量子力学第2章习题

2a 2 a
4a 2a
n 为偶时
cn
1 2 2a
[ 4a
(n+
2)
cos
4a
(n +
2) x
aa
+
4a (n
2)
cos
4a
(n
2)
x
aa
]
=
0
n
为
cn
1 a
1 a cos xcos n xdx
2a a 2a
4a
奇 时
1
a
n
cos( x + x)dx
2 2a a
4a 2a
1 a cos( n x x)dx
240
n6 6
,
n = 1, 2, 3L
n 为偶 n 为奇
能量平均值
E
a
Hˆ
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 2μ
)
d2 dx 2
x(a
x)dx
h2 30 a
5h2
x(a x)dx
μ a5 0
μa 2
能量平方的平均值
E 2
a
Hˆ
2
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 )2 2μ
0
0
A2[ a x4dx a 2ax3dx + a a2 x2dx]
0
0
0
A2[ 1 a2 x3 3
0α
2 ax4 4
0α
+
1 5
x5
0α ]
A2
1 a5 30
30 A a5
所以
(x)
30 a5
x(
x
a
)
本征函数
n(x)
2sin n x
aa
波函数用本征函数展开
( x)
d4 dx 4
x(a
x)dx
=
0
又
E2
a
Hˆ
2
dx
a (Hˆ ) Hˆ dx
0
0
h4 30 a [ d 2 x(a x)][ d 2 x(a x)]dx
4 μ2 a5 0 dx2
dx 2
=
h4 4μ2
30 a5
a 0
(2)(2)dx
=
30h4 μ2a4
?
能量的偏差
E
E2 E2 =
dx
ih 1 d u2 ( x)dx (ih)ik 2 dx
2 dx
ih
1 2
u2
(
x)
(ih)ik
2 dx]
0 (ih)ik hk
（3-20）题
已知 Kˆn nn, [LˆMˆ Mˆ Lˆ] = 1 定义 n = Lˆn, n = Mˆ n
Kˆn = LˆMˆ Lˆ n = Lˆ(Mˆ Lˆ 1) n = Lˆ(Kˆ 1) n = Lˆ(n 1) n = (n 1)Lˆ n = (n 1)n
30h4 μ2a4
(
5h2 μa 2
)2
=
5h2 μa 2
问题： 与
E2
a
Hˆ
2
dx
=
0
0
E2
a
0
Hˆ 2 dx
30h4 μ2a4
矛盾，原因？
例题1：计算一维谐振子处在基态时概率密度 最大的位置，及最大的概率密度取值。
对一维谐振子的基态
0(x) =
概率密度
0( x) 2 =
e2x2
12x2
1 h
2 h 2
4
p
1
1 p2
pe h dp = 0
h
动量平方的平均值
p2 2T 1 h
2
所以
p = p2 p2 p2 h
2
（3-7）题
已知
V1( x)
1 2
kx 2
1 2
12 x2
势I 的基态波函数 又
12
k
,
1 =
12
h
I 0
(
x
)
=
e 1
1212 x2
V2 ( x)
kx 2
=
n2 2h2 8(2a)2
=
n2 2h2 32 a 2
n 为偶 n 为奇
由展开式 计算 n 为偶时
I 1
(
x
)
cn
II n
(
x
)
n
cn
1Ι
ΙI n
dx
cn
1 a
1a
n
cos xsin xdx
2a a 2a
4a
1 1 a sin( n x + x)dx
2a 2 a
4a 2a
1 1 a sin( n x x)dx
p2
2 2h2
动量分布函数
( p)
2 h
e e dx
1
2
2
(
x
+
i
2
h
)2
1
2 2
h2
p2
1 p2
e 2 2h2
2
1
1 p2
e 2 2h2
2 h
h
1
1 p2
e 2h ,
h
h
动能平 均值
T 1 p2 1
1
1 p2
p2e h dx
2
2 h
动量平 均值
1 1
3
(h ) 2
2 2a a
4a 2a
2
4a
2a
[
n
1 +
2
sin
4a
(n
+
2)
x
aa
+
n
1
2
sin
4a
(n
2)
x
aa
]
计算出
cn
16
2
n
n
(n2 4) cos 4
能量的可能测值 n 为奇数
E
I n
=
n2 2h2 8 (2a )2
=
n2 2h2 32 a 2
对基态 n=1 取值概率
c1
8
3
c1
2
(
8
3
)2
得到：
h2 2μ
