卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布表
卡方分布表卡方分布表卡方分布表是一个重要的数学工具，在统计学和实验设计中经常被使用。
卡方分布表揭示了卡方分布在不同程度上的概率密度值，它可根据样本数、自由度和期望值，计算出卡方分布的概率密度函数。
卡方分布表能够帮助统计学家检验假设和求解不同的统计问题，尤其在研究方差分析和卡方检验等方面有着广泛的应用。
卡方分布卡方分布是一种特殊的概率分布，在统计学中有着十分广泛的应用。
卡方分布通常是由一系列相互独立且在总体上是正态分布的变量构成的。
在卡方分布中，每个变量都乘以一个系数，将它们加起来就得到了卡方值。
卡方分布在一个样本的数据分布、两个样本的独立性检验和拟合度检验等方面均有广泛应用。
卡方分布的应用卡方分布在实际应用中有着广泛的应用。
它通常用于试验设计、广告效果分析、市场研究、金融风险管理、医学统计分析等领域。
卡方分布常常被用来检验假设，例如检验两个样本之间的独立性、检验一个样本的频率分布是否符合期望分布等。
卡方分布表则可以帮助统计学家更加轻松地完成一系列检验，提高工作效率。
卡方分布表的使用步骤卡方分布表的使用方法相对简单，主要包括以下几个步骤：1. 计算卡方值：在卡方检验中需要先计算卡方值，其计算公式是：X2=Σ(Oi-Ei)2/Ei。
其中，Oi为观察值，需要通过实验或者数据统计获取；Ei为期望值，通常是由独立性假设或者完全随机假设得出的。
计算出卡方值之后，即可查找相应的卡方分布表。
2. 确定自由度：自由度的数量是根据数据的情况而定。
在卡方分布中，自由度数量即为样本数减1：df=n-1。
3. 查找卡方分布表：在卡方分布表中，根据自由度和显著性水平，可以查到卡方值的概率密度函数值。
4. 进行统计检验：通过比较计算出的卡方值和查找到的卡方分布表中的概率密度函数值，可以判断样本数据是否符合假设，从而进行相应的统计检验。
卡方分布表的注意事项在使用卡方分布表时，需要注意以下几个问题：1. 样本数必须大于等于自由度数，否则不能进行卡方检验。
卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
中文名卡方分布外文名chi-square distribution别称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert提出时间1863应用学科统计学目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
卡方分布分位表
卡方分布分位表1. 什么是卡方分布？卡方分布（chi-squared distribution ）是统计学中常用的概率分布之一，它是一种单参数分布。
卡方分布常用于分析成功与失败之间的关系，比如独立性检验、拟合优度检验等。
2. 卡方分布的概率密度函数卡方分布的概率密度函数（probability density function, PDF ）可以表示为：f (x;k )=12k 2Γ(k 2)x k 2−1e −x 2其中，k 是卡方分布的自由度参数，Γ 是伽马函数。
3. 卡方分布分位表的作用卡方分布分位表（chi-squared distribution quantile table ）是用于计算卡方分布的分位数的一种表格。
分位数是统计学中用于表示分布特征的关键指标之一。
通过查表可以快速找到给定分布和自由度下的分位数，从而帮助我们进行各种统计分析。
4. 卡方分布分位表的使用方法使用卡方分布分位表，首先需要确定自由度（degrees of freedom, df ）和置信水平（confidence level, α）。
然后在表格中找到对应自由度和置信水平的值，就可以得到相应的分位数。
