用数形结合时应注意的几个问题(误区)

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数形结合解题的误区

数形结合解题的误区数形结合的思想在解决数学问题中有着广泛的应用，在判断方程解的个数时我们也经常用数形结合的思想，通过画图能把抽象的函数表达式转化成直观的图形，通过函数图象交点的个数来判断方程解的个数，非常方便。

但由于我们很难画出函数的精确图象，在根据两个函数图象交点的个数来判断方程解的个数时，有时会出现一些错误，现举例说明1、判断当sin x R x x ∈=时，方程解的个数。

错解：在同一坐标系中画出12sin y x y x ==和的图象，如图1图1图2方程有三个解。

错因：平时作正弦函数图象一般用“五点法”作简图，这种方法作出来的图象是不精确的，由于图象画的不精确从而导致判断错误。

下面我们用另外一种数形结合的方法来研究这个问题，用单位圆研究，你就会明白图象为什么不是这样的，如图2，设BO A =x ∠，则BC 间的弧长x ，BA 是BOA ∠的三角函数线，即sin sin BOA x BA ∠==<x (02x π<<) 这就说明当02x π<<时，12sin y x y x ==和的图象没有交点，根据对称性，当02x π-<<时图象也没有交点，因此在x R ∈上，12sin y x y x ==和的图象只有当x=0时有一个交点。

为什么这种数形结合的方法解出来的结果正确呢？就是因为用这种作图的方法作出的图形相对是比较精确的。

2、判断当3(0,10)lg x x x ∈=时，方程解的个数。

错解：在同一坐标系中画出312lg y x y x ==和的图象，如图3图3 图4因此方程有两个解。

错因：这道题如果用数形结合来做，对图象的精确度要求也比较高。

如果只是画出了变化的大致趋势就判断，也很容易出错。

当(0,1]x ∈时，301x <≤，lg 0x ≤因此当(0,1]x ∈时方程没有解;当(1,10)x ∈时，311000x <<，0lg 1x <<因此当(1,10)x ∈时方程没有解;3(0,10)lg x x x ∈=所以当时，方程无解。

用数形结合时应注意的几个问题（误区）

用数形结合时应注意的几个问题（误区）用数形结合时应注意的几个问题（误区）“数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。

然而，它并不是“万能”的。

图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。

就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。

用数形结合时要注意以下这几个主要事项。

1 精确作图，避免潦草作图而导出的错误在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。

因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。

常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。

2. 注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不准确的, 所以注意转化过程要等价是关键的。

不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。

3 注意图形的存在合理性，不可“无中生有”4 注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形5 用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。

应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。

不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。

数形结合法的应用及误区

x2 + Cx + D 最小值
和求 y = x 2 + Ax + B − x2 + Cx + D 最大值 , 均可用类似方法,达到以奇制胜的效果. 1.1.3 转化为直线的纵截距问题例 3 已知 ( x − 2)2 + (y − 2) 2 = 1 ,求 z = 2 x + y 的最值. y 分析 ( x , y ) 在定圆上, 求 z = 2 x + y 最值可 1 转化为:求 y = −2 x + z 直
1
2 y = log a x(0 < a < 1)
x
−2 −1O 1 2
−2 −1O 1 2
x y = loga 图象便容易解决,如图. a 例 6 解不等式 x + 1 > . x −1 分析若用代数分类讨论会很繁杂. a = 0 时易得 x ≠ ±1 ,当 a ≠ 0 时,考察 y = x + 1 与 y
= ( x −1) 2 + (0 − 1)2 + ( x − 3) 2 + (0 − 2) 2 ,
根,如下右图,从这个图更易求出答案. y y
2.1 精确作图，避免了草作图导出错误结论例 7 讨论方程 sin x = lg x 的解个数.许多学生随手画图 ,如下左图 ,从而得出答案为 1, 事实上 ,注意到关键点(10,1),图应该是如下右图,解的个数应该为 3 个.
x 1 线的纵截距最值问题.如 y = −2 x 图: 平移直线 y = −2 x ,利用解析方法便可得到解决. 归纳已知 (x , y ) 满足的平面区域 , 求 z = ax + by 的最值问题 ,均可用类似转化方法. 其实 ,这就是线性规划最优化问题的解决方法之一. 1.2 在有关方程问题中的应用方程 f ( x) − g ( x) = 0 的解情况 ⇔ f ( x) = g ( x) 的解情况 ⇔ y = f ( x ) 与 y = g ( x) 图象相交交点横坐标情况. 3x 例 4 方程 x 2 − − k = 0 在 ( −1,1) 有１个 2 实根,求 k 的取值范围. 分析此题若用二次方程根分布情况的代数方法来解相当麻烦,此题可转化为 y = x 2 3x 与y= + k 在 ( −1,1) 有一个交点,下左图. 2 从下左图可解决问题 . 当然 ,此题也可转 3x 化为 y = x2 − 与 y = m 在 ( −1,1) 有一个实 2 ・29・

对数形结合解题误区的认识与思考

关键词 <数形结合 H等价转化 H数学能力 H思维品质 H数学素质中图分类号<IJ))%J 文献标识码<K 文章编号<"’’L=LJ’">!’’(B’"=’’M?=’(
数形结合是一种重要的数学思想C也是
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对E数形结合F解题误区的认识与思考
张武
>太原市教育学院C山西太原 ’)’’’"B
摘要<通过对 E数形结合F解题误区的剖析C能明确正确使用数形结合方法以及要注意的问题 C避繁就简化难为易 C合理 G灵活巧妙地运用好数形结合这一解题的双刃剑 %
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误区五 -数形转换逻辑循环 1
例 (-用解析法证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等1
误区六 %忽略数形结合的简捷性 &双向性原则$著名数学家华罗庚教授指出!"数缺形时少直观%形少数时难入微$#这句话说明数和形是紧密联系的 $借助图形解代数 %三角问题简洁清晰%直观明快的优越性是不容否定的 $但是 "有一利就有一弊 #%图形也非万能利器%能否运用图形%有无必要运用图形%取决于此种方法是否更加优美 %更加简洁 %而不是趋于一种流行模式 %代数问题几何化 $

数形结合中不可忽视的“隐患”

