量子力学第2章习题
量子力学第一，第二章作业
1、 束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos2202ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=> （a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
3、由下列两定态波函数计算概率流密度：（1）、11i k r e r ψ=（2）、21i k r e rψ-= 4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？5、（a ）、若已知电子、氢原子和铀原子的动能都等于100 eV , 试计算这些粒子的德布罗意波长。
（b ）、若电子和中子的德布罗意波长都等于1A, 试求它们的速度和动能。
6、一维运动的粒子处于状态(),00,0x Axe x x x λψ-⎧≥=⎨<⎩ 之中，其中0λ>，A 为待求的归一化常数，求粒子坐标的概率分布函数。
7、粒子在一维无限深势阱中运动，势能函数V(x)为:()202a x V x a x ⎧∞>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩求该粒子的定态波函数和能量允许值。
8、推导下式： [][][][])()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222x n n x n x n n x x x x x n n x n x n n x x x x x x n n n n dx d n n n n n dxdn n n n n n n n n +-++-+-++-++++--=-=+++++-=+=ψψψψψψαψψψψψψψψααα9、设12ψψ，是S-方程的两个解，证明*12d ψψ+∞-∞Ω⎰与时间无关。
10、计算线性谐振子的第一激发态出现在经典禁区之外的概率。
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学导论第2章答案
第二章 波函数与Schrödinger 方程2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V中运动。
（a ）证明粒子的能量平均值为 ω⋅=⎰r d E 3，ψψψψωV m**22+∇=（能量密度）（b ）证明能量守恒公式 0=⋅∇+∂∂s tw⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇∂∂+∇∂∂-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）V T r d V mE +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∇-=⎰322*2ψψ （1） ⎰=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）()()()[]⎰⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=ψψψψψψ**3222*32)(2动能平均值r d mm r d T其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。
因此ψψ∇⋅∇=⎰*322r d mT（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψωV m+∇⋅∇=（4）且能量平均值 ⎰⋅=ωr dE 3。
（b ）由（4）式，得...2**.....2*22**..2222*2222V Vt m t t t tV V m t t t t t t s V V t mt m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ⎡⎤∂∂*∂∂*∂⎢⎥=∇⋅∇+∇⋅∇++∂⎢∂∂⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂*∂∂*∂∂*∂⎢⎥ ⎪ ⎪=∇⋅∇+∇-∇+∇++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂*∂=-∇⋅+-∇++-∇+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-∇⋅+..*t t ψψψψ⎛⎫∂*∂ ⎪+ ⎪∂∂⎝⎭ρt E s ∂∂+⋅-∇=（ρ ：几率密度）s⋅-∇= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂s tw。
2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程()()()()[]()t r r iV r V t r mt r t i ,,2,2122ψψψ++∇-=∂∂（1） 1V 与2V 为实函数。
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第2章
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
mx α = t 2m ， u = k − ， t
参照本题的解题提示，即得
（2）
ψ ( x, t ) ≈
1 imx 2 2 t e ⋅ 2π
2π m − iπ e t
+∞ /4
−∞
∫ ϕ ( k )δ k −
2.2 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0) = δ ( x ) ，求 ψ ( x, t ) 。
2 +∞
提示：利用积分公式
−∞ +∞
∫ cos(ξ )dξ
2
=
+∞
−∞
∫ sin (ξ )dξ
2
=
π 2
或
−∞
∫ exp[iξ ]dξ
2
=
π exp[ iπ 4] 。
1 ϕ ( p ) eipx dp ， ∫ 2π − ∞ 1 2π
（1）
V1 与 V2 为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
d dt
∫∫∫
τ
d 3 rψ *ψ = −