以下是示例卡方分布分位表的一部分： 自由度 (k ) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 10.00004 0.00016 0.00393 0.01579 0.21072 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944自由度(k) 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.0052 0.01003 0.020100.050640.103180.710724.605175.991467.377769.2103410.596623 0.07172 0.114830.215800.351851.441796.251397.814739.3484011.3448712.83816……………………………例如，如果自由度为3，置信水平为0.95，则对应的分位数为3.84146。
卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
中文名卡方分布外文名chi-square distribution别称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert提出时间1863应用学科统计学目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
卡方检验基本公式检验方法
四格表资料分析小结(重要)
n Fisher’s exact probability法均适用 n 卡方检验是一种近似检验
（1）当n≥40，T>5时,可用。然而当P值接近0.05时最好用
Fisher’s exact probability法；
•若
• a (甲＋ 乙＋)、
• b (甲＋ 乙－)、
•
c (甲－ 乙＋)、
•
d (甲－ 乙－)。
•
将a、b、c、d四种情况的对子数填入四格表
P114 例7-3
观察的结果只有阳性、阴性两种可能，清点成对资料时发现 则存在四种情况。
n （1）两种方法都出现阳性（共有11例）； n （2）免疫荧光法阳性而乳胶凝集法却是阴性（共有12例）； n （3）免疫荧光法阴性而乳胶凝集法却是阳性（共有2例）； n （4）两种检测方法均为阴性结果（共有33例）。
McNemar检验的推广
例子
n 某研究所欲比较X线与CT对强直性脊柱炎（AS）骶髂关节 病变的诊断价值，分析临床诊断为AS的患者136例，对272 个骶髂关节分别拍摄X线平片与CT扫描，结果见下。问两 种方法诊断骶髂关节病变的分级有无差别？
•7.4 行×列表资料的•2 检验
•1、多个样本率的比较 •2、样本构成比的比较 •3、双向无序分类资料的关联性检验 •专用公式
99
5
75
21
174
26
104
95.20
200
87.00 (pc)
•
实际频数A (actual frequency)
•
理论频数T (theoretical frequency)
卡方分布
χ2分布的和也是χ2分布,即χ2分布具有可加性。 Σ χ2是一个遵从df= df1+df2+…+dfk的χ2分布.
如果df＞2,χ2分布的平均数:μ χ2=df,方差σ χ2
=2df.
χ2分布是连续型分布,有些离散型的分布也近似
χ2分布.
2
χ2分布密度曲线
n=1
n=4 n=10
n=20
概述-3
知道了同一总体不同样本的方 差比率分布,即可分析任意两样 本方差是否取自同一总体了.
F分布密度曲线
m=10，n=∞ m=10，n=50 m=10，n=10 m=10，n=4
F分布的特点-1
1. F分布形态是一个正偏态分布，它的分布 曲线随分子、分母的自由度不同而不同， 随df1与df2的增加而渐趋正态分布。
这无限多个F的分布称做F分布.
概述-112FFra bibliotek
2 2
df1
df2
概
述
2
(Xi X )2
2
(n 1)sn21
2
-2
概 述
代入F
12
df1
2 2
df2
(n1
1)
s2 n1
1
2 1
(n1
1)
(n2
1)
s2 n2
1
22 (n2 1)
-2
s2 n1 1
χ2分布表-1
χ2分布表是根据χ2分布函数计算出 来的，χ2分布曲线下的面积都是1.
随自由度不同，同一χ2 值以下或 以上所含面积与总面积之比率不同。
χ2表要列出自由度及某一χ2值以上 χ2分布曲线下的概率.