数形结合中不可忽视的“隐患”广东省中山市中山纪念中学(528454)李文东数形结合是重要的数学思想方法之一，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”•在解决函数问题时，我们经常会采用数形结合的思想和方法，通过数与形之间的对应与转化来解决函数问题，使得复杂的问题简单化，抽象的问题直观化.由于我们在数形结合时,作出的一般只是函数的大致图像，但是有些时候需要我们对函数的细节把握的更清楚,这些细节是数学结合中的“隐患”，作图时如果不消除这些“隐患”，往往就会导致严重的错误•本文就数形结合中常见的一些“隐患”举例说明，以期将这些“隐患”消除在萌芽中!一、由定义域导致的“隐患”例1已矢口函数f(x)—1x2—a ln x(a e R),讨论函数f(x)的零点个数,并说明理由.解采用分离参数然后数形结合求解.方程f(x)—0解的个数O-x2—a ln x—0的x解的个数O a—-的解的个数O直线y—a2ln xx2与函数y—「(x—1)的图像的交点的个数.由于2ln xf z(x)—X(l；；|x-)，令f z(x)—0得x—V e,可知f(x)在(0,1)和(1,/e)上递减，在(/e,+x)上递增，且f(/e)—e.作出f(x)的图像如图1所示，由此可知：当a e[0,e)时,方程无解，即f(x)的零点个数为0个;当a<0或a—e 时,方程有惟一解,f(x)的零点个数为1个;当a>e时方程有两解，即f(x)的零点个数为2个.x2评注本题容易犯的错误是忽略了函数y-害一的定义域{x|x—1},得出f(x)在(0,疋)上递减，在氐,+x)上递增，从而得到a<e时方程无解的错误结论！图1图2二、由增长速度导致的“隐患”例2函数h(x)—2"-x4的零点的个数为___.解函数h(x)—2"-x4的零点的个数O方程2"—x4=0的解的个数O函数f(x)—2"与函数g(x)—x4图像交点的个数•在同一坐标系中作出这两个函数的图像(如图2),容易看出这两个函数图像有两个交点.由于f(x)=2"和g(x)—x4在(0,+x)上都为增函数，且随着x 的变大，函数f(x)—2"的增长速度会远远超过g(x)—x4的增长速度，又h(2)<0,h(20)—22o—204—324—204>0,故在(2,20)内两函数图像还会有一个交点•综上函数h(x)零点的个数为3个.评注因为函数f(x)—2"与函数g(x)—x4增长速度都比较快,数形结合很难直观完整的反映出两者图像直接的关系,作图时若不考虑到它们之间的增长差异性，则会得出两个零点的错误结论！正解直接考虑4个不共面的点的取法比较繁琐，种类繁多，形式复杂，正面解答比较困难，而通过反面入手，从4点共面考虑比较便捷•在四面体的顶点和棱的中点中，取4个点共面的情形有三类：①同在四面体4个表面的6个点，任选4个点是共面的，共有4C4个;①每一条棱和对棱的中点确定一个平面，共有6个不同的平面，每个面内的4个点共面，共有6C4个;①6个中点构成了分别与一组对棱平行的平面3个(平行四边形)，所以有C4o—4C4—6—3=141种不同的取法.总之，正所谓“处处留心皆学问”，在排列组合的学习过程中留心容易出错的地方，定能做到不重不漏，把排列组合学好.参考文献[1]张前晟.都是重复惹的祸——例析排列组合中的易错题[J].读写算,2019(05):200-201.[2]卢会玉.《计数原理》易错题归类剖析[J].中学生数理化,2020(03):19-21.[3]郑灿基.排列组合的解题技巧一-理分类和分步，讲策略重模型[J].教学考试,2019(38):27-29.例3已知函数f(x)满足：①定义域为R;①对任意x G R,有f(x+2)=2f(x);①当x G[—1,1]时, f(x)—1—|x|,则方程f(x)—log4|x|在区间[—10,10]内的解的个数为____.解由f(x+2)=2f(x),我们不妨称f(x)为2级类周期函数，且周期为2.则方程f(x)—log4|x|(x G[—10,10])的解的个数O函数y—f(x)(x G[—10,10])与函数y—log4|x|图像的交点个数•注意到log4—2|=-—f(—2),作出它们的图像(如图3)可知，根据图像可知方程f(x)—log4|x|在区间[—10,10]内的解的个数为11个.评注因为函数f(x)和函数y—log4|x|的图像都经过点(1,0),所以这里需要考虑在区间(1,2)内它们两者的图像是否有交点.事实上，当x>0时，由于y z|"=i=|"=i=占<-，故函数y=lo g4|x在x—1处的增长速度慢于函数f(x)在x—1处的增长速度,因此在区间(1,2)内函数f(x)和函数y—log4|x|的图像无交点•若不注意这一点，则有可能得出方程的解的个数为12个的错误结论！三、由渐近线导致的“隐患”1,_____-Vx2+1,x20;—例4设f(x)—2'若函数—ln(1—x),x<0.F(x)—f(x)-kx有且仅有两个零点，则实数k的取值范围为—•解函数F(x)—f(x)—kx有且仅有两个零点，即直线y—kx的图像与函数f(x)的图像有且仅有两个交点•作出函数f(x)的图像，其中y—2Vx^+l在(0,+8)上为增函数，将其等价变形为4y2-x2—1(x>0),可见它表示焦点在y轴上的双曲线位于第一象限的部分的图像，如图4,其渐近线为y—-x,要使直线y—kx与y—-Vx2+1有交点，则k>-;另一方面，函数y——ln(1—x)(x<0)在x—0处切线的斜率为1,要使直线y—kx与y——ln(1—x)(x<0)有交点，则k<1.综上，实数k的取值范围为(-,1).评注本题若是没有注意到函数y—2Vx^+l的渐近线,则有可能得出k的取值范围为(0,1)的错误结论！例5已知函数f(x)—(x2—x—1)e",关于x的方程[f(x)]2—m•f(x)—e=0(m G R)有n个不同的实数解,则n的所有取值可能为_.解f z(x)—(x+2)(x—1)e",可知f(x)在(—8,—2)5和(1,+8)内递增，在(—2,1)内递减，且f(—2)—r,e2 f(1)——e,作出f(x)的图像如图5.