完整word版,保险精算学公式
寿险精算公式集合
1 x x s ( x) 1
x
De Moivre 模型(1729)
,
0 x
x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）
寿险精算公式集合
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x
l0
个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n d x （特别：n=1 时，记作 d x ）
dx lx lx n lx
纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
A1 A1
x:n
当n 1 时 v qx v dx lx
x: 1
自然纯保费
v x 1 d x Cx cx v x lx Dx
Ax
v
k 0 k 1
k 1
k
保险精算
1− v
t
ax =∫ v t px dt = ∫ e
t 0 0
∞
∞
−0.06t −0.04t
e
dt = ∫ e
0
∞
−0.1t
dt = 10
例4.2答案 答案
（2）Ax = ∫ e − 0.06 t 0.04e − 0.04 t = 0.4
0 2 ∞
Ax = ∫ e − 0.12 t 0.04e − 0.04 t = 0.25
ax = ∫ t Exdt = ∫ v ⋅ t pxdt
t 0 0
∞
∞
例4.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 ，利息力为常数 在死亡力为常数 的假定下， 的假定下，求
（1） ax （2） 的标准差 a
T
a （3） T 超过
ax 的概率。
例4.2答案 答案
综合支付技巧
0.04 ∞ −0.06t −0.04t ax =∫ t px µx+t dt = ∫0 (1− e )e dt = 10 0 0.06 δ 当期支付技巧
70 70
Var(Z ) = 2A30 − ( A30 )2 = 0.1427269 0.2772 = 0.066 − 1− Z Var(Z ) 0.066 = = 26.4 Var(Y ) = Var = 2 2 δ 0.05 δ
定期连续生存年金精算现值估计
综合支付技巧
aT Y = an
例4.6答案 答案
5 72 10 39 && a90 = 5vp90 +10v 2 p90 = + = 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2
保险精算原理公式转换
保险精算原理公式转换保险精算是一种通过数学和统计学方法来评估和管理保险风险的过程。
它涉及使用各种公式和模型来计算保险产品的定价、储备金、赔付率和利润率等指标。
在保险精算中，有一些常用的公式和原理，可以帮助精算师评估和分析保险风险。
下面介绍一些常见的保险精算原理公式，并进行一些转换和拓展。
1. 赔付率公式：赔付率是指保险公司在某一给定时间内支付给被保险人的赔款金额与保险费收入之比。
赔付率公式可以表示为：赔付率 = 赔款总额 / 保险费总额在实际应用中，我们可以将赔付率公式转换为其他形式，例如：赔款总额 = 赔付率 * 保险费总额保险费总额 = 赔款总额 / 赔付率2. 利润率公式：利润率是指保险公司在某一给定时间内的净利润与保险费收入之比。
利润率公式可以表示为：利润率 = (保险费收入 - 赔款总额 - 其他费用) / 保险费收入在保险精算中，我们经常使用的是利润率的变形公式，例如：保险费收入 = (赔款总额 + 其他费用) / (1 - 利润率)通过这个公式，我们可以计算出保险公司需要的保险费收入，以保证达到期望的利润率。
3. 风险价值公式：风险价值是指保险公司在某一给定时间内面临的可能的风险损失。
风险价值公式可以表示为：风险价值 = 风险损失概率 * 风险损失金额在保险精算中，我们可以使用不同的方法来计算风险价值，例如概率分布函数、蒙特卡洛模拟等。
除了上述公式，保险精算还涉及到其他一些重要的原理，例如风险调整、保费定价和储备金计算等。
这些原理和公式的应用可以帮助保险公司评估和管理风险，确保公司的可持续发展和利润增长。
总之，保险精算原理公式的转换可以帮助精算师更好地理解保险风险的本质，优化保险产品的设计和定价，并为保险公司提供科学的风险管理和决策支持。
保险精算基础知识点总结
满期保费指从保单生效日起至统计区间末已经满期的那部分保费。
满期保费＝保费收入×【min（统计区间末,保险责任终止日)－保单生效日】/【保险责任终止日－保单生效日】。
满期保费通常是针对一张保单或者是在一个承保年度内起保的所有保单而言.已赚保费指在统计区间内所有有效（包括在整个区间有效或在部分区间有效）的保单在统计区间内已经经过的那部分保费.已赚保费＝统计区间保费收入＋统计区间期初未到期责任准备金－统计区间期末未到期责任准备金。
已赚保费是计算统计区间承保利润的基础.反映了新承保保单和部分历史保单的保费对于核算区间的收入贡献.通常在业务保持增长的情况下，已赚保费低于保费收入。
已发生未报告未决赔款准备金（IBNR）：指截止至统计区间末已经发生但尚未接到报案的案件的精算评估金额。