卡方分布知识点总结
卡方分布知识点总结一、基本概念1.1 卡方分布的定义卡方分布是一种非对称分布，它是由自由度为n的正态随机变量的平方和构成的。
通常表示为χ^2(n)，其中n表示自由度。
卡方分布是一种连续型概率分布，其密度函数为：f(x;n) = (1/2)^(n/2) * x^(n/2-1) * e^(-x/2) / Γ(n/2)其中Γ(n/2)表示Γ函数，n表示自由度。
1.2 卡方分布的特性（1）卡方分布是非对称的，且随着自由度的增大而逐渐对称；（2）当自由度为1时，卡方分布是右偏的；（3）当自由度为2时，卡方分布呈指数分布；（4）卡方分布的均值为自由度n，方差为2n。
1.3 卡方分布与正态分布的关系卡方分布与正态分布之间存在密切的关系，当n足够大时，卡方分布近似于正态分布。
这是由中心极限定理所决定的，即任意独立同分布的随机变量和近似服从正态分布。
1.4 卡方分布的应用卡方分布在统计学中有着广泛的应用，主要用于进行检验各种假设的合理性。
比如用于检验总体方差的假设、检验两个总体方差的比值、检验两个相互独立样本的均值等。
二、卡方分布的应用2.1 卡方检验卡方检验是一种用于定性数据的假设检验方法，它主要用于检验变量之间的相关性以及同一变量在不同条件下的差异性。
通常有单样本卡方检验、两独立样本卡方检验、两相关样本卡方检验等不同类型的卡方检验方法。
2.2 回归分析在回归分析中，卡方分布用于检验回归方程的拟合度。
通常用F检验和卡方检验结合来进行回归模型的拟合度检验。
2.3 方差分析在方差分析中，卡方分布用于检验总体方差的假设。
通常用卡方检验来判断总体方差是否相等，进而进行方差分析。
2.4 生物统计学在生物统计学领域，卡方分布也有着广泛的应用。
比如用于遗传学中分析自由度、检验拟合度等方面。
三、卡方分布的计算方法3.1 卡方分布的计算通常情况下，计算卡方分布的概率值是比较繁琐的，需要借助专门的卡方分布表或统计软件来进行计算。
3.2 卡方检验的计算卡方检验的计算方法通常包括以下几个步骤：（1）建立原假设和备择假设；（2）计算观察频数和期望频数；（3）计算卡方检验统计量；（4）根据自由度和显著性水平查找卡方分布表，得出卡方统计量的临界值；（5）比较实际计算的卡方统计量与临界值，并作出判断。
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
卡方分布公式
卡方分布公式引言：卡方分布在统计学中是一种常见的概率分布，用于分析离散型随机变量之间的关联性。
它是由卡尔·皮尔逊在20世纪初提出的，因此得名为卡方分布。
本文将介绍卡方分布的定义、性质、应用以及计算公式。
一、卡方分布的定义：卡方分布是一种非负、右偏的概率分布，它的形状取决于自由度。
自由度（df）通常用于定义卡方分布的形状，自由度越大，卡方分布越趋于正态分布。
卡方分布的概率密度函数（PDF）定义如下：f(x) = (1/(2^(k/2)*Γ(k/2))) * (x^(k/2-1)) * exp(-x/2)其中，x是随机变量的取值，k是自由度，Γ代表伽玛函数。
二、卡方分布的性质：1. 非负性：卡方分布的取值范围是大于等于0的实数。
2. 右偏性：卡方分布的均值随着自由度的增加而增加，方差也随之增加。
3. 形状：自由度的大小对卡方分布的形状有影响。
当自由度较小时，分布更加趋于右偏，随着自由度的增加，形状逐渐接近正态分布。
三、卡方分布的应用：卡方分布在统计学中有广泛的应用，特别是在假设检验和拟合度量中经常被使用。
以下是一些常见的应用场景：1. 假设检验：卡方分布可用于检验观察值与理论模型之间的适合度。
例如，在医学研究中，可以使用卡方分布来检验某个治疗方法对患者康复的影响。
2. 拟合度量：卡方分布可用于评估观察值与理论模型之间的差异程度。
例如，在市场研究中，可以使用卡方分布来判断产品销售数据与市场模型之间的拟合度。
3. 卡方检验：卡方分布可用于检验变量之间的独立性。
例如，在教育调查中，可以使用卡方分布来分析学生的性别与学科成绩之间是否有关联。
