第一章 函数与极限的练习解答
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一、P21：1；5
1.设），（），（∞+∞=55--A
，）
，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= B
A
)5,10[-=B A
),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A
)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A
5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？
（1）
x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D
),0(+∞=g D 。
（2）
2
)(,)(x x g x x f ==
解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。
（3）
3
3
4
)(x
x x f -=，
3
1)(-•=x x x g
解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）
x x x g x f 2
2tan sec )(,1)(-==
解：不同。定义域不同，R D f =
},1,0,2
{ ±=+
≠=k k x x D g π
π。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；
P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.
4.求下列函数的自然定义域：
（1）
23+=x y ；
解：32023-≥⇒≥+x x 。即：),3
2
[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1
10
0102
x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。
（5）
x y sin =；
解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；
解：42131≤≤⇒≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y
解：101->⇒>+x x 。即：),1(+∞-=D
6.设,3
,3,0,sin )(ππϕ≥<⎩⎨⎧=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--ϕπϕπϕπϕ，并
作出函数的)(x y ϕ=图形
解：3
2,34,34,36πππππππ≥-<-<<
， 216sin 6==⎪⎭
⎫
⎝⎛∴ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，
22)4sin(4=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ππϕ，0)2(=-ϕ。
图形略
7.试证下列函数在指定区间内的单调性：
（2）
),0(,ln +∞+=x x y 。
证明：设210x x <<，则：
)(ln )()
ln ()ln ()()(2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x x f x f 即：
)()(21x f x f <。
∴函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递增。
10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ （1）
)1(2
2
x x y -=；
（4）)1)(1(+-=x x x y （5）1cos sin +-=x x y 解：（1）
)
()1(]
)(1[)()(2
2
2
2x f x x x x x f =-=---=-
∴)(x f 为偶函数。
（4）
)()1)(1()1)(1(]
1)][(1))[(()(x f x x x x x x x x x x f -=+--=+----=+----=-
∴)(x f 为奇函数。
（5）
)
()(1cos sin 1
)cos()sin()(x f x f x x x x x f -≠≠+--=+---=- ∴)(x f 既非偶函数又非奇函数。
11.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1))2cos(-=x y
：
（3）x y πsin 1+=；（5）x y 2sin =。 解：（1）是周期函数，周期为π2；（3）是周期函数，周期为2；
（5）是周期函数，周期为π。
15.设
)(x f 的定义域]1,0[=D ，求下列各函数的定义域：
（1）)(2
x f ；（3）)0(),(>+a a x f
解：（1）11102
≤≤-⇒≤≤x x ，即：]1,1[-=D
（3）a x a a x -≤≤-⇒≤+≤110，即：]1,[a a D --=
16.设⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<=,
1.1,1,0,
1,1)(x x x x f x
e x g =)(，求
)]([x g f 和
)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
解
：
⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<=0.10
,00
,11.11,01,11)(.11)(,
01)(,1)]([x x x e e e x g x g x g x g f x x
x