第02章 质点动力学基础资料
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大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
Δr
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
大学物理第二章质点动力学
•重力：地面附近的物体由于地球的吸引
而受到的力叫重力。在重力作用下，任 何物体产生的加速度都是重力加速度。
mg
忽略地球自转的影响重力近似等于地球
的引力
mg
G0
Mm R2
g G0M R2
•弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。
其表现形式有：正压力、支持力、拉力、张力、弹簧 的恢复力等。
v v0 2
m0
m k v0t
（2）运动方程改写成
kv2 mv dv 或 dv k dx dx v m
积分
v0 2
dv
k
x
dx
得
ln 1 k x
v v0
m0
2m
或 x m ln 2 k
2－2 单位制和量纲
一、基本单位和导出单位
物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各 物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们 的单位之间也就有一定的联系。 ❖选定少数几个物理量作为基本量，并人为地规定 它们的单位，这样的单位叫做基本单位。 ❖其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导 出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本 单位的组合，叫导出单位。
在弹性限度内 f = k x —胡克定律 k 叫劲度系数
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
f
一对阻碍相对运动的力,叫做摩擦
力。它们大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
N
v
f
•静摩擦力: 大小介于0 和最大静力摩擦力 fS 之间，视 外力的大小而定。
•解方程组，并对计算结果作简短讨论。
《大学物理简明教程》第2章 质点动力学
F1
m1 Leabharlann f 12 f 21m2 F2
t2
t1 t2
( F 1 + f 12 )dt m1v12 m1v11 ( F 2 + f 21 )dt m1v22 m1v21
t1
2.2.2 质点系的动量定理
t2
t1
( F1 + F 2 ) dt = (m1v 12 m2 v 22 ) (m1v 11 m2 v 21 )
自然坐标系中：
dt d z Fz maz m dt 2 d Fn man m F ma m dt
F y ma y m
d y
6、定量的量度了惯性
m A aB mB aA
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
m1 m 2 r0 引力质量： F G 2 r 式中 m1、m2 被称为引力质量
解:
隔离木箱和板车，受力分析，如图b 如果木箱与板车相对静止，则必有
m2 m1
(a)
a2
Fr
a 1 F N1
F
Fr Fr max s m2 g
设板车和木箱对地的加速度分 别为 a1 和a2 由牛顿第二定律， 对 m1 ，有
FN2
m2 m2 g
O
Fr
m1
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
2.1.1 牛顿运动定律
F F
作用力与反作用力，两者互相 依存，同时产生，同时消失。 作用力和反作用力是分别作用 在两个物体上，它们不能相互 抵消。 物体间的作用力与反作用力总 是属于同种性质的力。 牛顿运动定律适用范围： 1）只适用于质点； 2）只适用于惯性系； 3）只能用来处理宏观、 低速的力学问题，而不适 用于处理微观粒子或高速 运动的问题。
m1 Leabharlann f 12 f 21m2 F2
t2
t1 t2
( F 1 + f 12 )dt m1v12 m1v11 ( F 2 + f 21 )dt m1v22 m1v21
t1
2.2.2 质点系的动量定理
t2
t1
( F1 + F 2 ) dt = (m1v 12 m2 v 22 ) (m1v 11 m2 v 21 )
自然坐标系中：
dt d z Fz maz m dt 2 d Fn man m F ma m dt
F y ma y m
d y
6、定量的量度了惯性
m A aB mB aA
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
m1 m 2 r0 引力质量： F G 2 r 式中 m1、m2 被称为引力质量
解:
