19.估计量的评选标准

19.估计量的评选标准
【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第七章第§3估计量的评选标准
【教材分析】：前一节可以看到，用不同的估计方法求出的估计量可能不同，原则上任何统计量都可以作为位置参数的估计量，采用哪个估计量好呢，这就涉及到用什么样的标准来评价估计量的问题，本节重要介绍估计量的评选标准。

【学情分析】：
1、知识经验分析
学生已经学习了矩估计法和极大似然估计法，并看到用不同的估计方法求出的估计量可能不同。

2、学习能力分析
学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：
1、知识与技能：
了解估计量的无偏性、有效性和相合性的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性
2、过程与方法
由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，逐步引入估计量的评选标准。

3、情感态度与价值观
通过合作交流，让学生养成认真思考，锲而不舍的习惯，从而增加学习数学的兴趣。

【教学重点、难点】：
重点：评选标准的提出。

难点：解估计量的无偏性、有效性和相合性的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性。

【教学方法】：讲授法启发式教学法
【教学课时】：1个课时
【教学过程】：
一、问题引入
x x x是一个样本值，试求例1 设总体X在[],a b上服从均匀分布，,a b未知，12,,,n
,a b的矩估计量和最大似然估计量。

解：可得矩估计量ˆˆa X b X ===+ 最大似然估计量：1ˆmin ,i i n
a X ≤≤= 1ˆmax .i
i n
b X ≤≤=
【设计意图】：用不同的估计方法求出的估计量可能不同，原则上任何统计量都可以作为位置参数的估计量，对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好，评价估计量的标准是什么? 二、无偏性
定义 若估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=的数学期望()
ˆE θ
存在，且对任意θ∈Θ有 ()
ˆE θ
θ= 则称ˆθ
是θ的无偏估计量。

在科学技术中，称()
ˆE θ
θ-是以ˆθ作为θ估计的系统误差。

无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例2 设总体X 的k 阶矩()()1k k E X k μ=≥存在，又设12,,
,n X X X 是X 的一个样本，
试证明不论总体服从什么分布，k 阶样本矩1
1n k
k i i A X n ==∑是k 阶总体矩k μ的无偏估计量 。

证明：12,,
,n X X X X 因为与同分布， ()()k k i E X E X =故有
,1,2,
,.k i n μ== 1
1()().n
k k i k i E A E X n μ===∑即
.k k k A k μ故阶样本矩是阶总体矩的无偏估计
【设计意图】：让学生掌握不论总体服从什么分布，k 阶样本矩1
1n k
k i i A X n ==∑是k 阶总
体矩k μ的无偏估计量。

例3 设总体X 服从指数分布，其概率密度为
()/1,0
;0,
.x e x f x θ
θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他
其中参数
0θ>为未知，又设12,,,n X X X 是来自X 的一样本，试证X 和
{}()12min ,,
,n nz n X X X =都是θ的无偏估计量。

证明：()(),E X E X θ==因为 .X θ所以是的无偏估计量
12 min(,,
,) ,
n Z X X X n
θ
=而服从参数为的指数分布
min e ,0,
(;)0,.
nx
n x f x θθθ
-⎧>⎪=⎨⎪⎩
概率密度其他 (),E Z n θ=故知 (),E nZ θ= .nZ θ所以也是的无偏估计量
【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握一个未未知参数可以由不同的无偏估计量 同一个参数可以有多个无偏估计量，那么用哪一个为好呢? 三、有效性
设参数θ有两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ，在样本容量n 相同的情况下， 1ˆθ的观测值都集中在θ的真值附近，而2ˆθ的观测值较远离θ的真值，即1ˆθ的方差较2ˆθ的方差小，我们认为1ˆθ较2
ˆθ好，由此有如下的定义： 定义 设()1112
ˆˆ,,,n X X X θθ=和()2212
ˆˆ,,,n X X X θθ=都是θ的无偏估计量，
若对任意θ∈Θ，有
12
ˆˆ()()D D θθ≤ 且至少对于某一个θ∈Θ式中的不等号成立，则称1ˆθ较2
ˆθ有效。

例4 （续3）试证当1n >时，θ的无偏估计量X 较θ的无偏估计量nZ 有效。

证明：
2
(),D X θ=由于 2
(),D X n
θ=故有 2
2
(),D Z n θ=
又因为 2 (),D nZ θ=故有
【设计意图】：通过这个例子，加强学生对无偏性的理解。

四、相合性
无偏性和有效性都是在假设样本容量n 固定的条件下讨论的。

由于估计量是样本的函数，它依赖样本容量n ，自然地，我们希望一个好的估计量，当n 越来越大时，它与参数的真值几乎一致，这就是估计量的相合性。

定义 设()12
ˆˆ,,,n n X X X θθ=为参数θ的一个估计量，若对对于任意θ∈Θ，当
n →∞时，()12ˆ,,,n
X X X θ依概率收敛于θ，即对任意0ε>，有 {}
ˆlim 1n
n P θθε→∞
-<= (1.3)
则称ˆn
θ为参数θ的相合估计量。

