第二讲间接效用函数与支出函数D

=0
四、效用最大化与支出最小化的关系
max u ( x) min px ( M 1) ( M 2) s ⋅ t ⋅ px ≤ m s ⋅ t ⋅ u ( x) ≥ u
命题1.设
u = u ( x )时
*
x 是( M 1)
*
x*也是(M2)的解。
的解，则
命题2.
设
x 是( M 2) 的解，记
n
(i = 1,L , n)
在最小化的过程中
∑p
j =1
n
∂h j
j
∂pi
=0
min px ( M 2)： s ⋅ t ⋅ u ( x) = u
L = px − λ (u ( x) − u )
最小化的一阶条件：
∂L ∂u(x) = pi − λ =0 ∂xi ∂xi ∂u(x) ∴ pi = λ ∂xi
（二）. 证：
e(tp, u ) = te( p, u )
t>0
e(tp, u ) = (tp )h(tp, u ) = t ( p ⋅ h(tp, u )) ≥ t ( p ⋅ h( p, u )) u 不变，给定p = te( p, u ) 时，支出最小为
ph(p,u)
te( p, u ) = tph( p, u ) = (tp )h( p, u ) ≥ e(tp, u )
max u ( x ) max u ( x ) ⇔ px = m ( tp ) x = tm t ≠ 0
（二） p ' ≥ p时 , v ( p ', m ) ≤ v ( p, m ) 证：记 B = { x px ≤ m} B′ = { x p′x ≤ m}
显然 B′ ⊆ B
'
x′′ = h(λ p + (1 − λ ) p , u )
'
则
e(λ p + (1 − λ ) p , u )
'
= [ (λ p + (1 − λ ) p′)] ⋅ x′′
= λ px′′ + (1 − λ ) p′x′′ ≥ λ e( p, u ) + (1 − λ )e( p′, u )
三.谢泼特（Shephard）引理
1 p
p ∈ ( 0,1)
求支出函数e( p, u ), 并验证谢泼特引理
minp1 x1 +p2 x2 1 解: ρ s.t. u − ( x1ρ + x2 ) ρ
ρ ρ ρ 拉 函 : L(x1,x2,λ) =p1x1+p2x2 +λu−(x1 +x2 ) 氏 数
∂v = λ ∂m
(2)
三、应用 例，设
u(x1, x2 ) = x1x2
•比较政府征收0.5元的所得税 •与0.5元的商品税对消费者效用 •的影响。
解： max x1 x2 p1 x1 + p2 x2 = m 的解为
m * x1 = 2 p 1 x* = m 2 2 p2
即花掉所有收入的效用最大
（三） x( p, m) = h( p, v( p, m)) （四）
h( p, u ) = x ( p, e( p, u ))
偏好
UMP EMP
v(p, y )
e(p, u )
x(p, e(p, u ))
h(p, v(p,y ))
六、例题
例2（P22）
设 u ( x1 , x2 ) = ( x1p + x2p )
ρ
p2
1 ρ −1
= u p + p2
r 1 r
r −1
p2 r −1 ≡ h2
r 1 r r −1
由对称性得h1 = u p + p2
p1r −1
七、预算份额
• Si=pixi/m
习题1
§1.6 斯卢茨基方程
一.方程及其推导:
∂xj ( p, m) ∂hj ( p, v ( p, m) ) ∂xj ( p, m) = − xi ∂pi ∂pi ∂m
二. 替代效应与收入效应
(一)替代效应:由商品价格的变动起的商 品相对价格的变动,进而由其导致商品需求 量的变化. • (二)收入效应：由商品价格变动所导致的 实际收入水平变动,进而导致商品需求量的 变动。 •
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
x∈B′
max u ( x ) ≤ max u ( x ) 即 v ( p, m ) ≤ v ( p, m′ )
（四）罗伊（Roy identity）等式：
∂v ( p, m ) ≠0 如果 ∂m
则
∂v ( p, m ) ∂p j x j ( p, m ) = − ∂v ( p, m ) ∂m
j = 1, LL , n
h( p, u )
（三）支出函数
e( p , u ) = p ⋅ h ( p , u )
二、支出函数的性质 （一）若 p ′ ≥ p , 则
e( p′, u ) ≥ e( p, u )
证：
e( p, u ) = ph( p, u )
≤ ph( p′, u )
≤ p′h( p′, u )
= e( p′, u )
p1 由0.25元变为0.5元从而
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) =2
政府获得税金总额为
x ⋅ 0.25 = 0.5元,
* 1
如果政府征收同等额度的所得税即
p1 = 0.25, p2 = 1, m = 1.5
则
v = (0.25, 1, 1.5) = 2.25
所以
v (0.25,1,1.5) > v (0.5,1, 2)
征收所得税 比商品税对消费者的影响要小
第二节 支出函数
一、支出最小化问题
min p ⋅ x ( M 2) s ⋅ t ⋅ u ( x) ≥ u
（一）
min px ( M 2) ⇔ s ⋅ t ⋅ u ( x) = u
（二） 希克斯（补偿）需求函数 （M2）的解x与p，u有关， 即是p，u 的函数，这一函数称为 希克斯需求函数，记为