隔离木箱和板车，受力分析，如图b 如果木箱与板车相对静止，则必有
m2 m1
(a)
a2
Fr
a 1 F N1
F
Fr Fr max s m2 g
设板车和木箱对地的加速度分 别为 a1 和a2 由牛顿第二定律， 对 m1 ，有
FN2
m2 m2 g
O
Fr
m1
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
2.1.1 牛顿运动定律
F F
作用力与反作用力，两者互相 依存，同时产生，同时消失。 作用力和反作用力是分别作用 在两个物体上，它们不能相互 抵消。 物体间的作用力与反作用力总 是属于同种性质的力。 牛顿运动定律适用范围： 1）只适用于质点； 2）只适用于惯性系； 3）只能用来处理宏观、 低速的力学问题，而不适 用于处理微观粒子或高速 运动的问题。
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
CH02质点动力学资料
英国物理学家、数学 家、天文学家，经典 物理学的奠基人。
•牛顿运动三大定律：《自然科学的数学 原理》中含有牛顿运动三条定律和万有引 力定律，以及质量、动量、力和加速度等 概念。
•光学贡献：牛顿发现色散、色差及牛顿 环，他还提出了光的微粒说。
•反射式望远镜的发明
我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是 一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳 而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。
F12
F21
P.6/67
第2章 质点动力学
例 分析物体间的相互作用力 m
FT FT '
m G G'
地球
P.7/67
注意
第2章 质点动力学
作用力与反作用力特点：
(1)大小相等、方向相反，分别作用 在不同物体上，同时存在、同时消失， 它们不能相互抵消．
(2)是同一性质的力．
总之：牛顿定律阐明了“力”、“质量”、 “ 惯性”的概念。 适用于：惯性系、低速、宏观物体
Fx ma x Fy ma y Fz maz
Ft
m ddvt
d2s m
dt 2
Fn
m
v2 ρ
a
en
et
A
注： 为A处曲线的曲率半径． P.5/67
3、牛顿第三定律
第2章 质点动力学
两个物体之间作用力
F
和反作用力 F＇，
沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作
用在两 个物体上． F12 F21 （物体间相互作用规律）
P.13/67
三、摩擦力(frictional force) 第2章 质点动力学
静摩擦力： 0 f 0 0 N
第二章 质点动力学
d t
d t
F m a v a d t r v d t r t
物体受力的几种情况：
力是常数
F k
如：
力是位置的函数 F F x F kx
弹性力
力是时间的函数 F F t F A cos t 策动力
力是速度的函数 F F v F kv
阻尼力
2、解题步骤：
（1）隔离物体 将所研究的物体从周围的物体中隔离出来，单独画出
即 F G m1m2
G 6 .6 7 2 5 9 1 0 1 1 m 3k g 1s 2
r2
地球内的物体 m 所受地球的引力为
F
G
m m r2
P
r O
m 为地球上以地心为圆心的半径为 r 的球的质量。
重力：地球表面附近的物体因地球吸引而受到的力，
方向竖直向下。 忽略地球自转，则
p2 y
p1y
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
2.4.2 动量定理的应用
冲力的特点：作用时间极短，作用 力极大而且变化很快，如图所示。 因此，动量定理主要解决打击、碰 撞一类问题 ，这里重点强调其矢量 性。
F
F
Ｏ ｔ１
ｔ２ ｔ
平均冲力： 根据动量定理，质点动量的改变主要是由
碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力的大小，引入
牛顿第一定律： 一个质点，如果没有受到其他物体的作用，就将保持其
静止或匀速直线运动状态。 或者说 一个自由粒子永远静止或作匀速直线运动。
牛顿第一定律 指明了任何物体都具有保持其原有运动 状态不变的特性――惯性，因此又称第一定律为惯性定 律。实际上第一定律所描述的是力处于平衡时物体的运 动规律。
它定性地阐明了力的涵义，力是改变物体运动状 态的原因。
大学物理学 质点动力学 知识点讲义(详细)
（1）恒力的冲量 I F(t2 t1) Ft
（2）变力的冲量
I
t2
F (t)dt
t1
直角坐标系下的分量式：
I
x
t2 t1
Fxdt
I
y
t2 t1
Fy dt
（3）合力的冲量
I z
t2 t1
Fz dt
I
t2
t1
Fi dt
9 0180，负功
第二，功与参考系的选择有关.
（克服外力对外做功）
第三，合力的功等于各分力沿同一路径所作功的代数和.
