AC AB ==，又△C =△C ， △△ABC △△ACP ，△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △12CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14S △ABC =116842⨯⨯⨯=6，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．二、填空题11．如图，菱形111OA B C 中，1160AOC ∠=︒，1B 坐标为()2,0，再以1B 为对称中心作菱形222OA B C ，再以2B 为对称中心作菱形333OA B C ，按此规律继续作下去，得到菱形n n n OA B C ，则n A 的坐标为_______．【答案】12n -⎛ ⎝ 【分析】连接22A C ，33A C ，先根据已知条件结合菱形的性质求出1122OB B B ==，根据勾股定理求出21A B 的长，再由相似三角形求出23122B A =B A ，继续求解找出规律即可得出结论．【详解】 解：如下图所示：根据菱形的性质可知：连接22A C 必过1B 点，且2190A B O ∠=︒，同理可得3290A B O ∠=︒，……，190n n A B O -∠=︒， △1B 为菱形222OA B C 的对称中心， △1122OB B B ==，在12Rt OB A △中，2130A OB =︒∠，根据勾股定理可得，21A B =△1223OB A OB A △∽△且112OB B B =， △212OB =OB ，322OA =OA ，23122B A =B A ，同理可得：234231222B A =B A =B A ，2345342312222B A B A =B A =B A =，……1232212132431223222222333n-n n n-n n-n n-n-n-n B A =B A =B A =B A ==B A ==----， 根据勾股定理可得：12n n OB =- ，△n A 的坐标为12n -⎛ ⎝故答案为：12n -⎛ ⎝ 【点睛】本题考查菱形的性质、规律型-点的坐标，相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．12．已知：如图，在Rt ABC 中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作2DE AC ⊥于点2E ，连接2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记11BD E ，22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S 设ABC 的面积为1，则n S =______（用含n 的代数式表示）.【答案】21(1)n +【分析】先利用相似三角形的性质求出11CD E ，再根据三角形中线的定义可得11BD E 的面积等于11CD E 的面积，同理求出22BD E △，33BD E △的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：1190,ACB D E AC ∠=︒⊥，11//D E BC ∴，11A D C E B C ~∴，1122D E D CBD ~，11211CD E ABCD E BC S S⎛⎫=∴⎪⎝⎭，点1D 是斜边AB 的中点，1112D E BC ∴=（三角形中位线定理）， 1121124CD E ABC SS ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴=，即1114B D C E A C S S =，又11//D E BC ，11CD E ∴与11BD E 同底等高，1111121142BD E CD E ABC ABC S S S S S ∴====，又1122D E D CBD ~， 1211212E D D E BD BC ∴==， 12113E D BE ∴=， 2290,ACB D E AC ∠=︒⊥，22//D E BC ∴，22122211,3D E E D ABC BC BE CD E ∴==~， 22222213A D E BC C D E B S S C ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，即22213AB C C D E S S =，又22//D E BC ，22CD E ∴与22BD E △同底等高， 22222213BD E C E BC D A S S S S ===∴， 同理可得：33333214BD E CD E ABC S S S S ===，归纳类推得：21(1)n ABC S S n =+，其中n 为正整数，ABC 的面积为1，21(1)n n S ∴=+， 故答案为：21(1)n +． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1于点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1于点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 5；．．．按照这样的规律继续作下去，若OA 1＝1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为____________．【答案】40402.【分析】由正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，可得111122221,2OA OB A B OA OB A B ===再求解212112,1,OA A A A B ===证明1145,AOB ∠=︒从而可得2222,OA A B == 23334442,82,A B A B ==== 总结规律得：12,n n n A B -=再利用规律及正方形的面积公式可得答案.【详解】 解： 正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12， 111122221,2OA OB A B OA OB A B ∴=== 11,OA =212112,1,OA A A A B ∴=== 1145,A OB ∴∠=︒2222,OA A B ∴== 23334442,82,A B A B ====12,n n n A B -∴=2020202120212,A B = ()202120212021202222020404022.A B C A S ∴==正方形 故答案为：40402.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，位似图形的性质，掌握由具体到一般推导数学规律并运用规律是解题的关键.14．如图，函数k y x=（k 为常数，0k >）的图象与过原点O 的直线相交于A 、B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连接BM 分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．若25MF MB =，则MD MA= ________．【答案】2【分析】过A 作AG △y 轴于G ，MH △y 轴于H ，过B 作BN △y 轴于N ，由点A ，B 关于原点对称，可得OA =OB ，AG =BN ，可证MHF BNF △∽△，可求23MH MF BN FB ==，可得23MH MH AG BN ==，由2=3DM HM DA GA =，可求2DM AM=即可 【详解】解：过A 作AG △y 轴于G ，MH △y 轴于H ，过B 作BN △y 轴于N ，如下图：△25MF MB = △23MF BF = 由题意可得：点A ，B 关于原点对称，△OA =OB ，AG =BN ，△BN △y 轴，MH △y 轴，AG △y 轴△////BN MH AG△MHF BNF △∽△，DHM DGA △∽△ △23MH MF BN FB ==，DM HM DA AG = △23MH MH AG BN ==， △23DM MH DA AG ==， △23DM DA = 2MD DM MA DA DM==- 故答案为2．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．15．如图在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上一点，且满足5AE ＝13BE ，将AED 沿ED 所在直线翻折，点A 恰好落在线段BC 上点A '处，连接AC 交线段A D '于点M ，若AB 的长为9，则A MC 的面积为_______．【答案】7516【分析】根据5AE ＝13BE ，AB ＝9，得132AE =，52BE ＝，在Rt △A 'BE 中，由勾股定理得A 'B ＝6，易证△BEA '△△CA 'D ，得CA '＝154，可求出S △A 'CD ，又△AMD △△CMA '，则 135DM AD A M A C ==''，从而有S △A 'CM ＝518S △A 'CD ，代入计算即可． 【详解】解：△5AE ＝13BE ，AB ＝9， △213118113398AE AB =⨯=＝，559185182BE AB =⨯=＝， △将△AED 沿ED 所在直线翻折得△A 'ED ，△A'E＝AE＝132，△EA'D＝90°，在Rt△A'BE中，由勾股定理得：A'B6，△△BA'E+△DA'C＝90°，△BA'E+△BEA'＝90°，△△DA'C＝△BEA'，△△BEA'△△CA'D，△BE A B A E=CA CD A D''=''，△5136229=CA A D=''，△CA'＝154，A'D＝AD＝394，S△A'CD＝111513592248A C CD'=⨯⨯=，△AD△A'C，△△AMD△△CMA'，△391341554DM ADA M A C===''，△S△A'CM＝518S△A'CD＝51357518816⨯=．故答案为：75 16．【点睛】本题主要考查了翻折的性质、三角形相似得到判定与性质、勾股定理等知识，求出S∥A'CD 是解题的关键．16．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90︒得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．如果AB=2，PF平分DFB∠，则BF=_______．【答案】12【分析】如下图所示，过点P 作DE 的垂线交于点G ，则PGF PBF ≌，得到PG PB =，再进一步证明DPF DAP ≌，得到PG AP =，则点P 是AB 的中点，且AB =2，得到AP =PB =1，通过△PBF △△DAP ，即可得到结果．【详解】解：过点P 作DE 的垂线交于点G ，△PF 平分DFB ∠，PG DF ⊥，PB BF ⊥,△GFP BFP =∠∠，PG PB =，在PGF 和PBF △中，GFP BFP PGF PBF PG PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△PGF △PBF △（AAS ）△PG PB =，又△PD 绕点P 顺时针方向旋转90︒得到线段PE ，△90DPF ∠=︒，△GFP BFP=DPA =∠∠∠，由直角三角形中的互余关系可得，ADP GDP ∠=∠，在DAP 和DGP 中，ADP GDP DAP DGP DP DP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DAP △DGP （AAS ）△PG AP =，则=AP PB ，△AB =2，△AP =PB =1，△FB △AB ，DA △AB ，△90DAP FBP ==︒∠∠，又△BFP=DPA ∠∠△△PBF △△DAP ， △PB BF DA AP＝， △PB =AP =1，DA =2，△BF =12． 故答案为：12．【点睛】本题主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定与性质，利于互余关系推导出三角形全等与相似是解题的关键．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，．如图，在正方形ABCD 中，点G 为边BC 延长线上一动点，连接AG 交对角线BD 于点H ，△ADH 的面积记为S 1，四边形DHCG 的面积记为S 2．如果点C 是线段BG 的黄金分割点，则12S S 的值为___． 352或． 【分析】由AD △BC ，得△DHG 的面积＝△AHB 的面积，再由△AHB △△CHB （SAS ），得出S2＝△GBH的面积，然后证△ADH △△GBH ，得12S S ＝2()AD GB ，分两种情况：△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＞CG ，则BC；△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＜CG ，则BC＝BG ；分别求解即可． 【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△AB ＝CB ，AD △BC ，△ABH ＝△CBH ＝45°，△△ABD 的面积＝△AGD 的面积，又△BH ＝BH ，△△AHB △△CHB （SAS ），△△AHB 的面积＝△DHG 的面积，△S 2＝△GBH 的面积，△AD △BC ，△△ADH △△GBH ， △12S S ＝（AD GB）2， 分两种情况：△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＞CG ，则AD ＝BCBG ， △12S S ＝（AD GB ）2）2352； △点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＜CG ，则AD ＝BC 352BG ， △12S S ＝（AD GB ）2352）2； 综上所述，如果点C 是线段BG 的黄金分割点，则12S S 352或； 352或 【点睛】 本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握黄金分割的定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分△BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且△ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：△EO△AC ；△S △AOD ＝S △OCF ；△AC△BD ；△FB 2＝OF•DF 其中正确的是______．（填序号）【答案】△△△【分析】△正确．只要证明EC =EA =BC ，推出△ACB =90°，再利用三角形中位线定理即可判断．△错误．想办法证明BF =2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．△正确．设BC =BE =EC =a ，求出AC ，BD 即可判断．△正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，OD OB =，OA OC =，180DCB ABC ∴∠+∠=︒，60ABC ∠=︒，120DCB ∴∠=︒， EC 平分DCB ∠，1602ECB DCB ∴∠=∠=︒， 60EBC BCE CEB ∴∠=∠=∠=︒，ECB ∴∆是等边三角形，EB BC ∴=，2AB BC =，EA EB EC ∴==，90ACB ∴∠=︒，OA OC =，EA EB =，//OE BC ∴，90AOE ACB ∴∠=∠=︒，EO AC ∴⊥，故△正确，//OE BC ，OEF BCF ∴∆∆∽， ∴12OE OF BC FB ==， 13OF OB ∴=， 3AOD BOC OCF S S S ∆∆∆∴==，故△错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，AC =，OD OB =，BD ∴，:7AC BD ∴，故△正确，13OF OB =，BF ∴， 2279BF a ∴=，27777()6269OF DF a a a a =+=， 2BF OF DF ∴=，故△正确，故答案为：△△△．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．19．如图，在ABC 与CDE △都是等边三角形，且点A ､C ､E 在同一条直线上，AD 与BE ､BC 分别交于点F ､M ，BE 与CD 交于点N ．有以下结论：△AM BN =；△ABF DNF ≌；△180FMC FNC ∠+∠=︒；△111AC MN CE=-．其中正确的是_______．（填序号）【答案】△△△【分析】△根据等边三角形性质得出AC =BC ，CE =CD ，△ACB =△ECD =60°，求出△BCE =△ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；△根据△ABC =60°=△BCD ，求出AB △CD ，可推出△ABF △△DNF ，找不出全等的条件；△根据角的关系可以求得△AFB =60°，可求得MFN =120°，根据△BCD =60°可解题；△根据CM=CN ，△MCN =60°，可求得△CNM =60°，可判定MN △AE ，可求得MN DN CD CN AC CD CD-==，可解题． 【详解】解：证明：△△△ABC 和△CDE 都是等边三角形，△AC =BC ，CE =CD ，△ACB =△ECD =60°，△△ACB +△BCD =△ECD +△BCD ，即△BCE =△ACD ，在△BCE 和△ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BCE △△ACD （SAS ），△AD =BE ，△ADC =△BEC ，△CAD =△CBE ，在△DMC 和△ENC 中，MDC NEC DC ECMCD NCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△DMC △△ENC （ASA ），△DM =EN ，CM=CN ，△AD -DM =BE -EN ，即AM =BN ；△△△ABC =60°=△BCD ，△AB △CD ，△△BAF =△CDF ，△△AFB =△DFN ，△△ABF △△DNF ，找不出全等的条件；△△△AFB +△ABF +△BAF =180°，△FBC =△CAF ，△△AFB +△ABC +△BAC =180°，△△AFB =60°，△△MFN =120°，△△MCN =60°，△△FMC +△FNC =180°；△△CM=CN ，△MCN =60°，△△MCN 是等边三角形，△△MNC =60°，△△DCE =60°，△MN △AE ， △MN DN CD CN AC CD CD-==， △CD =CE ，MN =CN ， △MN CE MN AC CE -=， △1MN MN AC CE=-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， 故答案为△△△．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：△当BG BM =时，AG =；△OH OF OM OC=；△当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；△222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．【答案】△△△【分析】△正确．利用面积法证明AG AC BG BC== △错误．假设成立，推出OFH OCM ∠=∠，显然不符合条件．△正确．如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．想办法证明CM CF =，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．△正确．如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW =，BM DW =，90MCW ∠=︒，45CBM CDW ∠=∠=︒，证明FM FW =，利用勾股定理，即可解决问题．【详解】解：如图1中，过点G 作GT AC ⊥于T ．BG BM =，BGM BMG ∴∠=∠，BGM GAC ACG ∠=∠+∠，BMG MBC BCM ∠=∠+∠，四边形ABCD 是正方形，45GAC MBC ∴∠∠︒＝＝，AC ，ACG BCG ∴∠∠＝，GB CB ⊥，GT AC ⊥，GB GT ∴＝，1212BCG ACG BC GB SBG BCS AG AC AC GT ⋅⋅====⋅⋅ AG ∴，故△正确，假设OH OF OM OC=成立， FOH COM ∠∠＝，FOH COM ∴∽，OFH OCM ∴∠∠＝，显然这个条件不成立，故△错误，如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．90OFH FHO ∠+∠︒＝，90FHO FCO ∠+∠︒＝，OFH FCO ∴∠∠＝，AB CB ＝，ABF CBF ∠∠＝，BF BF ＝，ABF CBF SAS ∴≌（），AF CF ∴＝，BAF BCF ∠∠＝，90CFG CBG ∠∠︒＝＝，180BCF BGF ∴∠+∠︒＝，180BGF AGF ∠+∠︒＝，AGF BCF GAF ∴∠∠∠＝＝，AF FG ∴＝，FG FC ∴＝，45FCG BCA ∴∠∠︒＝＝，ACF BCG ∴∠∠＝，//MQ CB ，GMQ BCG ACF OFH ∴∠∠∠∠＝＝＝，90MQG FOH ∠∠︒＝＝，FH MG ＝，FOH MQG AAS ∴≌（），MQ OF ∴＝，BMP MBQ ∠∠＝，MQ AB ⊥，MP BC ⊥，MQ MP ∴＝，MP OF ∴＝，90CPM COF ∠∠︒＝＝，PCM OCF ∠∠＝，CPM COF AAS ∴≌（），CM CF ∴＝，//OE AG ，OA OC ＝，EG EC ∴＝， FCG 是等腰直角三角形，45CFN ∴∠︒＝，CFN CBM ∴∠∠＝，FCN BCM ∠∠＝，BCM FCN ∴∽，CM CB CN CF∴=， 2CF CB CN ∴⋅＝，故△正确，如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW ＝，BM DW ＝，90MCW ∠︒＝，45CBM CDW ∠∠︒＝＝，△FG =FC ，△GFO =△FCN ，△FGM =△CFN =45°，△△FGM △△CFN ，△FM =CN ，45FCG FCW ∠∠︒＝＝，CM CW ＝，CF CF ＝，CFN CFW SAS ∴≌（），FM FW ∴＝，454590FDW FDC CDW ∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝，222FW DF DW ∴+＝，2222CN FM BM DF ∴=+＝，故△正确，故答案为：△△△．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、解答题21．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形，直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）27y x =；31544y x =-；（2）1(0.0)P ，2(10.0)P ，3(13.0)P ，465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，25(,0)4Q -，37(9,0)8Q ，41(,0)8Q - 【分析】（1）过点A 作AD x ⊥轴于点Ｄ，由152OAB S ∆=，(5,0)B 求出AD 长度，在Rt ABD △中利用勾股定理求出BD 长度，进一步得到OD 长度，推导得到A 点坐标，用待定系数法求教师式即可；（2）若在x 轴上存在点P ，使得ABP ∆是等腰三角形，存在三种情况，分别是当点Ａ为顶点，AB 为腰时，交于x 轴两点；点B 为顶点，AB 为腰时交于x 轴一点；以及AB 为底边时，作底边的垂直平分线，交于x 轴一点，分别求解即可；（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形,有四种情况，△以AC 为直角边时，时，利用对称性和三角形相似求解即可；△以AC 为斜边时，利用圆周角的推论进行解答即可得．【详解】解：（1）如图：过点A 作AD x ⊥轴于点Ｄ△(5,0)B△=5OB AB = △152OAB S ∆= △11155222OB AD AD =⨯⨯=△=3AD在Rt ABD △中，4BD△9OD OB BD =+=△(9,3)A△m y x =经过点A △39m = 解得:27m =△反比例函数的教师式为：27y x=△y kx b =+经过点Ａ和点B △9350k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：34154k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩△一次函数的表达式为31544y x =- （2）如下图：若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，则分三种情况：以点B 为顶角顶点，AB 为腰时，x 轴上有两点，1(0.0)P ，2(10.0)P ；以点A 为顶角顶点，AB 为腰时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点，此时点3(13.0)P ; 以AB 为底边时，作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点4P ,交AB 与点E ,4P 即为所求． △31544y x =- △15(0.)4C - 在Rt OBC中，254BC == △4ABP CBO ∠=∠△4tan tan ABP CBO ∠=∠ △4BE OB BP BC= △4552254BP = △4258BP =△42565588OP =+=△465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，满足题意的点有四个，分别是1(0.0)P ，2(10.0)P ，3(13.0)P ，465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）△如图所示，以AC 为直角边时，（a ）当190CAQ ∠=时，在Rt BAD 和1Rt AQ D △中，11190BAD DAQ DAQ AQ D ∠+∠=∠+∠=△1BAD AQ D ∠=∠△190BDA ADQ ∠=∠=△1Rt BADRt AQ D △△ △1AD BD Q D AD = △1343Q D = △194Q D = △11945944OQ OD Q D =+=+= △145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （b ）当290ACQ ∠=时，1Q 与 2Q 关于点B 对称，此时:214525544Q B BQ ==-= △(5,0)B△25(,0)4Q -， △如图所示，以AC 为斜边时，在直线31544y x =-中，当x =0时，154y =-， △点C 的坐标为15(0,)4-， △点A 坐标为（9，3），△394AB ， 令AB 的中点为O ，则1139392248OA AB ==⨯=， 过点O 作以OA 为半径的圆，交x 轴为3Q ，4Q ，△AB 是O 的直径，△3490AQ C AQ C ∠=∠=︒，△点3Q 的横坐标为：3975988+=， 点4Q 的横坐标为：391588-=-， △37(9,0)8Q ，41(,0)8Q -， 综上所述，满足题意的点有四个，分别是145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，25(,0)4Q -，37(9,0)8Q ，41(,0)8Q -． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数表达式、直角坐标系中等腰三角形和直角三角形点存在性问题，数形结合是解题关键．22．如图，在直角ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==．D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，点P 从A 出发沿线段AD DE EB --以每秒3个单位长的速度向B 匀速运动；点Q 从点A出发沿射线AB 以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P 与点B 重合时停止运动，点Q 也随之停止运动，设点P 、Q 运动时间是t 秒，（0t >）．（1）当t =______时，点P 到达终点B ； （2）当点P 运动到点D 时，求BPQ 的面积；（3）设BPQ 的面积为S ，求出点Q 在线段AB 上运动时，S 与t 的函数关系式； 【答案】（1）4；（2）203；（3）当403t ≤<时，239S t t =-+；当4733t ≤≤时，124S t =-；当733t <≤时，21284144555S t t =-+． 【分析】（1）由已知和勾股定理先求出BC ，再由D ，E 分别是AC ，BC 的中点，求出AD 、DE 、BE ，从而求出t ；（2）先求出当点P 运动到点D 时所用时间，得出AQ 的长，即可求出BQ 的长，再根据△BPQ 的面积=12BQ •AP 进行计算即可；（3）由已知用t 表示出AQ 、AP 、BQ ，再由△A =90°，通过面积公式求出S 与t 的函数关系式． 【详解】解：（1）已知Rt ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==，由勾股定理得：10BC =， 又由D ，E 分别是,AC BC 的中点， △4,3,5AD DE BE ===，△当点P 到达终点B 时所用时间()43534t =++÷=（秒）， 故答案为：4．（2）当点P 运动到点D 时，所用时间为43秒，所以48233AQ =⨯=，。
2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)
压轴第25题精选30道-几何综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒【答案】C【分析】 设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，①612t <≤和①1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；①如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；①如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．2．如图，E 在线段BA 的延长线上，①EAD ＝①D ，①B ＝①D ，EF①HC ，连FH 交AD 于G ，①FGA 的余角比①DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使①CKG ＝①CGK ，在①AGK内部有射线GM ，GM 平分①FGC ，则下列结论：①AD①BC ；①GK 平分①AGC ；①①E ＋①EAG ＋①HCK ＝180°；①①MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD①BC，故①正确；由平行线的性质得到①AGK=①CKG，等量代换得到①AGK=①CGK，求得GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；根据题意列方程得到①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，得到①AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：①①EAD=①D，①B=①D，①①EAD=①B，①AD①BC，故①正确；①①AGK=①CKG，①①CKG=①CGK，①①AGK=①CGK，①GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，①EF①CH，①①EPQ=①CQP，①①EPQ=①E+①EAG，①①CQG=①E+①EAG，①AD①BC，①①HCK+①CQG=180°，①①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；①①FGA的余角比①DGH大16°，①90°-①FGA-①DGH=16°，①①FGA=①DGH，①90°-2①FGA=16°，①①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，①①AGK=α+β，①GK平分①AGC，①①CGK=①AGK=α+β，①GM平分①FGC，①①FGM =①CGM ，①①FGA +①AGM =①MGK +①CGK ，①37°+α=β+α+β，①β=18.5°，①①MGK =18.5°，故①错误，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =．将矩形纸片沿GH 折叠，使点B 与D 重合．有下列语句：①四边形BGDH 是菱形；①74AG =；①7.5GH =；①60BGH ∠=︒．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据折叠的性质及矩形的性质可得BH =DH =GD =BG ，即可判定①正确；若设AG =x ，则BG =DG =8-x ，在Rt ①AGB 中由勾股定理建立方程可求得x ，即AG 的长，因此可判定①；连接BD ，利用菱形的面积相等，可求得GH 的长，从而可判定①；根据对①的判定可确定①ABG 是否为30°即可判定①．【详解】根据折叠的性质得：BH =DH ，BG =GD ，①BHG =①DHG ，①BGH =①DGH①四边形ABCD 是矩形①AD ①BC ，AD =BC =8，①A =90°①①DGH =①BHG①①DGH =①DHG①GD =DH①BH =DH =GD =BG①四边形BGDH 是菱形即①正确设AG =x ，则BG =GD =8-x在Rt ①AGB 中，由勾股定理建立方程得：2226(8)x x +=- 解得：74x = 即AG 的长74故①正确如图，连接BD在Rt ①ABD 中，由勾股定理得：10BD = ①12BD GH GD AB =，GD =AD -AG =725844-= ①12510624GH ⨯=⨯ ①GH =7.5故①正确①BG =GD =254 ①12AG BG ≠ ①①A =90°①①ABG ≠30°即①AGB ≠60°①①BGH =①DGH①①BGH +①DGH ≠120°从而①BGH ≠60°即①不正确故正确的有3个故选：C ．【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．4．如图，正方形ABCD 中，P 为CD 边上任意一点，DE①AP 于点E ，点F 在AP 延长线上，且EF ＝AE ，连结DF 、CF ，①CDF 的平分线DG 交AF 于G ，连结BG ．给出以下结论：①DF＝DC ；①①DEG 是等腰直角三角形；①①AGB ＝45°；①DG+BG ．所有正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 根据等腰三角形三线合一，得到AD ＝DF ，又根据正方形性质得AD ＝DC ，从而等量代换得，DF ＝DC ，即可判断①；设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，由902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-,推得1452FDG PDF α∠=∠=-，进一步得到=45DGE DFA FDG ∠=∠+∠，从而可判断①；在Rt ADE △和Rt ADP △中进行角等量代换，得到DAP EDP ∠=，再由AD DF =和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合DE AF ⊥，即可判断①；作BH ①AF ，分别在Rt BHG 和Rt DEG △中，进行边的转换，再根据BAH ADE ≅△△得到DG ，由AH GH AG +=，代入化简即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，①AD DC =,90BAD ADC ∠=∠=，DE AF ⊥，EF AE =，①AD DF =，①DF DC =，①①正确；①AD DF =，①DAF DFA ∠=∠，设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，①902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-，①DG平分①CDF，①1452FDG PDFα∠=∠=-，①=45DGE DFA FDG∠=∠+∠，①①DEG是等腰直角三角形，①①正确；①四边形ABCD是正方形①90ADC∠=,①90ADE EDP∠+∠=,①DE AF⊥，①90ADE DAP∠+∠=，①DAP EDP∠=∠，①AD DF=，①DAP DFP∠=∠，①EDP DFP∠=∠，①CDF∠的平分线交AF于点G，①CDG FDG∠=∠，①EDP CDG DFP FDG ∠+∠=∠+∠，①EDG EGD∠=∠，又①DE AF⊥，①DEG△是等腰直角三角形．①①正确如下图：作BH①AF于H，①①AGB＝45°，①BG，①DEG△是等腰直角三角形，①DG=，①四边形ABCD是正方形①AB AD=，又①BH AF⊥,DE AP⊥，①90BHA AED∠=∠=，①90BAH EAD EAD ADE∠+∠=∠+∠=，①BAH ADE∠=∠，①BAH ADE≅△△，①AH DE=，①DG=，①AH GH AG+=，=，①DG BG+=，①①正确；①故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．5．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S①ABP；①S①APH=S①ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S①ABP．①正确．由DH①PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC中，A D、BE分别平分①BA C、①ABC，①①A +①B =90°，又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC ，①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°，①①APB =135°，故①正确．