四、卡方分布的计算公式：计算卡方分布的累积分布函数（CDF）通常需要使用数值计算方法，但可以通过查表和计算机软件进行计算。
常见的统计软件如R、Python等都提供了卡方分布的计算函数。
以下是一些常用的计算公式：1. 卡方分布的概率密度函数（PDF）如前所述，可以使用该公式计算给定自由度和取值的概率密度。
卡方分布计算
卡方分布计算卡方分布是统计学中一种常用的概率分布，它通常用于衡量两个分类变量之间的关联性。
本文将介绍卡方分布的基本概念、计算方法以及在实际应用中的一些例子。
让我们来了解一下卡方分布的基本概念。
卡方分布是一种非对称的概率分布，其形状取决于自由度的大小。
自由度是指用于计算卡方统计量的独立观察值的数量。
卡方统计量用于衡量实际观察值与期望观察值之间的差异程度。
卡方分布的计算方法相对简单，但需要根据具体情况进行不同的计算。
在进行卡方分布计算时，首先需要确定研究的两个变量是否满足独立性假设。
如果独立性假设成立，那么可以将观察值与期望值之间的差异平方除以期望值得到卡方值。
然后，根据自由度和显著性水平，可以查表或使用统计软件计算出卡方统计量的临界值。
卡方分布在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在医学研究中，可以使用卡方分布来比较两种治疗方法的疗效差异。
在市场调研中，可以使用卡方分布来分析不同群体之间的购买偏好。
此外，卡方分布还可以应用于质量控制、生物统计学和社会科学等领域。
下面我们来看一个具体的例子，以更好地理解卡方分布的应用。
假设有一家公司进行了一项市场调研，调查了男性和女性对于某款产品的购买偏好。
调查结果显示，男性中有60人喜欢该产品，女性中有40人喜欢该产品。
根据市场数据，该产品的男性用户比例为60%，女性用户比例为40%。
现在我们想知道这两个变量之间是否存在关联性。
为了回答这个问题，我们可以使用卡方分布来进行分析。
首先，我们需要建立一个假设：男性和女性的购买偏好是相互独立的。
然后，我们可以根据市场数据计算出期望的购买偏好人数：男性中喜欢该产品的人数为100*0.6=60人，女性中喜欢该产品的人数为100*0.4=40人。
接下来，我们可以计算卡方值，用于衡量实际观察值和期望观察值之间的差异。
在这个例子中，卡方值为(60-40)^2/40+ (40-60)^2/60=20/40+20/60=1.67。
我们需要比较计算得到的卡方值和临界值，来判断两个变量之间是否存在关联性。
(完整word版)卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，卡方分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，卡方分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
卡方分布和检验方法
检验的基本思想
以两样本率比较的检验为例，介绍 检验 2 的基本思想。 分布是一种连续型分布 分布的 2形状依赖于自由度的大 小， 2
当自由度≤2时，曲线呈L型；随着的增加，曲线逐渐趋于 对称； 当自由度→∞时, 分布2 趋向正态分布。 分布的2 具有可加 性。
完全随机设计两样本率比较的四格表
处理
2 卡方分布和检 验方法
一、2分布的定义
2分布是从正态分布派生出来的一个连续型分布，与正
态分布和t分布关系密切。下面的定理清楚地表明了其间的关
系。
定理1： 设Z1,…., Zn 是n 个独立的标准正态变量N(0 1),
则其平方和
Z 1 2 Z 2 n2 (n )
服从自由度为n的2 分布。 推论1： 标准正态变量Z的平方服从自由度为1的2 分
A 代表“吸烟与否”， A1=“吸烟”， A2=“不吸烟”， B 代表“患肺癌与否”，B1=“患肺癌”, B2=“未患肺癌”。 于是，A与B 相互独立，就意味着吸烟与肺癌无关联。
吸烟与不吸烟患者患肺癌的概率应当相等，
即 P(B1/A1)=P(B1/A2)=P(B1)=a+c/n
而 吸烟者出现的概率 P(A1)=a+b/n, 不吸烟者出现的概率 P(A2)=c+d/n,
