第六章数理统计学的基本概念

第六章数理统计的基本概念

一、教学要求

1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。

2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。

3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。

4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。

本章重点：统计量的概念及其分布。

二、主要内容

1．总体与个体

我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从

正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型：

(1)未知，但已知；

(2)未知，但已知；

(3)和均未知。

2．简单随机样本

数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。

如果样本()满足

（1）相互独立；

(2) 服从相同的分布，即总体分布；

则称()为简单随机样本。简称样本。

设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为)

3. 统计量

完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的一个样本，是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。

4. 常用统计量

（1）样本均值：

（2）样本方差：

（3）样本标准差：

它们的观察值分别为：

这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。

（4）样本（k阶）原点矩

1

1

,1,2,

n

k

k i

i

A X k

n=

==

∑L

（5）样本（k阶）中心矩

1

1

(),2,3,

n

k

k i

i

B X X k

n=

=-=

∑L

其中样本二阶中心矩2

1

1

(),

n

k i

i

B X X

n=

=-

∑又称为未修正样本方差。

（6）顺序统计量

将样本中的各个分量由小到大的重排成

(1)(2)()n

X X X

≤≤≤

L

则称

(1)(2)()

,,

n

X X X

L为样本顺序统计量，

()(1)

n

X X

-为样本的极差。

（7）样本相关系数：

11

22

11

()()()()

11

()()

n n

i i i i

i i

xy n n

x y

i i

i i

x x y y x x y y

r

S S

x x y y

n n

==

==

----

==

--

∑∑

∑∑

其中：,x y分别为数据,

i i

x y的样本均值，,

x y

S S分别为样本a标准差。5、直方图与箱线图

（1）直方图

先将所有采集的数据进行整理，得到顺序统计量，找出其中的最小值

(1)

x，最

大值

()n

x，即所有的数据都落在区间

(1)()

,

n

x x

⎡⎤

⎣⎦上，现取区间(1)()

,

n

x k x k

⎡⎤

-+

⎣⎦（其

中k 可取0.5,1.5等），该区间能覆盖区间(1)(),n x x ⎡⎤⎣⎦，将区间(1)(),n x k x k ⎡⎤-+⎣⎦等分为m 个小区间（先取一个区间，其下限比最小的数据稍小，其上限比最大的数据稍大，然后将这一区间等分为m 个小区间，通常n 较大时m 取1020:，当50n <时则m 取56:。若m 取得过大，则会出现某些区间内频数为零，分点通常取比数据精度高一位，以避免数据落在分点上），小区间的长度记为∆，

(1)()()()n x k x k l m

+--∆==，∆称为组距，小区间的端点称为组限，数出数据落

在每个小区间内的数据的频数i f ，算出频率(1,2,)i f

i l n

=L ，然后自左至右依次

在各个小区间上做以(1,2,)i

f n i l =∆

L 为高的小矩形，这样的图形就称其为频率直方图。显然这种小矩形的面积就等于数据落在该小区间的频率(1,2,)i f

i l n

=L ，

直方图的外廓曲线接近于总体X 的概率密度曲线。 （2）p 分位数

定义 设有容量为n 的样本观察值12,,,n x x x L ，样本(01)p p <<分为数记为p x ，它具有以下性质：（1）至少有np 个观察值小于或等于p x ；（2）至少有(1)n p -个观察值大于或等于p x

样本p 分位数可按以下法则求得：

将12,,,n x x x L 按从小到大的顺序排成(1)(2)()n x x x ≤≤≤L

01，若np 不是整数，则只有一个数据满足定义中的两点要求，这一数据位于大于np 的最小整数处，即为位于[]1np +处的数。

02，若np 是整数，则1,np np x x +都符合性质要求，故p x 取1,np np x x +的平均值。

综上可得：[](1)

()(1)12

np p np np x x x x ++⎧⎪

=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩ np np 不是整是整

特别的：1

()

20.51()()

2

21

2n n n x x med x x ++⎧⎪⎪

==⎨⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦⎩ n n 奇偶

0.25分位数又称为第一四分位数，又记为1Q ；0.75分位数又称为第三

四分位数，又记为3Q

（3）箱线图：

数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，它是在基于以下5个数据的图形概括：最小值13,,,,Min Q M Q 最大值Max ，做法如下：

（1）画一水平数轴，在轴上标记最小值13,,,,Min Q M Q 最大值Max ，在数轴上方画一个上下侧平行于数轴的矩形箱子，箱子的左右两侧分别位于13,Q Q 的上方，在M 点的上方画一条垂直线段，线段位于箱子的内部；

（2）自箱子的左侧中点引一条水平线直至最小值上方；在同一水平高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值上方。箱线图完成。