令f(x)—t,则方程55[f(x)]2—m•f(x)——0化为t2—m•t——0,注意到其判别式△-m2+20>0,故该方程有两个不等的实根e5t i,t2,且t i•t2—--<0,不妨设t i〉0,t2<0.e55(1)若t2<—e,则一—一t i•t2<—e t i,于是t i<—,e e2结合f(x)的图像可知f(x)—t i有三个不等实根,f(x)—t2无实根，故此时原方程有三个不等实根；55(2)若t2——e,则由—一t i•t2得t i——2,结合f(x)e e2的图像可知f(x)—t i有两个不等实根,f(x)—t2有一个实根,故此时原方程有三个不等实根;5(3)若一e<t2<0,则——一t i•t2>—e t i,于是5et i>5,结合f(x)的图像可知f(x)—t i有一个不等实根, f(x)—t2有两个不等实根，故此时原方程有三个不等实根；综上,n的所有取值可能只能为3.评注本题的难点在于：1.结合韦达定理和f(x)的图像对根t i的情况分类讨论;2.当x t—8时,需要考虑函数f(x)的取值情况,一方面，当x<—1时,x2—x—1>0,从而f(x)>0,另一方面,考虑到y—x2—x—1和y—e"在—8处的增长的差异性可矢口，lim f(x)—0,即y—0也是"T—Xf(x)在-8方向上的一条渐近线.作图时若不注意到这一点,则会导致结果错误！四、由凹凸性导致的“隐患”2例6设函数f(x)———+ln x,函数y—f(x)—x的零x点的个数为—.—刍+1=q2,可知函数f(x)在x2x x2解f z(x)(0,2)上递减，在⑵+8)上递增，在同一坐标系作出函数y—f(x)和y—x的图像，如图6,考虑到f zz(x)—±一竺,故f(x)在⑵4)上下凸，在(4,+8)上上凸，因此函数y—f(x)和y—x有且仅有一个交点，即函数y—f(x)—x零点的个数为1个.评注本题若没有考虑到f(x)在⑵+x )上的凹凸性,则有可能得出2个零点的错误结论！五、由特殊点导致的“隐患”x 例7 (2015年高考山东卷)设函数f (x) — ln (x + 1) +a(x 2 — x),其中 a e R .(1) 讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2) 若Vx > 0, f (x) 2 0成立，求a 的取值范围.解(1)略.(2) Vx > 0, f (x) 2 0,即 ln (x + 1) 2 a(x — x 2), 分离函数得：ln (x + -) 2 a(1 — x),令 g(x)—皿1 + -),则x x x + 1 ― In (x + 1) xg z (x) =----------x r ，再令 h(x) = n- —ln (x +1)，则h z (x) — — J < 0,故h(x)在(0, +x )上递减，从而(x + -)h(x) < h(0) — 0,于是 g z (x) < 0,从而 g(x)在(0, +x )上递减，又由洛必达法则lim ln (x + -) — lim 「= 1,"T°x "TO x + 1lim ln (x + -) — lim I = 0,"T+xx "T+x x + 1x/m -ln(x + 1)lim g (x) — lim —+-----"To "To x 2 "To 2x —1,可矢口 g(x)的图像位于直线y — 1 — x 和x 轴上方.作出函数g(x)和过定点(1,0)的直线y — a(1 — x)的图像如图7,结合图像可知-1 < —a < 0,即a 的取值范围为xlim (x+ 1)2"To[0,1].评注本题是山东省高考的压轴题，原题解法是采用分类讨论，比较复杂，这里我们采用分离函数，数形结合的方法, 显得直观简便，当然其中除了要考虑函数图像的渐近线和增长速度外,还特别需要注意函数g(x)在x t 0时的函数值的情况，否则会得出a 的取值范围为[0, +x )错误的结果！图8六、由直觉导致的“隐患”例8已知以T = 4为周期的函数f (x)—)m\/1 — x 2, x G (—1,1],其中m > 0.右方程 3f (x) — x1 — |x — 2|, x e (1, 3],恰有5个实数解，则m 的取值范围为()解当x e (—1,1]时，将f(x)的表达式整理得: y 2x 2 +企—1(y 2 0),它表示x 轴上方的半椭圆或半圆，作m 2 x x 出函数f (x)和g(x) — x 的图象，如图8,若方程f (x) — x3 x 3恰有5个实数解,则显然m> 1,直线g(x) — 3与函数f (x)在(3, 5)内图像有两个交点且与f (x)在(7,9)内图像无交点,于是 f ⑷〉3,f (8) < 3，得 m e (3，3).但是以上答案是错误的，其原因在于仅凭直觉将简单的认为两个函数图像的位置关系等价于两函数最大值之间的关系.正确求解如下：因为函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f ⑻—f (0) — m ,此时g(x) — 3.因为f (6) — 1,g(6) — 2 > f (6),故此时两个函数不相交.当 x e (3, 5]时,x — 4 e (—1,1],所以 f (x) — f (x — 4)— m\J 1 ― (x ― 4)2,x e (3, 5].由 m^1 — (x — 4)2 — 扌,得 (9m 2 + 1)2x 2 — 72m 2x + 135m 2 — 0,则由△ = 0,得(—72m 2)2 — 4(9m 2 + 1)2 • 135m 2 — 0,整理得 m 2 — 15,解得 m = [P ，当 x e (7, 9]时,x — 4 e (—1,1], f (x) — f (x —8) — myj 1 — (x — 8)2, x e (7, 9]. 由 myj 1 — (x — 8)2 —扌+ 1) x 2 — 16x + 63 — 0,由判别式△ < 0 得m <佰,因此，要使方程f (x) — x 恰有5个实数解,结合图像可知字<m< /7,即m 的取值范围为故选B.得评注在采用数形结合时,对于一些涉及函数图像细节的地方，我们不能过于依赖直觉，有时还需要用数(计算)来辅助解决！一般来说,在函数作图中，我们需要考虑:1确定函数的定义域；2判断函数是否具有奇偶性，周期性及其它的对称性，方便快速作图；3确定函数的增减区间和极值点；4确定函数的凹凸性和拐点；5确定函数是否具有渐近线；6求出一些特殊点的函数值；7多个函数之间有时还需要比较增长的速度.只要我们做到以上这些，就能防患于未然，真正完美的发挥数形结合的功能！。