①①BPD =45°，又①PF ①AD ，①①FPB =90°+45°=135°，①①APB =①FPB ，又①①ABP =①FBP ，BP =BP ，①①ABP ①①FBP （ASA ），①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF ，在①APH 和①FPD 中， APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APH ①①FPD （ASA ），①PH =PD ，①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确．①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD ，①S ①APB =S ①FPB ，S ①APH =S ①FPD ，PH =PD ，①①HPD =90°，①①HDP =①DHP =45°=①BPD ，①HD ①EP ，①S ①EPH =S ①EPD ，①S ①APH =S ①AED ，故①正确，①S 四边形ABDE =S ①ABP +S ①AEP +S ①EPD +S ①PBD=S ①ABP +（S ①AEP +S ①EPH ）+S ①PBD=S ①ABP +S ①APH +S ①PBD=S ①ABP +S ①FPD +S ①PBD=S ①ABP +S ①FBP=2S ①ABP ，故①不正确．若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH ，①①CDH=①CBE=①ABE，①①CDE=①ABC，①DE①AB，这个显然与条件矛盾，故①错误，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将①ADE沿AE对折至①AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①①ABG①①AFG；①BG=CG；①S①AGE=18；①①GAE=45°，其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】D【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt①ABG①Rt①AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt①ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出①DAE=①F AE，①BAG=①F AG，即可得出△GAE.【详解】解：①四边形ABCD是正方形，①AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，①CD=3DE，①DE=2，①①ADE沿AE折叠得到①AFE，①DE=EF=2，AD=AF，①D=①AFE=①AFG=90°，①AF=AB，①在Rt①ABG和Rt①AFG中AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，①Rt ①ABG ①Rt ①AFG （HL ）．①①正确；①Rt ①ABG ①Rt ①AFG ，①BG =FG ，①AGB =①AGF ．设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ①ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．①CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，①（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．①BG =GF =CG =3．①①正确；①BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2，①GE =GF +EF =5，AF =AB =6，①S △AGE =11561522GE AF ⨯=⨯⨯=， ①①错误；①①ADE 沿AE 折叠得到①AFE ，①①DAE ①①F AE ．①①DAE =①F AE ．①①ABG ①①AFG ，①①BAG =①F AG ．①①BAD =90°，①①EAG =①EAF +①GAF =12×90°=45°．①①正确．故选D ．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x =-+的图象交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以AB 为边在直线右侧作正方形ABCD ，连接BD ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交BD 于点E ，连接AE ．则下列说法中正确的是（ ）A．点D的坐标为(17,7)B．45EAF∠=︒C．点C的坐标为(12,17)D．AEF的周长为(14+【答案】C【分析】根据一次函数教师式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的教师式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则①EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出①AEF 的周长．【详解】解：①一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴与A、B两点，①当x=0，则y=12，故B（0，12），当y=0，则x=5，故A（5，0），①AO=5，BO=12，在Rt①AOB中，AB，故AB的长为13；过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：①四边形ABCD是正方形，①①ABC =①BAD =90°，AB =DA =BC =CD ，①①OAB +①OBA =①OAB +①HAD =90°，①①OBA =①HAD ，在①OBA 和①HAD 中，AOB DHA OBA HAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①OBA ①①HAD （AAS ），①DH =AO =5，AH =BO =12，①OH =OA +AH =17，①点D 的坐标为（17，5），A 错误，不符合题意；①①CBN +①NCB =①CBN +①ABO =90°，①①NCB =①ABO ，在①CNB 和①BOA 中，NCB OBA CNB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CNB ①①BOA （AAS ），①BN =AO =5，CN =BO =12，又①CF ①x 轴，①CF =BO +BN =12+5=17，①C 的坐标为（12，17），C 正确，符合题意；设直线BD 的教师式为y =kx +b ，①17512k b b +=⎧⎨=⎩，解得：71712k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线BD 的教师式为71217y x =-+， ①OF =CN =12， ①AF =12-5=7，E 点的坐标为（12，12017）， ①EF =12017≠AF ， ①CF ①x 轴，①①EAF ≠45°，B 错误，不符合题意；在①CDE 和①ADE 中，CD AD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CDE ①①ADE （SAS ），①AE =CE ，①AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，①C ①AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24，D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．8．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，90BAF CAG ∠=∠=︒，AB AF =，AC AG =．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG CF =；①BG CF ⊥；①2BC AE =；①EF EG =，其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 证得①CAF ①①GAB （SAS ），从而推得①正确；利用①CAF ①①GAB 及三角形内角和与对顶角，可判断①正确；证明①AFM ①①BAD （AAS ），得出FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，得出NG =AD ，则FM =NG ，证明①FME ①①GNE （AAS ）．可得出结论①，①正确．【详解】解：①①BAF =①CAG =90°，①①BAF +①BAC =①CAG +①BAC ，即①CAF =①GAB ，又①AB =AF ，AC =AG ，①①CAF ①①GAB （SAS ），①BG =CF ，故①正确；①①F AC ①①BAG ，①①FCA =①BGA ，又①BG 与AC 所交的对顶角相等，①BG 与FC 所交角等于①GAC ，即等于90°，①BG ①CF ，故①正确；过点F 作FM ①AE 于点M ，过点G 作GN ①AE 交AE 的延长线于点N ，①①FMA =①F AB =①ADB =90°，①①F AM +①BAD =90°，①F AM +①AFM =90°，①①BAD =①AFM ，又①AF =AB ，①①AFM ①①BAD （AAS ），①FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，①NG =AD ，,AN CD =①FM =NG ，①FM ①AE ，NG ①AE ，①①FME =①ENG =90°，①①AEF =①NEG ，①①FME ①①GNE （AAS ）．①,EM EN = EF =EG ．故①正确．222,BD DC BC AM AN AM ME AE ∴+==+=+=故①正确故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）A．B ．C ．72 D ．4【答案】D【分析】 做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：①,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形①6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠①CD AB ⊥①90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又①135ACB ∠=︒①135ACE BCF ∠+∠=︒①36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒①四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍） ①CD 的长为4．【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键． 10．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（ ）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】 如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可． 【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD ∠=∠，∴ABD △为等腰三角形，∴ACE 为等腰三角形，CAE BAD ∠=∠，BAC α∠=，302BAD α-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE ∴为等边三角形，,DE AE CE ∴==∴DCE 为等腰三角形，延长CE 交AD 于F 点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECA DEF ECD EDC AED AEF DEFACE DCEACE DCE ACD ACD AED ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C ．【点睛】 本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，在等腰①ABC 中，AB=AC ，①BAC=120°，点D 是线段BC 上一点，①ADC=90°，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①①APO=①ACO ；①①APO+①DCO=30°；①AC=AO+AP ；①PO=PC ，其中正确的有______．【答案】①①①①【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB=AC，AD①BC，①BO=CO，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC +①CAP =180°，①BAC =120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是________．【答案】【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP①AH时，PB有最小值，即可求解．【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，①四边形ABCD是矩形，①AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，①点E是AB中点，点H是CD中点，①CH＝AE＝DH＝BE＝4，①四边形AECH是平行四边形，①AH//CE，①点P是DF的中点，点H是CD的中点，①PH//EC，①点P在AH上，①当BP①AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，①AD＝DH＝CH＝BC＝4，①①DHA＝①DAH＝①CBH＝①CHB＝45°，AH＝BH＝①①AHB＝90°，①BP的最小值为故答案为【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．13．如图，在ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足2=，3AE BE=，CD AD过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．【答案】525【分析】连接AO ，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【详解】如图，连接AO ，①CD =3AD ，①AD ：CD =1：3， ①13ADF CDF S S =△△，13ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ①12CDF S =△，①4ADF S =△，16ACF S =△，①AF ①BC ，①16ABF ACF S S ==△△，①12ABD S =，①36CBD S =△，48ABC S =△，①AE =2BE ，①BE ：AE =1：2，①2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，①32AEC S =△，16BEC S =△，①()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ①123COD COD BOC S S S +=△△△，即423COD BOC S S =△△， ①:3:2COD BOC S S =△△，①36BCD BOC COD S S S =+=△△△， ①1085COD S =△， ①S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-=△△． 故答案为：525． 【点睛】 本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．14．已知①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC=①DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE 、BE ，点F 和G 分别为DE 和BE 的中点，连接FG ，在①ADE 旋转过程中，当D 、E 、C 三点共线时，线段FG 的长为_______．【分析】分两种情况画出图形，如图1，连接BD ，证明①ADB ①①AEC ，求得①BDC =90°，在Rt ①BDC 中利用勾股定理求出BD 长度，最后利用三角形中位线性质求解FG 长度，如图2，同理可求出BD 的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，连接BD ，①①BAD =90°-①BAE ，①CAE =90°-①BAE ，①①BAD =①CAE ．在①ADB 和①AEC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝①①ADB ①①AEC （SAS ）．①BD =CE ，①ADB =①AEC =135°，①①BDC =135°-45°=90°．①①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，AB =6，AD =4，①DE =42，BC =62． 设BD =x ，则DC =42+x ，在Rt ①BDC 中，利用勾股定理BD 2+DC 2=BC 2，①x 2+（42+x ）2=72，解得x 1=-22-27（舍去），x 2=-22+27．①点F 、G 分别为DE 、BE 的中点，①FG =12BD =-2+7．如图2，同理，设BD =CE =a ，在Rt ①BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，①a 2+(a −42)2=72，解得a =22-27（舍去），a =22+27，①FG =12BD =2+7，故答案为：72±．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．15．如图， ABCD 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将①PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．【答案】8)或(8) 【分析】 先求出直线AD 的教师式为24y x =--，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt ①M NP '中，由勾股定理可求M N '=Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O '，所以x =855x ，则P ，8)；当M '在x 轴正半轴时，同理可得，x -x =(P 8)． 【详解】解：设AD 的直线教师式为y kx b =+，将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 24y x ∴=--，(0,4)G ∴-，点P 是CD 边上，//CD x 轴，设(,8)P m ， //GM y 轴，(,4)M m ∴-，12PM ∴=，8PN =，当M '在x 轴负半轴时，如图，由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，12PM '∴=，在Rt ①M NP '中，M N '在Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，M O '∴=∴x = 解得855x，P ∴，8)； 当M '在x 轴正半轴时，如图，同理可得，x -+=解得x =(P ∴8)；综上所述：P 点坐标为8)或(8)，故答案为8)或(8)．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．16．如图，矩形ABCD的边AB＝112，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．【答案】2.5【分析】过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，由“AAS”可证①GEH①①FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，①四边形ABCD是矩形，AB＝112，BC＝3，①①B＝90°，CD＝112，AD＝3，①AE＝1，①BE＝92，①①GHE＝①A＝①GEF＝90°，①①GEH+①EGH＝90°，①GEH+①FEA＝90°，①①EGH ＝①FEA ，又①GE ＝EF ，①①GEH ①①EF A （AAS ），①GH ＝AE ＝1，①点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，①当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，①CG 2.5， 故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG ＝则四边形BCDG 的面积为 _____．【答案】【分析】过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ，先证明①ABD 为等边三角形，AED DFB △≌△求得60BGD ∠=︒，证明①CBM ①①CDN ， 所以S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，CG 是NGB ∠的角平分线，进而求得CGM S △，根据S 四边形BCDG =S 四边形CMGN 即可求得四边形BCDG 的面积．【详解】如图，过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ．四边形ABCD 是菱形AB AD DC BC ∴===，A BDC ∠=∠AB BD =AB BD DA ∴==ABC ∴是等边三角形60A ∴∠=︒60BDC A ∴∠=∠=︒BCD ∴△是等边三角形60BCD ∴∠=︒，BC CD =,AE DF AD BD ==∴AED DFB △≌△ADE DBF ∴∠=∠60BGE BDG FBD BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒180********BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒12060180BGD BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒180CBM CDG ∴∠+∠=︒180CDG CDN ∠+∠=︒CDN CBM ∴∠=∠,CN DN CM BM ⊥⊥90CND CMB ∴∠=∠=︒又CD CB =CDN CBM ∴△≌△CN CM ∴=CG ∴是NGB ∠的角平分线1602CGM DGB ∴∠=∠=︒ 12CGM S GM CG ∴=⨯△ ①CBM ①①CDN ，S 四边形CMGN =CGM CDG BMC CGM CDG DNC S S S S S S ++=++=△△△△△△2S ①CMG ，①①CGM =60°，30MCG ∴∠=︒①GM =12CG ，CM ∴===①S 四边形CMGN =2S ①CMG =2×12×12CG 2，2CG =∴ S 四边形CMGN =故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明60CGM ∠=︒是解题的关键．18．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE ，BF 交于点P ，过点P 作PM①CD交BC 于M 点，PN①BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①①ABE①①BCF ；①AE ＝BF ；①AE①BF ；①线段MN 1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）【答案】①①①①【分析】由正方形的性质及F ，E 以相同的速度运动，利用SAS 证明①ABE ①①BCF ，得到AE =BF ，①BAE =①CBF ，再根据①CBF +①ABP =90°，可得①BAE +①ABP =90°，进而得到AE ①BF ，根据点P 在运动中保持①APB =90°，可得点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，根据勾股定理，求出CH 的长度，再求出PH 的长度，即可求出线段CP 的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN ．【详解】解：①动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动，①DF =CE ，①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =CD =2，①ABC =①BCD =90°，①CF =BE ，①①ABE ①①BCF （SAS ），故①正确；①AE =BF ，①BAE =①CBF ，故①正确；①①CBF +①ABP =90°，①①BAE +①ABP =90°，①①APB =90°，即AE ①BF ，故①正确；①点P 在运动中始终保持①APB =90°，①点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，如图，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt ①BCH 中，CH①PH =12AB =1，①CP =CH -PH 1，①PM ①CD ，PN ①BC ，①四边形PMCN 是平行四边形，①①BCD =90°，①四边形PMCN 是矩形，①MN =CP 1，即线段MN 1，故①正确．故答案为：①①①①．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明①ABE ①①BCF ．19．如图，A 在正方形CDBG 的边BD 的延长线上，且知AD BD =，E 在CD 上，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ．有以下结论：①AE EF =①45EAB EFB ∠+∠=︒①BC CE CF =+①CF ．其中，正确的结论有______．（填序号）【答案】①①①【分析】根据正方形性质得到①CBD =45°，进而得到①F AB +①AFB =135°，根据三角形性质即可得到①EAB +①EFB =45°，判断①正确；连接BE ，先证明AE =BE ，得到①EAB =①EBA ，根据①EAB+①EFB=45°证明EF=EB，即可判断①正确；作EH①BF，得到BC= FC+2CH，根据①CHE为等腰直角三角形得到CE，即可得到BC=FC，即可判断①错误；证明BC=，根据BC=FC得到FC=，即可得到①正确．【详解】解：①四边形CDBG为正方形，①①CBD=1①DBG=45°，2①①F AB+①AFB=135°，即①EAF+①AFE+①EAB+①EFB=135°，①EF①AE，①①AEF=90°，①①EAF+①AFE=90°，①①EAB+①EFB=45°，故①正确；连接BE，①四边形CDBG为正方形，①DE①AB，①AD=BD，①AE=BE，①①EAB=①EBA，①①EAB+①EFB=45°，①EBD+①EBF=45°，①①EFB=①EBF，①EF=EB，①AE=EF，故①正确；作EH①BF，①BE=FE，①BH=FH，①BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH，①四边形CDBG为正方形，①DCG=45°，①①HCE=12①EH①BF，①CE，即CH =， ①BC = FC +2CH =FC，故①不正确；①①BCD =45°，①CDB =90°，①BC，①BC = FC，①FC)CE CD +，①FC=，故①正确．故答案为：①①①【点睛】本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当辅助线是解题关键．20．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片①ABC ，把纸片①ADC 沿AC 的方向平移得到①A′D′C′，连A′B ，D′B ，D′C ，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．【答案】平行四边形【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．【详解】解：（1）如图2中，①A ′D ′=BC ，A ′D ′①BC ，①四边形A ′BCD ′是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =2，①ABC =90°，①AC AB①BJ ①AC ，①AJ =JC ，①BJ =12AC ①①BJC =①JCH =①H =90°，①四边形BHCJ 是矩形，①BJ =CJ ，①四边形BHCJ 是正方形，①BH =CH在Rt ①BHC ″中，BH HC ，①BC ''==①四边形A ′BCD ′是平行四边形，①A ′B =CD ′，①A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，①A ′B +BD①A ′B +D ′B 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题21．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．【答案】（1）34，（2）证明见教师，（3）【分析】（1）作CF ①DB 于F ，根据勾股定理求出CF 和BF 即可；（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，可证点M 在BD 上，再证①FCM 是等腰直角三角形即可；（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，得出①GAC ①①HAF ，当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作CF ①DB 于F ，①90DCE ∠=︒，CE =CDE △都是等腰直角三角形，①20DE ，10DF CF EF ===，①点B 落在直线DE 上，26AC BC ==①24BF =，①34BE EF FB =+=；BE 的长为34．（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，由（1）得，①CDB =①CEA ，①点M 在BD 上，CF =CM ，①FCM =90°，EF =DM ，FM =，①FM DM DF EF DF =+=+；EF DF =+．（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，①ACB △是等腰直角三角形，①①ACF =45°，①AC =AF ，①①GAH =①CAF =90°，①①GAC =①HAF ，①AG =AH ，①①GAC ①①HAF ，①CG =FH ，①当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，如图所示，①①GCA =①AFC =45°，①①GCI =90°，①8AC =，4CD =， ①IC =CG =IG =【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．22．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究证明]阅读并补全证明已知：如图2，在ABC和DEF中，①B＝①E，AC＝DF，①C+①F＝180°（①C＜①F）．求证：AB＝DE．证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．①AG＝AC，①①C＝．又①①C+①F＝180°，而①AGC+①AGB＝180°，①①AGB＝．①AC＝DF，①AG＝又①①ABC①DEF（AAS）．①AB＝DE．（3）[拓展应用]在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．①过点D 作DH①BC 交直线BC 于点H ，若BC ＝4，CF ＝1，则BH ＝ （直接写出答案）．【答案】（1）不一定；（2）①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①见详解；①1或3【分析】（1）根据SSA 可知两个三角形不一定全等；（2）在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ，根据AAS 证明ABG ①DEF ，即可得到结论； （3）①过点D 作DG ①AC ，证明DGF ECF ≌，即可得到结论；①分两种情况：当点D 在线段AB 上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ；当点D 在BA 的延长线上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ，分别证明DHB EOC ≌，DHF EOF ≌，进而即可求解．【详解】解：（1）通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，故答案是：不一定；（2）证明：在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ．①AG ＝AC ，①①C ＝ ①AGC ．又①①C +①F ＝180°，而①AGC +①AGB ＝180°，①①AGB ＝ ①F ．①AC ＝DF ，①AG ＝ DF又①①B ＝①E ①ABG ①DEF （AAS ）．①AB ＝DE ．故答案是：①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①过点D 作DG ①AC ，。
2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解
