华侨大学大一高数(上)期末14级试卷(A)答案

华侨大学本科考试卷 2014 —2015学年第 一 学期

高等数学A（一） 期末考试试题【A 卷】

参考答案与评分标准

一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】

1、2；

2、12；

3、14；

4、349e -；

5、2()(cos )sin 2x x e f e f x x dx ''-⎡⎤⎣⎦．

二. 试解下列各题【共6小题，每小题7分，共42分】

1

、解：原式lim lim lim lim x x x x e e e e →+∞=====． (7)

2、解：32

00sin 1cos 1lim lim 63x x x x x x x →→--==原式=…….【7】， 3

、解：令t =，则31x t =-，23dx t dt =……….…【3】，

2223111333(133ln 11112

t dt t dt t dt t t t C t t t -+===-+=-+++⎰⎰⎰+++原式

1C =+++． …..【7】 4、解：原式化为2221()22y x dy x y dx xy y x

++==，令y u x =，则,dy du y xu u x dx dx ==+ ….…【3】 代入原式得：212du u u x dx u ++=，整理得221udu dx x u

=-，解得221ln |1|ln ||,(1)u x C x u C --=+-=， 代入1|0x y ==，得1C =，故特解为22x y x -= (7)

5、解：方程两边同时对x 求导得 y y dy dy e xe dx dx =+，解得1y y

dy e dx xe =- ……..…【3】 所以切线斜率(0,1)

dy k e dx ==，法线斜率为1e - ……..…【5】 所求切线方程为1y ex =+，法线方程为11y x e =-

+ ...........【7】 6、解：212111()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ . (2)

21122211111(sin cos cos sin )sin sin 2x x x x dx xd x --=++=-⎰⎰

⎰⎰

1331

12sin sin 133x -==+ (7)

三、【8分】解：2321(31)(1)y x x x x '=--=+-，令0y '=，得121

,13

x x =-=． 622(31)y x x ''=-=-，令0y ''=，得13

x = …【4】 (,13)(13,1)(1,)

y -∞--+∞'+-+(,13)(13,)y -∞+∞''-+

由此，函数y 单调增区间为(,1-∞-和[1,)+∞，单调减区间[13,1]-

曲线y 的凸区间为(,13]-∞，凹区间为[13,)+∞ (8)

四、【8分】解： 234200144S x dx x ==

=⎰；…【2】 22

32700

1128()77x V x dx x πππ⎡⎤===⎰⎢⎥⎣⎦；……..…【5】 2

2

35001642255y V x x dx x πππ⎡⎤=⋅==⎰⎢⎥⎣⎦. …….【8】 五、【8分】解：()()()()()()[2()]()b b b

a a a x a x

b df x x a x b f x x a b f x dx '''=--=----+⎰⎰原式.…【4】 [2()]()[2()]()2()2()6b b b b

a a a a x a b df x x a b f x f x dx f x dx =--+=--++==⎰⎰⎰ (8)

六、【8分】证：令()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-...【2】 则2221()1ln(1)ln(1)011x f x x x x x '=++-=++>++（0x >）.......【6】 所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而当0x >时，()(0)0f x f >=，原不等式成立. (8)

七、【6分】证： ()x e f x x =，1()F x x

=，显然(),()f x F x 在[,]a b 上满足柯西中值定理条件.…【3】 22

1(),()x x xe e f x F x x x -''==-，由柯西中值定理可得：(,)a b ξ∃∈，使得()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-， 即22111b a e e e e b a b a ξξξξξ

--=--，整理可得结论. (6)