应用“数形结合”数学思想解题失误种种

应用“数形结合”数学思想解题失误种种作者：李忠贵来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第03期“数形结合、以形助数”是重要的数学思想方法之一,利用这种思想方法解题直观形象、一目了然.但利用不当往往会出现失误,而且具有一定的隐蔽性.就此试举几种常见的失误,期待对同学们有所帮助.一、作图不规范导致失误例1 若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是错解:在同一坐标系中分别作出y=2a与y=|a x-1|(a>0且a≠1)的图象.∴a∈(0,1)∪(1,+∞)分析与矫正:因作图不规范,少作了渐进线,从而使a的范围扩大,产生增解.规范作图如下:∴0正确答案是∴a∈(0,12).例2 函数y=x2与y=2x的图象的交点个数为 .错解:在同一坐标系中作出函数y=x2与y=2x的图象,如图1,易知为2个.分析与矫正:当x>2时x2>2x不一定成立,如x=5,524时x 2二、忽视图形的客观合理性导致失误例3 抛物线y2=2px(p>0)的动弦AB长为a,求弦AB中点M到y轴的最短距离.错解:如图3,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点A、B、M分别作的l的垂线,垂足分别为A′、B′、M′,连接AF、BF,设M到y轴的距离为d,则由抛物线的定义得d=|MM′|-P2=|AA′|+|BB′|2-p2=|AF|+|BF|-P2≥|AB|-P2=a-p2,所以d min=a-p2.分析与矫正:上述解法中取到最小值的条件是A、B、F共线,即弦AB过焦点F,可以证明抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的弦长范围是\a-p2,当a∈(0,2p)时,还需另外讨论.三、“思维定势”导致失误例3 设x,y满足x2+y2-8x-6y+16=0,则y+2x-2是否存在最值?若存在,求出此最值.错解:由已知(x,y)是圆(x-4)2+(y-3)2=9上的点,y+2x-2表示点(x,y)与点(2,-2)连线的斜率,如图4当直线与圆相切时取得最值,设过(2,-2)的直线方程为y+2=k(x-2),当直线与圆相切时,有|2k-5|1+k2=3,k=-2±655,所以y+2x-2的最大值为-2+655,y+2x-2的最小值为-2-655.分析与矫正:直线与圆相切是两点连线的斜率的临界状态,但未必此时取得最值,这是“想当然”的思想导致失误.由图4知,k∈\655,+∞)∪(-∞,-2-655\〗,它没有最值.(作者:李忠贵,江苏省板浦高级中学)。

运用数形结合解题应注意的问题

井深？３米井深？３米井深？３米
， — —＿、，＿＾＿－＿、， — 、、／＿、＿，＿＾ — 、， — 、 — ＿～
例２两根同样长的绳子，一根第
井深？ｌ井深？ｌ井深？ｌ井深？ｌ米米米米二＝］＝Ｙ＝＝：二＝＝兰￡］＝＝匕
学。
．
用去米，二根用去一第２
一
５
５
．
，
哪一根剩下
的长些？
绳长？米
学生在解题时．已作出如下图形：
用绳子测井深，以三折去量，面外
第一根
§ 米
剩下的
余３，井深比绳长的少３；米则米四折
过程。
题解答，象直观．算量少．形计且学生容
易接受。比较这两种解法．难发现．不在
解法ｌ根据题意作出线段图
１
绳长的 ห้องสมุดไป่ตู้
、－、，＿＿ — — ，、、，
运用数形结合解题的过程中．最佳思路的获得，须倚重对图形 “ 择性 ” 掌必选的握和训练。
２严谨性．
井深？３米
假设每根绳子长ａ，则第一根剩米
运用图形解题的最大优点是可将
＝＝ ≮ ———————— ——＿ ——一上
下一米，第二权剩下一：米．一３所
５５５
井深？１米绳长？

应用数形结合思想解题易错点分析

应用数形结合思想解题易错点分析作者：秦振来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2013年第08期数形结合是一种重要的数学思想方法，是各种考试的必考内容.同学们在应用数形结合的数学思想解题时，常常因为未掌握其思想方法的精髓，而出现问题，下面就大家在解题中出现的错误分类辨析如下，供参考.一、构建几何模型不正确例1 向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于S4的概率.错解：如图11所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，则当P点到底边BC的距离小于12EF时，即0分析：如图12所示，P为矩形ABCD内任投一点，△PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但满足△PBC的面积小于S4，当△PBC的面积等于S4时，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.点P的轨迹是线段GH.满足条件“△PBC的面积小于S4”的点P应该落在矩形区域GBCH内，而不是△PBC内.错因是没有正确构造出随机事件对应的几何图形.正解：如图12所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在直线交AD于E，当△PBC的面积等于S4时，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H.所以满足S△PBC=S4的点P的轨迹是线段GH.所以满足条件“△PBC的面积小于S4”的点P应该落在矩形区域GBCH内.设“△PBC的面积小于S4”为事件A，则A表示范围是（0，S2），即构成事件A的面积为S2，试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以由几何概型求概率的公式，得P（A）=S2S=12.所以△PBC的面积小于S4的概率为12.二、直观代替推理例2 设b>0，椭圆方程为x22b2+y2b2=1，抛物线方程为x2=8（y-b），如图2所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体指出这些点的坐标）.错解：（1）椭圆方程和抛物线方程分别为x22+y2=1和x2=8（y-1）.（2）因为过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，所以以∠PAB为直角的Rt△ABP 只有一个.同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.所以抛物线上存在两个点使得△ABP为直角三角形.分析：上述解法只从几何直观作出判断，这样有可能使得到的结果不全面而漏解.正解：（1）略；（2）因为过点A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，所以以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个.同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.若以∠APB为直角，设P点坐标为（x，18x2+1），A、B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），PA·PB=x2-2+（18x2+1）2=164x4+54x2-1=0，因为关于x2的二次方程有一个大于零的解，所以x有两解，即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个.故抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.三、作图失误例3 求方程x2=2x解的个数.错解：设y=x2，y=2x，在同一坐标系中画出它们的图象，如图21所示，观察图象可得y=x2，y=2x有两个交点，所以方程x2=2x有两个解.辨析：显然x=2和x=4都是方程的解，而图31只有一个正解，其错因是作图不规范，造成漏解.正解：设y=x2，y=2x，在同一坐标系中画出它们的图象，如图32，观察图象可得y=x2，y=2x有3个交点，∴方程x2=2x有3个解.四、转化不等价例4 求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域.错解：因为y=-1-4sinx1+2sinx=1-4sinx-1-2sinx，设点P的坐标为（-1，1），动点Q（2sinα，4sinα），根据题意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q点在线段y=2x （x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移动.求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域可转化为求过定点P（-1，1）的直线与线段y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）相交时，斜率k的取值范围.如图4所示.因为kPA=-4-1-2+1=5，kPB=4-12+1=1，所以1≤k≤5，即函数的值域为y∈[1，5].分析：解题的思想方法没有问题，但是在求k的范围时，没有考虑它的连续性和存在性.根据斜率的性质，当Q点的横坐标为-1时，斜率不存在，显然以上结果不正确.正解：根据题意，y=1-4sinx-1-2sinx=k，其中设点P的坐标为（-1，1），动点Q（2sinα，4sinα），根据题意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q点在线段AB：y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移动.求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域可转化为求过定点P（-1，1）的直线与线段AB相交时，斜率k的取值范围.如图4所示.（1）当过点P的直线垂直于x轴与线段AB相交，k不存在；（2）当k存在时，kPA≤k故函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域为y∈（-∞，1]∪[5，+∞）.五、数形结合意识差例5 求函数f（x）=x2+2x+5+x2-4x+8的最小值.错解：因为x2+2x+5=（x+1）2+4≥4，x2-4x+8=（x-2）2+4≥4，所以f（x）=（x+1）2+4+（x-2）2+4≥4+4=4，即函数的最小值为4.分析：根据f（x）≥a，g（x）≥b.f（x）+g（x）≥a+b，当且仅当f（x）=a，g（x）=b.时，才有f（x）+g（x）=a+b.否则f（x）+g（x）>a+b.而此题不满足条件，因此得到的结果不正确.如果数形结合意识比较强，构建几何模型解决就比较容易.正解：因为f（x）=（x+1）2+（0-2）2+（x-2）2+（0+2）2表示为x轴上的动点P（x，0）到两定点A（-1，2），B（2，-2）的距离之和，如图5所示.因为A、B两点在x轴两侧，连结线段AB，|AB|的长就是函数的最小值.所以f（x）min=|AB|=（-1-2）2+[2-（-2）]2=5.六、读图能力差例6 已知电流I与时间t的关系为I=Asin（ωt+φ）.如图6所示，是在一个周期内的图象，根据图中数据求：（1）I=Asin（ωt+φ）的解析式；（A>0，W>0，0（2）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？错解：（1）由题意可得A=300，T=2（1180+1900）=175，故ω=2πT=150π.又当t=1180时，I=0即sin（150π×1180+φ）=0，得φ=kπ-56π（k∈Z），故I=300sin（150πt+π6）或I=300sin（150πt-5π6）.（2）根据题意得周期的一半T2≤1150，即πω≤1150（ω>0），所以ω≥150π>4>1.又ω是整数，故ω的最小正整数为472.分析：（1）在求初相φ时，在将“形”转化为“数”的过程中，把图象上一点坐标代入I=Asin（ωt+φ）中，可以得到关于φ的方程，但是在一个周期内可求出两个φ的值，导致无法取舍，所以取点时，取极值点可克服这一弊端.（2）题目给出的图象是函数的“任意一段”，而错解理解成“存在一段”，得到的结果就不一定正确了.正解：（1）根据图象可得A=300.令t1=-1900，t2=1180，则周期T=2（t1-t2）=2（1180+1900）=175.故ω=2πT=150π.又t=1180-19002=1450时，I=300.即sin（150π×1450+φ）=1，π3+φ=π2+2kπ（Q0（2）根据题意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），所以ω≥300π>942，又ω是正整数，故ω的最小正整数为943.。