ψ *∇ ψ − ψ ∇ ψ ∫ ∫ 2im S
(
*
) ⋅ dS +
2V2
∫∫∫ d
τ
3
rψ *ψ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
−∞
∫ ψ ( x,0) e
− ikx
dx 是ψ ( x,0) 的 Fourier 变换。提示：利用 lim
α → ∞
α iπ / 4 − iα x 2 e e = δ ( x) 。 π
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.22-2#11
2 3/ 2
1 a
'3/ 2
e z / a
'
me2 z ' 4 2 exp ,a 2 me2 4
me4 32 2 1 me4 2 2 p p x y 32 2n2 2m
基态能量 E1,0,0
所以电子的能量 E
基态能量。 解：(1)令 X
1 1 x y ,Y x y 2 2
Y , E3 Z
则 E1
X , E2
1 2A E 1 n1 1 , 1 1 2 m 1 2A E2 n2 2 , 2 1 2 m 1 2B E3 n3 3 B 2 , 3 2 m
2.22 一个质量为 m 的粒子在一个三维方势阱 V（r）中运动。 （i）证明：对于一个半径 R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态， 并计算这一极小值。 （ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？ （iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若
但是
0
0
p2 p2 V x 0 0 Vs x 0 2m 2m
所以
p2 V x 0 0 2m
即题中所给的 V x 形式的势阱均有束缚态。
2.23 一电子在一无限大接地的平面导体上方运动， 它被自己的象电荷吸收， 但电子不能穿透 导体表面， 试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件， 并求出电子的能级和在 基态时，电子和导体表面之间的平均距离。 解： （1）设导体表面法向沿 Z 轴方向，系统电能 V
f ( x) 0 a <x b U ( x) x a或x b 0
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2.4-2#05
由其它边界条件，又有
A1 sin k1a A2e k2 a B2e k2 a , A1k1 cos k1a A2 k2e k2 a B2 k2e k2 a ; A3 sin k1a A2e k2 ( a b ) B2e k2 ( a b ) , A3k1 cos k1a A2 k2e k2 ( a b ) B2 k2e k2 ( a b ) .
改写上式可得关于不全为 0 系数 ( A1 , A2 , B2 , A3 ) 的线性方程组：
A1 sin k1a
A2e k2a
B2e k2a B2 k2 e k2 a
0, 0, A3 sin k1a 0,
A1k1 cos k1a A2 k2e k2 a
A2 ek2 ( a b ) B2e k2 ( a b )
U0 ) U0 )
2.4 粒子处在势能
பைடு நூலகம்
（当x<0和x>2a+b） U x 0（当0 x a和a+b x 2a+b） U（当a<x<a+b） 0
的场中运动，求在能量小于 U 0 的情况下，决定能量的关系式。 解：
势能如上图所示。 薛定谔方程是：
1 k12 1 =0,
由薛定谔方程及边界条件 1 (0) 0 和 3 (2a b) 0 ，我们有
1 ( x) A1 sin k1 x, 2 ( x) A2ek x B2e k x , 3 ( x) A3 sin[k1 ( x 2a b)],
2 2
当0 x a; 当a x a b; 当a b x 2a b.
即
量子力学习题解答-第2章
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#12
1 4 2 x 2 2 2 2 m 2 x 2 , 2 2m 2m
2 2 2
m
, x
Vn n x Vdx
2
N n H n e
2 2 2
2m
d
又由厄秘多项式 H n 的递推式 2 H n H 2 n1 2nH n1
2
a 0
2
于是 A 30a
5
下面考虑粒子能量的概率分布和能量的平均值：
2 n sin x 对一个无限深的势阱，其能级为 En 的波函数为： n x a a
0
a
x 是各个能级的波函数的叠加，故设
x cn n x cn
n n
2 n sin x a a
2 D exp 2m U 0 E b a
U1
又
a
U2
b
D R 1 ，D 是贯穿系数，R 是反射系数，
所以 D 是粒子透过势垒的概率，而由概率论知识， 粒子连续贯穿两个方势垒的概率等于 分别单独贯穿这两个势垒的概率之积。 于是
E
图 2
a b
a
0
5 2 E x dx 2 ma
2
2.10
设两个方势垒的形状分别是：
0 U x U1
x 0 , 0 x a
0 U x U 2
a x b, x c b x c
U
E
图1
求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数。 解：如图（1） ，对低能入射，贯穿一个方势垒的贯穿系数为
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
曾谨严量子力学习题第二章
= = 用高斯定理: = 中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量 平均值 因此令(本征态)则而
得证 # [9]设粒子在势场中运动 (1)证明其能量的平均值是: (1) 其中W是能量密度 (2)证明能量守恒公式
利用积分 ：
写出共轭函数（前一式变号）：
本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为： 用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。 #
[14]在非定域势中粒子的薛定谔方程式是： （1）
求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几 率波是否存在？
