2019年浙江省数学高考模拟精彩题选 解析几何解答题 含答案
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2016浙江精彩题选——解析几何解答题
1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）
已知椭圆C ：22
a
x ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2
，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线
l 的对称点，设.
（Ⅰ）若l =
3
4
，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2
为等腰三角形，求l 的值.
2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C：
22
22
1(0) x y
a b
a b
+=>>
经过点
，且离心率等于
2
．点,A B分别为椭圆C的左、右顶点，N
M,是椭圆C上非顶点的两点，且OMN
∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作OM
AP//交椭圆C于点P，求证：ON
BP//．
解：（Ⅰ）由题意得：
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
=
=
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
2
6
(
1
c
b
a
a
c
e
b
a
，解得：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
2
4
2
2
b
a
故椭圆C的方程为：1
2
4
2
2
=
+
y
x
……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为OM
y k x
=，
ON
y k x
=
联立方程组22
1
42
OM
y k x
x y
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得M,
同理可得(
N,……………………………………7分
作'
MM x
⊥轴, '
NN x
⊥轴,','
M N是垂足,
OMN
S
∆
=
''
''OMM ONN
MM N N
S S S
∆∆
--
梯形
1
[()()]
2M N M N M M N N
y y x x x y x y
=+--+
1
()
2M N N M
x y x y
=-
1
2
=
=9分
已知
OMN
S
∆
2
=，化简可得
2
1
-
=
ON
OM
k
k.……………………………………11分
设(,)
P P
P x y,则22
42
P P
x y
-=，
又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明1
2
AP BP k k =-
……………………13分 而221
2242
P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--
所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）
解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y OM ，代入422
2=+y x
得0488)12(2
222=-+++OM OM OM k x k x k ，它的两个根为2-和P x
可得1
2422
2
+-=OM OM
p k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分 从而OM OM OM
OM OM
BP
k k k k k k 21
21
2421242
2
2-=-+-+= 所以只需证ON OM k k =-
21 即2
1
-=ON OM k k …………………………………9分 设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x 从而可得2
1
-=ON OM k k …………………………………10分
若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12
42
2=+y x 得0424)12(2
2
2
=-+++m kmx x k
则1
24221+-=+k km x x ，12422
221+-=k m x x ，0)24(82
2>-+=∆m k ………11分
21
2)24(8||21
||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN
化得0)12()24(2
2
2
2
4
=+++-k m k m ，得122
2+=k m (13)
分
2
1
4)12(2412424)(222222************-
=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ON
OM (15)
分
3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）