数形结合解题的几个误区

1、数字误区：一些学生在解题时会只从数字出发，结合具体情况下的数字数据来分析问题，而忽略了形式本身的特征，甚至忽略了数据之间的逻辑关系。

2、形式误区：一些学生在解题时会过度重视形式本身，忽略了该形式所表达的实
际信息，不能正确地理解和分析形式中问题的实质，也就无法根据形式中的实
际信息来解决问题。

3、结合误区：一些学生在解题时会忘记将数字和形式结
合起来，仅仅依靠数字来分析问题或者仅仅依靠形式来分析问题，而不能够有
效地结合数字和形式来解决问题。

“数”与“形”的碰撞——从一道试题谈数形结合误区

参考文献 [1]顾宏萍，孙学东．在问题合理性分析的过程中联想解题思路[J]．中学数学教学参考：中旬，2018（4）：20-22 [2]邵文鸿．研题探解变式论法[J]．中学数学教学参考：中旬，2017（11）： 65-67
“数”与“形”的碰撞
——从一道试题谈数形结合误区
杜成北陈景文福建省泉州市第七中学（362000）
法中均有呈现），有兴趣的读者不妨试一试．
4 解而思教，悟道有方
4.1 以知识为载体的素养思考
以旋转相似为背景的压轴题，往往和四边形、
三角形、圆、函数等知识综合，结合其他代数、几
何知识来命题，既让图形问题生动有趣又富有数学
味，又是考查数学运算、直观想象、逻辑推理、数
学建模等数学核心素养的良好载体和培养学生创新
否则容易走进误区．本文通过一道试题谈谈对数形
结合思考，供各种考试命题者参考，以免走进误区．
1 题目呈现
已知函数
f
(x)

sin(
π
2
x) 1，x
0，
的图
loga x(a 0且a 1)，x 0
象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值
范围是（）
A． (0， 5 ) 5
B
图 12
A
D
P
F
BE C
图 13
变式 2 改等腰直角三角形为矩形．如图 13，矩
形 ABCD 中， AB 3 ， AD 4 ， P，E 分别是线段
AC，BC 上的点，且四边形 PEFD 为矩形，求在点 P 的
运动过程中，点 F 经过的路径长．变式 2 和变式 1
类似，只不过相似的证明稍有不同（但在原题的解

小学数学数形结合论文

小学数学数形结合论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在小学数学教学中，我们经常遇到学生对数学学习兴趣不足的问题。

这种情况可能是由于多种因素造成的，如教学内容枯燥乏味、教学方法单一、教学评价机制不科学等。

学生对数学缺乏兴趣，不仅影响他们的学习积极性，而且对数学知识的掌握和运用也产生不利影响。

（1）教学内容枯燥乏味：部分教师在教学过程中，过于注重知识的传授，而忽视了激发学生的学习兴趣。

课堂上，教师往往采用灌输式教学方法，使得学生感受到数学学习的枯燥无味。

（2）教学方法单一：在小学数学教学中，部分教师过于依赖传统的讲授法，缺乏与学生互动和引导。

这导致学生在课堂上缺乏主动参与的机会，难以激发学习兴趣。

（3）教学评价机制不科学：过分强调分数和排名，容易导致学生产生焦虑和压力，进而影响他们的学习兴趣。

2、重结果记忆，轻思维发展在当前的小学数学教学中，部分教师过于关注学生的成绩，导致教学过程重结果记忆，轻思维发展。

（1）应试教育的影响：在应试教育的背景下，部分教师为了追求高分，过分强调知识的记忆，忽视了对学生思维能力的培养。

（2）课堂教学模式单一：部分教师在课堂上采用“一言堂”的教学模式，缺乏启发式、探究式教学方法的运用，使得学生的思维发展受到限制。

3、对概念的理解不够深入在小学数学教学中，学生对概念的理解往往不够深入，这主要表现在以下几个方面：（1）概念教学过于简化：部分教师在教学过程中，对概念的讲解不够详细，导致学生对概念的理解停留在表面。