专题2020分类汇编-23题专题一相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB 的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE．3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．（1）求证：AC BD AB AD；（2）求证：AC2＝2AE•AD．7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD ADDE DC=，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，∠ABE＝∠C．（1）求证：BE2＝DE•BC；（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB=．专题二相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB 的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果CF ACDE CD=，求证：22AC AFBC BF=．2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC·(1)求证：DO CO OB OA=；(2)设ΔOAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.专题三相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．（1）求证：BD2＝DE•AD；（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．2．（2019秋•闵行区期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE 于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．3．（2019秋•崇明区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．4．（2019秋•松江区期末）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．5．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．专题2020分类汇编-23题专题一相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即CE CF DE CE=∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，∴△CDE∽△CEF，∴∠D＝∠CEF．（2）如图所示：∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴CG CE AC CB=，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，∴CG AEAC CB=，即AC•AE＝CB•CG．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出AB BC DF AD=，即可得出结论；（2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BD ADAD AE=，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，求出ADF DF=AEFADEF AE=△的面积△的面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABC∽△FDA，∴AB BC DF AD=，∴AB•AD＝DF•BC；（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠CDF＝∠BAD，∵AE∥BC，∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，∴∠BAD＝∠E，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BD AD AD AE=，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，∵1ADF DF2=1AEF2AD FM ADEF AEAE FN⨯==⨯△的面积△的面积，∴BD DF DC FE=．方法二：∵∠B＝∠ADE，∠BAD＝∠CDF＝∠E，∴△ABD∽△EDA，∴AD BD AE AD=，∵DA＝DC，∴BD AD CDCD AE AE==①，又∵AE∥BC，∴△DFC∽△EFA，∴CD DFAE FE=②，由①②得：BD DF DC FE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ，∴BD GC GC DC CE CF==，∴CD •CG ＝FC •BD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2＝OB •OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC ＝BD ，AE •AF ＝AD •BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的判定与性质；梯形．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；梯形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OD OC OB =，证出OA OE OC OD=，得出AF ∥CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出BE BF BD BC =，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OD 2＝OE •OB ，∴OE OD OD OB=，∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴OA OD OC OB =∴OA OE OC OD=∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：∵AF ∥CD ，∴∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，∴BE BF BD BC =，∵BC ＝BD ，∴BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ，∴∠AED ＝∠BCD ．∵∠AEB ＝180°﹣∠AED ，∠ADC ＝180°﹣∠BCD ，∴∠AEB ＝∠ADC ．∵AE •AF ＝AD •BF ，∴AE AD BF AF=，∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF ＝CD ，∴AE AD BE DC =，∴△ABE∽△ADC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD ＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得CA CDCB CG=，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DG CGAB CB=，由平行线分线段成比例可得AE AGCB GC=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AF EFFG AF=，且∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴CA CDCB CG=，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴DG CGAB CB=，∵AE∥BC，∴AE AGCB GC=∴AG GCAE BC=，∴DG AGAB AE=，∴DG•AE＝AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：AC2＝2AE•AD．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD＝CE得到∠CED＝∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC＝∠ADB，加上∠DAC＝∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比即可得到结论．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD；∴AC CE AB AD=，∵BD＝CD＝CE，∴AC BD AB AD=；（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴AC CBCD CA=，∴AC2＝CD•CB，∵△ACE∽△BAD，∴AE CEBD AD=，∴AE•AD＝BD•CE，∴2AE•AD＝2BD•CE＝BC•CD，∴AC2＝2AE•AD．7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD ADDE DC=，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DF CFCF EF=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BD ADDE DC=，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；（2）如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴DF CFCF EF=，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△DCF∽△CEF 是本题的关键．8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠C．（1）求证：BE2＝DE•BC；（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）证明△BDE∽△CEB，推出DE BEBE BC=可得结论．（2）利用相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴∠BED＝∠CBE，又∵∠ABE＝∠C，∴△BDE∽△CEB，∴DE BE BE BC=，∴BE2＝DE•BC．（2）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C．又∠ABE＝∠C，∴∠AED＝∠ABE，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴AE AD AB AE=，∵DE∥BC，∴AD AEBD CE=，即AD BEAE CE=，∴AE BDAB CE=，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵∠ABE＝∠C，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝CE，∴BD AE BE AB=．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．专题二相似三角形之面积比【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD •DE ＝AB •BF ；（2）联结AC ，如果CF AC DE CD=，求证：22AC AF BC BF =．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．（2）由△ACF ∽△CDE ，△CDE ∽△CBF ，推出△ACF ∽△CBF ，可得2ACF 2CBF S AC S BC =△△，又△ACF 与△CBF 等高，推出ACF CBF S AF S BF =△△，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，∴∠CDE ＝∠CBF ，∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴BC CD BF DE=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，∴AD AB BF DE =，∴AD •DE ＝AB •BF ．（2）连接AC ．∵CF AC DE CD =，∴CF DE AC CD=，设1CF DE AC CD k==，∴AC ＝kCF ，CD ＝kDE ，∴AF＝•CF ，CE＝•DE ，∴AF CF AC CE DE CD==，∴△ACF ∽△CDE ，又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ，∴2ACF 2CBF S AC S BC=△△，∵△ACF 与△CBF 等高，∴ACF CBF S AF S BF=△△，∴22AC AF BC BF =．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，S △AOD =S △BOC ·(1)求证：DO CO OB OA=；(2)设ΔOAB 的面积为S，CD AB =k，求证：S 四边形ABCD =(k+1)2S.【考点】相似三角形的判定与性质，等线段替换法【专题】图形的相似；推理能力.【分析】(1)由S △AOD =S △BOC 易得S △ADB =S △ACB ，根据三角形面积公式得到点D 和点C 到AB 的距离相等，则CD//AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；(2)利用相似三角形的性质可得结论.【解答】证明：(1)S △AOD =S △BOC ，∴S △AOD +S △AOB =S △BOC +S △AOB ，即=S △ACB ∴CD//A B,∴△DOC ∽△BOA ，DO CO OB OA =(2)∵△DOC ∽△BOA ∴CD DO CO k AB BO AO ===，22COD AOB S DO k S BO==△△（∴DO=kOB ，CO=kAO ，S △ACB =k 2S ，∴S △AOD =kS △AOD =kS ，S △co B =kS △o AB =kS ，∴S 四边形ABCD =S+kS+kS+k 2S=(k+1)2S.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,证明△DOC ∽△BOA 是本题的关键。
2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题(解析版)
压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题⊥于点E，点F为圆上一点，若1．如图，AB是O的直径，CD为O的弦，且CD AB=，AD CFAE BFOE=，则BC的长为（）=，1B．C．4D．5A．【答案】A【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．利用全等三角形的性质证明AE CJ BF BH=，再利用勾股定理求出EC，BC即可．=．EH BH===，CT BH【详解】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．⊥，AB CD∴AD AC=，=，AD CF∴AC CF=，∴⊥，OC AF∴∠=∠=︒，90AJO CEO=，∠=∠，OA OCAOJ COE∴∆≅∆，AJO CEO AAS()∴=，OJ OE∴=，AE CJAB 是直径，90F CJT ∴∠=∠=︒，AE BF =，BF CJ ∴=，CTJ BTF ∠=∠，()CTJ BTF AAS ∴∆≅∆，CT BT ∴=，TH AB ⊥，CD AB ⊥，//TH CE ∴，EH BH ∴=，CF AC =，TBF TBH ∴∠=∠，90F THB ∠=∠=︒，BT BT =，()BTF BTH AAS ∴∆≅∆，BF BH ∴=，AE BF =，AE BH ∴=，OA OB =，1OE OH ∴==，2EH BH ∴==，2AE BH ∴==，6AB ∴=，3OC OB ==，EC ∴BC ∴故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点M 的横坐标为3，以M 为圆心，5为半径作M ，与y 轴交于点A 和点B ，点P 是AC 上的一动点，Q 是弦AB 上的一个动点，延长PQ 交M于点E ，运动过程中，始终保持AQP APB ∠=∠，当AP QB +的结果最大时，PE 长为（ ）A B ．C D 【答案】D【分析】根据△AQP △△APB ，确定2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，根据垂径定理计算AB =8，用AQ 的代数式表示AP +QB ，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ =2，AP =4，证明AE =AP =4，连接MA ，交PE 于点N ，根据垂径定理的推论，确定AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，用勾股定理同时表示EN 求得x ，从而求得EN ，根据PE =2EN 计算即可【详解】如图，△AQP APB ∠=∠，PAQ PAB ∠=∠，△△AQP △△APB ，△AP ：AB =AQ ：AP ，△2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，连接MA ，则AG =GB ，△点M 的横坐标为3，圆的半径为5，△MG =3，MA =5，根据勾股定理，得AG =，△AB =2AG =8，△28AP AQ =，△AP =或AP =-，△AQ =AB -QB ，△AP +QB =-AQ =28-+=210-+△AP +QB 10，△AQ =2，AP =，连接AE ，设MA 与PE 的交点为N ，△△AQP △△APB ，△△APQ =△ABP ，△△AEP =△ABP ，△△APQ =△AEP ，△AP =AE =4，AE AP =，根据垂径定理的推论，得AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，在Rt △AEN 中，222224EN AE AN x =-=-，在Rt △MEN 中，222225(5)EN ME MN x =-=--，△224x -=225(5)x --,解得x =85， △22284()5EN =-，△EN =5，△PE =2EN 故选D ．【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 中，6,9AB BC ==，以D 为圆心，3为半径作D ，E 为D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt AEF ，使90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=，则点F 与点C 的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．1D 【答案】A【分析】 如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE 由FAG EAD △△，推出::1:3FG DE AF AE ==，因为3DE =，可得1FG =，推出点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE ．△90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=， △13AF AE =， △6AB =，AG GB =，△3AG GB ==，△9AD =， △3193AG AD ==， △DAF AE AG A =，△四边形ABCD 是矩形，△90BAD B EAF ∠=∠=∠=︒，△FAG EAD ∠=∠，△FAG EAD △△，△::1:3FG DE AF AE ==，△3DE =，△1FG =，△点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，△GC△FC GC FG ≥-，△1FC ≥，△CF 的最小值为1．故选：A ．【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G 的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．4．如图，已知O 的半径为3，弦4CD =，A 为O 上一动点（点A 与点C 、D 不重合），连接AO 并延长交CD 于点E ，交O 于点B ，P 为CD 上一点，当120APB ∠=︒时，则AP BP ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】如图（见教师），先利用解直角三角形可得12FP AP =，再根据圆周角定理可得C PBD ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得CP FP BP DP=，从而可得FP BP CP DP ⋅=⋅，设CP x =，从而可得4DP x =-，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，延长BP 交O 于点F ，连接,,AF CF BD ，AB 为O 的半径，90AFB ∴∠=︒，120APB ∠=︒，18060APF APB ∴∠=︒-∠=︒，在Rt AFP △中，1cos 2FP AP APF AP =⋅∠=，即2AP FP =， 2AP BP FP BP ∴⋅=⋅，由圆周角定理得：C PBD ∠=∠，在CFP 和BDP △中，C PBD CPF BPD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， CFP BDP ∴~，CP FP BP DP∴=，即FP BP CP DP ⋅=⋅， 设,FP BP y CP x ⋅==，则4DP x =-，且04x <<，2(4)(2)4y x x x ∴=-=--+，由二次函数的性质可知，在04x <<内，当2x =时，y 取最大值，最大值为4， 即FP BP ⋅的最大值为4，则AP BP ⋅的最大值为248⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为（ ）．A ．3.5B ．2.5C ．2D ．1.2【答案】C【分析】 连接OC ，由垂径定理得OC AB ⊥，再由圆周角定理得点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直角作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，利用一次函数教师式确定(0,3)-E ，(4,0)D ，则5DE =，然后证DPH DEO ∆∆∽，利用相似比求出PH 的长，得MP 、NH 的长，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，然后计算出NED S ∆和MED S ∆得到S 的范围，即可求解．【详解】解：连接OC ，如图，点C 为弦AB 的中点，OC AB ∴⊥，90ACO ∴∠=︒，∴点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直径作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，当0x =时，3334y x =-=-，则(0,3)-E ，当0y =时，3x 304-=，解得4x =，则(4,0)D ，4OD ∴=，5DE ∴，(2,0)A ，(1,0)P ∴，1OP ∴=，3PD OD OP ∴=-=，PDH EDO ∠=∠，PHD EOD ∠=∠，DPH DEO ∴∆∆∽，::PH OE DP DE ∴=，即:33:5PH =， 解得95PH =，1415MH PH ∴=+=，415NH PH =-=， 145225NED S ∆∴=⨯⨯=，1145725MED S ∆=⨯⨯=， 设CDE ∆面积为S ，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，S ∴的范围为27S ≤≤，CDE ∴∆面积的最小值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点C 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是ABC 外一点，分别以BD ，CD 为斜边作两个等腰直角BDE 和CDF ，并使点F 落在BC 上，点E 落在ABC 的内部，连结EF ．若5tan 2FDB ∠=，则ABE △与DEF 的面积之比为（ ）A ．74B ．73C ．52D ．3【答案】B【分析】 如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．证明四边形AMNC 为矩形，△BEM △△EDN ，得到BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，得到BF =5x ，进而求出BM x =，DN ，ME FN DN ===，EN BM ==，2EF EN FN x =-=，从而求出232DEF S x =△，272ABE S x =△，问题得解．【详解】解：如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．△BDE 和CDF 都是等腰直角三角形，△△BED =△BFD =90°，BE =DE ，△DCF =△CDF =△DBE =△BDE =45°，△O 为BD 中点，△OB =OD =OE =OF =12BD ，△点E 、F 都在圆O 上，△△EFB =△EDB =45°，△△ABC 为等腰三角形，90BAC ∠=︒，△△ACB =45°，△△ACB =△EFB ，△ACD =△ACB +△BCD =90°，△MN △AC ，△△BME =△DNE =90°=△AME =90°，△△MBE +△MEB =90°，四边形AMNC 为矩形，△△BED =90°，△△DEN +△MEB =90°，△△MBE =△DEN ，△BE =DE ，△△BEM △△EDN ，△BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，△Rt△BDF 中，5tan 2FDB ∠=， △BF =5x ，△在Rt△BMF 中，252cos 522BM BF FBM xx =∠==， 在Rt△DFN 中，2cos 222DN DF FDN xx =∠==，△ME FN DN ==，EN BM x ==，△2EF EN FN x =-=，△2113222DEF S EF DN x x ==⨯=△， △CDF 是等腰直角三角形，△FND =90°， △DN CN =，△四边形AMNC 为矩形，△AM CN =，△2AB AM BM x =+=，△2117222ABE S AB ME x x ==⨯=△， △ABE △与DEF 的面积之比2273:7:322x x =． 故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形等知识，综合性较强，根据题意添加辅助线，证明点E 、F 都在圆O 上，△BEM △△EDN 是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点()12,0A -，点()0,4B ，点()4,0D -，以点A 为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C 是△A 上的一个动点，则12BC CD +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】取E （-10，0），证明△AEC △△ACD ，得到CE =12CD ，则可将BC +12CD 的最小值转化为BE 的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：△A （-12，0），B （0，4），D （-4，0），△OA =12，OD =4，则AD =8，AC =4，取E （-10，0），则AE =2，DE =6，在△AEC 和△ACD 中，△CAE =△DAC ，12AE AC AC AD ==，△△AEC△△ACD，△12CECD=，即CE=12CD，则BC+12CD=BC+CE≥BE，即BC+12CD的最小值为BE的长，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短原理，值得强调的是，本题是一类典型几何最值问题，构造“子母型相似”是解答此问题的关键．8．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当△A与直线5 :12 l y x=只有一个公共点时，点A的坐标为（）A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)± 【答案】D【分析】当△A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，则此时△A 与直线5:12l y x =相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为B ，此时B 点同时在△A 与直线5:12l y x =上，故可以表示出B 点坐标，过B 点作//BC OA ，则此时AOB OBC △∽△，利用相似三角形的性质算出OA 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接AB ，过B 点作//BC OA ，此时B 点坐标可表示为512x,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， △512OC x =，BC x =， 在Rt OBC中，1312OB x =， 又△A 半径为5，△5AB =，△//BC OA ，△AOB OBC △∽△， 则OA AB OB BO OC BC==， △51351212OA =x x ， △13OA =，△左右两侧都有相切的可能，△A点坐标为(13,0)±，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．9．如图，在Rt△AOB中，△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝AOC的圆心角为60°，点D为AC上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A B C．D．【答案】A【分析】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO△△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角△FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图△BP=2PD，BE=2OE△23 BP BE BD OB==△△DBE=△PBE △△DBO△△PBE△23 PE OD=即23 PE OD=△△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝△2OA AB==△OD OA OC===23PE =⨯=同理：EF =23OA =23EG OC == △PE =EF =EG△当点D 与点A 重合时，点P 与点F 重合；当点D 与点C 重合时，点P 与点G 重合△点P 在以点E 为圆心，FG 上运动△△AOC =60°△△COB =△AOC +△AOB =90°△△FBE △△ABO ，△BEG △△BOC△△FEB =△AOB =30°，△GEB =△COB =90°△△FEG =90°－△FEB =60°FG = 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，弧长公式等知识，难点和关键在于点P 的运动路径的探寻，有一定的难度．10．如图，在等边三角形ABC 的AC ，BC 边上分别任取一点P ，Q ，且AP ＝CQ ，AQ 、BP相交于点O ．下列四个结论：△若PC ＝2AP ，则BO ＝6OP ；△若BC ＝8，BP ＝7，则PC ＝5；△AP 2＝OP•AQ ；△若AB ＝3，则OC ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B【分析】 △根据等边三角形的性质得到AC =BC ，根据线段的和差得到CP =BQ ，过P 作PD △BC 交AQ于D，根据相似三角形的性质得到△正确；△过B作BE△AC于E，解直角三角形得到△错误；△根据全等三角形的性质得到△ABP=△CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形的性质即可求出结果．【详解】解：△△△ABC是等边三角形，△AC=BC，△AP=CQ，△CP=BQ，△PC=2AP，△BQ=2CQ，如图，过P作PD△BC交AQ于D，△△ADP△△AQC，△POD△△BOQ，△13PD APCQ AC==，PD OPBQ BO=，△CQ=3PD，△BQ=6PD，△BO=6OP；故△正确；△过B作BE△AC于E，则142CE AC==，△△C=60°，△BE=△1PE==，△PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故△错误；△在等边△ABC中，AB=AC，△BAC=△C=60°，在△ABP与△CAQ中，△AB＝AC，△BAP＝△C，AP＝CQ △△ABP△△ACQ（SAS），△△ABP=△CAQ，PB=AQ，△△APO=△BP A，△△APD△△BP A，△AP OP PB AP=，△2AP OP PB=，△2AP OP AQ=，故△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，△△NAB=△NBA=60°，NA=NB，△△PBA=△QAC，△△NAO+△NBO=△NAB+△BAQ+△NBA+△PBA=60°+△BAQ+60°+△QAC=120°+△BAC=180°，△点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，△NA=NB，CA=CB，△CN垂直平分AB，△△MAD=△ACM=30°，△△MAC=△MAD+△BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，△tan2MA AC ACM CM AM=∠===△'MO MA==即CO△正确．综上：正确的有△△△．故选：B．【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是___．【答案】15582AD ≤< 【分析】首先由Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，可求得AB 的长，然后根据题意画出图形，分别从当D 与BC 相切时与当D 与BC 相交时，去分析求解即可求得答案．【详解】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴==，以D 为圆心，AD 的长为半径画D ，△如图1，当D 与BC 相切时，DE BC ⊥时，设AD x =，则==DE AD x ，5BDAB AD x ，90BED C ∠=∠=︒，B 是公共角， BDE BAC ∴∆∆∽， ∴BD DE AB AC=， 即553x x -=，解得：158x=；△如图2，当D与BC相交时，若交点为B或C，则1522 AD AB==，AD∴的取值范围是155 82AD≤<．故答案为：155 82AD≤<．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．12．如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，△BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：△点F是△ABC的内心；△PD△AB；△AF＝AE；△DF2＝DE•CD，其中正确结论的序号是______．【答案】△△△【分析】根据圆周角定理得到△ACD＝△BCD，则可根据三角形内心的定义对△进行判断；连接OD，如图，利用切线的性质得到OD△PD，利用垂径定理得到OD△AB，则可对△进行判断；利用三角形外角性质得到△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，由于只有当△BAC＝2△B时AF＝AE，于是可对△进行判断；先证明△DAF＝△DF A得到DF＝DA，再证明△DAE△△CAD，利用相似比可对△进行判断．【详解】解：△D是弧AB的中点，即AD BD=，△△ACD＝△BCD，△CE平分△CAB，△AF平分△BAC，△点F是△ABC的内心，所以△正确；连接OD，如图，△PD为△O的切线，△OD△PD，△D是弧AB的中点，△OD△AB，△PD△AB，所以△正确；△△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，△BAC，而△1＝△2，△3＝12△只有当△BAC＝2△B时，△AFE＝△AEF，此时AF＝AE，所以△不一定正确；△△DAF＝△DAB+△BAF＝△2+△3＝△1+△3＝△DF A，△DF＝DA，△△DAB＝△1，△ADE＝△CDA，△△DAE△△DCA，△DA：DC＝DE：DA，△DA2＝DE•DC，△DF2＝DE•DC，所以△正确．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的内心和切线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限通近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP则CG 的长为________．【答案】【分析】设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，于是得到3603012COG ︒∠==︒，由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，推出AHP ∆是等腰直角三角形，得到AH ==求得4sin 60AH AF ==︒，得到圆的半径，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，解直角三角形OCG 即可得到CG ．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，则3603012COG ︒∠==︒， 由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，90AHF ∴∠=︒，30FAH ∴∠=︒，45HAP ∴∠=︒，AHP ∴∆是等腰直角三角形，AH AP ∴==4sin 60AH AF ∴==︒， 4OC AF ∴==，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，△GQ =12OG =2，△OQ△QC =OC -OQ=4-△CG ，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．14．如图，矩形ABCD 中，点E 在AD 上，过点E 作EF BE ⊥交CD 于F ，且10BC BE ==，FC FE =5=，点M 是线段CF 上的动点，连接BM ，过点E 作BM 的垂线交BC 于点N ，垂足为H ．以下结论：△FED EBA ∠=∠；△6AE =；△··AE ED CD DF =；△连接CH ，则CH 的5；其中正确的结论是_________．（所有正确结论的序号都填上）．【答案】△△△△【分析】根据△FED +△AEB =90°、△EBA +△AEB =90°可判断△；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，利用相似三角形的性质，EO ，FO ，BF 均可求解，设DF 为x ，DC =5+x ，DE Rt △EGC 中，利用勾股定理可以建立关于x 的方程，求出x ，图形中的定线段长均可求解，可判断△；利用三角形相似可判断△；由EN △BM ，BE =10可判断点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，在△IHC 中，CH ≥CI -IH ，即可求出CH 的最小值．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△A =△D =90°△△EBA +△AEB =90°△EF BE ⊥，即，△BEF =90°△△FED +△AEB =90°△FED EBA ∠=∠，故△正确；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，BF ==△△BEF =90°，即△FEO +△BEO =90°又90FBE BEO ∠+∠=︒△△FBE =△FEO又△EFO =△BFE△BFE EFO ∆∆△FE BFFO FE=，即：2EF FO BF ===△BO ==△EO 2EC EO ==设DF 为x ，DC =5+x ，DE过E 作EG △BC ，则四边形EGCD 是矩形，△EG =DC =DF +FC =5+x ，GC =DE =在Rt △EGC 中，EG 2+GC 2=EC 2，即222(5)x ++=，解得x =3，经检验：x =3是原方程的根，△DF =3△DC =5+3=8，4DE =，△AE =10-4=6，故△正确； △35AE DF AB ED ==， △△ABE △△DEF ，△AB =CD ，△AE DF CD ED=，即AE •ED =CD •DF ，△正确； △EN △BM ，BE =10，△点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，过I 作IT △DC 于T ，CI =在△IHC 中，5CH CI IH ≥-=，△正确．故答案为：△△△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定好性质以及三角形相似，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，明确点H 的运动轨迹是解题的关键．15．如图，点O 是三角形ABC 内的一点，4,45OA OB OC BAC ===∠=︒，已知2AOC AOB S S -=，则BOC ∠=___________，ABC S =___________．【答案】90︒ 8【分析】（1）由已知，三角形ABC 的外接圆的圆心为O ，根据圆周角定理可求△BOC 度数；（2）三角形OBC 的面积可求，只需求出三角形OAB 和三角形OAC 的面积即可求出三角形ABC 的面积；为此，延长AO 交三角形ABC 的外接圆于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，求出BM +CN 的长即可．