人教A版高中数学必修二 几何体体积常用求法课件
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Байду номын сангаас
4.球体的体积
V球
4 3
πR3
R为球的半径
例题讲解
例1某几何体的三视图如图所示,则该几何体的
体积 为( D )
A.16π
B.8π
C.136π
D.83π
牛刀小试
练习某几何体的三视图如图所示(单位:cm),
则该几何体的体积是( C )
A.8 cm3
B.12 cm3
C.332 cm3 D.430 cm3
2. 3
法二：取 EF 的中点 P，则多面体 ABCDEF
分割成正四面体 ADEP、PBCF 和正四棱锥
P—ABCD，也易于计算．
P
三、补形法（柱体，椎体）
利用平移、旋转、延展或对称等手段，将 原几何体补成便于求体积的几何体，如正 方体、长方体等．
【例3】已知：长方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，AB=4 ，
课后作业
1.由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如 图，则该几何体的体积为________.
2.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3
的正方形，EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC
的距离为2，求该多面体的体积( )。
E
F
A .9 B.5 C .6 D .15
C
B A1
C1
B1
P
A
C
B A1
C1 B1
R Q
A
C
D
E
B A1
C1
B1
四、等体积法
“等积转换法”是针对当所给几何体 的体积不能直接套用公式或涉及的某一量 (底面积或高)不易求解时，可以转换一下 几何体中有关元素的相对位置进行计算， 该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
例4：如图，在边长为a的正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1
C VA1A1D B11 31 24234
V B 1A1C D 2 4 448
A
B
练习 如图，在一个直三棱柱（底面为 A1B1C1）被一个平面 ABC 所截得的几何体 中 ， A1B1=B1C1=1 ， ∠ A1B1 C1=90 ° ， A AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此几何体的体 积
牛刀小试
中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥A1 DEB1
的体积。
解法分析：V A1 DEB1 = V DA1EB1
1
D1
C 1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
练习. 在边长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、
N、P 分别是棱 A1B1、A1D1、A1A 上的点，且满足
积为
.
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边
长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
.
解：法一 分别过 A、B 作 EF 的垂线， G
H
垂足分别为 G、H，连结 DG、CH， 1
容易求得 EG=HF= 2 . 由题 A 意 G G D 得 B H H C3,
几何体体积常用求法
高二下册人教A版
生活中的几何体
生活中的几何体
高考导航
高考统计
命题规律及趋势
2014全国Ⅱ,文7 2016全国Ⅲ,文
11,19
2017全国Ⅲ,文
9,19
2018全国Ⅰ,文
10,18
2018全国Ⅱ,文16 2018全国Ⅲ,文12
1.考纲要求: 了解柱体，椎体，台体， 球体的体积计算公式
2
2
D
C
A
B
3. 如图2,四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，
A CBD O，BAD60，已知 P B P D 2，PA 6.
P
（Ⅰ）证明：PO面ABC；D
（Ⅱ）求三棱锥 OPBC的体积.
6
2
3
2
D
C
A 600 3 O
2
图2
2
B
谢谢聆听
祝愿同学们学业有成，前途似锦
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人
2
SAG DSBH C1 222142
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边
长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
.
解：
V ABCDEF
V AGD BHC VFBHCVEAGD
.
11
21.111
212
2 2 32 2 2
二、分割法
讲授新课
对于给出的一个不规则的几何体，不能直 接套用公式，常常需要运用分割法，按照结 论的要求，将原几何体分割成若干个可求体 积的几何体，然后再求和．
例题讲解
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD
是边长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为
正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体
BC=2，BB 1 =3 求三棱锥 B1 AD1C 的体积
解法分析 V V ： B 1A1 C D AB A C 1B 1 C D 1D 1
D1 A1
D
V V V V A1AD1B1
BAD1B1
C1AD1B1
DAD1B1
C1
V AB A C 1 B 1 C D 1 D 1 4 2 3 2
B1
1
3
A1M= 2 A1B1，A1N= 2ND1，A1P= 4 A1A，如图，
试求三棱锥 A1—MNP 的体积．
求几何体体积的常用求法
课堂总结
1.直接法，适用于规则几何体，结合公式 进行求解
2.割补法，适用于非规则几何体
3.等体积法按所给图象的方位不便计算时, 可选择条件较集中的面作底面,以便计算底 面积和高.