（2）缺乏实际情境的创设：在实际教学中，部分教师未能将概念与学生的实际生活紧密结合，使得学生难以深入理解概念。

（3）忽视概念之间的联系：教师在教学过程中，未能充分揭示不同概念之间的联系，导致学生对概念的理解缺乏系统性和深刻性。

二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了解决教学中存在的问题，教师需要从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。

由“数形结合”引发的错误

而且，着口值的变化，（，）Ｙ随在０１上。＝口与Ｙ。＝ｌｇ的交点情况也在变化，律如下：ｏ规在区间（，），０１上
［］明燕．于方程ｎ３杨关＝ｌ解的讨论．ｏｇ中央民族大学学报（自然科学版）２０．，０２［］ＥＳＮＥＧＴ，ｎＴｒｅｏｓａｄＮｎＩｔｉｖ４ＩＥＢＲ．Ｏｏｐｄｅｎｏ２ｎｔｅｕｉ
形，己尝试推导ｅ，ａ三者之间的表达式，生可能会自Ｐ，学
留下更深的印象．
练掌握用基底来表示其他向量的方法，高运算能力．提４．课堂小结，固新知巩课堂小结中请同学们谈谈本课的收获与体会，一方这
式有利于学生思维的提升．师的总结简短精练，调了平教强
事实上，述图像在（，）的大致图像如下右图：上０１上
综上，过几个案例说明 “ 形结合 ” 解决高中数学通数在题目中的弊端，就是图形有时只能作为数学问题的直观也体现，往不能精确反映数学问题的本质．学追求的是严往数谨性和确定性，因此在选择用 “ 形结合 ” 研究数学问题数来
生自主练习，出代表到讲台板演过程并请同学评点．样选这

将数形结合思想用于解题的障碍及其对策

将数形结合思想用于解题的障碍及其对策作者：申萍萍来源：《新课程·教师》2011年第03期摘要：数形结合思想在解题教学中发挥了重要的作用，但目前中学生运用数形结合解题的意识不强，本文对此做了相关思考，并给出了可行的策略。

关键词：数形结合思想；互译；数学素养一、问题提出数形结合思想的解题功能早已被广大数学教育工作者认同，其理论研究与实践探索也日渐深入，然而笔者感到，数形结合思想的教学并没有真正落实到位，学生在解题过程中暴露出许多问题，主要表现在：1.数形结合意识不强，或只进行几何直观的分析，或只进行代数抽象的探索2.部分学生有数形结合解题的意识，但具体解题时总会出现“会而不对，对而不全”的情况（1）寻找数形结合的突破口有障碍。

寻找突破口，是实现数形转化的前提，也是使用数形结合思想解题的关键。

只有找到正确的转化途径，题目才能迎刃而解。

（2）数与形“互译”存在问题。

数与形“互译”，即当数学问题以代数形式给出时,应借助直观挖掘它的几何意义；当数学问题以几何形式出现时,应注意其代数的抽象意义。

事实上，我们的学生不善于完成这种“互译”。

（3）数与形“互译”时出现错误。

数与形“互译”过程中，容易出现错误：数转形时图失真；形换数时不等价等。

二、成因分析1.中学生数形结合解题意识不强一方面由于激烈的高考竞争，教师疲于展示解题过程，忽视思想方法的渗透；另一方面，可能与数形结合思想本身的特点有关。

在一般情况下，运用数形结合思想能使问题简单、直观，但这往往以比较高的思维能力为前提。

因此在短时间（特别是在考场上），学生更愿意舍简求繁选择思维难度低的常规法解题。

2.寻找数形结合的突破口，除了需要很强的分析问题的能力和扎实的基础知识，还需要有一定的创新能力调查显示，学生普遍感觉由形到数比由数到形的转化相对容易一些。

其原因是，由形到数是根据图中的位置关系和数量关系进行逻辑推理，属于逻辑思维。

而由数到形是一种没有固定模式的创造性思维。

例谈_数形结合_应用的四个误区

数学通报
49 正确解答设中点 M 的坐标为 ( x , y) , A 为 ( x
解之得 - 1 +
17 < m ≤
10 . 3
剖析上述解法仅仅考虑了抛物线的顶点在线段 AB 上方这一情形 , 思维片面 , 导致错误 . 事实上 , 它忽略了顶点在线段 AB 上和顶点在线段 A B 下方而抛物线与线段 AB 有两交点的情形 . 正确解答根据题意 ,联立方程组消 y 得 : x 2 - ( m + 1) x + 4 = 0 , 若抛物线与线段 AB 有两交点 , 只需此方程在区间 [ 0 , 3 ] 内有两个不同实根 , 令 f ( x) = x - ( m + 1 ) x +
误区 2 以偏概全借助图形解题时 , 必须考察图形的所有可能性 , 思维严谨 , 进而来反映代数性质的全貌 , 以求得问题的完整解答 . 例 3 已知直线 y = 3 - x 和坐标轴交于 A 、 B 两点 , 若抛物线 y = - x 2 + mx - 1 和线段 AB 有两个不同的交点 , 求实数 m 的取值范围 . 错解令 f ( x) = - x 2 + mx - 1 , 则其顶点坐标
a , 故选 B .
剖析本题仍是由于画图不准确而导致误判 . 事实上 , 尽管函数 f ( x) 为递增函数 , 但由于其图象不过原点 , 故选项 B 显然不对 . 下面我们给出两种简捷解法 : 解法 1 a - b =
ln 2 ln 3 3 ln 2 - 2 ln 3 = = 2 3 6
1 ( ln 8 - ln 9) < 0 , 所以 a < b, 6
m m - 4 , , 结合图 3 知抛物线和线段 AB 有两