广义的IBNR还包含已发生未立案准备金、未决估损不足准备金、重立案件准备金以及理赔费用准备金。
其中已发生未立案准备金是指为保险事故已经报告但未记录到理赔系统的案件提取的准备金；未决估损不足准备金是指最初立案金额与最终实际赔付之间的差额；重立案件准备金是指已赔付案件，出现新的信息,赔案被重新提起并要求额外增加赔付;理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。
其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。
未到期责任准备金:指对在统计区间末仍然有效的保单的尚未终止的保险责任提取的保费责任准备金.每张保单的未到期责任准备金＝保费收入×【该保单的保险责任终止日－统计区间末】/【该保单的保险责任终止日－保单生效日】。
上述计算方法为三百六十五分之一法.统计区间末的未到期责任准备金为在统计区间末仍然有效的所有保单的未到期责任准备金之和。
未到期责任准备金是计算统计区间已赚保费的基础纯风险保费：纯风险保费＝出险频度×案均赔款×损失发展因子×趋势发展因子【损失发展因子：损失在未来的发展。
财产保险保费精算公式
财产保险保费精算公式
财产保险的保费精算是通过对潜在风险的评估和分析，确定
保费的方法。
一般来说，财产保险的保费精算可以采用以下公式：
保费=纯保费+成本+利润
其中，纯保费是指在没有成本和利润的情况下，根据风险暴
露的概率和程度计算出的保费。
成本是指保险公司为提供保险
服务而产生的各类费用，包括管理费、销售费用、理赔费用等。
利润是指保险公司为风险承担所获得的收益。
具体来说，保费的计算一般包括以下几个步骤：
1.风险评估：根据被保险财产的价值、损失可能性以及损失
程度等因素，对潜在风险进行评估和估计。
2.统计分析：利用现有的风险数据和历史赔付数据，进行统
计分析，计算出潜在风险的概率分布以及可能的损失水平。
3.纯保费计算：根据风险评估和统计分析的结果，计算出每
个风险暴露的纯保费。
4.成本和利润确定：根据保险公司的经营成本和预期获得的
利润率，确定成本和利润的比例。
5.总体保费计算：将纯保费、成本和利润加总，得到最终的
保费。
需要注意的是，财产保险的保费精算是一个复杂的过程，涉及到多个因素和变量，并且需要根据不同的产品和市场情况进行调整。
因此，在实际操作中，保险公司往往会根据自身的经验和市场需求进行调整和修正，以确保保费公正合理且能够覆盖风险。
保险精算-第7章2-准备金
t
n| x
n| x
x:t |
5
7.1.3 几个特殊公式
P(A ) 1 , A 1 a
所以，
xa x
xt
xt
1 a ( 1 )a
xt
a
xt
x
a 1 xt
a a
x
xt
------①
a x
a x
或
1 A A A
V (A ) 1
xt
xt
x
-----②
t
x
1 A 1 A
6
x
x
利用剩余保费差的精算现值公式
2
缴清保险公式
责任准备金是部分给付的精算现值
实际收取保费占未 来应收保费的比例
3
责任准备金的其它方法
保费差公式（premium-difference formula）
责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。
缴清保险公式（paid-up insurance formula）
责任准备金等于部分给付的精算现值。
*过去法（后顾方法）公式（retrospective method）
责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值之差。
4
选择公式的两条原则
(1)在持续时间超出缴费期时，用未来法方便
例如，t h时，hV ( A ) A
t
x
xt
*(2)尚未发生保险金给付时的缴费期内，用过去法方便
例如，t n时，V ( a ) P( a ) s
1
a45 a35
a35 a25
0.28
18
7.3 半连续型寿险的责任准备金
死亡即付的半连续型纯保费有
求解半连续型责任准备金的方法有两种： （1）第7.1节给出的责任准备金公式中，
寿险精算第一章(word版)
第一章 生存分布与生命表学习目标□了解常有生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 □了解生存分布与生命表之间的关系□了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法1.1 引言寿险精算的主要研究都建立在生命个体（如被保险人）的生存情况的基础上。
精算学的发展始于对生存分布和生命表的研究。
在开始生存分布和生命表的讨论之前，我们先介绍几个基本的概念和符号。
首先，我们用符号（x ）表示x 岁的生命，用T （x ）表示（x ）从现在直到死亡之间的时间长度。
显然，（x ）在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T （x ）不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T （x ）为（x ）的未来生命时间长度随机变量。
用X 表示（x ）死亡时的年龄。