【详解】解：（1）△OA =OB =OC =4，△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，如图所示．BC BC =∵，224590BOC BAC ==⨯=∴∠∠．故答案为：90（2）延长AO 交O 于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，如图所示．2AOC AOB S S -=△△∵，11222OA CN OA BM -=∴． ()122OA CN BM -=∴． 4OA =∵，1CN BM -=∴．+90+90BOM CON CON OCN ==∵∠∠，∠∠， =BOM OCN ∴∠∠．在BOM 和OCN 中，==90BOM OCN BMO ONC OB CO ∠∠⎧⎪∠∠=⎨⎪=⎩()BOM OCN AAS ≅∴△△．OM CN =∴．在Rt OBM 中，2222416BM OM OB +===∵，2216BM CN +=∴．△CN -BM =1，△设BM =x ，则CN =x +1．()22116x x ++=∴．整理得，222150x x +-=．解得，12x x ==（不合题意，舍去）x =∴2121BM CN x +=+==∴ ABC AOC AOB BOC S S S S =++△△△△∴111222OA CN OA BM OB OC =++ ()1122OA CN BM OB OC =++ 114422=⨯⨯⨯8=．故答案为：8【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识点，熟知上述知识点、根据题目特征，构造三角形的外接圆是解决第（1）问的基础；构造AOC △和AOB 底边OA 上的高是解决第（2）问的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）△AE BC =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．【答案】△△△【分析】△根据线段垂直平分线定理，BE 为O 的直径，BC 为O 的弦，即可得出结论； △根据段垂直平分线得出△A +△AED =90°，再证△A +△ABC =90°，等量代换即可； △根据已知条件先得出△EBC 的度数，再利用圆周角定理得△EOC =2△EBC ，根据弧长公式计算即可；△根据角角相似证明△EFD △△BFE 即可得出结论；△先根据勾股定理得出BF 的长，再根据等面积法得出ED ，根据角角相似证明Rt △ADE △Rt △ACB ，得出AD AE AC AB =，即可计算出结果． 【详解】解:△△DE 是AB 的垂直平分线△AE BE =BE 为O 的直径，BC 为O 的弦BE BC ∴>AE BC ∴>．故△不正确．△△DE 是AB 的垂直平分线△DE △AB△△A +△AED =90°△90C ∠=︒△△A +△ABC =90°△AED CBD ∠=∠故△正确．△连接OD40DBE ∠=︒280EOD EBD ∴∠=∠=︒8BE =142OE OB BE ∴=== DE ∴的长为801641809ππ⋅=． 故△错误．△△DE △AB ，E F 是O 的切线△△FEB =△EDF =90°又△EFD =△EFD△△EFD △△BFE △DF EF EF BF=． 故△正确．△△6EF =，8BE =△BF10== △1122EF BE BF ED ⋅=⋅ △68 4.810ED ⨯== 在Rt △EDB 中，6.4BD ==，△DE 是AB 的垂直平分线，△ 6.4AD DB ==，AE =BE =8，△在Rt △ADE 和Rt △ACB 中，△A =△A ，△ADE =△ACB =90°△Rt △ADE △Rt △ACB △AD AE AC AB = △6.4812.8AC = △AC =10.24又AE =BE =8△CE =AC -AE =10.24-8=2.24．故△正确．综上所述：正确的有△△△．故答案为：△△△．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键17．如图，Rt ABC 中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，延长BC 到点D ，使BD BA =，点O 是BC 边上一动点．点P 在射线BA 上，且OP OB =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，连接OP ．（1）当OC 长为________时，AB 与O 相切；（2）当O 恰好经过点B 时，点Q 在O 上运动，连接PQ ，点M 为PQ 的中点，连接AM ，则AM 长的取值范围是________．【答案】74AM ≤≤ 【分析】 （1）设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，先根据圆的切线的性质可得OE AB ⊥，再利用勾股定理可得10BD AB ==，从而可得2CD =，然后设(0)OC x x =>，从而可得8,2OB x OE x =-=+，最后在Rt BOE △中，解直角三角形即可得；（2）过点O 作OG AB ⊥于点G ，先利用圆的性质、解直角三角形求出,,OB OP OG 的长，再设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，根据三角形中位线定理可得1522MN OQ ==，从而可得点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，然后利用点与圆的位置关系即可得．【详解】解：（1）如图，设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，则OE AB ⊥，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10AB ∴=，BD AB =，10BD ∴=，2CD BD BC =-=，设(0)OC x x =>，则8,2OB x OE OD x =-==+，在Rt ABC 中，63sin 105AC B AB ===， 在Rt BOE △中，sin OE B OB =，即2385x x +=-， 解得74x =， 经检验：74x =是原方程的根，且符合题意， 即74OC =， 故答案为：74； （2）如图，过点O 作OG AB ⊥于点G ， O 恰好经过点B ，BD ∴为O 的直径，152OQ OB OP BD ∴====， 在Rt BOG △中，sin 3355OG OB B =⋅==⨯，4BG ∴，,O OG AB B OP ⊥=，4PG BG ∴==，2AP AB BG PG ∴=--=，设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，点M 为PQ 的中点，1522MN OQ ∴==， ∴点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，如图，连接AN ，交N 于点F ，延长AN 交N 于点M ，则AM 即为所求的最大值，AF 即为所求的最小值，,NE AB OG AB ⊥⊥，//NE OG ∴， 又点N 为OP 的中点，131,2222EN OG EP PG ∴====， 224AE AP EP ∴=+=+=，在Rt AEN △中，AN = 52FN MN ==，AM AN MN ∴=+=AF AN FN =-=则AM AM ≤≤AM ≤≤【点睛】本题考查了圆的切线的性质、点与圆的位置关系、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出点M 的运动轨迹是解题关键．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且3BE =，以点A 为圆心，3为半径的圆分别交AB 、AD 于点F 、G ，DF 与AE 交于点H ．并与A 交于点K ，连结HG 、CH ．给出下列四个结论．（1）H 是FK 的中点；（2）HGD HEC ≌；（3）916AHG DHC S S =△△：∶；（4）75DK =，其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性质可证明DAF ABE △≌△，则可推出90AHF ∠=︒，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由三角形面积计算公式求出125AH =，再利用矩形的判定与性质证得MG NE =，并根据相似三角形的判定与性质分别求出4825MH =，5225NH =，则最后利用锐角三角函数证明MGH HEN ∠≠∠，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得3625AM =，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论2DK DF FH =-并由勾股定理求出FH ，再求得DK ，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是正方形，△4AD AB ==，90DAF ABE ∠=∠=︒．又△3AF BE ==，△DAF ABE △≌△．△AFD BEA ∠=∠．△90BEA BAE ∠+∠=︒，△90AFD BAE ∠+∠=︒，△90AHF ∠=︒，△AH FK ⊥，△FH KH =，即H 是FK 的中点；故结论（1）正确；（2）过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由（1）得AH FK ⊥，则1122AD AF DF AH ⋅=⋅．△5DF ==， △125AH =． △四边形ABCD 是正方形，//MN AB ，△90DAB ABC AMN ∠=∠=∠=︒．△四边形ABNM 是矩形．△4MN AB ==，AM BN =．△AG BE =，△AG AM BE BN -=-．即MG NE =．△//AD BC ，△MAH AEB ∠=∠．△90ABE AMN ∠=∠=︒，△MAH BEA ． △AH MH AE AB=． 即12554MH =． 解得4825MH =． 则52425NH MH =-=． △tan MH MGH MG ∠=，tan NH HEN NE∠=．△MG NE =，MH NH ≠， △MG NE MH NH≠． △MGH HEN ∠≠∠．△DGH CEH ∠≠∠．△HGD △与HEC △不全等，故结论（2）错误；（3）△MAH BEA ， △AH AM AE BE =． 即12553AM =． 解得3625AM =． 由（2）得12AHG S MH AG =⋅，()12DHC S DC AD AM =⋅-． △()48392536164425AHG DHC S MH AG S DC AD AM ⨯⋅===⋅-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H 是FK 的中点，△2DK DF FH =-． 由勾股定理得95FH ===． △975255DK =-⨯=；故结论（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD 中，6AD =，60C ∠=°，连接,BD BD AB ⊥且BD CD =，求四边形ABCD 面积的最大值．小明过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，连接DH ，则AHD ∠的正弦值为______，据此可得四边形ABCD 面积的最大值为______．【分析】答题空1：先证BCD △是等边三角形，再求9030HBC CBD ∠=∠=︒°-，那么在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH ∠==，在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=，即可得到tan AHD ∠值，则可求得sin AHD ∠的 值；答题空2:通过//HC BD ，得到BCD BHD S S =△△，进而求得()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD AD ===⋅四边形边上的高，即：求ABCD S 四边形最大值，则是求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，设半径为R ，求得OE 与R 的长，''H E OH OE R OE =+=+，当'H 与H 重合时，AD 边上高最长，ADH S △最大，即可求得答案．【详解】解：答题空1：△CH AB ⊥，BD AB ⊥△//HC BD△60BCD ∠=︒，BD CD =△BCD △是等边三角形△60CBD ∠=︒ △BD AB ⊥△9030HBC CBD ∠=∠=︒°-在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH∠==在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=△tanBD BC AHD BH BH ∠==△sin AHD ∠= 答题空2:△//HC BD△BCD BHD S S =△△ △()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S SS S S S AD AD ===⋅四边形边上的高求ABCD S 四边形最大值，即求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．△tan AHD ∠=，6AD = △可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，设半径为R△AOD ∠与AHD ∠分别为同弧所对圆心角、圆周角△AOD ∠=2AHD ∠△OE AD ⊥,6AD =△AOE ∠=12AOD ∠=AHD ∠，132AE AD ==△3tan tan =AE AOE AHD OE OE ∠=∠=即得OE =△R OA ===连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，则''H E OH OE R OE =+=+=当'H 与H 重合时，ADH S △最大 △11++='=622ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD H E ===⋅⨯⨯⎝⎭△△△△△四边形【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形和三角形外接圆的应用，解题的关键是学会通过添加常用辅助线，构造直角三角形和圆解决问题，属于中考压轴题型．20．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：△AP PF =；△DE BF EF +=；△PB PD -=；△AEF S为定值；△APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】△△△△【分析】由题意易得△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，对于△：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得△AFP =△ABD =45°，则问题可判定；对于△：把△AED 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则有DE =BH ，△DAE =△BAH ，然后易得△AEF △△AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于△：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证△AOP △△ABF ，进而问题可求解；对于△：过点A 作AN △EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于△由△可得AP AF =进而可得△APG △△AFE ，然后可得相似比为AP AF =似比的关系可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，△△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，△△180ABC APF ∠+∠=︒，△由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，△点A、B、F、P四点共圆，△△AFP=△ABD=45°，△△APF是等腰直角三角形，△AP PF=，故△正确；△把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：△DE=BH，△DAE=△BAH，△HAE=90°，AH=AE，△45∠=∠=︒，HAF EAF△AF=AF，△△AEF△△AHF（SAS），△HF=EF，△HF BH BF=+，△DE BF EF+=，故△正确；△连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：△点O是对角线BD的中点，⊥，△OB=OD，BD AC△OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，△AB，由△可得点A、B、F、P四点共圆，△APO AFB∠=∠，△90ABF AOP ∠=∠=︒，△△AOP △△ABF ，△OP OA AP BF AB AF ===，△OP =， △2BP DP BP BM PM OP -=-==，△PB PD -=，故△正确； △过点A 作AN △EF 于点N ，如图所示：由△可得△AFB =△AFN ，△△ABF =△ANF =90°，AF =AF ， △△ABF △△ANF （AAS ），△AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值， △点P 在线段OD 上，△EF 的长不可能为定值，故△错误； △由△可得AP AF = △△AFB =△AFN =△APG ，△F AE =△P AG ， △△APG △△AFE ，△GP AP EF AF ==△212AGP AEF S S ==⎝⎭， △12AGP AEF S S =，△APG PEFG S S =四边形，故△正确；综上所述：以上结论正确的有△△△△； 故答案为△△△△． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题21．在ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ．（1）如图△，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若66ABC ∠=︒，求ACM ∠；（2）如图△，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE EC =； （3）如图△，在（1）（2）的条件下，若3tan 4A =，求:ADE ACM S S △△的值． 【答案】（1）见教师；（2）见教师；（3）45【分析】（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明()EDO ECO SAS ∆≅∆，则DE CE =，得到A ADE ∠=∠，即可求解；（3）设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，由AMH ABC ∆∆∽，得到21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯=，同理可得：21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，即可求解． 【详解】解：（1）由题意知，BC BM =，。
2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)
压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（二）（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣10B．﹣12C．﹣14D．﹣16【答案】D【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明⊥AOB⊥⊥BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【详解】解：⊥当x=0时，y=2x+8=8，⊥A（0，8），⊥OA=8；⊥当y=0时，y=2x+8=0，⊥x=-4，⊥B（-4，0），⊥OB=4；过点C作CE⊥x轴于E，⊥四边形ABCD矩形，⊥⊥ABC=90°，⊥⊥CBE+⊥ABO=90°，⊥BAO+⊥ABO=90°，⊥⊥CBE=⊥BAO．⊥⊥BEC=⊥AOB=90°，⊥⊥AOB⊥⊥BEC，⊥CE BE BC OB OA AB==，⊥AB=2BC，⊥1482CE BE ==， ⊥OE =2，BE =4，⊥C 点坐标为（-8，2），⊥点C 在反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上， ⊥k =-8×2=-16．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数教师式、矩形的性质，以及三角形相似的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．2．如图，在等腰AOB 中，AO AB =，点A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图象上的一点，点B 在x 轴正半轴上，过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，若BCD △的面积为2，则k 的值为（ ）A ．20B ．503C ．16D ．403【答案】A【分析】 过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，利用等腰三角形性质可得12OF FB OB ==，再由//AF BC ，可得ADE BDC ∆∆∽，2BC EF =，设OF a =，则2=OB a ，可得24AF BC EF ==，3AE EF =，应用相似三角形性质及三角形面积可由BCD ∆的面积为2，求得AOF ∆的面积，应用||k 的几何意义求k ．【详解】解：如图，过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，OA AB =，AF OB ⊥，12OF FB OB ∴==， BC OB ⊥，//AF BC ∴，ADE BDC ∴∆∆∽，12OE EF OF OC BC OB ===， 2BC EF ∴=， 设OF a =，则2=OB a ，(,)k A a a∴，(2,)2k C a a ， k AF a ∴=，2k BC a=， 24AF BC EF ∴==，3AE AF EF EF =-=，ADE BDC ∆∆∽， ∴3322DE AE EF DC BC EF ===， ∴29()4ADE BDC S AE S BC ∆∆==， BCD ∆的面积为2，92ADE S ∆∴=， ∴35DE EC =， 12OE OC =， EC OE ∴=， ∴35DE OE =， ∴35ADE AOE S S ∆∆=， 152AOE S ∆∴=， 4433AF EF AE EF ==， ∴43AOF AOE S AF S AE ∆∆==，441510332AOF AOE S S ∆∆∴==⨯=， ∴1102k =， 0k >，20k ∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、三角形面积以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和相似三角形的性质． 3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝10，在BC 边上取一点E ，连接AE 、DE ，使得DE ＝AD ，H 为AE 中点，连接DH ，在DE 上取一点F ，连接AF ，将⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，且GF⊥AD 于M ，连接GD ，若AE ＝F 到直线DG 的距离为（ ）A ．BCD 【答案】B【分析】 根据三线合一得出DH AE ⊥，根据矩形的性质及同角的余角相等易证ABE DHA △△，然后根据相似三角形的性质即可求得BE 的值，根据勾股定理可求得AB 的值；过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形，易证DMF DPE △△，再根据相似三角形的性质可设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x ，根据折叠的性质可得105GF EF x ==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-，然后根据勾股定理即可求得x 的值，最后根据面积公式即可得出答案．【详解】解：AD DE =，H 是AE 的中点DH AE ∴⊥四边形ABCD 为矩形90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADH ∠+∠=︒BAE HDA ∴∠=∠90B AHD ∠=∠=︒ABE DHA ∴△△BE AE HA AD∴= 111022AD AH AE ===⨯=，AE =4BE ∴=8AB ∴==，1046EC BC BE =-=-=过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形8PE AB ∴==，6PD EC ==GF AD ⊥90DMF DPE ∴∠=∠=︒MDF PDE ∠=∠DMF DPE ∴△△6384DM PD MF PE ∴=== 设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，105GF EF x ∴==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-在Rt AMG 中，222AM MG AG +=即()()(222103109x x -+-=解得：2x =（舍去）或23x = 32MD x ∴==，201053GF x =-=，1094MG x =-=GD ∴=设F 到GD 的距离是h ，根据面积公式得S ⊥GFD =1122GF MD GD h ⋅=⋅ 12012232∴⨯⨯=⨯h ∴=故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键．4．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，0），D 为AO 上一点，连接BD ，CD ，OB ，CD 与OB 相交于点E ，取EC 的三等分点F （EF ＞FC ），连接OF 并延长，交BC 于点G ，已知S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点，则k 的值为（ ）A ．25BCD 【答案】A【分析】过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，设CN =a ，GN =b ，根据相似三角形的性质表示出D 点坐标，根据反比例性质列方程，求出a 、b 值即可．【详解】解：过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，⊥S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，⊥OD :BC =2:3，⊥OA ⊥BC ，⊥⊥ODE ⊥⊥BCE ，⊥AOC =⊥GCN ， ⊥23DE OD EC BC ==， ⊥OC =BC =3，⊥OD =2，⊥EC 的三等分点为点F （EF ＞FC ）， ⊥14FC DF =， 同理，14GC OD =，CG =12 ⊥⊥AOC =⊥GCN ，⊥DMO =⊥GNC =90°，⊥⊥ODM ⊥⊥CGN ， ⊥14GN GC CN DM OD OM ===， 设CN =a ，GN =b ，则OM =4a ，DM =4b ，⊥反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点， ⊥4a ×4b =(a +3)b ，解得，15a =，GN =则k 的值为：1(3)5+， 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是通过设参数，根据相似三角形性质表示点的坐标，依据反比例函数性质列方程．5．如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且12AF FB =，CE⊥DF ，垂足为点M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝12BC ，连接CM ．有如下结论：⊥AE＝BF ；⊥AN；⊥⊥ADF ＝⊥GMF ；⊥S ⊥ANF ＝19S ⊥ABC ，上述结论中，正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥【答案】C【分析】 ⊥正确．证明⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），即可判断．⊥正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．⊥正确．作GH ⊥CE 于H ，设AF ＝DE ＝a ，BF ＝2a ，则AB ＝CD ＝BC ＝3a ，ECa ，通过计算证明MH ＝CH 即可解决问题．⊥错误．设⊥ANF的面积为m ，由AF ⊥CD ，推出13AF FN CD DN ==，⊥AFN ⊥⊥CDN ，推出⊥ADN 的面积为3m ，⊥DCN 的面积为9m ，推出⊥ADC 的面积＝⊥ABC 的面积＝12m ，由此即可判断．【详解】⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ＝CD ＝BC ，⊥CDE ＝⊥DAF ＝90°，⊥CE ⊥DF ，⊥⊥DCE +⊥CDF ＝⊥ADF +⊥CDF ＝90°，⊥⊥ADF ＝⊥DCE ，在⊥ADF 与⊥DCE 中，DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），⊥DE ＝AF ，⊥AD ﹣DE ＝BC ﹣AF ，即AE ＝BF ，故⊥正确；⊥AB ⊥CD ，⊥AF AN CD CN=，⊥AF：FB＝1：2，⊥AF：AB＝AF：CD＝1：3，⊥13 ANCN=，⊥14 ANAC=，⊥AC，⊥AN＝4AD；故⊥正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC a，由⊥CMD⊥⊥CDE，可得CM，由⊥GHC⊥⊥CDE，可得CH，⊥CH＝MH＝12CM，⊥GH⊥CM，⊥GM＝GC，⊥⊥GMH＝⊥GCH，⊥⊥FMG+⊥GMH＝90°，⊥DCE+⊥GCM＝90°，⊥⊥FMG＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥GMF；故⊥正确，设⊥ANF的面积为m，⊥AF⊥CD，⊥13AF FNCD DN==，⊥AFN⊥⊥CDN，⊥⊥ADN的面积为3m，⊥DCN的面积为9m，⊥⊥ADC的面积＝⊥ABC的面积＝12m，⊥S⊥ANF：S⊥ABC＝1：12，故⊥错误，故选：C．【点睛】本题是一个综合性的题目，综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识．6．勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图⊥所示的图形验证了勾股定理，把图⊥放入矩形内得到图⊥，⊥ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则MNMP的值为（）A．911B．910C．45D．34【答案】A【分析】如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB，可得AB＝BG＝FG＝AF，再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示,MN MP，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC ＝2AC ＝2a ，由题意可知，AC ＝CD ＝DE ＝AE ＝a ，BH ＝HI ＝CI ＝BC ＝2a ， 由勾股定理可得，AB， ⊥AB ＝BG ＝FG ＝AF，⊥⊥AKI ＝⊥ACB ＝90°，⊥CAB ＝⊥IAK ， ⊥⊥AKI ⊥⊥ACB ， ⊥AI IK AK AB BC AC==， ⊥IK＝2AI AC CI BC BC a AB AB +⨯=⨯=， ⊥MP ＝MJ +JP ＝IK +AF,= ⊥AK＝AI AC CI AC AC a AB AB +⨯=⨯=， 同理可得：⊥AEJ ⊥⊥BAC ， ⊥AJ AE BC BA=， ⊥AJ＝AE CB BA ⨯=， 同理可得：⊥ABC ⊥⊥HIN ， ⊥BC IN AB IH=，⊥2BC IN IH a AB =⨯==， ⊥MN ＝MI +IN ＝AJ +AK +IN=，⊥911MN MP =，故选：A ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握利用相似三角形的性质寻求边与边之间的关系是解题的关键．7．如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM 、MD 对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：⊥150AMD ∠=︒；⊥2MA MN MC =⋅；⊥ADM BMC S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】⊥根据等边三角形得⊥CMB ＝60°，再根据等腰三角形的性质得⊥AMB ＝⊥CMD ＝75°，最后根据周角的定义即可得出结论；⊥证明⊥MND ⊥⊥MDC ，列比例式即可得出结论；⊥过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC 、AG 、BG 的长，根据面积公式计算即可得出结论． 【详解】解：⊥⊥MBC 是等边三角形，⊥⊥MBC ＝⊥MCB ＝⊥CMB ＝60°，BM ＝BC ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥ABC ＝⊥BCD ＝⊥BAD ＝⊥ADC ＝90°，AB ＝BC ， ⊥⊥ABM ＝⊥DCM ＝30°， ⊥AB ＝BM ，⊥⊥AMB ＝⊥BAM ＝12×（180°−30°）＝75°， 同理：⊥CMD ＝⊥CDM ＝75°， ⊥⊥AMD ＝360°−75°−75°−60°＝150°； 故⊥正确；⊥四边形ABCD 是正方形， ⊥⊥BDC ＝45°，⊥⊥MDN ＝⊥CDM −⊥BDC ＝75°−45°＝30°， ⊥⊥CMD ＝⊥CMD ，⊥MDN ＝⊥DCM ＝30°， ⊥⊥MND ⊥⊥MDC ， ⊥MN DMDM MC=， ⊥DM 2＝MN •MC ，⊥⊥BAD ＝⊥ADC ，⊥BAM ＝⊥CDM ， ⊥⊥MAD ＝⊥MDA ， ⊥MA ＝DM ， ⊥MA 2＝MN •MC ， 故⊥正确；过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，Rt ⊥BGM 中，⊥GBM ＝30°， ⊥BM ＝BC ＝AB ＝2x ，BG， ⊥AG ＝2x，⊥1212ADM BMCAD AGAG BG BC BG S S⋅===⋅故⊥错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键． 8．如图，在Rt⊥ABC 中，∠BAC=90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连结KN 交AG 于点M ，若S 1-S 2=2，AC=4，则AB 的长为 （）A ．2 BC．D ．73【答案】A 【分析】先证ABC ⊥FCN △，根据全等三角形的性质可得AB =FN ；再证⊥BCK ⊥⊥ACB ，根据相似三角形的性质可得214KC BC =；设五边形ACFNM 的面积为S ，可得S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK ==()2CK NF =+，设AB =x ，BC =y ，可得方程组22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解方程组即可求解． 【详解】⊥⊥ACB +⊥CAN =90°，⊥FCN +⊥CAN =90°， ⊥⊥ACB =⊥FCN ， 在⊥ABC 和⊥FCN 中，90BAC NFC AC CFBCA NCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥ABC ⊥FCN △， ⊥AB =FN ；⊥⊥BAC =⊥KBC =90°， ⊥⊥BCK ⊥⊥ACB ， ⊥AC BCBC KC=， ⊥214KC BC =； 设五边形ACFNM 的面积为S ，⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=2， 设AB =x ，BC =y ，由勾股定理可得，2216x y +=，⊥S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK =()()()114222CK NF CF CK NF CK NF +⋅=+⨯=+，S 1-S 2=2， ⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=16-()2CK NF +=16-2124y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，⊥22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩⊥x 、y 都为正数，⊥2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即AB =2，BC= 故选A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．9．如图平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在x 轴负半轴上，边CD 与x 轴交于点E ，连接,//AE AE y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点A 及AD 边上一点,4F AF FD =，若,2DA DE OB ==，则k 的值为（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】C根据题意得到ADE ∆和ABE ∆是等腰直角三角形，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====，即可得到(2,)A y y -，进而通过三角形相似对得出F 点的坐标为7(25y -，3)5y ，即可得到73(2)(2)55k y y y y =-=-，解方程即可求得k 的值．