50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较
患高血压人数 未患人数
首钢工人
386
895
石景山区农民
65
322
合计
451
1217
合计 1281 387 1668
解：
① 建立检验假设
H0：π1 =π2 (工人与农民的总体患病率相同) =0.05
② 估计总体某现象的发生或存在的概率，假定高血压的 发生和这两种工种众彼此独立无关，因此，这两组资 料是一总体中的两个随机样本，估计
医学统计学第3版 卡方检验
多个总体率或构成比之间有无差别
多个样本率的多重比较
两个分类变量之间有无关联性
频数分布拟合优度的检验。
检验统计量：
2
应用：定性资料
8
第一节 2分布和拟合优度检验
一、2分布
2分布是一种连续型随机变量的概率分布。
如果Z服从标准正态分布，那么Z2服从自由度为
1的2分布, 其概率密度在（0，＋∞）区间上表 现为L型，如图7-1对应于自由度=1的曲线，取 较小值的可能性较大，取较大值的可能性较小。
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χ2分布（chi-square distribution）
0.5 0.4 0.3
1 f ( ) 2( / 2) 2
2
2
( / 2 1)
e
2 / 2
ß Ý · ×
× Ô Ó É ¶ È £ ½ 1
0.2 0.1 0.0 0 3
3.84
× Ô Ó É ¶ È £ ½ 2 × Ô Ó É ¶ È £ ½ 3 × Ô Ó É ¶ È £ ½ 6
13
拟合优度检验
2．计算检验统计量
实际观察到的频数用A表示，根据H0确定的 理论频数用T表示，则大样本时统计量，自由度 =K-1-（利用的参数个数）
2 ( A T ) 2 i i Ti i 1 k
( A T )2 T
2
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拟合优度检验
以上两个公式2检验的基本公式，所有其它
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2分布
图7-1, 2分布的形状依赖于自由度ν的大小， 当自由度ν＞2时，随着ν的增加，曲线逐渐 趋于对称，当自由度ν趋于∞时，2分布逼 近正态分布。各种自由度的2分布右侧尾 2 部面积为α时的临界值记为 ,
概率论与数理统计06-PPT6.2_1 卡方分布结构定理及查表计算_55
=0.975 一 0.05 = 0.925
注意：分布表的定义与查法!
心 ( 1 5 ) = 6.262 用。5(15) = 24.996
/
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电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第6章
知识点名称：/ （卡方）分布结构定理及査表计 算 主讲人：文春
一、/（卡方）分布的定义
定义：若随机变量X的概率密度函数为
nX
[ 丄（-沪 e , X > 0
/（ X）= 2Vr（（n）2
2
0
,X < 0
则称X服从自由度为n的/（卡方）分布，记为戸〜/（〃）.
定义中的•厂（a ）为Gama函数:r （。）
+8
=
xa_1e~Xdx, a > 0
£
主要厂性（质1）: = 1,厂（：） =扃，厂（。）=0—1）r（a-1）
/（卡方）分布 的 概率密度函 数图
思考：随着自由
度〃的变，卡
方分布的概率密 度函数图呈现出 什么样的特点？
二、/(卡方)分布的分布结构定理
性质1.(数字特征)设/〜%2(n),则有 E( / ) = n , D( %2) = 2n
证明：因为Z2 = 所以 E (X1)
£X；n 且X\,
= ^E (n n =
X2,
• (,
.•*相互独立，X•〜N(0,1), i=1
i=1
i=1
n
n
D(z2)= £D( Xi)= £{E (X4 ) - [ E (X2 )]2) = 2n.