[解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出应当遵 守的要求。几率守恒的条件是：
（6） 故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
， （7） # [6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下 述折射定律 这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就 成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎 样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定 点B的路径是两段直线：光程
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有 又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件：
（2） 求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3) 再求（2）的变分
(3)与(4)消去和得 (5)
(1)
量子力学习题
第二章 波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ；单值性 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。
而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。
2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。
3、根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范围内的概率 。
4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。
5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。
6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ，()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。
7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。
8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收藏 ，几率流密度= 。
9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。
10、波函数ψ和ψc 是描写 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为 。
11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。
12、定态波函数的形式为 。
13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。
14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。
16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第2章课后答案2#01
U, z U new ， , z
即
U, 0 U new , 0
时，方程（1）中的方程①、②均不变，因此其本征值 E1n , E2 n 不变，方程③变为
2 1 d 2T1 B 2 E3 , 0 2 ， T1 0, 0 ……④ 2m T1 d T 0 0 1
2
……①
2 d 2S 1 (1 ) Av 2 E2 2 2m S dv 2
2
……②
1 d 2T B 2 E3 2m T d 2
2
……③
其中 E1 E2 E3 B 2 E 0 对于一维谐振子有
2 d2 1 m 2 x 2 x E x 2 2m dx 2
第一组： 第二章 2.24 一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 性 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z )
的，求：
2
A ( x2பைடு நூலகம் y 2
x) y2 (B，其中 z 2 A )0 z ， B 0 ， 1 ， 是任意
(1) 能量的本征值；
E001 1 2
3 3 B 2 （ n1 n2 0, n3 1 ） 2
2.25
一个刚体具有惯性矩 I z ， 可以自由地在 x y 平面中转动， 令 为 x 轴与转动轴之间的夹角， 求： （1）能量本征值和相应的本征函数； （2）若在 t 0 时，转子由波包 (0) A sin 2 描述，求在 t 0 时的 (t ) .
(t )
1 1 (e2i ei 2 3 2 3
曾谨言量子力学第二章习题解答
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrer er -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψrJ 1 与同向。
表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ 可见，rJ 与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikxex =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
240
n6 6
,
n = 1, 2, 3L
n 为偶 n 为奇
能量平均值
E
a
Hˆ
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 2μ
)
d2 dx 2
x(a
x)dx
h2 30 a
5h2
x(a x)dx
μ a5 0
μa 2