*
m = p⋅x ,
*
则x*也是（M1）的解
五、重要等式 （一）
e( p, v ( p, m)) = m
证：设x*为 ( M 2) 在
u = v( p, m )
时的解，
则其必为
( M 1)
的解，故
e( p, v( p, m)) = p ⋅ x = m
*
e( p, v ( p, m)) = m
即要想获得最大效用 必定要花掉所有的收入
第一节间接效用函数
v ( p, m ) = max u ( x )
n x∈R+
一、定义
S ⋅ t ⋅ px ≤ m
px = m
瓦尔拉斯定 律
①它是极大化了的效用 ②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现
二、性质 （一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0) 即它是关于p,m的零次齐次函数
∂e = hi ( p, u) ∂pi
(i = 1,L, n)
hi
为希克斯函数 的第i个分量
h( p, u )
证明：
Qe( p, u) = ph( p, x) = p(h1, h2 L, hn ) = p1h1 + p2h2 +L+ pnhn
两边对pi求偏导
∂h j ∂e = hi ( p, u ) + ∑ p j ∂pi ∂pi j =1
证明： ①先求分子
Q v( p, m) ≡ u ( x( p, m))
∂v ∂u ∂xi =∑ ∂p j i =1 ∂xi ∂p j
n
∂u 又 = λ pi ∂xi
(i = 1, L , n)
（最大化一阶条件）
∂v ∴ = λ ∂p j
∑
n
i =1
∂ xi pi ∂p j
同时 即
p⋅x = m
p1 x1 + p2 x2 + L + pn xn = m
∂u = λ pi ∂ xi
= λ
∑
i =1
又
px = m
两边对m求微分
∂xi ∑ pi ∂m = 1 i =1 ∂v ∴ = λ (2) ∂m
n
由（1）、（2）可得
∂v ( p, m ) ∂p j x j ( p, m ) = − ∂v ( p, m ) ∂m ∂m
∂v = −λ x j ∂p j (1)
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
1
1 −1 ∂L ρ ρ ρ = p1 − λ ( x1 + x2 ) x1ρ −1 = 0 ∂x1 1 −1 ∂L ρ ρ ρ ρ −1` = p2 − λ ( x1 + x2 ) x2 = 0 ⇒ ∂x2 1 ∂L ρ = u − ( x1ρ + x2 ) ρ = 0 ∂λ
（二） v ( p , e ( p , u ) ) = u , 证：设x*为
m = e( p , u ) 时
M1的解，故
v( p, e( p, u )) = max u ( x)
px = e ( p ,u )
= u( x )
*
又x*必为M2的解，故x*满足
u(x ) = u
* 所以
u = v ( p，e( p, u ))
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
• • • •
6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系 效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应
价格tp下，支出 最小为e(tp,u)
∴ e(tp, u ) = te( p, u )
(三) 即 有
e(tp, u )
∀λ ∈ [ 0,1]
是关于P的凹函数
e( λp +(1−λ) p ,u)
'
≥ λe( p,u) +(1−λ)e( p ,u)
'
证：设
x = h( p, u ) x′ = h ( p , u )
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
∂u(h(p,u)) 成本最小化时:pi = λ ∂hi
∂u(h(p, u)) ∂h j ∑ p j ∂p = ∑ λ ∂h ∂p j =1 j=1 i j i
n n
∂h j
∂u(h(p, u)) = ∑λ ∂pi j=1
n
又u(h(p, u))=u对任何pi都成立 故
∑p
j =1
n
∂h j
j
∂pi
故 max u ( x ) ≤ max u ( x )
x∈B ′ x∈B
即v ( p ', m ) ≤ v ( p, m )
（三） ′ ≥ m时, v m 证：记
显然 B ⊆ B′ 故
x∈B
( p, m′) ≥ v ( p, m ) B = {x px ≤ m} B′ = { x px ≤ m′}
( i =1,Ln)
证明：
Q h ( p, u ) = x ( p, e ( p, u ) )
即 h j ( p, u ) = x j ( p, e ( p, u ) )
两边对pi微分（记m = e( p ⋅ u )）
∂h j ( p, u ) ∂pi
= ∂x j ( p, m) ∂pi
+
∂x j பைடு நூலகம் p, m) ∂m
1 p1 ρ −1 ) x1 = x 2 ( p2 ⇒ 1 ρ ρ ρ u = ( x1 + x 2 )
p1 u = x2 ( ) p2
令r =
1 ρ −1
ρ ρ + x2
1
1
ρ ρ −1
1 −
ρ p1 ρ1 1 ρ ρρ 1 − − ρ −1 x2 = u ( ) + 1 = u p1 + p2 p2