向量的加减法

的终点的向量.
向量的减法：
a
O
a a b
A
b b
B
起 点 相 同
指向被减向量
已知向量 a 、 b , 在平面内任取一点O，作OA a, OB b, 则向量 BA叫做 a与b 的差，记作 a b, 即 a b OA OB BA 这种求向量差的方法，叫做向量减法的三角形法则。
a
对 于 零 向 量 与 任 一 向a 量 ,我们规定 a 0 0 a a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
例1.如图，已知向量 a, b ，求做向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b 。
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
向量加法的平行四边形法则和三角形法则 的区别与联系
• 三角形法则中的两个向量是首尾相接的，而 平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；三 角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而 平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求 和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量 和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向 量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时， 可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相 同时，可用向量加法的平行四边形法则。
b
a b
(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量
注意与作和向量的区别
练习2：
DB 1、 AB AD __________
CA 2、 BA BC __________
AC 3、 BC BA __________
0 4、 AB AC BD CD __________ 0 5、 NQ QP MN MP _________
(1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减 向量 注意与作和向量的区别
(a b) c a (b c).
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ 请画图进行探索。
D
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab
b
a
A
A
ab
a
B
b
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
AC a b;
由向量的减法可得，
b
A
C
DB AB AD a b.
a
B
例2 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.
解 设AB a, 作AD b,以AB和AD为邻边作 ABCD， 则
| a b || a b | | AC || DB |
并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
重要提示 : AB 重要提示 BA : AB BA 请问 的相反向量是
重要提示 : AB BA
A B
练习 1： a （ 1 ） (a ) ______ 0 0 a ) a ______ (2)a (a ) _____( (3)如果a , b互为相反的向量，那么 a a b ______ b b ______, 0 a ______,
2.向量的减法
定义: 向量 a加上 b a b 的相反向量，叫作 aa ( b( ) b) a a与 b 的差，即 a (b)
a b a (b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
3.如何求两个向量的差？
向量减法的推导 :
B
a b b
A
a a b
向量的加法
学习目标： 通过实例，掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。
熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机 要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
上海 C A 香港 B 台北
向量的加法：
a
C
ab
b
A
b
首 尾 相 接
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
a
b
A （ 1） B C
a
b
（ 2）
ab
C
ab
A
B
若a， b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a， b方向相反，则 | a b || a | | b（或 | | b | | a |）
向量进行减法运算，必须先引入 一个什么样的新概念？
实例分析
上周日杨恒从家骑车到八里河公园游 玩, 然后再由八里河公园返回家中,我 Ｂ
们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A
点,那么杨恒的位移是多少? 怎样用向量来表示呢?
AB+BA=0
A
1.相反向量
我们把与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的
相反向量.记作 －a，a和－a互为相反向量．
练习：限时2分钟
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已知| a | 6, | b | 14, | c | 3, 则 | a b c | 有 最大值和最小值吗 ?
向量的减法
在数的运算中，我们知道减法是 加法的逆运算，向量的加法与实 数的加法类似，类比实数的减法 运算，能否把向量的减法同样作 为向量加法的逆运算引入呢？向 量的减法具有什么特点？如何进 行向量减法的运算呢？
则AC a b, DB a b
B C
又因为四边形 ABCD为平行四边形 ， 所以四边形ABCD为矩形，AD AB
a
A
b
D
| DB | | DB |2 | DB |2 62 82 10 | a b || a b | 10
练习:如图：平行四边形ABCD中,AB a, AD b, 用 a, b表示向量 AC, DB. D 解：由向量加法的平行四边形法则，得
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
若a， b不共线，则 | a b || a | | b | 对任意两个向量a， b，有 | a b || a | | b |
已知| a | 8, | b | 6, 则 | a b | 的最大值和 最小值各是什么
探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，有 a b b a,
AC a b;
由向量的减法可得，
b
A
C
DB AB AD a b.
a
B
变式一: 在本例中,当a,b满足 什么条件时,a+b与a-b相互垂直? （|a| = |b|） 变式二: 在本例中,当a,b满足 （a， b互相垂直） 什么条件时,|a+b|=|a-b|? 变式三: 在本例中, a+b与a-b有可能相等吗?
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
CAB 60 .
2 3 tan CAB 3 2
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
D
C
b
E
a b a (b) AC AD AE BC
即
AC AB BC
B
a b
b
A
a
C
从向量差的作法我们可 以得到这样 的结论： 从同一点出发的两个向 量a , b，a b就 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a (比较：如果两个向量 a , b首尾顺次连接， 则a b可表示为从向量 a的始点指向向量
例1 已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.
C
c
Ｂ
D
b a
解
Ｏ
Ａ
在平面上任取一点O，作OA a, 作OB b, 则BA a b 。
再作BC c, 并以BA和BC为邻边作BADC 则BD BA BC a b c。
练习:如图：平行四边形ABCD中,AB a, AD b, 用 a, b表示向量 AC, DB. D 解：由向量加法的平行四边形法则，得
a b。
b
a

a
A
b
ab
三角形法则
B
例1.如图，已知向量 a, b ，求做向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边做
a b。
b
OACB ，
a
连结OC，则 OC OA OB a b.
O
a
A
ab
b
B
平行四边形法则
C
练习：限时4分钟
P76
1、2
探究：
多个向量的运算将如 何进行？
多边形法则:
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量 的起点指向末尾向量的终点的向量．
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1 A2
An1
An A3
A4
思考：如果非零向量 a 、b、c，满足a+b+c=0, 则以a,b,c 为有向线段的三条线段，能构成一个 三角形吗？ 请同学们
B
从向量差的作法我们可 以得到这样 的结论：
从同一点出发的两个向 量a , b，a b就 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a O A a 的终点的向量 .即 重要提示 : AB BA = a b a (b) AC AD AE BC (比较：如果两个向量 a , b首尾顺次连接， 小结 : 作两向量的差向量的步骤 : 则a b可表示为从向量 a的始点指向向量 将两向量移到共同起点 (1) b的终点.)
（不可能，∵ 对角线方向不同）
1.Δ ABC中,BC=a,CA=b,则,AB=( ) A.a+b B.–(a+b) C. a-b D. b-a
2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°. 则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
本课小结： 1、两个定义：相反向量 和向量减法的定义 2、一个作法：差向量的 作法 : 从同一点出发 的两个向量a , b ，a b 就可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a的终点的向量 . 3、思想方法：转化、分 类与数形结合的数学 思想方法
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
向量的加法：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即 a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。