显然，X 也是一个随机变量，并且有T （x ）=X-x 。
称X 为（x ）的寿险随机变量。
如果（x ）=（0），即一个新生婴儿，那么很显然，新生婴儿的未来生命时间长度恰好等于其寿命，即T （0）=X 。
既然X 和T （x ）均为随机变量，所以，我们可以研究他们的概率分布情况。
基于概率统计的基础知识，我们记X 的分布函数为x F （x ），于是()()x r F x P X x =≤ 0x ≥ （1—1）显然，{X x ≤} 表示新生儿将于x 岁之前死亡的随机事件。
于是，概率分布函数()x F x 对应的是一种死亡概率。
与上述死亡概率对应，我们可以定义函数()X S x 为：()1()Pr()X X S x F x X x =-=≥ 0x ≥ （1--2）显然，{}X x ≥表示新生儿将于x 岁之后死亡——即新生儿将在x 岁还生存的随机事件，所以()X S x 为新生儿将在x 岁仍然活着的概率。
基于此，我们称()X S x 为生存函数，为方便起见，有时省略下标记为()X S x 。
注意到分布函数x F （x ）和生存函数()X S x 之间的简单关系，可以知道这二者对于相应的随机变量X 的意义和地位，它们有相同的作用！因此，基于概率统计的经验，我们知道，为了研究随机变量X ，研究分布函数x F （x ）或生存函数()X S x二者中之一即可。
产险精算指标计算公式总结 笔记
产险精算指标计算公式总结笔记产险精算指标计算公式总结一、引言在产险精算领域，精准的指标计算是非常重要的。
只有通过科学的计算，才能更好地评估风险、制定保险方案，并且为保险公司的盈利能力提供支持。
本文将就产险精算指标的计算公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用。
二、总赔付率（Loss Ratio）总赔付率是产险公司经营状况的重要指标之一。
其计算公式为：\[ \text{总赔付率} = \frac{\text{赔付金额}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，赔付金额是指某一特定期间内的承保风险发生的赔付金额，已赚保费是指某一特定期间内的保险合同有效期内所获得的保费收入。
总赔付率的计算公式体现了保险公司在一定期间内的赔付能力和风险控制能力。
通常情况下，总赔付率越低，说明保险公司的盈利能力越强。
三、综合成本率（Combined Ratio）综合成本率是产险公司经营状况的另一个重要指标，其计算公式为：\[ \text{综合成本率} = \frac{\text{总赔付} + \text{营业费用} +\text{账单费用}}{\text{已赚保费}} \times 100\% \]其中，营业费用和账单费用是产险公司在运营过程中产生的相关费用。
综合成本率的计算公式充分反映了保险公司在一定期间内的全部成本占已赚保费的比例，是评估保险公司经营状况和盈利能力的重要指标。
通常情况下，综合成本率越低，说明保险公司的经营效率越高。
四、预期赔付率（Expected Loss Ratio）预期赔付率是指在一定风险水平下的预期理论赔付率，其计算公式为：\[ \text{预期赔付率} = \frac{\text{预期赔付}}{\text{风险单位}}\times 100\% \]其中，预期赔付是指在特定风险水平下的理论赔付金额，风险单位是指被保险对象的风险单位数量。
预期赔付率的计算公式是产险精算中的重要工具之一，能够帮助精算师精确评估风险和制定保险方案。
人民大学《保险精算学》
人民大学《保险精算学》第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的缺失。
二、利息的度量利息能够按照不同的标准来度量，要紧的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积存方式划分：（1）线性积存：单利计息单贴现计息（2）指数积存：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积存值。
因此长期业务一样复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积存值。
因此短期业务一样单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力专门，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情形（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积存值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质差不多上对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时刻顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时刻参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时刻间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）差不多年金约束条件：等时刻间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一样年金不满足差不多年金三个约束条件的年金即为一样年金。
