高级中学数学技能妙构造对偶式的八种途径

构造对偶式的八种途径

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径。

一．和差对偶

对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x m 作为它的对偶关系式。 例１若02

πθ<<

，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。

解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=

则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 6

5cos 8y y θθ+⎧

=⎪⎪∴⎨

-⎪=

⎪⎩

再由2

2sin

cos 1θθ+=，得：7

3,tan 54

y θ=-∴=。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。 例２已知：,,,a b c d R ∈，且2

2

2

2

1a b c d +++≤，

求证：444444

()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。 解：

4444444

4

4

4

4

4

()()()()()():()()()()()()

M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式

则有：

4444222222222222222226(222222)6()6

M N

a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤ 又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。

点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了。解法自然，朴素，过程简洁，

运算轻松！

10

=

a

=，再由原方程联立可解得：

10

,(1)

2

10

,(2)

2

a

a

+

=

-

=

那么22

(1)(2)

+得：22

1

242(100),(3)

2

x a

+=+

22

(1)(2)

-得：1610

x a

=，即

8

5

x

a=，

代入（３）中得：22

164

242(100)

225

x x

+=+，

整理得：2

9

4

25

x=，解得：

10

3

x=±。

二．互倒对偶

互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。

例４若,,(0,1)

x y z∈，求证：1113

111

x y y z z x

++≥

-+-+-+

。

解：设111

111

M

x y y z z x

=++

-+-+-+

,

构造对偶式：(1)(1)(1)

N x y y z z x

=-++-++-+，则

1111

(1)(1)(1)

1111 2226

M N x y y z z x

x y y z z x y z +=+-+++-+++-++ -+-+-+-+≥++=

而3

N=，故3

M≥，即1113

111

x y y z z x

++≥

-+-+-+

。

例５设

123

,,,,

n

a a a a

L为互不相等的正整数，

求证：3

2

1222

111

1

23

23

n

a a

a

a

n

n

++++≥+++

L L。

解：设Ｍ＝321222

23n a a a a n +

+++L ，构造对偶式：12111

n N a a a =+++L 则212212111111

()()()1232n n

a a M N a a a a n n +=++++++≥+++L L

又123,,,,n a a a a L 为互不相等的正整数，所以111

123N n

≤+

++L ，因此111

123M n

≥+

++L 。 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。

例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1

()2()0f x f x x

++=，求函数()y f x =的解析式。

解析：因1()2()0f x f x x

++= ①

用

1

x

替代上式中的x ，构造对偶式：11()2()0f f x x x ++= ②

由①－②×２得：12

()4()0f x x f x x

+--=

故22()3x x

f x x

-=。

三．共轭对偶

共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。 例７已知z c ∈，解方程：313z z iz i ⋅-=+。

解析：由313z z iz i ⋅-=+ ① 构造对偶式：313z z iz i ⋅+=- ② 由①－②得2z z =--，代入②得(1)(13)0z z i ++-=， 故1z =-或13z i =-+。

例８若z c ∈，已知1z =且1z ≠±，证明：

1

1

z z -+为纯虚数。