b
b
b
b
b
W
a
F dr
a
(F1 F2
Fn ) dr
a
F1 dr
a
F2 dr
a
)
v 2gl(cos cos0 )
l
FT
d ds
p
y
4 ,53.1
px 3
动量 动量定理 动量守恒定律
练习题2：
解 应用动量定理求解平均阻力
m = 80kg
（mg F阻）t mv2 mv1 F阻 -3184(N )
方向与y轴相反
（3）质点系的动量定理
t2
t1
t2
t 1
(F1 (F2
F12
va a Fn
定义
EK
1 mv2 2
为质点动能
动能定理实质说明：力的空间积累效果改变了物体的动能。
关于动能定理的说明
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点：微积分方法求解变力做功。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2.保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量动量：p mv =u r r冲量：⎰⋅=21t t dt F I ϖϖ2．动量定理：质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I ϖϖϖϖϖ 质点系动量定理：dtPd F ϖϖ=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F ϖ时，或in ex F F u r u r ? 系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1ϖϖ4．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos ϖϖ（θ为)之间夹角与r d F ϖϖ直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=（质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）（2）质点系动能定理:∑∑==-=+ni ni E E W W1kio1ki inex（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
大学物理第2章质点动力学
第2章 质点动力学2．1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与合外力的方向相同。
表示为 a m f =说明:⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。
∑=+++==ni n i f f f f f 121 力的叠加原理⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式t t ma f = n n ma f =⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。
v m p =动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dtd dt d m a m f === 当0=f 时，0=dt p d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结论成为质点动量守恒定律。
三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：（1）隔离物体，受力分析。
（2）建立坐标，列方程。
（3）求解方程。
（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a 及绳子的张力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。
第2章 质点动力学
m1 v2 v v' 2.17103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 3. 1710 m s
y
s v
z'
y'
s' v'
m2
m1
z
o
o'
x x'
30
例: 一辆装矿砂的车厢以＝4 m· s－1的速率从 漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k＝200 kg· s－1，如欲使车厢保持速率不变，须施与 车厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦)？ 解: 设t时刻已落入车厢的 矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt 的矿砂落人车厢。
12
(3) 分析受力
(4)列出方程
m受力如图
x
a2
y N a1 mg
对m应用牛顿定律列方程： x方向: mgsin ＝m(a2－a1sin) y方向: N－mgcos ＝ma1cos 解方程，得: a2＝(g＋a1)sin N ＝m(g＋a1)cos
物体对斜面的压力大小 N′=N=m(g＋a1)cos 垂直指向斜面。
9
例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两 端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如 图所示。设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不 能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳 中张力。 解：选取对象 m1、m2及滑轮 a 分析运动 m m1，以加速度a1向上运动 m m2，以加速度a2向下运动 T T' T2 1 a1 分析受力 如图所示. a2 列出方程 mg m2g T1/ T2/ 取a1向上为正方向，则有 T1－m1g＝m1a1 ① 10