保险精算概念公式
：x 岁死亡概率
表示x 岁的一批人在x ~ x + n 岁之间的死亡人数。
表示x 岁的人群在x ~ x + n 岁的死亡概率
表示 x 岁的人继续存活n 年的概率
表示x 岁的人继续存活n 年并在第n + l 年死亡的概率，或x 岁的人在x + n ~ x + n+1岁死亡的概率
表示x 岁的人在x + n ~ x + n + m 岁之间死亡的概率（或者x 岁的人存活到
x+n 岁并在x+n ~ x+n+m 岁之间死亡的概率
：x 岁的人生存的人年数
但通常0岁组死亡人数的分布很不均匀，一般用下面经验公式计算：
这间接说明0 ~ 1岁之间的婴儿死亡率高于其他年龄段的死亡率
x
q x n d
x n q
x
n
x x x
x n
x n l l l l d q +-=
=
x
n
p x
n x x n l l p +=
x n q x
n
x n x n x n x x n x n x x n x n l d l l l l l q p q +++++++=-⋅=⋅=1x m n q
x n x n x n m x n x n m m
x n x n
x m x n
n m x x n x
x
l l l l l d q p q l l l l ++++++++++--=
⋅=⋅==x L
1
00724.0276.0l
l L +=x
T。
保险精算学-趸缴纯保费(2)
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
life insurance 精算公式
life insurance 精算公式Life Insurance 精算公式该文章将列举一些与生命保险精算相关的公式，并举例解释其含义。
纯费用净保费公式（Net Premium Formula）•纯费用净保费 = 纯死亡率 * 累计保费这个公式用于计算保险公司所收取的净保费，其中纯死亡率是指以被保险人的年龄、性别、职业等因素为基础的死亡风险。
累计保费是指被保险人支付的全部保费之和。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的寿险，保额为100,000元。
根据精算师的数据分析得出该被保险人在该保险期间的纯死亡率为。
如果该被保险人每年需要支付1000元的保费，那么他每年必须缴纳的纯费用净保费为：纯费用净保费 = * (10 * 1000)= 100元现金价值（Cash Value）计算公式•现金价值 = 累计保费 - 永久纯费用净保费 - 风险准备金现金价值是指保险合同生效后，被保险人可获得的保额之和。
永久纯费用净保费是指永久性保证死亡保险的纯费用净保费，也称为值班保费。
风险准备金是保险公司为防备被保险人死亡而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份20年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为2000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的永久纯费用净保费为150元，并且风险准备金为500元。
那么该被保险人的现金价值为：现金价值 = (20 * 2000) - (20 * 150) - 500= 36,500元退保价值（Cash Surrender Value）计算公式•退保价值 = 累计保费 - 累计纯费用净保费 - 风险准备金退保价值是指在保险合同期间被保险人在合同终止前选择退保所能获得的金额。
累计纯费用净保费是指在保险合同期间累计支付的纯费用净保费。
风险准备金是为了应对潜在的风险而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为5000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的累计纯费用净保费为4000元，并且风险准备金为1000元。
完整word版,保险精算学公式
《精算技术》公式第一章利息理论1nn v a i-=；()11nnn v a a i d-=+=&&； ()()111nnn n i s a i i+-=+=；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11511000x l x ；1a i ∞=；1a d∞=&&； 1nn v a δ-=；()11nni s δ+-=；()nnna nv Ia i-=&&；()()()1nnn n s n Is Ia i i-=+=&&；()nnn a Da i-=；()()1nnn n i s Ds i+-=；()211Ia i i∞=+。
第二章生命表22xx xm q m =+；1x x x l l d +=-； x x x d q l =；()112x x x L l l +=+； 1x x x t t T L ϖ--+==∑；xx xT e l =。