数形结合的谬误与纠偏

数形结合的谬误与纠偏中文摘要：数形结合思想作为四大数学思想方法之一，在解题过程中发挥着巨大的作用.但图形毕竟只是直观认知的工具，它不能替代逻辑证明.本文结合笔者的实际教学经历，分选不同章节，从不同角度谈谈以形助数的缺陷，错因分析，以及如何克服易错点的一些思考. 关键字：数形结合谬误逻辑数形结合是重要的数学思想之一，借助于形的直观，我们能在数的迷雾中看得更真切，时有“拨开云雾见青天”之感.本文不谈用图形解决问题的精妙，这一点大家写的多，也体会的深，反之，本文将从以形助数的缺陷出发，明示错误，反思错因，从而纠正思维、操作上的谬误，提高数形结合思想方法的理性认识.案例1：图象特征的认识偏差【2015年浙江高考文20】设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（解答略） (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.错解：由题意知，b a f +-=-24)2(，且120≤-≤a b ，从而有5)2(4≤-≤f .又因为b f =)0(，所以问题转化为“函数b ax x x f ++=2)(在]1,1[-∈x 上存在零点，且 5)2(4≤-≤f ，求)0(f 的取值范围”.如图1，考虑抛物线与两条线段AB 、CD 均产生交点.由图可知，当抛物线经过点A 、D 时，)0(f 有最小值，此时310245-=⇒⎩⎨⎧+-=+-=b b a b a ；当抛物线经过点B 、D 时，)0(f 有最大值，此时3110245-=⇒⎩⎨⎧++=+-=b b a b a . 综上所述，313-≤≤-b .但是，结果跟我们的构图一致吗？如图2所示，当抛物线经过点B 、D 时，)0(f 的最图1 图2大值为某一正数.当数形结合出现矛盾时，孰对孰错？若代数结果不能体现几何特征，它所对应的函数图象又是如何的？当我们随手画下抛物线时，这样的抛物线又是否存在？正如我们熟悉的，二次函数b ax x y ++=2的图象为开口向上的抛物线，其图象开口大小与抛物线2x y =相一致（如图3）.因此，当抛物线经过点B 、D 两点时，其图象应如图4所示，此时与代数结果即31-=b 相一致.那么图象该如何放置才能得到)0(f b =的最大值？不妨考虑抛物线经过点D 且与x 轴相切的情况，如图5所示，此时有⎩⎨⎧=-+-=042452b a b a ，解得549-=b .综上所述，5493-≤≤-b .上述案例提醒我们，作图时除了考虑图形的一般特征（如零点、定点）外，还需要充分结合图形的其他特征（如凹凸性、拐点）.由于对图形特征（这里指的是抛物线的开口大小）的感知不准确，就可能误作草图，从而走入歧途.另解：对方程进行变形，220x b ax b ax x -=+⇔=++，根据题意，动直线b ax y +=与线段AB 及抛物线2x y -=（11≤≤-x ）有交点，其中)0,2(-A ，)1,2(-B ，如图6所示. 当直线b ax y +=经过点)1,2(-与)1,1(--时，截距b 有最小值3-；当直线b ax y +=经过点)1,2(-且与抛物线相切时，b 有最大值549-.综上所述，5493-≤≤-b .图3 图4 图5 图6案例2：毫厘之处的认知困难【2015浙江学考模拟】已知二次函数c bx x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个根1x ，2x 满足1021<<<x x .（1）当),0(1x x ∈时，证明：1)(x x f x <<；（2）设函数)(x f 的图象关于直线0x x =对称，证明：210x x <. 错解：方程0)(=-x x f 的根可视作函数)(x f y =与x y =的图象交点的横坐标，根据题意作出图形（如图9），从图中我们可以观察到这样的信息：①当),0(1x x ∈时，)(1x f x x <<；②设函数)(x f 的图象关于直线0x x =对称，则201x x x <<这与条件要我们证明的命题不相符！在考试过程中，笔者班级的学生有八成作出了类似的草图，由于与论题相悖，因此在尝试构建满足题意的图形上花费了大量时间，当终于摸索着得出图10时，心中依然充满困惑：图象在)1,0(上的单调性如何？图9为什么不可能存在？学生产生困惑的原因在于，上述问题研究的区域过于狭小，交点与顶点的位置关系有“失之毫厘谬以千里”之险.此时若借助于图形解决问题，犹如螺蛳壳里作道场，难度很大.正如华罗庚先生所言：形缺数时难入微，高见甚是.问题正解：根据题意，))(()(21x x x x x x f --=-，1021<<<x x .（1）当),0(1x x ∈时，有0))((21>--x x x x ，因此x x f >)(；由于x x x x x x f +--=))(()(21，因此0)1)(()(211<+--=-x x x x x x f ，即1)(x x f <.图9 图10（2）由于21212)1()(x x x x x x x f +-+-=，因此122121210<⇔<-+=x x x x x ，得证. 案例3：分类讨论的知一漏二【全国卷理数】[1]设线段AB 两端点在抛物线x y =2上移动，M 为线段AB 的中点，a AB =||（a 为大于零的常数），求M 到y 轴的最短距离.错解：如图9，直线41:-=x l 为抛物线的准线，点)0,41(F 为抛物线的焦点. 设M 到y 轴的距离为d ，则41||-=MN d . 在直角梯形ABCD 中，由梯形中位线定理及抛物线的定义得，22||2||||2||||||a AB BF AF BD AC MN =≥+=+=，因此41241||-≥-=a MN d . 所以M 到y 轴的最短距离为412-a ，此时A 、B 、F 三点共线.上述解法的不足之处在于作图时先入为主，忽略了动弦AB 的活动区域受参数a 的限制.事实上，上述解法成立的条件是动弦AB 必过焦点，经过抛物线焦点的弦中，以通径最短，而抛物线x y =2的通径为1，因此上述解法只有当1||≥=AB a 时才能成立.而当10<<a 时，动弦AB 与焦点“绝缘”，结合图形已无法判断，需用方程知识来解决.问题正解：设直线AB 方程为t my x +=，),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=+=xy t my x 2，消去x ，得02=--t my y ，042>+=∆t m . 由韦达定理得，m y y =+21，t m x x 2221+=+，故弦AB 中点为)2,2(2m t m M +，原问题即求t m t m f +=2),(2……（*）的最小值. 又因为a AB =||，即t m m a a y y m 41||122212++=⇒=-+，图9化简得4)1(4222m m a t -+=，代入（*）式，则)1(41)(222m a m m f ++=，令112≥+=m p ，原问题即求)1(41)(2-+=p a p p g ，1≥p 的最小值. 当10<<a 时，4)1()(2min a g p g ==；当1>a 时，412)()(min -==a a g p g . 从以上的分析可以看出，当问题需要分类讨论时，仅从图形出发解决问题就可能分类不清，列举不全.案例4：直观感知的逻辑缺失【2013年天津高考理7】函数1|log |2)(5.0-=x x f x的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4错解函数)(x f 的零点可以看成是函数|log |5.0x y =和函数x y 5.0=的图象的公共点的横坐标，如图7.根据图象，可得所求函数的零点个数为2，选B.当1≥x 时，我们可以确定两个函数产生唯一交点（可通过作差构造单调函数，进而利用零点判定定理得证）；当10<<x 时，由于两个函数在)1,0(上的单调性一致，我们并没有充足的证据说明两个函数图象只有一个交点，只能说明两者至少有一个交点.如果我们取底数为1.0（如图8），此时两个函数在)1,0(上的图象几乎贴在一起，你还能够判断出其交点个数吗？事实上，我们有这样的结论成立：函数x a y =与|log |x y a =的交点个数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<<<≤<<--e e e e ee a e a e a a e e a 12131204.（证明略）图7 图8问题正解：设)1,0(∈x ，研究函数x x g x5.0log 5.0)(-=，其导函数为 5.0ln 15.0ln 5.0)('⋅-⋅=x x g x ,5.0ln 15.0ln 5.0)(''22⋅+⋅=x x g x , 而05.0ln 11ln <<-=e，因此)(''x g 在)1,0(上恒小于0，即)('x g 在)1,0(上单调递减；考虑到05.0ln 15.0ln 5.0)1('>-⨯=g ，因此)(x g 在)1,0(上单调递增. 而当0→x 时，-∞→)(x g ，05.0)1(>=g ，因此函数)(x g 在区间)1,0(上有唯一零点.《课标》中有这样一段话：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.本文希望通过以上实例，阐明图解法在思维、操作上的谬误，从而引导学生认识到问题的解决既需要图形的支撑，更需要逻辑的把关，使学生学会用理性的思维、实事求是的态度解决问题、认识世界.参考文献：1.蔡小雄著.更高更妙的高中数学思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2017：97.。