【详解】解：作DM AE ⊥于M ，FN AE ⊥于N ， 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90ADE BCD ∠=∠=︒， DA DE =，ADE ∴∆是等腰直角三角形，45DAE AED ∴∠=∠=︒，M 是AE 的中点，12DM AM EM AE ∴===，45BAE ∠=︒， //AE y 轴，90AEB ∴∠=︒，ABE ∴∆是等腰直角三角形， BE AE ∴=，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====， 2OB =，2OE y ∴=-， (2,)A y y ∴-， //FN DM ， ANF AMD ∴∆∆∽，∴AN NF AFAM DM AD==， 4AF FD =，∴411522AN FN y y ==， 25AN NF y ∴==， 2355EN y y y ∴=-=， 7(25F y ∴-，3)5y ，反比例函数(0)ky k x=>的图象经过点A 、F ， 73(2)(2)55k y y y y ∴=-=-，解得5y =或0y =（舍去），(2)15k y y ∴=-=，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A 、F 的坐标是解题的关键．10．如图所示，G 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且AG CE =，AE EF ⊥，AE EF =，现有如下结论：⊥BE DH =；⊥AGE ECF △≌△；⊥45FCD ∠=︒；⊥AGE CHF △∽△．其中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】由⊥BEG ＝45°知⊥BEA ＞45°，结合⊥AEF ＝90°得⊥HEC ＜45°，据此知 HC ＜EC ，即可判断⊥；求出⊥GAE +⊥AEG ＝45°，推出⊥GAE ＝⊥FEC ，根据 SAS 推出⊥GAE ⊥⊥CEF ，即可判断⊥；求出⊥AGE ＝⊥ECF ＝135°，即可判断⊥；求出⊥FEC ＜45°，根据相似三角形的判定得出⊥GBE 和⊥ECH 不相似，即可判断⊥． 【详解】解：⊥四边形 ABCD 是正方形， ⊥AB ＝BC ＝CD ，⊥AG＝GE，⊥BG＝BE，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥BEA＞45°，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥HEC＜45°，⊥HC＜EC，⊥CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故⊥错误；⊥BG＝BE，⊥B＝90°，⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥⊥AGE＝135°，⊥⊥GAE+⊥AEG＝45°，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥GAE＝⊥FEC，在⊥GAE 和⊥CEF 中，⊥AG=CE，⊥GAE=⊥CEF,AE=EF,⊥⊥GAE⊥⊥CEF（SAS））,⊥⊥正确；⊥⊥AGE＝⊥ECF＝135°，⊥⊥FCD＝135°﹣90°＝45°，⊥⊥正确；⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥FEC＜45°，∴∠=︒+∠＜135︒,FHC FEC90∴∠≠∠FHC AGE,△不相似，⊥AGE和FCH⊥⊥错误；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．二、填空题11．如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，将⊥ABC 沿AB 翻折得⊥ABC′，过点C′作CA 的垂线，交CA 延长线于点F 点D 为边BC′上一点，过点D 作DE⊥BC ，垂足为点E ，连接CD ，交AB 于点M ，若DC 平分⊥EDC′，CE ＝CF ＝6，C′F ＝4，则AM ＝_____．【分析】延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．首先证明四边形ECFR 是正方形，利用全等三角形的性质证明DE DT =，4FC C T '='=，再想办法求出JC ，AJ ，证明JM JC =，可得结论．【详解】解：延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．90REC CFR ECF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFR 是矩形，CE CF =，∴四边形ECFR 是正方形，CD 平分EDC ∠'，CE DE ⊥，CT EC ⊥'，CDE CDT ∴∠=∠，90CED CTD ∠=∠=︒，CD CD =，()CDE CDT AAS ∴∆≅∆，CE CT ∴=．DE DT =，90CTC F ∠'=∠=︒，CF CE CT ==，CC CC '='， Rt ∴⊥CC T Rt '≅⊥()CC F HL '，4FC C T ∴'='=，在Rt CFC '△中，CC ' 由翻折的性质可知，CJ JC ='=ACJ FCC ∠=∠'，90CJA F ∠=∠=︒，CJA CFC ∴∆∆'∽，∴CJ AJCF FC ='，∴4AJ =，AJ ∴=DCE DCT ∠=∠，C CT C CF ∠'=∠'， 45JCM ∴∠=︒，JM CJ ∴=AM JM AJ ∴=+． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是想添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，边长为3的等边三角形ABC 中，点M 在直线BC 上，点N 在直线AC 上，且⊥BAM ＝⊥CBN ，当BM ＝1时，AN =___．【答案】2或4或92或94【分析】先根据等边三角形的性质可得60,3ABC ACB AB BC AC ∠=∠=︒===，再分⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上四种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：ABC 是边长为3的等边三角形，60,3ABC ACB AB BC AC ∴∠=∠=︒===，由题意，分以下四种情况：⊥如图，当点M 在边BC 上，点N 在边AC 上时，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，312AN AC CN ∴=-=-=；⊥当点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 延长线于点D ，60D ABM ∴∠=∠=︒，60DCN ACB ∠=∠=︒，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，在ABM 和BDN 中，BAM DBN ABM D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABM BDN ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB ++∴===，即313DN DN +=， 解得32DN =， 32CN ∴=， 39322AN AC CN ∴=+=+=； ⊥当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 于点D ，60CDN ABC ACB ∴∠=∠=︒=∠，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，60CDN ABC ∠=∠=︒，120BDN ABM ∴∠=∠=︒， 在BDN 和ABM 中，DBN BAM BDN ABM ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， BDN ABM ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB --∴===，即313DN DN -=， 解得34DN =， 34CN ∴=， 39344AN AC CN ∴=-=-=；⊥如图，当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上时，60ABC ACB ∠=∠=︒，120ABM BCN ∴∠=∠=︒，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，314AN AC CN ∴=+=+=；综上，AN 的值为2或4或92或94， 故答案为：2或4或92或94． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且()0,630B OAB ∠=︒,，C 为线段AB 上一点，:1:2BC CA =，若M 为y 轴上一点，且:1:2OM OB =，设直线AM 与直线OC 相交于点N ，则ON 的长为________．或【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，证明⊥ACD ⊥⊥ABO ，得到CD AD AC BO AO AB==，求出CD 和AD ，得到点C 坐标，求出直线OC 的教师式，再求出点M 的坐标，分两种情况，联立教师式，求出点N 坐标，利用勾股定理得到ON 的长．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则⊥ADC =⊥AOB =90°，又⊥⊥CAD =⊥BAO ，⊥⊥ACD ⊥⊥ABO ， ⊥CD AD AC BO AO AB==， ⊥B （0，6），⊥OB =6，⊥⊥OAB =30°，⊥AB =2OB =12，⊥AO⊥BC ：CA =1：2，⊥AC =2812AB ⨯=+， ⊥BC =AB -AC =4，⊥8612CD =， 解得：CD =4，AD=⊥OD =OA -AD=⊥C（4），设直线OC 的教师式为y =kx ，将C 代入，则4=，解得：k = ⊥直线OC的教师式为y =， ⊥OM ：OB =1：2，OB =6，⊥OM =3，⊥M 的坐标为（3，0）或（-3，0），当M （3，0）时，记为点M ′，设直线AM ′的教师式为y =ax +b ，则03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩⊥直线AM ′的教师式为3y =+， 联立直线AM ′和直线OC的教师式得3y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ⊥N，125）， ⊥ON当M （-3，0）时，同理求得直线AM的教师式为3y =-，联立得3y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：4x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ⊥N（--4），⊥ON综上：ON或或 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥DAB ＝60°，AB ＝3，点E 在边AD 上，且DE ＝1，点F 为线段AB 上一动点（不与点A 重合），将菱形沿直线EF 折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF 的长为___．【答案】2或5【分析】分两种情况进行讨论：⊥当点A ′在BD 上时，可以证明⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′，对应边成比例，可求出AF 的长；⊥当点A ′在AC 上时，可得⊥EAF 是等边三角形，进而可求AF 的长．【详解】解：⊥当点A ′在BD 上时，如图，由折叠可知：⊥EA ′F ＝⊥DAB ＝60°，⊥⊥DA ′E +⊥F A ′B ＝120°，⊥⊥A ＝60°，AB ＝AD ，⊥⊥ADB 是等边三角形，⊥⊥DBA ＝⊥ADB ＝60°，⊥⊥A ′FB +⊥BA ′F ＝120°，⊥⊥DA ′E ＝⊥BF A ′，⊥⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′， ⊥DE DA EA A B FB FA ''==''， ⊥AB ＝AD ＝DB ＝3，DE ＝1，⊥EA ′＝EA ＝AD -DE ＝2，设F A ′＝F A ＝x ，DA ′＝y ，则BA ′＝3-y ，BF ＝3-x ， ⊥3123y y x x-==-，解得x ＝5⊥当点A ′在AC 上时，如图：由折叠可知：EF 垂直平分AA ′，⊥⊥AOF ＝90°，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥DAB ＝60°，⊥⊥DAC ＝⊥BAC ＝30°，⊥⊥AFE ＝60°，⊥⊥EAF 是等边三角形，⊥AF ＝AE ＝AD -DE ＝2．综上所述：AF ＝52．故答案为：2或5【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．15．如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：⊥ABF DBE ∠=∠；⊥ABF DBE ∽；⊥AF BD ⊥；⊥22BG BH BD =；⊥若:1:3CE DE =，则:17:16BH DH =，你认为其中正确是_____（填写序号）【答案】⊥⊥⊥⊥【分析】⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，得⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，根据等式的基本性质确定出ABF DBE ∠=∠；⊥倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；⊥根据两角相等的两个三角形相似得到⊥EBH ⊥⊥DBE ，从而得到比例式，根据BE ，代换即可作出判断；⊥由相似三角形对应角相等得到⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，可得出AF 在正方形ABCD 对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，结合BE 2＝BH •BD ，求出BH ，DH ，即可判断．【详解】解：⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，又⊥⊥ABF ＝45°−⊥DBF ，⊥DBE ＝45°−⊥DBF ，⊥ABF DBE ∠=∠，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，⊥AD ＝AB ，BF ＝BE ，⊥BD，，⊥BD BE AB BF== 又⊥ABF DBE ∠=∠，⊥ABF DBE ∽，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥BEH ＝⊥BDE ＝45°，又⊥⊥EBH ＝⊥DBE ，⊥⊥EBH ⊥⊥DBE ， ⊥BD BE BE BH= ，即BE 2＝BH •BD ，又⊥BE ，⊥22BG BH BD =，⊥选项⊥确；⊥由⊥知：ABF DBE ∽，又⊥四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，⊥⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，⊥AF 在正方形另外一条对角线上，⊥AF ⊥BD ，⊥⊥正确，⊥⊥:1:3CE DE =，⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，⊥BE ==，BD =⊥BE 2＝BH •BD ，⊥228BE BH x BD ===，⊥DH =BD -BH =x x =, ⊥:17:15BH DH =，故⊥错误，综上所述：⊥⊥⊥⊥正确，故答案是：⊥⊥⊥⊥．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．16．如图，已知Rt AOB ，90∠=︒ABO ，点(15,0)A ，反比例函数(0)k y x x =>经过点B ，交AB 于点C ，若:3:2BC OB =，则k 的值是______．【答案】18【分析】过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，易证⊥BOD ⊥⊥CBE ，可得32BE EC BC OD BD OB ===，设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ．易得四边形EDFC 为矩形，则FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ，得到B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）．由待定系数法可得：k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），等量代换可得：4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），整理得到：b ＝2a ．于是得到BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ；易证⊥BEC ⊥⊥CF A ，可得12CF BE FA EC ==，求出F A ＝2a ，从而OA ＝OD ＋FD ＋F A ＝10a ，由点A （15，0），可得OA ＝15，a 的值可求，B 点坐标可得，用待定系数法k 值可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作C E ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，如图，⊥⊥ABO ＝90°，⊥⊥OBD ＋⊥EBC ＝90°．⊥BD ⊥OD ，⊥⊥OBD ＋⊥BOD ＝90°．⊥⊥BOD ＝⊥EBC ．⊥⊥ODB ＝⊥BEC ＝90°，⊥⊥BOD ⊥⊥CBE ． ⊥32BE EC BC OD BD OB ===， ⊥设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ． ⊥BD ⊥DF ，CE ⊥BD ，CF ⊥AD ，⊥四边形EDFC 为矩形．⊥FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ． ⊥B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）． 将B ，C 坐标分别代入教师式(0)k y x x=>中得： k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）． ⊥4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）．整理得到：b ＝−12a （不合题意，舍去）或b ＝2a ． ⊥BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ．⊥EC ⊥AD ，⊥⊥BCE ＝⊥A ．⊥⊥BEC ＝⊥CF A ＝90°，⊥⊥BEC ⊥⊥CF A ． ⊥12CF BE FA EC ==， ⊥F A ＝2CF ＝2a ．⊥点A （15，0），⊥OA ＝15．⊥OD ＋FD ＋F A ＝15．⊥10a ＝15．解得：a ＝32． ⊥OD ＝3，BD ＝6．⊥B （3，6）．⊥k ＝3×6＝18．故答案为：18．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，待定系数法确定函数的教师式．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．17．如图，点A 是边长为2的正方形DEFG 的中心，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，//DG BC ，点P 为正方形边上的一动点，在BP 的右侧作90PBH ∠=°且2BH PB =，则AH 的最大值为______．【答案】【分析】连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=，易得DPB D HB '△△，由此可得当点P 在DG 上运动时，点H 在过点D '且垂直于BC 的线段D G '' 上运动，且D G ''=-4，仿此，可得点H 在以点C 为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P 与点F 重合时，AH 取得最大值，在Rt ⊥AEF '' 中，利用勾股定理即可求得AH 的长．【详解】如图，当点P 在线段DG 上时，连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=⊥BC ⊥DG ，⊥ABC =90°⊥AB ⊥DG⊥四边形DEFG 是正方形，且A 为正方形的中心，AB =DG =2⊥AB 、DG 相互垂直平分⊥BD =BG ，⊥DBG =90°⊥2BD BD '=⊥BH =2PB ⊥2BD BH BD PB'== ⊥⊥DBG =⊥PBH =90°⊥DBP D BH '∠=∠⊥⊥DBP D BH '△△⊥BDG BD H '∠=∠，2D H DP '=⊥⊥BDG =⊥BGD =45°，⊥DGF =90°⊥⊥45FGD '=︒，45BDG BD H '∠=∠=︒⊥FG ⊥D H '⊥DG ⊥FG⊥DG ⊥D H '故当点P 在边DG 上运动时，点H 则在线段D G ''上运动，且2D G ''=DG =4由此可得，当点P 在四边形DEFG 上运动时，点H 在以C 为中心的正方形D E F G ''''上运动，且其边长为4当点P 与点F 重合，点H 与点 F '重合时，AH 最长，此时连接AD '，则AD '=2⊥6AE AD D E ''''=+=在Rt AE F ''中，由勾股定理得：AH AF '===故答案为：【点睛】本题是动点问题，求线段的最大值，它考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，关键和难点是确定动点H 的运动路径．18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】13232【分析】（1）由题意，证明⊥ABP ⊥⊥EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度； （2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x ,在Rt ⊥BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AHP′⊥⊥E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5． 【详解】解：（1）由题意，⊥,AB BC MN BC ⊥⊥，⊥90ABP EDP ∠=∠=︒，⊥从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．⊥APB EPD ∠=∠，⊥⊥ABP ⊥⊥EDP ， ⊥AB BP ED DP =， 即6.548ED =， ⊥13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x , 在Rt ⊥BDN 中，⊥BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 13=，⊥⊥AHB =⊥ABD =⊥E′FN =⊥BDD′=90°，⊥⊥ABH +⊥DBD′=⊥DBD′+⊥DD′B =FE D ''∠+⊥E′D′F ,⊥⊥ABH =⊥BD′D =⊥E′D′F ,⊥⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F , ⊥AB AH BH BD BD DD ==''，E D E F FD BD BD DD ''''==''， ⊥6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==， ⊥=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==， ⊥从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AP H E P F '''∠=∠，⊥⊥AHP′⊥⊥E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +，⊥AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-， 解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232． 【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，利用相似三角形的性质构造方程6 6.560+1225591313x x =+-是解题关键． 19．如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n个正方形的边长．【详解】解：点1B在直线1:2l y x=上，点1B的横坐标为2，∴点1B纵坐标为1．1OB∴=分别过1B，14,,C C⋅⋅⋅作x轴的垂线，分别交于14,,,D D D⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DAC DB B OD A B D∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n nn nC AB D B AC AOD OB C A C A+====⋅⋅⋅=，不妨设第1个至第n个正方形的边长分别用：12,,,nl l l⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OBl==121123322ll l C A=+==，2232233322ll l C A⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322nnn n n nll l C A----⎛⎫=+= ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n个正方形1n n n nA B B C+132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n个正方形边长的方法与技巧．20．如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，且3AD BD=，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若45ACD BED∠=∠=︒，且CD=AB的长为__________．【答案】【分析】延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，由45ACD BED∠=∠=︒可得此时CEF△为等腰直角三角形，E为CD的中点且CD=CE DE==Rt CEF中，根据勾股定理求得CF，EF长度，由BF DG⊥可得EDG ECF△≌△,即EG EF=，由BF AC⊥，BF DG⊥可得AC DG∥，即BDG BAF△∽△，13BG BDFG AD==∴,求得，4AB BD==∴【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，⊥45ACD BED∠=∠=︒，=45BED CEF∠=︒∠，⊥90EFC=∠，BF AC⊥，CEF△为等腰Rt CEF．由题意可得E为CD的中点，且CD=⊥CE DE==在等腰Rt CEF中，32CE，3CF EF ==∴，又⊥BF DG ⊥，在ECF EDG △和△中，90CFE DGE CEF DEG CE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥EDG ECF △≌△（AAS ）⊥3EF EG ==，⊥BF AC ⊥，BF DG ⊥，⊥//AC DG ， ⊥13BG BD FG AD == 6FG EF EG =+=，⊥2BG =，BD4AB BD ==∴故答案为：【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，直线4y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且34OB OA =．（1）求直线AB 的教师式；（2）点(),0P t 是x 轴正半轴上一点，连接BP ，将射线PO 沿BP 翻折，与过点B 垂直于BP 的直线交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，射线BD 交射线CP 于点Q ，若56BCD DCQ S S =△△，求P 点坐标．【答案】（1）334y x =+；（2）6；（3）P ⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据直线4y kx k =+与x 轴，y 轴的交求得A ，继而求得OA ，OB ，再求得点B ，最后根据待定系数法求教师式；（2）根据翻折性质可得BPC BPE ∠=∠，继而易证⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），可得BC BE =，继而证得OB 是⊥CDE 的中位线，即可求解；（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，设5OD OE BM m ===，6NQ m =， 求得185DN =，根据tan DP NQ DCP CD CN ∠==，求得154m DP =，继而求得CP ，在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，解得m ，继而即可求解．【详解】（1）令x ＝0，得4y k =,则（0，4k ），令0y =得40kx k +=，解得：4x =-，则()4,0A -⊥4OA =， ⊥34OB OA = ⊥3OB =，即()0,3B ，⊥043k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥直线AB 的教师式334y x =+．（2）由翻折可知BPC BPE ∠=∠，又PB CE ⊥，即⊥PBC ＝⊥PBE ＝90°，又BP ＝BP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），⊥BC BE =．⊥CD x ⊥轴于点D ，⊥//OB CD ，⊥OB 是⊥CDE 的中位线，⊥26CD OB ==．（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，由56BCD DCQ S S =△△，即151262CD OD CD NQ ⋅=⨯⋅， 5,6OD NQ ∴= ⊥BM ⊥DE ⊥NQ ，12BM DE OD OE ===,DM ＝OB ＝3， ⊥⊥BDM ⊥⊥QDN ， ⊥DM BM DN NQ=, 设5OD OE BM m ===，6NQ m =， 即356m DN m=, 解得：185DN =， tan DP NQ DCP CD CN ∠==， 6,18665DP m ∴=+ 解得：154m DP =， ⊥15551044m CP PE DP DE m m ==+=+=． 在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，即2221555644m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m =⊥1535355444OP OD DP m m m =+=+===，⊥P ⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一次函数的综合题，涉及到勾股定理，相似三角形的判定及其性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学在求得关键线段和坐标，综合性较强，需认真审题． 22．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：⊥AE DF=_____；⊥直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______．【答案】（130°；（2 【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF =BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，。
2023上海各区中考一模数学压轴题
中考模拟数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝33.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:25.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）1.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（）。
（结果保留根号）|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2.已知△ABC，若有|sinA−12是。
三、解答题3．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。
求证：△ADE∽△BEC。
1.如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C，在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2根号3，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称。
上海初三数学各区一模压轴题汇总套全
上海初三数学各区一模压轴题汇总套全TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24+25）共15套整理 廖老师宝山区一模压轴题18（宝山）如图，D 为直角ABC 的斜边AB 上一点，DE AB 交AC 于E ，如果AED 沿着DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果8AC ，1tan 2A ，那么:___________.CF DF24（宝山）如图，二次函数232(0)2y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A .（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标.25（宝山）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发，点P 以1/cm s 的速度沿着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。
设P Q 、同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2ycm ，已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）.（1）试根据图（2）求05t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式；（2）求出线段BC BE ED 、、的长度；（3）当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似；（4）如图（3）过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度，如果BEF 中E F 、的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离.崇明县一模压轴题18（崇明）如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为 ；24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD = ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．25（崇明）在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，3cot 2A =，AC =，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F ，联结BD ．（1）求证：PC CE CD BC =； （2）若PE x =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长．奉贤区一模压轴题18（奉贤）如图3，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，点P 是边AD 上的一点，联结BP ，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果CG=2DG ，那么DP 的长是__ ____.24（奉贤）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC .（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标。
2024届上海初三一模数学各区25题解答压轴题