第三章 生存年金生存年金的概念及其种类。
生存年金现值计算公式各种年金之间的关系式：x a =:x n a +|n x a|n x a =n x E x n a +x a &&=1+x a :x na &&=1+:1x n a - |n x a &&=1|n x a - |n mx a &&=1|n m x a -:x n s =:x na 1n x E :x n s &&=:x na &&1n xE ()m x a &&=()m x a +1m()m x a =():m x n a +()|m n x a ()|m n xa =n x E ()m x n a +转换函数的定义x x x D v l =x N =0x t t D ∞+=∑x S =0x t t N ∞+=∑=()01x t t t D ∞+=+∑x D =0tx tx t v l dt ++⎰=0tx t D dt +⎰x N =0x t t D ∞+=∑=0x t D dt ∞+⎰x S =0x t t N ∞+=∑=()01x t t t D ∞+=+∑第四章人寿保险转换函数的定义：x C =1x x v d + x M =0x t t C ∞+=∑x x t t R M ∞+==∑1110x x x t x t x t x t C v l dt D dt μμ+++++==⎰⎰x x t x t x t t M C D dt μ∞∞+++===∑⎰x x t t R M ∞+==∑通常以x iC δ，()121x i C +，12x i C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭近似x C 。
寿险精算公式集合
第一章 生命表函数与生命表构造生存函数 定义 意义：新生儿能活到 岁的概率 与分布函数的关系 与密度函数的关系 新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率 未来寿命定义：已经活到x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。
分布函数：基本函数 未来寿命的生存函数特别： ：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率 ：X 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记 概率函数11Pr(())Pr(()1)k x k x kx k xk x x k xk K X k k T x k q q p p p q q +++==≤<+=-=-=⋅=未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x 未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)ox tx tx e E T x td p p dt∞∞==-=⎰⎰未来寿命的方差2220(())(())(())2o tx xVar T x E T x E T x t p dt e ∞=-=⋅-⎰整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x 整值未来寿命的期望值(均值),简记xe 1(())x kx x k k xk k e E K x k p q p ∞∞++====⋅⋅=∑∑整值未来寿命的方差22210(())()()(21)k x x k Var K x E K E K k p e ∞+==-=+⋅-∑死亡效力)Pr()(x X x S ≥=x )(1)(x F x S -=)()(x S x f '-=Pr()()()x X z s x s z <≤=-Pr(())()()()()t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=t x p Pr(())Pr()()()t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=0()x p s x =x px q x t u q xt u x t x t x t u xt u q q q p p ++=-=-()x (),()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=定义：()x 的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()x s x f x s x s x s x μ''=-==-死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xs x ttxsxs x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xx x s f x s x ds μμμ=⋅=⋅-⎰ 死亡效力表示未来寿命的密度函数()g t T ()()F ()1()()()()f ()()()()tx x t T tx x ts x s x tt p