1 -a = P（z2 ＜尤（n）} = P（生三＜
［警"}
卡方分布及其它分布
卡方分布一、 卡方分布的定义：若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。
二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n =λχ这里.,∑∑==i in n λλ（2）,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n V a r n证明 （1）根据定义易得。
（2）设则依定义，,~2,λχn Y可表示为Y 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=因为代入（1），第一条结论可得证。
直接计算可得 于是 代入（2）便证明了第二条结论。
三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 221+所定的区域。
即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。
令 与这变换相应的函数行列式为：其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。
因此。
当z>0时， C 是常数。
为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到 从而，在分母内的积分中令μ=221r ，即，用212μ=r 作代换，那么，这个积分等于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==∙-∝+------∝+⎰⎰222212212012122121021-n n d d nn n n n μθμμμθμμ因此，()⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-222122n C nn π从而，当z>0时，即，2χ的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2）（n χ。
它的图像如下：图（一）2χ分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：()()()22,2k x k x F k Γ=γ，其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。
卡方分布计算
卡方分布计算卡方分布是概率论和统计学中的一个重要概念，它在数据分析和假设检验中有着广泛的应用。
卡方分布的性质和计算方法使其成为了许多统计推断的基础工具。
本文将介绍卡方分布的定义、性质以及应用，并讨论一些实际问题中如何使用卡方分布进行统计推断。
让我们来了解一下什么是卡方分布。
卡方分布是指如果有k个相互独立的随机变量X1、X2、...、Xk，它们都服从标准正态分布，那么这k个随机变量的平方和构成的随机变量Y服从自由度为k的卡方分布，记作Y~χ²(k)。
卡方分布的概率密度函数呈现出右偏的非对称分布，其形状取决于自由度k的大小。
卡方分布具有一些重要的性质。
首先，卡方分布的期望值等于自由度。
也就是说，如果Y~χ²(k)，那么E(Y) = k。
其次，卡方分布的方差等于2k。
也就是说，如果Y~χ²(k)，那么Var(Y) = 2k。
此外，当自由度k足够大时，卡方分布近似服从正态分布。
这个性质在实际应用中非常重要。
卡方分布在统计推断中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是卡方检验。
卡方检验是一种用于检验观察值与理论值之间差异的统计方法。
它适用于分类数据的分析，如检验两个分类变量之间是否相关、检验一个分类变量的分布是否符合某个理论分布等。
卡方检验的原理是通过计算观察值与理论值之间的差异来判断它们是否存在显著性差异。
卡方检验的计算方法就是利用卡方分布。
举个例子来说明卡方检验的应用。
假设我们对某个城市的男女比例进行调查，得到的结果如下：男性：500人女性：600人我们想知道这个男女比例是否符合统计上的期望值（假设男女比例应为1:1）。
我们可以使用卡方检验来进行分析。
首先，我们需要根据总人数和理论比例计算出理论值：男性理论值：(500+600)/2 = 550女性理论值：(500+600)/2 = 550然后，我们计算观察值与理论值之间的差异，并进行平方和的计算：卡方值 = (500-550)²/550 + (600-550)²/550 = 5.45接下来，我们需要确定自由度。
医学统计方法之卡方检验
医学统计方法之卡方检验卡方检验，又称卡方分布检验（Chi-Square Test），是一种常用的统计方法，用于检验两个或多个分类变量之间是否存在显著差异。
本文将详细介绍卡方检验的原理、应用范围以及具体的步骤。
一、原理：卡方检验的原理是基于卡方分布的性质。
卡方分布是指具有自由度的正态分布的平方和，记为χ^2(k)，其中k为自由度。
在卡方检验中，我们将观察到的频数与理论预期频数进行比较，从而判断两个或多个分类变量之间的差异是否显著。
二、应用范围：卡方检验广泛应用于医学研究中的数据分析，尤其是在对两个或多个分类变量之间的关联进行检验时。
常见的应用场景包括但不限于以下几种：1.检验观察频数与理论预期频数之间的差异，以判断观察结果是否与理论预期相符。
2.检验两个或多个分类变量之间的关联性，以确定它们之间是否存在显著的相关性。
3.比较两个或多个群体在一个或多个分类变量上的分布差异，从而判断它们之间是否存在显著差异。
三、步骤：卡方检验的主要步骤包括以下几个：1. 建立假设：首先需要明确检验的假设。
在卡方检验中，通常有两种假设：“原假设”（null hypothesis，H0）和“备择假设”（alternative hypothesis，H1）。
原假设通常表示没有差异或关联，备择假设则表示存在差异或关联。
2.计算期望频数：根据原假设，计算出理论预期频数。
理论预期频数是基于既定的分布假设和样本总体的参数计算得出的。
3.计算卡方值：将观察频数与理论预期频数进行比较，计算出卡方值。
卡方值是观察频数与理论预期频数之间的差异的平方和。
4.确定自由度：根据检验问题的具体情况确定自由度。
在卡方检验中，自由度通常由分类变量的水平数目决定。
5.查表找出p值：根据卡方分布表，找出相应自由度下的临界值。
将计算得到的卡方值与临界值进行比较，确定其显著性水平。
p值是指在原假设成立的前提下，观察到的差异大于或等于当前差异的概率。
6.做出判断：根据p值与显著性水平的比较，做出判断是否拒绝原假设。
卡方分布t分布及F分布
当 X ~ F (m, n) 时，PX F1 m, n 1 ，
1 1 1 1 P 1 , P X F1 m, n X F1 m, n
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
1.卡方分布
2.t分布