能量平方的平均值
E 2
a
Hˆ
2
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 )2 2μ
a
2
讨论：显然 M 0, N 0,且N M > 0
令：
N M =n N nM
= n ,
a
En
2h2 2a2
n2 ,
n 1, 2,L
( x) = Asin( 1 n x + 1 n + M )
a
2
Asin n x + a
a2
（2.4）题
先归一化
1 a dx a A2 x2 ( x a)2 dx
(
z
)
=
0
2 3
2 μE3 h2
方程的解：
1( x) = A1sin(1 x) + B1cos(1 x) 2( y) = A2sin(2 y) + B2cos(2 y) 3(z) = A3sin(2z) + B3cos(3z)
( x, y, z) =1( x) 2( y) 3(z) = [ A1sin(1 x) + B1cos(1 x)] [ A2sin(2 y) + B2cos(2 y)] [ A3sin(2z) + B3cos(3z)]
边条件： Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
a + = M (1) a + = N (2)
2
2
2 = (M + N = 1 ( N + M
2
a = ( N M = 1 ( N M
a
解为：
( x) = Asin[1 (N M x + 1 (N + M ]
dx
ih 1 d u2 ( x)dx (ih)ik 2 dx
2 dx
ih
1 2
u2
(
x)
(ih)ik
2 dx]
0 (ih)ik hk
（3-20）题
已知 Kˆn nn, [LˆMˆ Mˆ Lˆ] = 1 定义 n = Lˆn, n = Mˆ n
Kˆn = LˆMˆ Lˆ n = Lˆ(Mˆ Lˆ 1) n = Lˆ(Kˆ 1) n = Lˆ(n 1) n = (n 1)Lˆ n = (n 1)n
(1)
2
2
2
Asin( a ) + Bcos( a ) = 0 , x a (2)
2
2
2
改写：
sin(
a )
2
sin(
a 2
)
cos( cos(
a 2 a 2
) )
A B
0
系数A,B不全为0： 所以：
sin( a ) cos( a )
2
2 0
sin( a ) cos( a )
2
2
e2
d dx
0(
x)
2
=
(2 2 x)e2x2 = 0 x = 0
0 (0) 2 =
h
作业：已知一维谐振子第一激发态
1(x) =
1 2 x2
2 xe 2 =
2
2 3
1 2 x2
xe 2
计算概率密度最大的位置， 及最大的概率密度取值。
（3-6）题
基态 0(x) =
12x2
e2
动量分布函数
dz2
)
E2
得到：
h2 2μ
1 2(
y)
d
2 2(
dy2
y)
E2
和：
h2 2μ
1 3(z
)
d
2 3(z)
dz2
E
E1
E2
令： 得到：
2 2
2 μE2 h2
E3 E E1 E2
2 3
2 μE3 h2
d
2 2
dy
(
2
y
)
+
22
2
(
y
)
=
0
2 2
2 μE2 h2
和：
d
2 3 (
dz 2
z
)
+
32
3
习题（2.1）：求三维无限深势阱中粒 子的能量本征值和本征函数
0, V (x, y,z) =
0 < x < a,0 < y < b,0 < z < c, 其它
如a=b=c，讨论能及的简并度。
解：
[
h2
2
V
r (r
)]
r (r
)
=
E
r (r
)
2μ
在势阱外
(rr) = 0
在势阱内
V (r) = 0
2a 2 a
4a 2a
n 为偶时
cn
1 2 2a
[ 4a
(n+
2)
cos
4a
(n +
2) x
aa
+
4a (n
2)
cos
4a
(n
2)
x
aa
]
=
0
n
为
cn
1 a
1 a cos xcos n xdx
2a a 2a
4a
奇 时
1
a
n
cos( x + x)dx
2 2a a
4a 2a
1 a cos( n x x)dx
2 2a a
4a 2a
2
4a
2a
[
n
1 +
2
sin
4a
(n
+
2)
x
aa
+
n
1
2
sin
4a
(n
2)
x
aa
]
计算出
cn
16
2
n
n
(n2 4) cos 4
能量的可能测值 n 为奇数
E
I n
=
n2 2h2 8 (2a )2
=
n2 2h2 32 a 2
对基态 n=1 取值概率
c1
8
3
c1
2
(
8
3
)2
p2
2 2h2
动量分布函数
( p)
2 h
e e dx
1
2
2
(
x
+
i
2
h
)2
1
2 2
h2
p2
1 p2
e 2 2h2
2
1
1 p2
e 2 2h2
2 h
h
1
1 p2
e 2h ,
h
h
动能平 均值
T 1 p2 1
1
1 p2
p2e h dx
2
2 h
动量平 均值
1 1
3
(h ) 2
归一化系数：
2
2
2
波函数：
A1 = a , A2 = b , A3 = c
n1n2n3 ( x, y, z) =
= 2 2 sin( n1 x)sin( n2 y)sin( n2 z)
abc a
b
c
能级：
En1n2n3
=
E1
+
E2
+
E3
h2
2
(12
2 2
2 3
)
h2 2 2
(
n12 a2
n22 b2
计算出
c0 2
2 12 1 + 2
2(
k
)
1 4
(
2k
1
)4
k + 2k
5
(2) 4 1+ 2
（3-10）题
p
(ih d ) dx
dx
(ih)
u( x)eikx d [u( x)eikx ]dx
dx
(ih)[
u( x)eikxeikx d [u( x)]dx
dx
u( x)u( x)eikx d eikxdx]
h2 2μ
2 ( x 2
2 y2
2 z2
( x,
y, z)
=
E
( x,
y, z)
分离变量 ( x, y, z) = 1( x) 2 ( y) 3(z)
代入方程：
h2 2μ
[
2
(
y)
3
(
z
)
d
2 1(
dx2
x)
1
(
x
)
3
(
z
)
d
2 2
dy
(
2
y
)
1(
x)
2
(
y)
d
2 3(z)
dz2
=
E1(x) Nhomakorabea2
同理
Kˆn = LˆMˆ Mˆ n = (1 Mˆ Lˆ )Mˆ n = (Mˆ Mˆ Kˆ ) n = (1 n )Mˆ n = (n 1)n