图11上海市2024届初三一模数学分类汇编—25题解答压轴题【2024届·宝山区·初三一模·第25题】1.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知ABC 中，1AB AC ，D 是边AC 上一点，且BD AD ，过点C 作//CE AB ，并截取CE AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：2AF DF BF ；（2）设AD x ，DF y ，求y 与x 的函数关系式；（3）如果ADF 是直角三角形，求DF 的长．第25题图2备用图第25题图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知Rt ABC 中，90ACB ，3AC ，5AB ，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足CDF A ，过点C 作CE CD 交DF 的延长线于E ．（1）如图1，当//CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设AD x ，BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．图122图121 3.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ，6AD ，4AB ，BC AD ，ADC 的平分线交边BC 于点E ，点F 在线段DE 上，射线CF 与梯形ABCD 的边相交于点G ．（1）如图121 ，当4tan 3BCD 时，求BE 的长；（2）如图122 ，如果点G 在边AD 上，联结BG ，当4DG ，且CGB BAG ∽时，求sin BCD的值；（3）当F 是DE 中点，且1AG 时，求CD 的长．图14①图14②备用图4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分5分，第（2）②小题满分5分）如图14①，在Rt ABC 中，90ACB ，4tan 3ABC，点D 在边BC 的延长线上，联结AD ，点E 在线段AD 上，EBD DAC ．（1）求证：DBA DEC ∽；（2）点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图14②）．①如果2AC AF ，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC的值；②如果2DE CD，3EM ，:5:3FM DM ，求AF 的长．第25题图（本题满分4分）5.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，O 是Rt ABC 斜边AB 的中点，BH CO 交AC 于D ，垂足为H ，联结OD ．（1）求证：2BC AC CD ；（2）如果ODH 与ABC 相似，求其相似比；（3）如果:4:1BH DH ，求ADO 的大小．图11图12备用图6.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）①小题5分，第（2）②小题6分）如图11，在ABC 和ACD 中，90ACB CAD ，16BC ，15CD ，9DA ．（1）求证：B ACD ；（2）已知点M 为边BC 上一点（与点B 不重合），且MAN BAC ，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E ．①如图12，设BM x ，CE y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当CEN 是等腰三角形时，求BM 的长．第25题图7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，CAD ABC ，DC AC ，AD 与边BC 相交于点P ．（1）求证：212AB AD BC；（2）如果4sin 5ABC ，求:BP PC 的值；（3）如果BCD 是直角三角形，求ABC 的正切值．第25题图1第25题图2备用图8.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第25题图1第25题图2备用图9.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，以AC 、BC 为边在ABC 外部作等边三角形ACE 和等边三角形BCF ，且联结EF ．（1）如图1，联结AF 、EB ，求证：ECB ACF ≌；（2）如图2，延长AC 交线段EF 于点M ．①当点M 为线段EF 中点时，求ACBC的值；②请用直尺和圆规在直线AB 上方作等边三角形ABD （不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M 在ABD 的内部时，求ACBC的取值范围．第25题图备用图备用图10.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．图1311.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图13，在矩形ABCD 中，2AB ，4BC ，E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BM DE ，垂足为点M ，联结CM ，设CE a （01a ）．（1）求证：DCE BME ∽；（2）CME 的大小是否是一个确定的值？如果是，求出CME 的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示CME 的正切值；（3）P 是边AD 上一动点（不与点A 、D 重合），联结PB 、PM ．随着点P 位置的变化，在PBM中除BPM 外的两个内角是否会有与CME 相等的角？如果有，请用含字母a 的代数式表示此时线段AP 的长；如果没有，请说明理由．第25题（1）图第25题（2）图第25题（3）图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ．点D 、E 分别在边AB 、BC 上，联结ED ，将线段ED ，绕点E 按顺时针方向旋转90 得到线段EF ．（1）如图，当点E 与点C 重合，ED AB 时，AF 与ED 相交于点O ，求:AO OF 的值；（2）如果5AB BD （如图），当点A 、E 、F 在一条直线上时，求BE 的长；（3）如图，当DA DB ，2CE 时，联结AF ，求AFE 的正切值．第25题图第25题备用图13.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC 中，AC BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB ．（1）如图，如果点D 在AC 的延长线上．①求证：DE BD ；②联结CE ，如果//CE BD ，2CE ，求EF 的长．（2）如果:1:2DF DE ，求:AE EB 的值．第25题图备用图14.（本题满分14分）如图，在Rt ABC 中，90BAC，AB AC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点B 重合），以CD 为斜边在直线BC 上方作等腰直角三角形DEC ．（1）当点D 是边AB 的中点时，求sin DCB 的值；（2）联结AE ，点D 在边AB 上运动的过程中，EAC 的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出EAC 的大小；（3）设DE 与AC 的交点为G ，点P 是边BC 上的一点，且CPD CGD ，如果点P 到直线CD 的距离等于线段GE 的长度，求CDE 的面积．第25题图备用图15.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE AB ，延长BE 交CD 于点F ．（1）求证：135BED ；（2）联结CE ．①当CE BF 时，求BP PC的值；②如果CEF 是以CE 为腰的等腰三角形，求FBC 的正切值．第25题图1备用图备用图16.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知ABC 中，2ABC C ，BG 平分ABC ，8AB ，163AG，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE ，求:BF GF 的值；（3）如果ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 的长．。
上海中考初三数学压轴题方法整理汇总(18题24题25题压轴题解题方法)
第18题：图形的运动1平移：平移的方向和距离2旋转：三不变找旋转（图形的形状大小旋转角不变）3翻折：两点一线找勾股（对称点，垂直平分线上海中考初三数学压轴题方法整理汇总）第23题几何证明（书写规范）证明边角相等：全等，相似，等腰证明平行线：角，比例线段，中位线，平行四边形证明等积式：三点定形找相似（等线段代换，等比代换，等积代换）（添平行线构造A 形，八形）证明四边形：常用辅助线：联结对角线第24题代数型综合题求坐标的方法1一作二设法②两点公式法③代入解析法④平移法二次函数与相似三角形1先找死角：由边出发，死角的两边对应成比例求边长；2先找死角：由角出发，利用三角比求边长二次函数与直角三角形1一线三等角②勾股定理二次函数与等腰三角形：两点间距离公式二次函数与角相等：1找相似三角形②找三角比二次函数与45度角1先找45度角转化为角相等，然后找相似或三角比2加高，转换为等腰直角三角形二次函数与四边形1由四边形的性质求边或角（等腰梯形加双高，两腰相等，加顶）2由边或角转化为相似或三角比第25题几何型综合题读题圈划五寻找（边，角，辅助线，基本图形，解题工具）解题工具：三角比，相似，勾股，面积法基本图形：一线三等角，母子三角形，角平分线+平行=等腰三角形，A形八形，特殊三角形……常用辅助线：中位线，三线合一，斜中，平行线，四边形对角线，，圆的半径与弦心距……等腰三角形：①相似转化；②分论讨论；③三线合一三角比：转角；加高（面积法）；设K面积：①直接求；②相似；③等底等高求定义域：①极端位置；②解析式本身；③三边关系。
上海九年级中考一模压轴题收集
2012上海九年级中考一模压轴题收集(2012黄浦、卢湾一模24题)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c(a>0)与x轴相交于A(-1,0) ，B(3,0)两点，对称轴MN与x轴相交于点C,顶点为点D,且/1ADC勺正切值为—。
2(1) 求顶点D的坐标；(2) 求抛物线的表达式；⑶F点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF,若/ FAC=Z ADC求F点的坐标.3-2-1-1 1 1 〜1* -；4X-：-1 Q-1--3--(2012黄浦、卢湾一模25题)在矩形ABCD中, AB=4, BC=3 E是AB边上一点，EF丄CE交AD于点F,过点E作/ AEH=/ BEC交射线FD于点H,交射线CD于点N.(1)如图a,当点H与点F重合时，求BE的长；⑵如图b,当点H在线段FD上时，设BE=x, DN=y求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；⑶联结AC当厶卩日丘与厶AEC相似时，求线段DN的长.（2012徐汇一模24题）如图，△ AOB 的顶点A 、B 在二次函数y又点A B 分别在y 轴和x 轴上，tan / ABO=1.⑴求此二次函数的解析式；（4分） ⑵过点A 作AC// BO 交上述函数图象于点 C,点P 在上述函数图象上，当△ 时，求点P 得坐标.（8 分）A BC图bbx 3的图像上,2POC W^ ABC 相似（2012徐汇一模25题）如图a,在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CE 是斜边AB 上的中线，AB=10,4tanA=，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQL CB,交CB 延长线于点Q,设EP=x3BQ=y.⑴求y 关于x 的函数关系式及定义域；（4分） ⑵联结PB 当PB 平分/ CPC 时，求PE 的长；（4 分）⑶过点B 作BF 丄AB 交PQ 于卩，当厶BEF 和厶QBF 相似时，求 x 的值.（6分）（2012普陀一模24题）如图，梯形 OABC BC// OA 边OA 在x 轴正半轴上，边 OC 在y 轴正半轴上，点 B （3, 4）, AB=5. （1） 求/ BAO 的正切值；4 2（2） 如果二次函数y x 2 bx c 的图像经过 OA 两点，求这个二次函数的解析式并求图9像顶点M 的坐标；⑶点 Q 在 x 轴 上， 以 点 Q 、 点 0AB Q CBCB图a备用图1备用图2及（2）中的点M位顶点的三角形与△ ABO相似，求点Q的坐标.CBP\.0 A x（2012普陀一模25题）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图a放置，使三角板DEF 的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M 接着把三角形版ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为a .其中0°VaV 90°,射线DF与线段BC相交于点N （如图b所示）•（1）当0 °VaV 60°时，求AM- CN 的值•⑵当0°<a< 60°时，设AM=X两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域•（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积•'B图R2012浦东新区一模 24题)如图，已知点 A (1,0 )、B ( 3, 0)、C (0,1 ).1(1)若二次函数图像经过点 A C 和点D( 2, -)三点，求这个二次函数的解析式3⑵求/ ACB 的正切值⑶ 若点E 在线段BC 上，且△ ABE 与厶ABC 相似，求出点 E 的坐标.(2012浦东新区一模 25题)已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90，点P 是边 一个动点，联结 CP 过点B 作BD 丄CP 垂足为点 D.(1)如图1,当CP 经过△ ABC 的重心时，求证：△ BC3A ABC.⑵ 如图2,若BC=2厘米，cotA=2，点P 从点A 向点B 运动(不与 A 、B 重合)，点度是.5厘米/秒.设点P 运动的时间为t 秒，△ BCD 的面积为S 平方厘米，求出 t 的函数解析式，并写出它的定义域•⑶在第⑵小题的条件下，如果△ PBC 是以CP 为腰的等腰三角形，求△ BCD 的面积.AB 上的P 的速 S 关于p B(2012嘉定一模24题)已知一个二次函数的图像经过 A (0,3 )、B (4,3 )、C( 1,0 )三点(如图).(1)求这个二次函数的解析式；⑵求tan / BAC的值；⑶若点D在x轴上，点E在⑴ 中所求出的二次函数的图像上，切以点A、C D E为顶点的四边形是平行四边形，求点 D E的坐标.643°-1Illi 1 ■1 1 1 1 1 1-6 」一3 -2 -10 1 2 3 4 5 6-1-—2_3--4一-6一(2012嘉定一模25题)如图1，已知等边△ ABC的边长为6,点D是边BC上的一个动点,折叠△ ABC使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF (点E、F分别在边AB AC上)1. 当AE AF=5:4时，求BD的长;EB2. 当EDL BC时，求的值；EF3. 当以B E、D为顶点的三角形与△ DEF相似时，求BE的长.A（2012长宁一模24题）如图，在矩形ABCD 中, AB=4, AD=6点P 是射线DA 上的一个动点, 将三角板的直角顶点重合于点 P,三角板两直角边中的一边始终经过点 C ,另一直角边交射 线BA 于点E.1、 判断△ EAP 与厶PDC 一定相似吗？请证明你的结论；2、 设PD=x AE=y,求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；3、 是否存在这样的点 卩,使厶EAP 周长等于△ PDC 的周长的2倍？若存在，请求出PD 的长; 若不存在，请简要说明理由。
2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解
专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．专题二动点函数背景下的面积问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE 的长．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．专题三动点函数背景下的等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD＝10，CD＝4，AD＝6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE＝DQ＝BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）当BP＞BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；（3）当BP＝m（0＜m＜5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．专题四动点函数背景下的线段问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF（3）如果AG＝8，求DE的长．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．专题四动点函数背景下四边形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．4．(2019秋•普陀区期末)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD AB ＝5，tan A ＝2，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE ＝m ．（1）当点E 在边AD 上时，①求△CEF 的面积；（用含m 的代数式表示）②当S △DCE ＝4S △BFG 时，求AE ：ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求m 的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF ∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE ＝4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF ∽△CGF 时，得出∠AFE ＝∠CFG ，进而得出BG ＝12BC ＝52，FG ＝BG tan ∠CBFBF ＝52，进而得出AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，最后判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF ∽△CGF 时，先判断出∠AFC ＝90°，进而得出CF ＝2BF ，再根据勾股定理得，求出BF ＝1，得出AF ＝AB +BF ＝6，同理：BG ＝，再判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，在Rt △AEF 中，tan A ＝2，AE ＝m ，∴EF ＝AE tan A ＝2m ，根据勾股定理得，AF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD AD ∥BC ，∴∠G ＝∠AEF ＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE AFBG BF =，∴m BG =，∴BG m ，∴CG ＝BC +BG ＝m ＝m ，∴S △CEF ＝12EF •CG ＝12•2m •（m ）＝m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ，∴BF FG AF EF =，∴FG ＝BFAF •EF •2m ＝2m ），∴EG ＝EF +FG ＝2m +2﹣m ）＝∴S △CDE ＝12DE •EG ＝12（m ）•5，S △BFG ＝12BG •FG ＝12m ）•2m ﹣m ）2，S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5＝4m ）2，∴m m ＝354，∴DE ＝AD ﹣AE ﹣4＝4，∴AE ：ED ＝354：54＝3，即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1，∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG ＝12BC ＝52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF根据勾股定理得，BF 52，∴AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴BG BFAE AF=，∴，∴m ＝35 2；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG ＝5 5，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴AE AFBG BF=6155=，∴m ＝655．即：如果△AEF与△CFG相似，m 的值为35 2或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt △PCH 中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明△POQ ∽△BOC ，推出∠OPQ ＝∠OBC ＝30°＝∠PCQ ，推出PQ ＝CQ ＝y ，推出PC ，在Rt △PHB 中，BH ＝12x ，PH ＝2x ，根据PC 2＝PH 2+CH 2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝4，AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC ＝180°，∵∠A ＝120°，∴∠PBH ＝60°，∵PB ＝3，∠PHB ＝90°，∴BH ＝PB •cos60°＝32，PH ＝PB •sin60°＝332，∴CH ＝BC ﹣BH ＝4﹣32＝52，∴PC =．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠PCQ ＝30°，∴∠PBO ＝∠QCO ，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴PO BOQO CO=，∴PO QOBO CO=，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC y，在Rt△PHB中，BH＝12x，PH＝32x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（2x）2+（4﹣12x）2，∴y＝3（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝PCF＝45°，∴PF＝CF＝，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE 与△BCP 相似，∴∠CQE ＝∠CBP ＝120°，∴∠QCE ＝∠PCB ＝15°，作CF ⊥AB 于F ．∵∠FCB ＝30°，∴∠FCP ＝45°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝PF ＝23∴PB ＝3﹣2．综上所述，满足条件的PB 的值为3或232．【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．专题二动点函数背景下的面积问题【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE的长．【考点】三角形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ．AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．根据BG ＝EG 构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF ∽△BEC ，可得22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD ＜120°时，当120°＜∠CAD ＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AD ＝AC ，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD ＝180°，∠CAD ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠EBC ＝45°．过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G．设AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．在Rt △CGE 中，∠ACB ＝60°，∴3sin ACB=)2EG EC x =- ∠，1cos ACB=12CG EC x =- ∠，∴BG ＝2﹣CG ＝1+12x ，在Rt △BGE 中，∠EBC ＝45°，∴131)22x x +=-，解得4x =-．所以线段AE的长是4-．（2）①设∠ABD ＝α，则∠BDA ＝α，∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝120°﹣2α．∵AD ＝AC ，AH ⊥CD ，∴1CAF=DAC=60-2α ∠∠，又∵∠AEF ＝60°+α，∴∠AFE ＝60°，∴∠AFE ＝∠ACB ，又∵∠AEF ＝∠BEC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由（1）得在Rt △CGE 中，BG ＝1+12x，EG )2x =-，∴BE 2＝BG 2+EG 2＝x 2﹣2x +4，∴2224x x y x-+=（0＜x ＜2）．②当∠CAD ＜120°时，y ＝7，则有7＝2224x x x-+，整理得3x 2+x ﹣2＝0，解得x ＝23或﹣1（舍弃），2AE=3．当120°＜∠CAD ＜180°时，同法可得22+24x x y x +=当y＝7时，7＝22+24x xx，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣23（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．【考点】相似形综合题．【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．【分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG＝∠MON，在Rt△AOE中，设OE＝a，可求得OA，OG，OF的长，则EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝5，推出CO＝CG＝5，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，m＝2；当△FDA∽△CDF 时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，∵∠BCG+∠CGB＝90°，∠MON+∠CGB＝90°，∴∠BCG＝∠MON，则tan∠BCG＝tan∠MON＝2，∴BG＝2BC＝4，CG＝，在Rt△AOE中，设OE＝a，由tan∠MON＝2，可得OA a，则OG+6，OF＝OG＝a+，∴EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝∵CD平分∠FCO，∴∠FCD＝∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD＝∠CGO，∠DCO＝∠COG，∴∠CGO＝∠COG，∴CO＝CG＝在Rt△COB中，由BC2+BO2＝OC2，得22++2）2＝（2，解得a1＝﹣655（舍去），a2＝255，∴OF＝a+5＝5，cos∠COF＝45 OFOC=，∴sin∠COF＝3 5；（3）当D在∠MON内部时，①如图3﹣1，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，∴m＝2；②当△FDA∽△CDF时，如图3﹣2，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，则∠FDC＝∠FDA＝135°，∴∠FDP＝45°，∵PC＝FP•tan∠PFC＝FP•tan∠MON＝2FP＝2DP＝CD+DP，∴FP＝PD＝CD＝m，∴FD m，∵△FDA∽△CDF，∴FD CD DA FD=，∴FD==，∴m＝1；当D在∠MON外部时，∠ADF＞90°，∠DFC＞90°，∴∠ADF ＝∠DFC ，∴∠DFI ＝∠FDI ，ID ＝IF ，①如图3﹣3，△FDA ∽△DFC 时，此时△FDA ≌△DFC ，∴CF ＝AD ＝2，∵∠DAF ＝∠FCD ＝∠FHD ，∴A 、O 重合，延长BC 交ON 于R ，∴FR ＝2CF ＝4，CR ＝BR ＝，∴m ＝CD ＝AB ＝12BR ＝；②如图3﹣4，△FDA ∽△CFD 时，设CF ＝（t ＞0），延长BC 交ON 于R ，过F 作FS ⊥CD 于S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH ＝FC ，∴ID ＝IF ＝12CF ，∴IS ＝t ，FS ＝2t ，CS ＝4t ，DS ）t ，DH ＝FC ＝，∵△FDA ∽△CFD ，∴AD DF DF FC=，∴DF 2＝AD •FC ＝2DH ＝t ，∵DF 2＝DS 2+FS 2，∴＝4t 2+）2t 2，解得t 1＝512-，t 2＝0（舍去），∴DH ＝t ＝52＝AD ，矛盾，综上所述：m ＝1或m ＝2，或m ＝【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．专题三动点函数背景下的等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得AD ACAC AB=，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出AC ADDH EH=，由此构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴AD ACAC AB=，∴334AD=，∴94AD=．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=5，∵BE＝y，∴EH＝35y，BH＝45y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴AC AD=DH EH，∴3x=434-x-55y y，∴220594x xyx-=+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC ＝AB ′＝3，AE ⊥CB ′，∴CE ＝'EB ='12CB ＝52，∴AE 22225113()22AC CE -=-，由△ACE ∽△KCA ，可得AK ＝3115，CK ＝185，∴BK ＝AB ﹣AK ＝4﹣3115，∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM ＝DN ，∴181185215252CDK CDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆===== ，∴BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043151143）＝7242151143．②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝7242﹣151143．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝BD ＝10，CD ＝4，AD＝6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE ＝DQ ＝BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP ＞BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP ＝m （0＜m ＜5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ ∽△BCD ，得出∠DQE ＝∠BDC ，即可得出结论；（2）先用△DEQ ∽△BCD ，得出比例式表示出EQ ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）先判得出△PHQ ∽△BGD ，得出PH PQ HQ BG BD GD ==，进而表示出HQ ＝1025m -，PH ＝26(102)5m -，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠EDQ ＝∠DBC ，∵DE ＝DQ ，BD ＝BC ，∴1DE DQ =，BD BC ＝1，∴DE BD DQ BC=，∴△DEQ ∽△BCD ，∴∠DQE ＝∠BDC ，∴EQ ∥CD ；（2）设BP ＝x ，则DQ ＝x ，QP ＝2x ﹣10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQ QDDC BC=，∴410EQ x=，∴EQ＝25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ＝EP时，∴∠EQP＝∠EPQ，∵DE＝DQ，∴∠EQP＝∠QED，∴∠EPQ＝∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴，∴EQ2＝DE•QP，∴（25x）2＝（2x﹣10）•x，解得，x＝0（舍）或x＝12523＜6，即：BP＝12523，Ⅱ、当QE＝QP时，25x＝2x﹣10，解得，x＝254＞6，此种情况不存在，即：BP＝125 23；（3）如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD＝BC，BG⊥DC，∴DG＝2，BG＝，∵BP＝DQ＝m，∴PQ＝10﹣2m，∵EQ∥DC，∴∠PQH＝∠BDG，∵∠PHQ＝∠BGD＝90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PH PQ HQBG BD GD==102102m HQ-==，∴HQ＝1025m-，PH＝2)5m-，∴EH＝102255m m-+＝2，∴tan∠PEQ＝PHEH＝2)5m-12⨯＝﹣5m．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE ∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝12CD=1；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴AD DEBH EH=，∴2x DEEH=，∴22x DE EH DHEH EH++==，∴4-2xEH=x+2，∴2424(02)22x xy CE CH HE x xx x-+==+=+=<≤++；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH ＝AD ，那么AD ＝CH ＝12CD =1；当CG ＝CD 时，如图2﹣2，即CG ＝2，点G 为△ABC 的重心，∴332CF CG ==，∴AB ＝2CF ＝6，∴22AC AB ==，∴AD ==；综上所述，AD ＝1【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF ∥AB ，根据平行线的性质得到AE BD AC BC =，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD CD CE=，即AB •CE ＝BD •CD ；（2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴DF ∥AB ，∴AE BD AC BC=，∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA ∽△BAC ，∴BD BA BA BC =，即101016BD =解得，254BD =，∴2541016AE =，解得，AE ＝12532；（3）解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝HC ＝12BC ＝8，由勾股定理得，AH 22221086AB BH -=-=，∴tan B ＝AH BH ＝34，∴tan ∠ADF ＝AF AD ＝34，设AF ＝3x ，则AD ＝4x ，由勾股定理得，DF 22AD AF +＝5x ，∵△BAD ∽△CDE ，∴AD AB DE CD =，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴1042xCD x=，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴1042.5xCD x=，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝39 4；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10475xCD x=，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝252；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴1048x CD x=，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【考点】几何变换综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ODE ∽△OCA ，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解；（2）通过证明△OEM ∽△BAC ，可得∠EOM ＝∠ABC ＝36°，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴S △OAC ＝13，∵DE ∥AC ，∴△ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD ＝k ⋅OC ，∴S △ODE ＝13k 2，（2）∵△ODE ∽△OCA ，∴OE OD DE k OA OC AC ===，∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴AB ＝2AO ，EM ＝12DE ，∴2OE k EM AB AC==，且∠OEM ＝∠OAC ，∴△OEM ∽△BAC ，∴∠EOM ＝∠ABC ＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON ＝∠B +∠ONB ，∴∠AOE +∠EOM ＝∠B +∠ONB ∴y ＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON ＝∠EOM ﹣∠BOE ＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB ＝α﹣144°，∵∠BNO ＝∠ABC ﹣∠NOB ＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝180362-＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键．