s x s x t d d s x s x t t G t p dt dt s x s x μμ++-+=-=⎡⎤+-+====⋅⎢⎥⎣⎦关寿命分布的参数模型De Moivre 模型(1729)1()1 , 0xxxs x x μωωω=-=-≤≤Gompertze 模型(1825) ()exp{(1)} , B 0,c 1,0xx xBc s x B c x μ==-->>≥Makeham 模型(1860)()exp{(1)} , B 0,A -B,c 1,0xx xA Bc s x AxB c x μ=+=--->≥>≥ Weibull 模型(1939)1()exp{} , 0,0,0nx n kx s x kx k n x μ+==->>≥ 参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
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《精算技术》公式
第一章
利息理论
1n
n v a i
-=；
()11n
n
n v a a i d
-=+=&&； ()
()11
1n
n
n n i s a i i
+-=+=
；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=11511000x l x ；
1a i ∞=；
1a d
∞
=&&； 1n
n v a δ
-=
；
()11
n
n
i s δ
+-=
；
()n
n
n
a nv Ia i
-=
&&；
()()()1n
n
n n s n Is Ia i i
-=+=&&；
()n
n
n a Da i
-=；
()()1n
n
n n i s Ds i
+-=
；
()211
Ia i i
∞
=+。
第二章
生命表
22x
x x
m q m =
+；
1x x x l l d +=-； x x x d q l =；
()11
2
x x x L l l +=
+； 1
x x x t t T L ϖ--+==
∑
；
x
x x
T e l =。
第三章 生存年金
生存年金的概念及其种类。
生存年金现值计算公式
各种年金之间的关系式：
x a =:x n a +|n x a
|
n x a =n x E x n a +
x a &&=1+x a :x n
a &&=1+:1x n a - |
n x a &&=1|n x a - |n m
x a &&=1|n m x a -
:x n s =:x n
a 1
n x E :x n s &&=:x n
a &&1n x
E ()m x a &&=()m x a +
1
m
()m x a =():m x n a +()|m n x a ()
|
m n x
a =n x E ()m x n a +
转换函数的定义
x x x D v l =
x N =0
x t t D ∞
+=∑
x S =0
x t t N ∞+=∑=()0
1x t t t D ∞
+=+∑
x D =0
t
x t
x t v l dt ++⎰=0
t
x t D dt +⎰
x N =0
x t t D ∞
+=∑=0
x t D dt ∞
+⎰
x S =0
x t t N ∞+=∑=()0
1x t t t D ∞
+=+∑
第四章
人寿保险
转换函数的定义：
x C =1x x v d + x M =0x t t C ∞
+=∑
x x t t R M ∞+==∑
11
10
x x x t x t x t x t C v l dt D dt μμ+++++==⎰⎰
x x t x t x t t M C D dt μ∞
∞
+++===∑⎰
x x t t R M ∞
+==∑
通常以x i
C δ，()1
2
1x i C +，12x i C ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
近似x C 。
寿险与生存年金现值的关系式：
x A =v x a &&-x a 1
:x n
A =v :x n a &&-:x n a |
n x A = v :x n
a &&-:1x n a - x A =1-d x a && :x n A =1-d :x n
a && x A +i x A +i x a =1 x A =1-δx a
1
:x n
A =1-n x E -δ:x n a :x n A =1-δ:x n a
()x IA =v ()x Ia &&-()x Ia ()1
:x n IA =v :()x n Ia
&&-:()x n Ia ()x IA =x a &&-d ()x Ia &&
第五章 均衡净保费
均衡净保费是基于前面各章节的基础上，综合前面的所有内容，计算以及处理方法类似。
x
x x
A P a =
&&；
:x
t x x t
A P a =
&&； 1
1:::x n x n
x n
A P a =&&； :::x n
x n x n
A P a =&& 11:::x n t
x n
x t
A P a =&& 1
1:::x n t x n
x n
A P a =&& |
|:()n x n x x n
a P a a =&&&&&&。