3.F分布
4.t分布与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从 N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
i 1 2 i n
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
2 2
分布的可加性 若Y ~ 2 (n)与Z ~ 2 (m )相互独立, 则
2
Y Z ~ (n m ).
2
2.t分布
什么是t分布
设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~ N (0,1), Y ~ ( n), 则称T
2
X Y n
的分布为自由度等于n
的t 分布。记作T ~ t n .
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
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卡方分布概念及表和查表方法
若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
中文名卡方分布外文名chi-square
distribution
别称西格玛分布提出者Friedrich Robert
Helmert
提出时间1863应用学科统计学
目录
1 简介
2 定义
3 性质
4 概率表
简介
分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和
构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），
卡方分布
其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记
为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由
度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质
1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数
的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服
从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。
概率表
分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在
分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，
卡方分布临界值表
在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同 P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的 P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的 P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应
的值。
如上图所示的单侧概率0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率0.05这一列，行列的交叉处即是14.1。
表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。
例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为0.05所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是0.05，因此实际上上端点以上的概率为0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端点的值为16，记为0.05/2(7)=16。
下端点以下的概率
也为0.025，因此可以用0.975查得下端点为1.69，记
为1-0.05/2(7)=1.69。
当然也可以按自由度及值去查对应的概率值，不过这往往只能得到一个大概的结果，因为分布概率表的精度有限，只给了13个不同的概率值进行查表。
例如，要在自由度为18 的分布查找=30对应的概率，则先在第一列找到自由度18，然后看这一行可以发现与30接近的有28.9与31.5，它们所在的列是0.05与0.025，所以要查的概率值应于介于0.05与0.025之间，当然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于0.1与0.05之间。
如果要更精确一些可以采用插值的方法得到，这在正态分布的查表中有介绍。
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从分布？
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的n个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将n个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照分布的定义，应该服从参数为的分布。
如果将总体中的方差σ2 用样本方差s2代替，它是否也服
从分布呢？理论上可以证明，它是服从分布的，但是参数不是n而是n-1了，究其原因在于它是n-1个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和。
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有n个变量，其中k个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。
比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这n个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn 为其余变量的平均值，因此自由度为n-1。
附卡方表
n/P
0.99
50.99
0.97
5
0.950.900.750.500.250.100.05
0.02
5
0.01
0.00
5
1…………0.020.100.451.322.713.845.026.637.88 20.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.2110.6
注：1. 当n充分大时，χ2（n）的值近似等于【Zα+ SQRT(2n-1)】的平方/2
2. Z0.05=1.645，Z0.01=2.326。