专题四动点函数背景下的线段问题【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝23 DCAC=；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得AF CFAG BC=，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝12AF CD，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE ＝AD ﹣AE 可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝35，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝23DC AC =；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ，∴AF CF AG BC =，AG AF BC CF =，∴34x CF CF-=，∴124CF x =+．∴12334AF CF x =-=-+＝34x x+．∵∠EAF ＝∠CBF ，∴CD CF AC BC =，∴94CD x =+，∴S △DAF ＝12AF CD ＝2193272442(4)x x x x x ⨯⨯=+++；（3）①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，∵AG ＝8，BC ＝4，AG ∥BD ，∴21AG AF BC CF ==，∴AF ＝2CF ，∵AC ＝3，∴AF ＝2，CF ＝1，∴CF 1tan AGE=tan CBF==BC 4∠∠，∴AE 1=GE 4，设AE ＝x ，GE ＝4x ，∴x 2+16x 2＝82，解得x ＝，即AE ．同理tan ∠DAC ＝tan ∠CBF ，∴DC 1=AC 4，∴DC ＝34，∴AD∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴8241AG AFBC CF===．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴654AE=，∴245AE=，同理AC BCAD AB=，∴345AD=，∴154AD=．∴DE＝AE﹣AD＝241521 5420-=．综合以上可得DE的长为191768或2120．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADE ，理由如下：∵AB 2＝BE •DC ，∴BE AB AB DC=，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，BE AC AB DC =，∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED ＝∠DAC ．∵∠AED ＝∠C +∠EAC ，∠DAC ＝∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE ＝∠C ．∴△ADE ∽△CDA ；（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴DG DE AD DF AD CD==，设CE ＝a ，则DE ＝3CE ＝3a ，CD ＝4a ，∴34a AD AD a=，解得：AD ＝23a ，∴23342DG AD a DF CD a ===；（3）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠DAE ＝∠C ＝45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG ＝∠ADF ＝45°，∴AG ＝DG ＝22AD ＝22×236a ，∴EG 2222(3)(6)3DE DG a a -=-a ，∴AE ＝AG +EG ＝（63）a ，∵∠AED ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△DFA ，∴AD AE DF AD=，∴22AD AE ==a ，∴24DG DF +==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．专题四动点函数背景下四边形【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP ＝x ，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）当四边形PQMN 是矩形时，PQ ∥AB ．根据tan ∠PQM ＝PM PQ求解即可．（2）如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y ＝PM •MK 求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．根据EG ＝12PC 构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．根据PC ＝GH 构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ=3955253PACQ=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝35x，AM＝45x，KQ＝45BQ＝2445x-，BK＝35BQ＝1835x-，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝296325x x-（0＜x＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝35NQ＝35PM＝925x，PC＝8﹣x，∴925x＝12•（8﹣x），解得x＝20043．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝12•925x，解得x＝40059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分三种情形：AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC分别求解即可解决问题．【解答】证明：（1）∵∠ABP +∠BAP +∠APB ＝180°，∠APB +∠BAC ＝180°，∴∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAC ，即∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAP +∠CAP ，∴∠ABP ＝∠CAP ，又∵∠APB ＝∠APC ，∴△PAB ∽△PCA ．（2）如图1中，∵∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴，又∵△PAB ∽△PCA ，∴12PB PA AB PA PC AC ===，∴14PB PB PA PC PA PC == ，即4PC PB =．（3）∵∠BAC ＝45°，∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝∠APC ，∴∠APB ＝∠APC ＝135°．∴∠BPC ＝360°﹣∠APB ﹣∠APC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA ∽△PAB ，∴PA PC AC PB PA AB==，∴163．①如图2中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC 时，2tan PBC=()=1PC AC PB AB =∠．②如图3中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC 时，∠ACB ＝∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，易得2AC AB ，∴2tan PBC=()=2PC AC PB AB=∠．③如图10﹣4，当△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC 时，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠ACB ＝90°，易得2=2AC AB ，∴21tan PBC=()=2PC AC PB AB =∠．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，∠CDE ＝∠A ，∠GBE ＝∠ABC ，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当∠A ＝2∠ACD 时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，AD ：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD ：BE 的值；如果变化，请说明理由．【考点】三角形综合题．。
2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版
例 2022年上海市宝山区第25题如图1，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果13DPCF=，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果22AF AB=，求n的值．图1满分解答（1）如图2，过点F作DC的平行线交EC于点M，所以∠FME＝∠DCE．已知CE⊥BP，DF⊥BP，所以CE//DF．所以四边形CDFM是平行四边形．所以FM＝DC＝CB．根据同角的余角相等，得∠DCE＝∠CBE．所以∠FME＝∠CBE．于是根据“AAS”，可证得△FME≌△CBE．所以EF＝EC．图2 图3 图4 （2）如图3，设BP与AD交于点G．设∠ABP＝α．在等腰三角形ABP中，AB＝AP，所以∠APB＝α．在Rt△ABG和Rt△DFG中，根据内角和相等，得∠ADF＝α．在等腰三角形ADP中，∠ADP＝∠APD．所以∠ADP－α＝∠APD－α．所以∠FDP＝∠FPD．所以FD＝FP．所以△FDP和△ECF都是等腰直角三角形，DP//CE（如图4所示）．如图4，延长CD交BP的延长线于点N．那么∠N＝α．如果13DPCF=，那么1236PF mFE m==，13NPNF=．所以122NP mPF m==．在Rt△NEC中，tan∠N＝62623CE mNE m m m==++．所以tan∠ABP＝23．（3）第一步，点F是一个关键点．如图5，根据“边边边”，可以证得△AFD≌△AFP．所以AF平分∠DAP，∠AFD＝∠AFP＝135°．所以∠AFB＝45°．所以∠AFC＝90°，△AFC始终是直角三角形（如图6所示）．第二步，计算说理．如图6，因为22AB AC=，如果22AF AB=，那么12AF AC=．所以∠ACF＝30°，∠F AC＝60°．所以∠F AD＝60°－45°＝15°．所以n°＝2∠F AD＝30°，n＝30．图5 图6例 2022年上海市崇明区第25题如图1，正方形ABCD 的边长为1，在射线AB 上取一点E ，联结DE ，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，点E 落在点F 处，联结EF ，直线EF 与对角线BD 所在直线交于点M ，与射线DC 交于点N ．（1）当13AE =时，求tan ∠EDB 的值； （2）当点E 在线段AB 上，如果AE ＝x ，FM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值．图1满分解答（1）如图2，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，所以BD ＝2，∠ABD ＝45°． 在等腰直角三角形△BEH 中，BE ＝AB －AE ＝23，所以BH ＝EH ＝23． 在Rt △DEH 中，DH ＝BD －BH ＝223-＝223，所以tan ∠EDB ＝EH DH ＝12．图2 图3 （2）如图3，在Rt △BEF 中，BE ＝1－x ，BF ＝1＋x ，由勾股定理，得222EF x =+ 过点F 作BF 的垂线交BD 的延长线于点Q ，那么△BFQ 是等腰直角三角形．由QF //BE ，得11FM QF x EM BE x+==-．所以11(1)(1)2FM x x EF x x ++==++-． 21222x x +=+．所以2(1)22x x y ++．定义域是0≤x ≤1． （3）按照点G 的位置，分两种情况讨论：①如图4，点G 在BC 上．由13BM BG DM AD ==，得43BD DM =．所以33244DM BD =如图5，由∠DEF＝∠DBA＝45°，∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以2332242DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝31122-=．所以AE＝22．图4 图5 ②如图6，点G在CB的延长线上．由13BM BGDM AD==，得23BDDM=．所以33222DM BD==．如图7，由∠DEF＝∠DBA＝45°，根据等角的补角相等，得∠DEM＝∠DBE．又因为∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以232232DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝3－1＝2．所以AE＝2．图6 图7例 2022年上海市奉贤区第25题如图1，已知锐角△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，延长AD 至G ，使DG ＝FD ，联结BG 、CG ．（1）求证：BD ∙AC ＝AD ∙BG ；（2）如果BC ＝10，设tan ∠ABC ＝m ．①如图2，当∠ABG ＝90°时，用含m 的代数式表示△BFG 的面积；②当AB ＝8，且四边形BGCE 是梯形时，求m 的值．图1 图2满分解答（1）如图3， 在Rt △ADC 和Rt △BEC 中，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为BD 垂直平分FG ，所以BF ＝BG ．根据等腰三角形的“三线合一”，得∠2＝∠3．所以∠1＝∠3．由cos ∠1＝cos ∠3，得AD BD AC BG=．所以BD ∙AC ＝AD ∙BG ．图3 图4（2）①如图4，如果∠ABG ＝90°，那么∠3＝∠4．所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4．．根据“ASA ”，可证△ADB ≌△ADC ．所以BD ＝CD ＝5．由△ABC ∽△BFG ，根据相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，得()222tan ABC BFG S AD ABC m S BD ⎛⎫==∠= ⎪⎝⎭△△．所以S △BFG ＝21m S △ABC ． 而S △ABC ＝225AD BC AD BC m BC⋅=⋅=，所以S △BFG ＝21m S △ABC ＝25m ． ②分两种情况讨论梯形BGCE ．情况一：如图5，当CG ∥BE 时，∠2＝∠5．又因为∠2＝∠3，所以∠3＝∠5．所以GB ＝GC ．根据等腰三角形的“三线合一”，可知GD 垂直平分BC ．所以BD ＝CD ＝5．在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝5，所以AD＝39，m＝tan∠ABC＝395ADBD=．情况二：如图6，当BG∥CE时，∠3＝∠6．又因为∠1＝∠3，所以∠1＝∠6，△ADC是等腰直角三角形．设BD＝x，那么AD＝DC＝10－x．由BD2＋AD2＝AB2，得(10－x)2＋x2＝82．解得x1＝57-，x2＝57+（此时△ABC是钝角三角形，舍去）．当x＝57-，m＝tan∠ABC＝10571657957AD xBD x-++===-．图5 图6例 2022年上海市虹口区第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan B ＝34，点D 是边BC 延长线上的一点，在射线AB 上取一点E ，使得∠ADE ＝∠ABC ．过点A 作AF ⊥DE 于点F ．（1）当点E 在线段AB 上时，求证：AF DE AC BD=； （2）在（1）题的条件下，设CD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）记DE 交射线AC 于点G ，当△AEF 与△AGF 相似时，求CD 的长．图1满分解答（1）如图2，已知∠ADE ＝∠ABC ，∠BAD 是公共角，所以△ADE ∽△ABD ．如图3，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得AF DE AC BD=．图2 图3 图4（2）在Rt △ABC 中，由AB ＝10，tan B ＝34，可得AC ＝6，BC ＝8． 如图4，在Rt △ACD 中，CD ＝x ，AC ＝6，所以AD ＝236x +．在Rt △ADF 中，sin ∠ADF ＝sin ∠B ＝35，所以AF ＝35AD ＝23365x +． 由（1），得AF DE AC BD=．所以2336568x y x +=+． 整理，得21(8)3610y x x =++．x 的取值范围是0＜x ≤8．当x ＝8时，E 、B 两点重合． （3）△AEF 和△AGF 有公共的直角边AF ，分两种情况讨论相似．①如图5，AE 和AG 在AF 的两侧．此时AF 垂直平分EG ，∠GDC ＝∠GAF ＝∠EAF ＝α．设AF 的延长线与BC 交于点M ，那么点M 到∠BAC 两边的距离相等，等于MC ．由S △ABC ＝12BC AC ⋅＝1()2MC AB AC ⋅+， 得863106BC AC MC AB AC ⋅⨯===++． 图5 再由∠AMD ＝∠ABC ＋α，∠ADM ＝∠ADE ＋α，∠ABC ＝∠ADE ，得∠AMD ＝∠ADM ．所以AM ＝AD ．根据等腰三角形的“三线合一”，得CD ＝MC ＝3．②如图6，AE 和AG 在AF 的同侧．此时∠GDC ＝∠GAF ＝∠E ＝α．所以BE ＝BD ＝8＋x ．如图7，由△ABD ∽△ADE ，得AB AD AD AE=．所以AD 2＝AB ·AE ． 所以x 2＋36＝10×(10＋8＋x )．整理，得x 2－10x －144＝0．解得x ＝18，或x ＝－8（舍去）．图6 图7例 2022年上海市黄浦区第25题如图1，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠ACB ＝∠DAB ＝90°，AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF ．（1）求证：AE ＝AC ；（2）设BC ＝x ，=AE y EF，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （3）当△ABC 和△DEF 相似时，求边BC 的长．图1满分解答（1）如图2，因为AB 2＝BC ∙BD ，所以=AB BD BC AB． 所以Rt △ACB ∽Rt △DAB ．所以∠4＝∠2．因为AE ⊥BD ，所以∠4＋∠3＝90°．又因为∠1＋∠3＝90°，所以∠4＝∠1．所以∠1＝∠2．根据“AAS ”，可证得△AEB ≌△ACB ．所以AE ＝AC ．图2 图3（2）已知AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，BC ＝BE ＝x ，所以9BD x=． 设M 为Rt △ABD 的斜边BD 的中点，那么MB ＝MA ＝MD ．所以∠MAB ＝∠MBA ．又因为∠MBA ＝∠CBA ，所以∠MAB ＝∠CBA ．所以MA //FC ．所以229192222x BD BE AE ME x x y EF BE BE x x ---=====． 定义域是0＜x 32 （3）如图4，因为△ABC ∽△ABE ≌△DAE ，若△ABC 与△DEF 相似，我们灵活运用相似三角形的传递性，分两种情况讨论．①如图4，当∠1＝∠5时，AB //DF ．所以BE AEyED EF==．所以229292x xxxx-=-．整理，得x2＝3．解得x＝±3．所以BC＝3．②如图5，当∠1＝∠6时，等量代换，得∠4＝∠6．此时AE＝EF．所以229212-==xyx．整理，得x2＝94．解得x＝±32．所以BC＝32．图4 图5例 2022年上海市嘉定区第25题在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD 垂直，34ABAC=，四边形ABCD的周长是16，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F是在边AB上一点，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果BF∶FA＝1∶2，求△CDE的面积．图1 图2 备用图满分解答（1）如图3，过点D向直线AB作垂线，垂足为H，那么四边形ACDH是矩形．由AB＝DC，DC＝HA，得HA＝AB．所以BH＝2AB．在Rt△DBH中，cot∠AFD＝233242 BH ABDH AC==⨯=．图3 图4（2）如图3，在Rt△ABC中，34ABAC=，设AB＝3m，AC＝4m，那么BC＝5m．已知平行四边形ABCD的周长为16，所以2(3m＋5m)＝16．解得m＝1．所以AB＝3，AC＝4，BC＝5．如图4，由DC//AB，得∠EDC＝∠F AD，∠CDF＝∠DF A＝α．又已知∠CDF＝∠CED＝α，所以∠CED＝∠DF A＝α．所以△EDC∽△F AD．所以35 DE DCAF AD==．所以5335xy-=-．整理，得53433y x=-+．定义域是5＜x≤345．当E、D两点重合时，x＝5．当F、B两点重合时，53435y x=-+=，解得x＝345．（3）如图5，由△CDE∽△DAF，得2239525 CDEDAFS CDS DA⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．而S△DAF＝12AF DH⋅＝142AF⨯＝2AF，所以S△CDE＝925S△DAF＝9225AF⨯＝1825AF．分两种情况讨论BF∶FA＝1∶2．①如图5，当点F在AB上时，AF＝23AB＝2．此时S△CDE＝1825AF＝18225⨯＝3625．②如图6，当点F在AB的延长线上时，AF＝2AB＝6．此时S△CDE＝1825AF＝18625⨯＝10825．图5 图6例 2022年上海市金山区第25题如图1，AD ⊥直线MN ，垂足为D ，AD ＝8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC 交射线DN 于点C ，∠ABC 的平分线分别与AD 、AC 相交于点E 、F ．（1）求证：△ABE ∽△CBF ；（2）如果AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结DF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长．图1满分解答（1）如图2，∠ACD 和∠BAD 都是∠ABC 的余角，所以∠ACD ＝∠BAD ．又因为BF 平分∠ABC ，所以∠1＝∠2．所以△ABE ∽△CBF ．（2）如图3，由∠1＝∠2，∠BAF ＝∠BDE ，得△BAF ∽△BDE ． 所以=AF BF DE BE ． 所以∠AFB ＝∠BED ＝∠AEF ．所以AF ＝AE ．已知AE ＝x ，所以AF ＝x ，ED ＝AD －AE ＝8－x ．由（1），得△ABE ∽△CBF ．所以=CF BF AE BE． 等量代换，得=CF AF AE DE ．所以8=-y x x x．整理，得28=-x y x ．图2 图3 （3）如图4，因为△ABE ∽△CBF ，如果△DEF 与△BCF 相似，那么△DEF 与 △ABE 也相似．因为∠AEB ＝∠DEF ，分两种情况讨论．①如图4，如果∠3＝∠4，那么△AEB ∽△FED ．所以EA EB EF ED=． 又因为∠AEF ＝∠BED ，所以△AEF ∽△AED ．所以∠AFE ＝∠BDE ＝90°，不符合题意，舍去．②如图5，若∠3＝∠1，那么DF //AB ．所以=FD DE AB AE ，=FD CF AB CA ．等量代换，得=CF DE CA AE． 所以8-=+y x y x x ．代入28=-x y x，整理，得x 2＋8x －64＝0． 解得x 1＝445-+x 2＝445--．所以AE ＝445-+图4 图5例 2022年上海市静安区第25题如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB ＝9，AE ＝6，AE 2＝AB ∙AD ，且DC //AE ．（1）求证：DE 2＝AE ∙DC ；（2）如果BE ＝9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设BE ＝x ，EF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 图2满分解答（1）如图3，如图4，因为AE 平分∠BAD ，所以∠1＝∠2＝α．因为AE 2＝AB ∙AD ，所以=AB AE AE AB．所以△ABE ∽△AED ． 所以∠3＝∠4＝β，∠5＝∠6＝θ．因为DC //AE ，所以∠4＝∠7＝β，∠9＝∠5＝θ．所以∠9＝∠6＝θ．所以△AED ∽△EDC ．所以=AE DE DE DC．所以DE 2＝AE ∙DC ．图3 图4（2）如图5所示，如果BE ＝BA ＝9，那么α＝θ．此时△ABE 、△AED 、△DEC 是两两相似的等腰三角形．所以AE ＝ED ＝DC ＝6．因为AD //BC ，所以四边形ABCD 是梯形，四边形AECD 是平行四边形．由966AD=，得EC ＝AD ＝4． 如图6，作DH ⊥EC 于H ，那么EH ＝HC ＝2．在Rt △DHC 中，DC ＝6，HC ＝2，由勾股定理，得364DH -42所以S 梯形ABCD ＝1()2+⋅AD BC DH ＝1(494)422++⋅＝342图5 图6（3）如图，由△ADE ∽△AEB ，得AE DE AB BE =．所以69DE x =． 解得DE ＝23x ． 由△EDC ∽△ABE ，得DE DC EC AB BE AE==．所以2396x DC EC x ==． 解得DC ＝2227x ，EC ＝49x ，则CF ＝49y x -． 由DC //AE ，得DC CF AE EF=．所以2242796x y x y -=． 整理，得23681x y x=-．定义域为0＜x ＜9．。
2018年上海初三年级数学一模压轴题汇总[各区23~25题]
![2018年上海初三年级数学一模压轴题汇总[各区23~25题]](https://img.taocdn.com/s3/m/88aaccf789eb172ded63b7b5.png)
崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． （1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第23题图）ABDECGF崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点N ．（（（△（第24题图） （备用图）崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1） ABCD FE BD FE CA（第25题图2）BDFECA（第25题图3）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线23y ax bx =++与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OA OC =，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线1x =，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值；（3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标．金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC中，45,cos5AB AC B===，P是边AB一点，以P为圆心，PB为半径的Pe与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．ABDEF图8如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； （2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图10QP D C BA备用图A BCD黄浦23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ED CBA在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若A C B D ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； （2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠P AB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ， DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．（1）求证：2AD AF AB =⋅； （2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．（第23题图）ABDCEFG抛物线23(0)y ax bx a=++≠经过点A（1-，0），B（3 2且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．（第24题图）闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ． （1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； （3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．（备用图）ABDC（第25题图）AB DCEFG浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A （第23题图）DEFBC浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E（第24题图）浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ． （1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．（第25题备用图）ABC（第25题备用图）ABC虹口23．（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF BF CF⋅=⋅．（1）求证AD AB AE AC⋅=⋅；（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与△△ADE ECFSS的值．分4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．分4分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFy AC=．（1）如图1，当x=4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽；（2）··AB BC BD BE =．图9Bx普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； （2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域； （3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11P ACC E F嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10静安23. （本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）已知：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE ∽DBC ；（2）如果56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. （本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. （本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），A F B A C B∠=∠，设AB 长度是a （a 实常数，且0a >），,A C xA F y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． （1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDA第23题图长宁24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分） 如图在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ， ∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ． （1）求证：AE =AF ；（2）若DF CFDE AE,求证：四边形EBDF 是平行四边形．徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3,0），与y轴交于点C，抛物线2=++过点B、C且与x轴的另一个交y x bx c点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M 的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.（2）当EF//DC时，求证：AE=DE.（第23题图）杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.（第24题图）杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（备用图）（图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点，CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =．（1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求FAB ∠的余切值； （3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD上（不与点A 、D 重合），45,C E B E B ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长； （2）如果把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C，设CAE BAFCy C=，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G . （1）求证：AE EGAC CG=； （2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。
上海市初三数学一、二模考24.25压轴题收集
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得
△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）
如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC= 6，BO⊥AC，垂足为点O．过点A作射线AE//BC，点P是边BC上任意一点，联结PO并延长与射线AE相交于点Q，设B、P两点间的距离为x．
（1）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；
（2）当△CEF是等腰直角三角形时,求线段BE的长；
（3）设BE=x,CF=y，试求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域.
(图8) （图9）
静安24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A（3，3），一次函数的图像经过点A和点B（6，0）．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
宝山24．(本题满分12分，共3小题，每小题满分各4分）
如图8，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线 上．
（1）求 、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形
使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，
求所有满足条件的⊙P的半径.