F
N 1
i
i
6
d x Fx ma x m dt 分解: d y 直角坐标系中： Fy ma y m dt
第2章 质点动力学
N
无形变，无弹性力
光滑墙角
N' P
• 绳子在受到拉伸时，其内部出现的弹性力沿绳方向， 称为张力。忽略绳的质量时，可认为绳上各处的张
力相等。
§2.2 力学中常见的几种力
三
摩擦力
两个物体相互接触，由于有相对运动或者相 对运动的趋势，在接触面处产生的一种阻碍物 体运动的力，叫做摩擦力。
滑动摩擦力 f μN 最大静摩擦力 静摩擦力
F
R
x
x
O
dv dv dx dv M v G 2 dt dx dt dx x
dx v dv GM 2 x v0 R
飞船脱离地球引力时发 射所需的最小初速度即
v x
1 1 v v 2GM R x
2 2 0
x v 0
2GM v0 2 gR 11.2km / s R
§2.1
牛顿运动定律
四
牛顿定律的适用范围
光滑桌面
乙
m F
a0
甲
地面参考系：小球受力 F， 加速度 a a0 车厢参考系： 小球受力 F， 加速度 a 0
F ma
F ma
§2.1 注意
牛顿运动定律
(1) 牛顿定律成立的参考系称为惯性 系，凡相对于惯性系静止或作匀速直线运 动的一切参考系都是惯性系．
2.4 应用牛顿运动定律解题
例3 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙 飞船，如不计空气阻力和其它作用力，求飞 船脱离地球引力范围的最小初速度。
解 以地心为原点建立坐标
系，飞船受万有引力
F
R
x
Mm F G 2 x
x
02_第二章 质点动力学
F 0 时， 恒矢量
惯性和力的概念
如物体在一参考系中所受合外力为零时，而 保持静止或匀速直线运动状态，这个参考系就 称为惯性参考系，简称惯性系。
3
大学物理学
第二章
质点动力学
2. 牛顿第二定律 物体受到外力时，它获得的加速度的大小与 物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反 比，加速度的方向与合外力的方向相同。
yb
例2.6 质量为 m 的质点沿曲线从 a 点运动到 b 点，已知 a 点离地面的高度为 ya ，b 点离地面 的高度为 yb，求此过程中重力对质点的做功。 y a y
a
W mg d y mg ( ya yb )
ya
重力做功只与质点的始末位置 有关，与运动路径无关。重力 是保守力。
7
大学物理学
第二章
质点动力学
二、 牛顿运动定律的应用 1. 问题分类 ①运动情况→受力情况； ②受力情况→运动情况； ③部分运动、受力情况→其余运动、受力情况。 2. 解题基本步骤 确定研究对象→隔离物体→受力分析→建立坐 标系→列方程→解方程→结果讨论
8
大学物理学
第二章
质点动力学
例2.1 求图所示物体组的加速度及绳子的张力。 已知斜面夹角为30°，物体 A 的质量为 3m ， 物体 B 的质量为 m ，绳子不可伸长，绳子与滑 轮的质量及所有摩擦力均不计。
例2.8 摩托艇在水面上以速度 0 作匀速运动。 当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成 正比。求：关闭发动机后，摩托艇行走距离 x 时阻力所作的功。
23
大学物理学
第二章
质点动力学
阻力做功 W
x
0
x
k x d x
第2章 质点动力学
直角坐标系中
惯性质量的定义：
M 是物体惯性大小的度量，称为惯性质量
以同样大小的力作用到不同的物体上时，一般说来它们所获得的加速度是不同的．如 象前面所说过的那样，用同样大小的力推动一辆空车和一辆载重车时，空车获得的加 速度要比载重车获得的加速度大．这就说明，在外加力的作用下，物体所获得的加速 度不仅与力有关，而且还与物体本身的某种特性有关．这个特性就是惯性．在同样大 小的力作用下，空车获得的加速度大，就表明它维持原有运动状态的能力小，即惯性 小；载重车获得的加速度小，就表明它维持原有运动状态的能力大，即惯性大．在物 理学中，就引入惯性质量这样一个物理量来表示物体惯性的大小．惯性质量是物体被 当做质点时其惯性大小的量度．由于物体的平动惯性是物体的固有属性，故不论物体 是否在做平动，对它谈及惯性质量都是有意义的
万有引力是怎么产生的?
任何一个物体都要在其周围产生一个引力场
描述引力场的物理量-引力场强度
m1m2 F G 2 r0 r
定义:引力场强度
m1
E
m2
m1m2 F g G r 2 0 m2 m2 r
m1 g G 2 r0 r
引力场通量
d g • dS
3. 牛顿第三定律
两个物体之间的相互作用力总是大小相等的，而且 指向相反的方向。
F 1 -F 2
指出了力的起源： 力是物体间的相互作用。 作用力和反作用力是同种性质的力，同时产生, 同时消失，没有主从之分。 作用力和反作用力是作用于不同的两个物体， 效果不同，不能相互抵消。
m 1m 2 F=G 2 r
其中m1和m2为两个质点的质量，r为两个质点的 距离，G0叫做万有引力常量。
G 0 6 .67 10 11 m 3 kg 1 s 2
第02章-质点动力学
8
四 牛顿定律的应用
➢牛顿定律只适用于惯性系； ➢牛顿定律只适用于质点模型； ➢具体应用时，要写成坐标分量式。
在平面直角坐标系 在平面自然坐标系
Fx max
Fy
may
Fz
maz
F
m dv dt
mR
Fn
m v2 R
mR 2
2–3 动量 动量守恒定律
力的累积效应
F F
(t)对
对
r
t 积累 积累 W
3
一 惯性定律 惯性参考系 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，
直到外力迫使它改 变运动状态为止. 数学形式：F 0 时，v 恒矢量
➢ 定义了物体的惯性 任何物体都有保持其运动状 态不变的性质, 这一性质叫惯性. ➢ 定义了力 力是物体运动状态发生变化的原因. ➢ 定义了惯性参照系 物体在某参考系中, 不受其他 物体作用而保持静止或匀速直线运动状态 , 这个参考 系称为惯性系 . 相对惯性系静止或匀速直线运动的参 照系也是惯性系 .