, (1) (),
k k k k X k E X μ≥=由第六章第二节知样本阶矩是总体的阶矩的相合估计量()()22
1
2221
15: , 11 .
n i
i n
i i X S X X n B X X n μσ===--=-∑∑例试证样本均值是总体均值的相合估计量样本方差及样本的二阶中心矩都是总体方差的相合估计量证明：由大数定律知：0,ε∀> 11 lim 1,n i n i P X n με→∞
=⎧⎫
-<=⎨⎬⎩⎭
∑有
1
1 n
i i X X n μ==∑所以是的相合估计量
，
222
22222111111 ()(2),n n n i i i i i i i B X X X X X X X X A X n n n ====-=-+=-=-∑∑∑又
由大数定律知22
21
1(), n i i A X E X n ==∑依概率收敛于
1
1(), n
i i X X E X n ==∑依概率收敛于 222 B A X =-故 ，
222()[()] =E X E X σ-依概率收敛于，22 . B σ所以是的相合估计量
lim
1, 1n n n →∞=-又 222 . 1
n S B n σ=-所以也是的相合估计量
【设计意图】：通过这个例子，加强学生对相合性的理解。

五、思考与提问：
有没有其他的评选标准？
六、内容小结
1、估计量的评选的三个标准：无偏性、有效性、相合性，相合性是对估计量的一个基本要求， 不具备相合性的估计量是不予以考虑的。

2、由最大似然估计法得到的估计量， 在一定条件下也具有相合性。

估计量的相合性只有当样本容量相当大时，才能显示出优越性， 这在实际中往往难以做到，因此，在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准。

七、课外作业：
P175： 11 ， 12 ， 13
八、板书设计
估计量的评选标准
一、问题引入
例 1 设总体X 在[],a b 上服从均匀分布，,a b 未知，12,,
,n x x x 是一个样本值，
试求,a b 的矩估计量和最大似然估计量。

二、无偏性
定义 若估计量()12
ˆˆ,,,n X X X θθ=的数
学期望()
ˆE θ
存在，且对任意θ∈Θ有 ()
ˆE θθ= ，则称ˆθ是θ的无偏估计量。

在科学技术中，称()
ˆE θ
θ-是以ˆθ作为θ估计的系统误差。

无偏估计的实际意
义就是无系统误差。

例
2 设总体
X 的
k 阶矩
()()1k k E X k μ=≥存在，又设
12,,
,n X X X 是X 的一个样本，试证明不
论总体服从什么分布，k 阶样本矩
1
1n k
k i i A X n ==∑是k 阶总体矩k μ的无偏估
计量 。

例3 设总体X 服从指数分布，其概率密度为
()/1,0
;0,
.x e x f x θ
θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他
其中参数
0θ>为未知，又设
12,,,n X X X 是来自X 的一样本，试证
X 和{}()12min ,,,n nz n X X X =都是
θ的无偏估计量。

三、有效性
设参数θ有两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ，在样本容量n 相同的情况下， 1ˆθ的观测值都集中在θ的真值附近，而2
ˆθ的观测值较远离θ的真值，即1ˆθ的方差较2ˆθ的方差小，我们认为1ˆθ较2
ˆθ好，由此有如下的定义： 定义 设()1112
ˆˆ,,,n X X X θθ=和
()2212ˆˆ,,,n
X X X θθ=都是θ的无偏估计量，若对任意θ∈Θ，有
12
ˆˆ()()D D θθ≤ 且至少对于某一个θ∈Θ式中的不等号成
立，则称1ˆθ较2
ˆθ有效。

例4 （续3）试证当1n >时，θ的无偏估计量X 较θ的无偏估计量nZ 有效。

四、相合性
无偏性和有效性都是在假设样本容量n 固定的条件下讨论的。

由于估计量是样本的函数，它依赖样本容量n ，自然地，我们希望一个好的估计量，当n 越来越大时，它与参数的真值几乎一致，这就是估计量的相合性。

定义 设()12
ˆˆ,,,n n X X X θθ=为参
数θ的一个估计量，若对对于任意θ∈Θ，
当n →∞时，()12
ˆ,,,n X X X θ依概率收
敛于θ，即对任意0ε>，有
{}
ˆlim 1n
n P θθε→∞
-<=
(1.3)
则称ˆn
θ为参数θ的相合估计量。

, (1) (),
k
k k k X k E X μ≥=由第六章第二节知样本阶矩是总体的阶矩的相合估计量
()()22
1
22
21
5: ,
11 1 .
n
i i n
i i X S X X n B X X n μσ===--=-∑∑例试证样本均值是总体均值的相合估计量样本方差及样本的二阶中心矩都是总体方差的相合估计量。