虹口24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分3分）
已知等腰 在平面直角坐标系中的位置如图9，点 坐标为 ，点 坐标为 ．
（1）若将 沿 轴向左平移 个单位，此时点 恰好落在反比例函数 的图像上，求 的值；
2018上海初三数学一模压轴题汇总(各区23~25题)
崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第23题图）ABDECGF崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个x P 、N ．（（第24题图）xx（备用图）崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1）ABCDFEBDFECA（第25题图2）BDFECA（第25题图3）金山23. （本题满分12分，每小题6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．金山24. （本题满分12分，每小题4分）y ax bx与y轴相交于点C，与平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线23x轴正半轴相交于点A，OA OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线1x，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC中，4 5,cos5AB AC B，P是边AB一点，以P为圆心，PB 为半径的P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图青浦25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值；（2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图QP D C BA 备用图A B CD黄浦23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ED CBA黄浦24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA松江23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．（1）求证：2AD AF AB =⋅； （2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．（第23题ABDCEFG闵行24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)y ax bx a=++≠经过点A（1-，0），B（3 2且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．（第24题x闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ．（1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； （3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．（备用图）ABDC（第25题ABEFG浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分） 如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A （第23题DEFBC浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点Ex（第24题图）浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接．．写出FG的长度．（第25题备用图）AB C（第25题备用图）AB C虹口23．（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅．（1）求证AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．虹口24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．虹口25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFyAC=．（1）如图1，当x=4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽； （2）··AB BC BD BE =．图9A Bx普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）； ①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； （2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11BPACCE F嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结求证：CA CE AF ⋅=2.C图嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．QM 图8M 图9图10静安23. （本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）已知：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE ∽DBC ；（2）如果56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. （本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. （本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分） 已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a （a 实常数，且0a >），,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDA第23题长宁24．（本题满分12分，每小题4分） 在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5， 求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图 第24题长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第23题C杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.x（第24题图）杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上.（1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（备用（图1）A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题A B CD奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点，CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =．（1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长； （2）如果把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C，设CAE BAFCy C=，求y关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、（满分12分，每小题各6分）如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G .（1）求证：AE EGAC CG=； （2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、（满分12分，每小题各4分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。
2020上海初三数学一模压轴题汇总各区23~25题
崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；（2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．崇明24．（本题满分12分，每小题各4分） 如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点N ． （（（△ B DEC G F （第24题图）（备用图）崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ． （1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．金山23. （本题满分12分，每小题6分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD 是Rt △ABC 的高，E 是AC的中点，ED 的延长线与CB 的延长线相交于点F ． （1）求证：DF 是BF 和CF 的比例中项；（2）在AB 上取一点G ，如果AE ：AC=AG ：AD ，求证：EG ：CF=ED ：DF ．金山24. （本题满分12分，每小题4分） 平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线23y ax bx 与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OAOC ，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线1x ，顶点为P ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值；（3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标． 金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC 中，45,cos 5AB AC B ，P 是边AB 一点，以P 为圆心，PB 为半径的P 与边BC 的另一个交点为D ，联结PD 、AD ．（1）求△ABC 的面积； （2）设PB =x ，△APD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD 是直角三角形，求PB 的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD CA CE CB ⋅=⋅．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）若BE AB EC AC=，求证：AB AD AF AE ⋅=⋅． 青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题43）小题5 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于点 A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A（第25题图1）A BC D F E B DF E C A （第25题图2）B D F EC A （第25题图3） A BDEF 图8关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．图9青浦25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ．（1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值；（2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．黄浦23、（本题满分12分） 如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项. （1）求证：12CDE ABC ∠=∠ （2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ 黄浦24、（本题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.松江23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =⋅．（1）求证：AD ∥BC ；（2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =⋅．松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM图10 Q P D C B A 备用图 A B C D E DCB A是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．（1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长． 闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E=∠C ．（1）求证：2AD AF AB =⋅；（2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．闵行24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点A （1-，0），B （32且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标． 闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ．（1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1）求证：BD ⊥AC ； （2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.浦东24．（本题满分12分，每小题4分） 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .若存在，求出点E浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4 A C E F G （备用图） A B D C （第25题图） A B D C E F G （第24题图） A （第23题图） D E F B C题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ．（1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．虹口1、E 、F ，且EF⋅（1；（2=8 虹口1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标．虹口25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB =5，AD =4，AD ∥BM ，3cos 5B =（如图），点C 、E 分别为射线BM 上的动点（点C 、E 都不与点B 重合），联结AC 、AE ，使得∠DAE =∠BAC ，射线EA 交射线CD 于点F ．设BC =x ，AF y AC=． （1）如图1，当x =4时，求AF 的长；（2）当点E 在点C 的右侧时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）联结BD 交AE 于点P ，若△ADP 是等腰三角形，直接写出x 的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽；（2）··AB BC BD BE =． 普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，图9AB与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标． 普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠；（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF . 求证：CA CE AF ⋅=2.嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ，第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）图6在正方形ABCD中，8=AB，点P在边CD上，43tan=∠PBC，点Q是在射线BP 上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q在线段BP上，设xPQ=，yRM=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．静安6中，⊥作∠，交DB（1ABE；（2）如果56BCBD=，求BCEBDASS的值．静安24.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线253y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD中，090,,,BAD AD DC AB BC AC<∠≤==平分BAD∠．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），AFB ACB∠=∠，设AB长度是a（a实常数，且0a>），,AC x AF y==，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE是等腰三角形时，求AC的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，AC图8A图9A图10FEADE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆；（2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．长宁24．（本题满分12分，每小题4分） 在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ， ∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ．（1）求证：AE =AF ； （2）若DF CF DE AE =,求证：四边形EBDF 是平行四边形． 徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；备用图第24题图 备用图备用图 图1 D CB A DC B A F E PD C B A 第25题图（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =2，AB =4，BC =5，在射线BC 任取一点M ，联结DM ，作∠MDN =∠BDC ，∠MDN 的另一边DN 交直线BC 于点N （点N 在点M 的左侧）．（1）当BM 的长为10时，求证：BD ⊥DM ；（2）如图（1），当点N 在线段BC 上时，设BN =x ，BM =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN 是等腰三角形，求BN 的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC . （1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H . （1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点， CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =． （1） 求证：BD 平分⊥ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．O x y 1 2 3 4 1 23 4 5 -1-2 -3-1 -2 -3 （第24题图） （备用图） （图1） A B C D N P M E （图2） A B C D NP M E （第25题图）A B CD （第23题图）A B C D F E奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C ，设CAEBAF Cy C =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长． 宝山23、（满分12分，每小题各6分）如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G .（1）求证：AE EG AC CG=； （2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF的比例中项.宝山24、（满分12分，每小题各4分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。
2021上海初三数学一模压轴题汇总(各区23~25题)
崇明23．〔此题总分值12分，每题各6分〕如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． 〔1〕求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； 〔2〕联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．〔第23题图〕ABDECGF崇明24．〔此题总分值12分，每题各4分〕如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点〔点、N ． 〔〔〔〔第24题图〕 〔备用图〕崇明25．〔此题总分值14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分〕如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．〔1〕如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；〔2〕如图2，当点E 在AC 边上挪动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，假如变化请说出变化情况；假如保持不变，恳求出DFE ∠的正切值；〔3〕如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．〔第25题图1〕 ABCD FE BD F ECA〔第25题图2〕BDFECA〔第25题图3〕金山23. 〔此题总分值12分，每题6分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．〔1〕求证：DF是BF和CF的比例中项；〔2〕在AB上取一点G，假如AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．金山24. 〔此题总分值12分，每题4分〕y ax bx与y轴相交于点C，与x轴平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线23x，顶点为正半轴相交于点A，OA OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线1P．〔1〕求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；〔2〕抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；〔3〕点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．金山25. 〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题6分〕如图，在△ABC中，45,cos5AB AC B，P是边AB一点，以P为圆心，PB为半径的P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题8分〕如图8，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．〔1〕求证：∠CAE＝∠CBD；〔2〕假设BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图8青浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题5分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A 〔-1，0〕和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．〔1〕求点C 的坐标〔用含a 的代数式表示〕；〔2〕联结AC 、BC ，假设△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9青浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕 如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点〔点P 不与点A 、点 D 重合〕，点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． 〔1〕当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； 〔2〕设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；〔3〕联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，假设存在，指出这个角，并求出它的度数；假设不存在，请说明理由．图10QP D C BA 备用图A BCD黄浦23、〔此题总分值12分〕如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，BD 是BA 与BE 的比例中项.〔1〕求证：12CDE ABC ∠=∠〔2〕求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ ED CBA黄浦24、〔此题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. 〔1〕求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；〔2〕现将此抛物线沿y 方向平移假设干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，假设AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、〔此题总分值14分〕 如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E 〔不与端点A 、D 重合〕.〔1〕当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； 〔2〕当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；〔3〕设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA松江23．〔此题总分值12分，每题6分〕四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC〔1〕求证：AD∥BC；〔2〕过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC松江24．〔此题总分值12分，每题4分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． 〔1〕求点A 的坐标和抛物线的表达式； 〔2〕当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；〔3〕记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．〔1〕求线段CD的长；〔2〕当点P在CD的延长线上，且∠P AB=45°时，求CP的长；〔3〕记点M为边AB的中点，联结CM、PM，假设△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕如图，在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．〔1〕求证：2AD AF AB =⋅； 〔2〕求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．〔第23题图〕ABDCEFG闵行24．〔此题共3题，每题4分，总分值12分〕抛物线23(0)y ax bx a=++≠经过点A〔1-，0〕，B〔3 2且与y轴相交于点C．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕求∠ACB的度数；〔3〕设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．〔第24题图〕闵行25．〔共3小题，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题4分，总分值14分〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ． 〔1〕当∠EDF =90°时，求AE 的长；〔2〕CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； 〔3〕假如△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．〔备用图〕ABDC〔第25题图〕ABDCEFG浦东23．〔此题总分值12分，其中第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. 〔1〕求证：BD ⊥AC ；〔2〕联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A 〔第23题图〕DEFBC浦东24．〔此题总分值12分，每题4分〕抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；〔3〕在〔2〕的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.假设存在，求出点E〔第24题图〕浦东25．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ． 〔1〕求证：△EFG ∽△AEG ；〔2〕设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； 〔3〕联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．〔第25题备用图〕ABC〔第25题备用图〕ABC虹口23．〔此题总分值12分，第〔1〕题总分值6分，第〔2〕题总分值6分〕如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅．〔1〕求证AD AB AE AC ⋅=⋅；〔2〕当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．虹口24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值4分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A〔-2,0〕、B〔4,0〕，与y轴交于点C〔0，-4〕，BC与抛物线的对称轴相交于点D．〔1〕求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；〔2〕过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，点F在射线AE上，假设△ADF∽△ABC，求点F的坐标．虹口25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值5分，第〔3〕小题总分值4分〕AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=〔如图〕，点C、E分别为射线BM上的动点〔点C、E都不与点B重合〕，联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFyAC=．〔1〕如图1，当x=4时，求AF的长；〔2〕当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；〔3〕联结BD交AE于点P，假设△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. 〔此题总分值12分〕：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：〔1〕BCE ADE ∽；〔2〕··AB BC BD BE =．图9A Bx普陀24．〔此题总分值12分，每题总分值各4分〕如图10，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c +=+〔其中a c 、为常数，且0a <〕与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的间隔 为4．〔1〕求该抛物线的表达式； 〔2〕求CAB ∠的正切值；〔3〕假如点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值3分，第〔1〕小题总分值5分，第〔1〕小题总分值6分〕如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点〔点D 不与点A B 、重合〕，以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．〔1〕点D 在运动时，以下的线段和角中，______是始终保持不变的量〔填序号〕；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； 〔2〕设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11BPACCE F嘉定23．〔此题总分值12分，每题6分〕如图6，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.〔1〕求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；〔2〕以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6嘉定24．〔此题总分值12分，每题4分〕在平面直角坐标系xOy 〔如图7〕中，抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B . 〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，假如 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；〔3〕设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．〔总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．〔1〕如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； 〔2〕如图9，试探究：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？假设有变化，请说明你的理由；假设没有变化，恳求出它的比值；〔3〕如图10，假设点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10静安23. 〔此题总分值12分，其中第1小题6分，第2小题6分〕：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． 〔1〕求证：ABE ∽DBC ；〔2〕假如56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. 〔此题总分值12分，第1小题4分，第2小题8分〕在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．〔1〕求此抛物线顶点C的坐标；〔2〕联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. 〔此题总分值14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分〕：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕假如点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F 〔点F 可与点D 重合〕，AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a 〔a 实常数，且0a >〕，,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．〔计算结果用含a 的代数式表示〕长宁23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． 〔1〕求证：BFD ∆∽CAD ∆； 〔2〕求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDABC第23题图长宁24．〔此题总分值12分，每题4分〕在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．〔1〕求上述抛物线的表达式；〔2〕联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，假如∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；〔3〕过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 假设∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题5分〕 在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点〔点P 不与点B 、D 重合〕，过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E . 设PD=x ，EF =y ．〔1〕当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；〔2〕如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； 〔3〕联结PC ，假设∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值7分〕如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．〔1〕求证：AE=AF；〔2〕假设DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值3分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值5分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx 〔k ≠0〕沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B 〔3,0〕，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．〔1〕求直线BC 及该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；〔3〕假如点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题7分，第〔3〕小题4分〕，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N〔点N在点M的左侧〕．〔1〕当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；〔2〕如图〔1〕，当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；〔3〕假如△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题7分〕：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.〔2〕当EF//DC时，求证：AE=DE.〔第23题图〕杨浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .〔1〕求顶点D 的坐标〔用含m 的代数式表示〕；〔2〕当抛物线过点〔1，-2〕，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和间隔 ；〔3〕当抛物线顶点D 在第二象限时，假如∠ADH =∠AHO ，求m 的值.〔第24题图〕杨浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕、〔2〕小题各6分，第〔3〕小题2分〕：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. 〔1〕如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； 〔2〕如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；〔3〕请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.〔备用图〕〔图1〕A B C D NP ME〔图2〕 A B C D N P M E 〔第25题图〕A B CD奉贤23．〔此题总分值 12 分，每题总分值各 6 分〕：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点， CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =． （1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. 〔此题总分值 12 分，每题总分值各 4 分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． 〔1〕求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； 〔2〕求FAB ∠的余切值；〔3〕点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．〔此题总分值 14 分，第〔1〕小题总分值 3 分，第〔1〕小题总分值 5 分，第〔1〕小题总分值 6 分〕：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上〔不与点A 、D 重合〕，45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =． 〔1〕用含x 的代数式表示线段CF 的长； 〔2〕假如把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C，设CAE BAFCy C=，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； 〔3〕当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、〔总分值12分，每题各6分〕如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G . 〔1〕求证：AE EGAC CG=； 〔2〕假设AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、〔总分值12分，每题各4分〕设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，假如它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数〞。
2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解
可得： y 2x2 2 （0＜x＜2）； 2x 1
（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝ 1 x2 ，EH＝ 1 ( y x)2 ，
∴ EG AE ，∴EG＝ AE EH ，
GH CH
AE CH
∵∠BEG＝∠DHE，
若△BEG 与△DHE 相似，则有两种情况，
【知识梳理】
专题二 动点函数背景下的面积问题
【历年真题】
1．（2020 秋•静安区期末）已知∠MAN 是锐角，点 B、C 在边 AM 上，点 D 在边 AN 上，∠
EBD＝∠MAN，且 CE∥BD，sin∠MAN＝ 3 ，AB＝5，AC＝9． 5
（1）如图 1，当 CE 与边 AN 相交于点 F 时，求证：DF•CE＝BC•BE； （2）当点 E 在边 AN 上时，求 AD 的长； （3）当点 E 在∠MAN 外部时，设 AD＝x，△BCE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
⊙O 的半径为 5，tan∠OAC＝ 3 ． 4
（1）求弦 AC 的长． （2）当点 E 在线段 OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值． （3）当 OE＝1 时，求点 A 与点 D 之间的距离（直接写出答案）．
3．（2020 秋•黄浦区期末）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD＝4，CB＝CD＝3，∠ABC＝
4．（2020 秋•奉贤区期末）已知⊙O 的直径 AB＝4，点 P 为弧 AB 上一点，联结 PA、PO， 点 C 为劣弧 AP 上一点（点 C 不与点 A、P 重合），联结 BC 交 PA、PO 于点 D、E．
（1）如图，当 cos∠CBO＝ 7 时，求 BC 的长； 8
2023年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编
2023年上海各区数学中考一模压轴题分类汇
编
一、整数与有理数
1. 下列说法中与负数有理数有关的是（）
A.偶数是自然数，也是有理数
B.奇数是整数，也是有理数
C.零是整数，也是有理数
D.所有的整数都是有理数
2. 结果为有理数的是（）
A.3-3√2
B.√2+√3
C.√5-2√5
D.1+2√3
二、代数式与方程
3. 如果代数式3x-7的值在3和6之间，则x的范围是（）
A.3<x<6
B.3≤x≤6
C.3≤x<6
D.3<x≤6
4. 已知代数式2x-a的值在-5和3之间，则实数a的范围是（）
A.-8≤a≤1
B.-1≤a≤8
C.-8<a≤1
D.-1<a≤8
三、图形与几何
5. 在坐标平面直角坐标系中，若点P的坐标是(3，-4)，则点P 所在的象限是（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6. 平面内的点集合最可能是（）
四、函数与不等式
7. 在函数图象上，若x增大时y不断减小，则该函数是（）
A.单调递增函数
B.单调递减函数
8. 若|2x-5|<7,则x的取值范围是（）
A.-1<x<6
B.-6<x<1
C.1<x<6
D.-1≤x≤6
以上就是2023年上海各区数学中考一模压轴题的分类汇编，希望同学们认真复习，提前了解考点，为考试做好充分准备。
祝各位同学顺利通过考试！。
2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解
专题2021年分类汇编-23题专题一A字型X型【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：11nBC AH EF+=．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）专题二相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB ＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．专题三相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB．专题四相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC；（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF•DC＝EF•BC．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．专题2021年分类汇编-23题专题一A 字型X 型【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，△ABC 的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD •EH ＝DH •CE ；（2）设DE ＝n •EF （n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△BDG ∽△ABH ，△FEC ∽△ACH ，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明△AGF ∽△ABC ，对应边成比例即可证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴GD ⊥BC ，FE ⊥BC ，DG ＝EF ，∵AH ⊥BC ，∴GD ∥AH ∥FE ，∴BD BG =DH GA CE FC =HE FA∵GF ∥BC ∴BG FC =GA FA ∴BD CE =DH EH∴BD •EH ＝DH •CE ；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF AF =BC AC ，∵FC EF =AC AH ，∴GF EF 1BC AH AF FC AC AC+=+=，∵GF ＝DE ＝n •EF ，∴1n EF EF BC AH += ，∴11n BC AH EF+=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得AD DE BF AB=，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得BE BMDE AD=，进而证出BM DNBC DC=，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴AD DEBF AB=，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴BE BM DE AD=，∵BE DNDE DC=，∴BM DNAD DC=，∴BM DNBC DC=，∴MN∥BD，∴EF∥MN．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：③如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；④如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．（2）连接CA，DB，延长CA交DB延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF∥BC，求证：OE＝OF．证明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE AO=BC AC，OF DO=BC DB，∵AD∥BC，∴AO DO=AC DB，∴EO OF=BC BC，∴EO＝OF．（2）如图3中，点M，N即为所求作．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．专题二相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得AB BEBC BD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BCAD CD=，设AF BCAD CD=＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝AD，BD CD，∴DF AD BD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BC AD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴AB BE BC BD=，∴BC•12BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到AF EFAC AB=，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴AF EF BF DF=，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴AF EFAC AB，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，可得△ADE∽△BCE，得∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，根据AB＝AD，进而可以证明结论；（2）根据DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，可得△ADB∽△ADE，对应边成比例，结合（1）△ADE∽△CBE对应边成比例，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△EDA，∴AB AD AE DE=，∵△ABE∽△ACB，∴AD DE BC EC=，∴AD BCDE EC=，∴AB BCAE EC=，∴AB•EC＝BC•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CE CGBE AG=，进而可得CE CGBE BF=，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠DCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明△ABE∽△CBA，可得AB BEAC AB=，可得结论．【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴CE CG BE AG=，∵BF＝AG，∴CE CG BE BF=，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴AB BE AC AB=，∴AB 2＝AC •BE ＝AC •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABE ∽△CBA 是本题的关键．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE ＝∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE •CB ＝AB •CD ．（1）求证：AD ∥BC ；（2）当AD ＝DE 时，求证：AF 2＝CF •CA．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ABC ∽△ECD ，可得∠CDE ＝∠ACB ＝∠CAD ，可得结论；（2）由“ASA ”可证△ADF ≌△DEC ，可得AF ＝CD ，通过证明△ADC ∽△DFC ，可得CD CF AC CD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵CE •CB ＝AB •CD ，∴AB BC EC DC=，又∵∠B ＝∠DCB ，∴△ABC ∽△ECD ，∴∠CDE ＝∠ACB ，∵∠CDE ＝∠CAD ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，在△ADF 和△DEC 中，DAC=CDE AD=DE ADF=DEC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADF ≌△DEC （ASA ），∴AF ＝CD ，∵∠CDE ＝∠DAC ，∠DCA ＝∠DCF ，∴△ADC ∽△DFC ，∴CD CF AC CD=，∴CD 2＝CF •CA ，∴AF 2＝CF •CA ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF ＝CD 是本题的关键．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到AD DF=BC BD，再证明△ADE∽△CBE，则AD DE=BC BE，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到DF DE=BD BE，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴AD DF=BC BD，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴AD DE=BC BE，∴DF DE=BD BE；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴DC DE=BD DC，∴DC2＝DE•DB，∵DF DE=BD BE，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．专题三相似三角形之面积比【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得AE ABAD AC=，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得DF EF DEBD DE BE==，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DF EF DEBD DE BE==，2()DF EF DEBD DE BE= ，∴22DF EF BD BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD的面积的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH ＝∠CBH ，根据等腰三角形的性质得到∠CED ＝∠CDE ，进而得到∠AEC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，根据相似三角形的性质得到AD BD AE CD=，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC ⊥BC ，CH ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠AHC ＝90°，∴∠ACH ＝∠CBH ，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ABD ；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，∴∠CAD ＝∠G ，∵△ACE ∽△ABD ，∴AD BD AE CD =，∠CAD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠G ，∴AB ＝BG ，∵BG ∥AC ，∴△ADC ∽△GDB ，∴BG BD AC CD =，∴AD BD AE CD=，∴ACD ABD ACE ACDS S S S ∆∆∆∆=，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得CD DEBC CD=，可得22CD CD DE DEBC BC CD BC=⋅=，由平行线分线段成比例可得结论．【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，∴AD AC AE AD=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ACD，∴△BCD∽△CDE；（2）∵△BCD∽△CDE，∴CD DE BC CD=，∴22CD CD DE DE BC BC CD BC=⋅=，∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，∴22CD ADBC AB=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．专题四相似三角形综合题【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DC CEBC CD=，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DC CE BC CD=，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）联结EF ，如果∠ADB ＝∠BDF ，求证：DF •DC ＝EF •BC ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AB BD DC BC =，证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AE BD DF BC=，则可得出结论；（2）证明△ADB ∽△EDF ，由相似三角形的性质得出∠ABD ＝∠EFD ，证明△EDF ∽△DBC ，得出DF EF BC DC =，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∵∠ABD ＝∠C ，∴△ABE ∽△DCF ，∴AE AB DF DC=，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴AB BD DC BC =，∴AE BD DF BC =；（2）证明：∵∠ADB ＝∠DBF ，∠ADB ＝∠BDF ，∠BFD ＝90°，∴∠DBF ＝∠BDF ，∴∠DBF ＝ADE ＝45°，∴△AED 和△BFD 都是等腰直角三角形，∴AD BD DE DF==又∵∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△EDF ，∴∠ABD ＝∠EFD ，∵∠ABD ＝∠C ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠EDF ＝∠DBC ，∴△EDF ∽△DBC ，∴DF EF BC DC=，∴DF •DC ＝EF •BC ．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴DE CE=CE BC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BE EF=BF AE，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．。
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崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． （1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第23题图）ABDECGF崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线243y x bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点M 与点A 不重合），过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P N ． （）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（）如果点P 是MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；（）如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM △相似，求点M 的坐标．（第24题图） AMPNBOxyBOxy（备用图）A崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1） ABCD FE BD FE CA（第25题图2）BDFECA（第25题图3）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线23y ax bx =++与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OA OC =，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线1x =，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值； （3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标．金山25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC中，45,cos5AB AC B===，P是边AB一点，以P为圆心，PB为半径的Pe与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图8如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9CB A O yx如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； （2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图10QP D C BA备用图A BCD黄浦23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ED CB A在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； （2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠P AB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ， DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．（1）求证：2AD AF AB =⋅； （2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．（第23题图）ABDCEFG抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点A （1-，0），B （32，0）， 且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ， 当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．（第24题图）y xO CB A闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ． （1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； （3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．（备用图）ABDC（第25题图）AB DCEFG浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A （第23题图）DEFBC浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（第24题图）yx12 3 4 5 –1 –2–3 –4 –51 2 3 4 5–1 –2 –3 –4 –5 O浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ． （1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．C（第25题图）ABG F D E（第25题备用图）ABC（第25题备用图）ABC虹口23．（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF BF CF⋅=⋅．（1）求证AD AB AE AC⋅=⋅；（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与△△ADEECFSS的值．分4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．分4分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFy AC=．（1）如图1，当x=4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE V V ∽；（2）··AB BC BD BE =．图9Bx普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； （2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG V 与AFG V 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11P ACC E F嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.AB CD E F 图6嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .O 11 A B嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．D (R ) QM ABCP 图8ABCD P QM R 图9ACD PQM R图10静安23. （本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）已知：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=o ，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE V ∽DBC V ； （2）如果56BC BD =，求BCE BDA S S V V 的值．静安24.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. （本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==o o平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a （a 实常数，且0a >），,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE V 是等腰三角形时，求AC 的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． （1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDABC第23题图长宁24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M 的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第23题图）A B CDE杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.Oxy 1 2 3 412 3 4 5-1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（备用图）（图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点，CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =． （1） 求证：BD 平分⊥ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===o，点E 在边AD上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=o与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把CAE V 的周长记作CAE C V ，BAF V 的周长记作BAF C V ，设CAEBAFC y C =V V ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．如图，ABC V 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC V 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G . （1）求证：AE EGAC CG=； （2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。