2.高考考查的热点内容: .,常以三视图为
载体,或者以球为背景，有时也会根据几 何体的特征直接考查其体积,
一、直接法即公式法
讲授新课
１.柱体的体积
v sh（S为底面面积，h为高）
2.锥体的体积
v 1 sh （S为底面面积，h为高） 3
3.台体的体积
讲授新课
V1 3(S上S下 S上 S下 ） h
4.球体的体积
V球
4 3
πR3
R为球的半径
例题讲解
例1某几何体的三视图如图所示,则该几何体的
体积 为( D )
A.16π
B.8π
C.136π
D.83π
牛刀小试
练习某几何体的三视图如图所示(单位:cm),
则该几何体的体积是( C )
A.8 cm3
B.12 cm3
C.332 cm3 D.430 cm3
2. 3
法二：取 EF 的中点 P，则多面体 ABCDEF
分割成正四面体 ADEP、PBCF 和正四棱锥
P—ABCD，也易于计算．
P
三、补形法（柱体，椎体）
利用平移、旋转、延展或对称等手段，将 原几何体补成便于求体积的几何体，如正 方体、长方体等．
【例3】已知：长方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，AB=4 ，
课后作业
1.由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如 图，则该几何体的体积为________.
2.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3
的正方形，EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC
的距离为2，求该多面体的体积( )。
E
F
A .9 B.5 C .6 D .15
C
B A1
C1
B1
P
A
C
B A1
C1 B1
R Q
A
C
D
E
B A1
C1
B1
四、等体积法
“等积转换法”是针对当所给几何体 的体积不能直接套用公式或涉及的某一量 (底面积或高)不易求解时，可以转换一下 几何体中有关元素的相对位置进行计算， 该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
例4：如图，在边长为a的正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1
C VA1A1D B11 31 24234
V B 1A1C D 2 4 448
A
B
练习 如图，在一个直三棱柱（底面为 A1B1C1）被一个平面 ABC 所截得的几何体 中 ， A1B1=B1C1=1 ， ∠ A1B1 C1=90 ° ， A AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此几何体的体 积
牛刀小试
中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥A1 DEB1
的体积。
解法分析：V A1 DEB1 = V DA1EB1
1
D1
C 1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
练习. 在边长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、
N、P 分别是棱 A1B1、A1D1、A1A 上的点，且满足
积为
.
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边
长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
.
解：法一 分别过 A、B 作 EF 的垂线， G
H
垂足分别为 G、H，连结 DG、CH， 1
容易求得 EG=HF= 2 . 由题 A 意 G G D 得 B H H C3,
几何体体积常用求法
高二下册人教A版
生活中的几何体
生活中的几何体
高考导航
高考统计
命题规律及趋势
2014全国Ⅱ,文7 2016全国Ⅲ,文
11,19
2017全国Ⅲ,文
9,19
2018全国Ⅰ,文
10,18
2018全国Ⅱ,文16 2018全国Ⅲ,文12
1.考纲要求: 了解柱体，椎体，台体， 球体的体积计算公式
2
2
D
C
A
B
3. 如图2,四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，
A CBD O，BAD60，已知 P B P D 2，PA 6.
P
（Ⅰ）证明：PO面ABC；D
（Ⅱ）求三棱锥 OPBC的体积.
6
2
3
2
D
C
A 600 3 O
2
图2
2
B
谢谢聆听
祝愿同学们学业有成，前途似锦
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人
2
SAG DSBH C1 222142
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边
长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为正三角形，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
.
解：
V ABCDEF
V AGD BHC VFBHCVEAGD
.
11
21.111
212
2 2 32 2 2
二、分割法
讲授新课
对于给出的一个不规则的几何体，不能直 接套用公式，常常需要运用分割法，按照结 论的要求，将原几何体分割成若干个可求体 积的几何体，然后再求和．
例题讲解
例2. 如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD
是边长为1的正方形，且△ ADE、△BCF均为
正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体
BC=2，BB 1 =3 求三棱锥 B1 AD1C 的体积
解法分析 V V ： B 1A1 C D AB A C 1B 1 C D 1D 1
D1 A1
D
V V V V A1AD1B1
BAD1B1
C1AD1B1
DAD1B1
C1
V AB A C 1 B 1 C D 1 D 1 4 2 3 2
B1
1
3
A1M= 2 A1B1，A1N= 2ND1，A1P= 4 A1A，如图，
试求三棱锥 A1—MNP 的体积．
求几何体体积的常用求法
课堂总结
1.直接法，适用于规则几何体，结合公式 进行求解
2.割补法，适用于非规则几何体
3.等体积法按所给图象的方位不便计算时, 可选择条件较集中的面作底面,以便计算底 面积和高.
2.高考考查的热点内容: .,常以三视图为
载体,或者以球为背景，有时也会根据几 何体的特征直接考查其体积,
一、直接法即公式法
讲授新课
１.柱体的体积
v sh（S为底面面积，h为高）
2.锥体的体积
v 1 sh （S为底面面积，h为高） 3
3.台体的体积
讲授新课
V1 3(S上S下 S上 S下 ） h