小学计算教学中“数形结合”三讲究

小学计算教学中“数形结合”三讲究在小学数学教学中，我们经常会遇到一些讲究和技巧在计算过程中的应用，其中“数形结合”就是一个非常重要的计算方法。

在实际教学中，我们在给孩子们介绍“数形结合”时，需要注意以下三个方面的讲究。

一、形象化描述小学生们的思维方式是比较简单的，对于复杂的概念和计算方法往往感到陌生、乏味和困难，因此我们在教学中应该尽可能地带给孩子们形象和直观的描述和解释。

在介绍“数形结合”时，我们可以通过画图的方式描述其中的计算过程。

例如，我们可以拿一个正方形来简单说明“乘法分配律”，将正方形分成若干个小正方形，对于每个小正方形，我们可以分别求出它的面积，然后将所有小正方形的面积相加，就可以得到整个正方形的面积，这样可以直观地帮助孩子们理解乘法分配律的意义。

二、数形互动在教学过程中，我们除了要给孩子们带给形象的表达外，还可以让孩子们参与其中，让他们自己动手画图进行计算。

这样一来，可以引导孩子们将抽象的计算过程转化为实际的操作，让他们更加深入地理解并掌握相关的计算方法。

例如，我们可以让孩子们自己画出一个长方形，并将其分成两个小矩形，然后用尺子测量出每个小矩形的长和宽，然后求出两个小矩形的面积，最后相加得出整个长方形的面积。

通过这样的互动操作，孩子们不仅能够深入理解乘法分配律的计算过程，而且还能够在动手操作中深刻体会到其中的意义。

三、巧妙应用在实际计算中，“数形结合”不仅能够让我们更加有效地计算得出结果，而且还能够帮助我们在一些情况下避免乘法和除法的繁琐计算，从而快速地得出答案。

在教学中，我们应该教给孩子们如何在实际计算中巧妙应用这一计算方法。

例如，在解决一道长、宽、高都为整数的长方体的表面积问题时，我们可以先计算出6个面的面积，然后将其相加得到长方体的表面积，这样既能够避免乘法和除法的繁琐计算，又能够更快地得出答案。

在教学中，我们可以引导孩子们思考如何在实际运用中巧妙应用“数形结合”的技巧，在日常生活中更加有效地解决实际问题。

数形结合解题中要注意的几个问题

数形结合解题中要注意的几个问题
王佳灯
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2005(000)005
【摘要】数形结合的思想是中学数学中强调的重要数学思想之一，尤其是借助图形解题以其直观、形象、简捷而深受青睐，但在解具体问题时，学生往往因对图形的准确性、合理性等方面缺乏深刻的理解，导致解题出错．本文谈谈借形解题时要注意的几个问题．
【总页数】3页(P42-44)
【作者】王佳灯
【作者单位】江苏省盐城市大冈中学224043
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想（教学实践类）[J], 罗庆莲
2.数形结合思想在解一类概率问题中的应用的例子 [J], 冯波;姜燕苹
3.例析数形结合的思想方法在解高考题中的运用 [J], 曹文喜
4.数形结合思想在解一类概率问题中的应用的例子 [J], 冯波;姜燕苹
5.数形结合思想在解二次函数问题中的应用 [J], 黄加阳
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[荐]高中数学：数形结合全总结[全]

【下载后获高清完整版-优质文档】高中数学：数形结合全总结一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

浅谈数形结合解题应注意的问题

浅谈数形结合解题应注意的问题
徐加生
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】许多代数问题都可以通过画出图形或图象找到直观的解释,从而能启发我们找到解题捷径,简化解题过程.但需要注意的是:必须正确使用这种以形助数的方法,否则容易出错.本文通过列举实例谈谈常见的错解类型及其纠正方法,供参考.一、要注意图象解题的严密性.用以形助数法去解答问题。

【总页数】2页(P9-10)
【作者】徐加生
【作者单位】江苏省金湖县教师进修学校211600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.运用数形结合解题应注意的问题 [J], 钱中华
2.浅谈晶体中几个常用概念及解题时应注意的问题 [J], 塔金星
3.数形结合应注意的问题 [J], 张颖
4.浅谈借形解题应注意的问题 [J], 叶芳琴
5.例谈解题教学应注意的问题 [J], 吴媛媛;武瑞雪
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