1 1(x)
d
2 1
dx
(
2
x
)
E1
h2 2μ
[
1 2(
y)
d
2 2
dy
(
2
y)
1 3(
z
)
d
2 3(
dz 2
z
)
E
E1
所以：
d
2 1(
dx2
x)
+
12
1
(
x
)
=
0
12
2 μE1 h2
第二式再分离变量：
h2 2μ
1 2(
y)
d
2 2(
dy2
y)
E
E1
h2 2μ
1 3(
z)
d
2 3(z
习题（2.1）：求三维无限深势阱中粒 子的能量本征值和本征函数
0, V (x, y,z) =
0 < x < a,0 < y < b,0 < z < c, 其它
如a=b=c，讨论能及的简并度。
解：
[
h2
2
V
r (r
)]
r (r
)
=
E
r (r
)
2μ
在势阱外
(rr) = 0
在势阱内
V (r) = 0
(
z
)
=
0
2 3
2 μE3 h2
方程的解：
1( x) = A1sin(1 x) + B1cos(1 x) 2( y) = A2sin(2 y) + B2cos(2 y) 3(z) = A3sin(2z) + B3cos(3z)
( x, y, z) =1( x) 2( y) 3(z) = [ A1sin(1 x) + B1cos(1 x)] [ A2sin(2 y) + B2cos(2 y)] [ A3sin(2z) + B3cos(3z)]
dz2
)
E2
得到：
h2 2μ
1 2(
y)
d
2 2(
dy2
y)
E2
和：
h2 2μ
1 3(z
)
d
2 3(z)
dz2
E
E1
E2
令： 得到：
2 2
2 μE2 h2
E3 E E1 E2
2 3
2 μE3 h2
d
2 2
dy
(
2
y
)
+
22
2
(
y
)
=
0
2 2
2 μE2 h2
和：
d
2 3 (
dz 2
z
)
+
32
3
归一化系数：
2
2
2
波函数：
A1 = a , A2 = b , A3 = c
n1n2n3 ( x, y, z) =
= 2 2 sin( n1 x)sin( n2 y)sin( n2 z)
abc a
b
c
能级：
En1n2n3
=
E1Байду номын сангаас
+
E2
+
E3
h2
2
(12
2 2
2 3
)
h2 2 2
(
n12 a2
n22 b2
同理
Kˆn = LˆMˆ Mˆ n = (1 Mˆ Lˆ )Mˆ n = (Mˆ Mˆ Kˆ ) n = (1 n )Mˆ n = (n 1)n
例题1：一维谐振子
V1( x)
=
kx 2 2
处于基态，如果势场突然变成
V2( x) = kx2
求：新势场的能级，及粒子处于新势场中基 态的概率。
2 12 1 + 2
2(
k
)
1 4
(
2k
1
)4
k + 2k
5
(2) 4 1+ 2
（3-8）题
已知势 I , 处于基态
x a
I 1
(
x
)
=
1 cos x,
a 2a
E1I
=
2h2 8a2
对于势 II
x 2a
能量
II n
(
x)
1 sin n x,
2a 4a
1 cos n x,
2a 4a
EnI
a
2
讨论：显然 M 0, N 0,且N M > 0
令：
N M =n N nM
= n ,
a
En
2h2 2a2
n2 ,
n 1, 2,L
( x) = Asin( 1 n x + 1 n + M )
a
2
Asin n x + a
a2
（2.4）题
先归一化
1 a dx a A2 x2 ( x a)2 dx
= Asin( x) + Bcos( x) = Asin( x) + A sin(a/ 2) cos( x)
cos(a/ 2)
=
A [sin( x)cos(a/ 2)
cos(a/ 2)
+ sin(a/ 2)cos( x)]
Asin( x + a) = Asin n ( x + a )
2
a
2
解法二： ( x) = Asin( x + )
边条件： Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
a + = M (1) a + = N (2)
2
2
2 = (M + N = 1 ( N + M
2
a = ( N M = 1 ( N M
a
解为：
( x) = Asin[1 (N M x + 1 (N + M ]
e2
d dx
0(
x)
2
=
(2 2 x)e2x2 = 0 x = 0
0 (0) 2 =
h
作业：已知一维谐振子第一激发态
1(x) =
1 2 x2
2 xe 2 =
2
2 3
1 2 x2
xe 2
计算概率密度最大的位置， 及最大的概率密度取值。
（3-6）题
基态 0(x) =
12x2
e2
动量分布函数
n32 c2
)
例题p32练习： 势能为
V
(
x)
=
0,
| x |< a/ 2 | x | a/ 2
在势能外 = 0
在势能内
d
2 ( x
dx 2
)
+
2
(
x)
=
0
2
2 μE h2
解法一： ( x) = Asin( x) + Bcos( x)
边条件：
Asin( a ) + Bcos( a ) = 0 , x a
2sin( a )cos( a ) = 0,即sin(a) = 0
2
2
a = n , = n ,
a
En
2h2 2a2
n2 ,
n 1, 2,L
方程（1）与（2）线性相关，取（2）讨论：
Asin( a ) = Bcos( a ) = 0,
2
2
即 B = A sin( a/ 2) cos( a/ 2)
1 2
22 x2
22
2k
,
2 =
22
h
势II 的基态波函数
II 0
(
x)
=
e 2
1
2
2 2
x
2
由展开式 计算
I 0
(
x
)
cn
II n
(
x
)
n
c0
0Ι
ΙI 0
dx
=
e dx 1 2
1 2
(12
+
2 2
)
x
2
=
1 2
2
12
+
2 2
=
21 2
12
+
2 2
2 12 1 + 2
计算出
c0 2
计算出
c0 2
2 12 1 + 2
2(
k
)
1 4
(
2k
1
)4
k + 2k
5
(2) 4 1+ 2
（3-10）题
p
(ih d ) dx
dx
(ih)
u( x)eikx d [u( x)eikx ]dx
dx
(ih)[
u( x)eikxeikx d [u( x)]dx
dx
u( x)u( x)eikx d eikxdx]
h2 2μ
2 ( x 2
2 y2
2 z2
( x,
y, z)
=
E
( x,
y, z)
分离变量 ( x, y, z) = 1( x) 2 ( y) 3(z)
代入方程：
h2 2μ
[
2
(
y)
3
(
z
)
d
2 1(
dx2
x)
1
(
x
)
3
(
z
)
d
2 2
dy
(
2
y
)
1(
x)
2
(
y)
d
2 3(z)
dz2
=
E
1(
x)
2
n
cn n ( x)
n
cn
2sin n x
aa
展开系数
cn
a 0
ndx
a 0
30 a5
x(a
x)
2sin n xdx
aa
2 15
a3
a 0
x(a
x)sin n
a
xdx
4 15
n3 3
[()n
]
本征值（能量）
En
n2 2h2 8a
,
测值概率
0,
cn
2
240
n6 6
[()n
]2
(1)
2
2
2
Asin( a ) + Bcos( a ) = 0 , x a (2)
2
2
2
改写：
sin(
a )
2
sin(
a 2
)
cos( cos(
a 2 a 2
) )
A B
0
系数A,B不全为0： 所以：
sin( a ) cos( a )
2
2 0
sin( a ) cos( a )
2
2
( p) 0
1
i px
e h dx
2 h
1 2 x2 i px
e 2 e h dx
对指数因子配方
2 h
1 2 x2
2
i h
px
1 2( x2
2
2ip
2h
x)
1 2[ x2 2ip x + ( ip )2 ( ip )2 ]
2
2h
2h
2h
1
2
2(x
ip
2h
)2
(
y)
3(z)
两边同除 1( x) 2( y) 3(z)
h2 2μ
[
1 1(x)
d
21(
dx2
x)
1 2(
y)
d
2 2 (
dy2
y)
1 3(z)
d
2dz32(z)
=
E
整理：
h2 2μ
1 1(x
)
d
2 1 (
dx2
x)
E
h2 2μ
[
1 2(
y
)
d
2 2(
dy2
y)
1 3(
z
)
d
2 3(
dz2
z
)
E1
由边条件： (0, y, z) = (a, y, z) = ( x,0,z) = ( x,b,z) = ( x, y,0) = ( x, y,c) = 0
B1 = B2 = B3 = 0
1a = n1 , 2b = n2 , 3c = n3
所以：
( x, y,z) =1( x) 2( y) 3(z) = A1A2 A3sin(1x)sin(2 y)sin(2z)