W Fxdx Fydy Fzdz
21
功的大小与参照系有关
功的量纲和单位 dimW ML2T2 1J 1N m
2.功率 平均功率
P W t
瞬时功率 P lim W dW F v
t0 t
dt
P Fvcos
功率的单位 （瓦特）1W 1J s1 1kW 103 W
22
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
4
二 牛顿第二定律 惯性质量 引力质量 物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与
合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度 的方向与合外力 F 的方向相同。
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大学物理学
第2章 质点动力学基础
—— 力学三大定律和万有引力定律是 宏观物体运动遵从的基本物理定律
人类文明史上第一次自然科 学的大综合
本章主要是研究物体之 间的相互作用和引起物体运 动状态变化的原因。
1
大学物理学
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律（惯性定律）
表述：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，
速物体；惯性系。
其中：F F1 F2 力的叠加原理
a F m
m称为惯性质量
牛顿第二定律更一般的表述： 物体受到的合外力等于物体动 量对时间的变化率
F dp d(mv) dt dt
3
F ma
分量式
大学物理学
直角坐标系中:
自然坐标系中：
Fx ma x Fy ma y
Fz ma z
Ft
er
万有引力定律
式中 er 为 r 方向的单位矢量
6
大学物理学
万有引力定律
F
G
m1m2 r2
er
引力场
任何具有质量的物体，在他周围都存在着某
种特殊形式的物质，称为引力场。
物体间的万有引力是通过引力场来实现的。
地球表面附近的万有引力场称为重力场。
重力：地球对地面附近物体所作用的万有引力。
W mg
其中：g
xdx
z0
0g
z0
讨论
mg
x
解得：z
2
2g
x2
z0
若已知桶不旋转时水深为h，
桶半径为R ,
zω
R
有： R z 2 π x d x π R2h 0
R (2
0 2g
x2
z0 )2 π
xd
x
π
R2h
可以解得：
z0
h
2R2
4g
z0
z
x
Ox
dx
大学物理学
结果：
z
2
2g
x2
z0
2 x2 2 R2 h
直至其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 这条定律包含以下重要概念:
惯性：物体保持静止状态或匀速直线运动状态的特性。
惯性是维持原运动状态的属性
牛顿第一定律表明：任何孤立物体具有恒定的速度。
惯性系：牛顿第一定律在其中严格成立的参考系。
◆推论：凡相对已知惯性系作静止或匀速直线运动的参考 系也是惯性系，而相对已知惯性系作加速运动的 参考系为非惯性系。
G
me re2
为重力加速度。
重力的大小称为重量。 7
大学物理学
2.2.2 弹性力
弹性力产生在直接接触的物体之间，并以物体的形 变为先决条件。
1、弹簧的弹性力
F kx
其中： k是弹簧的劲度系数 [SI]: Nm-1
k
m
x
o
k
Fm x
ox
k Fm
x
xo
8
2、物体间相互挤压而形成的弹性力 包括压力和支承力
力：物体在惯性系中运动状态发生变化的一个原因。 2
大学物理学
2.1.2 牛顿第二定律
表述：物体受到外力作用时，所获得的加速度a大小与 合外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速 度方向与合外力方向相同。
在SI制中, 其数学表达式为
F ma
单位：牛顿（N） 适用: 宏观、低
1N=1kgms-2
（1） 认物体 （2） 看运动 （3） 分析力
明确问题中所求运动的物体. 考察该物体所受的力和运动的参考系. 分别画出各质点所受的力和运动参考系.
（4） 列方程
写出运动方程 , 找出有关的几何关系.
（5） 解方程
作必要的近似并求解.
一般解决两类问题:
1. 已知 2. 已知
f ，求 r、v
，
v
求
和
f
其中任一质点所受引力的大小与两质点的质量乘积
成正比，与它们的距离的平方成反比，引力的方向
在两质点的连线上。
万有引力大小：F
G
m1m2 r2
m1 F
r F
万有引力恒量: G 6.671011 N m2 kg2
m2
公式中的质量称为引力质量，是物体与其它物
体相互吸引性质的量度。
矢量式:
F
G
m1m2 r2
FN
最大静摩擦力 Ff max FN
F
Ff 0
0 Ff 0 Ff max 2、滑动摩擦力
W
静摩擦力
物体与支承面间有相对运动，则两者的接触面间
存在摩擦力。
3、黏滞阻力
Ff FN
相对速率较小时 Ff kv
相对速率较大时
Ff
1 C Av2
2
10
大学物理学
2.3 牛顿运动定律应用示例
研究的是单个质点，只在惯性参考系成立, 多体问题，用隔离法
FAB FBA
A
B
作用与反作用
说明：
FAB
FBA
1. 说明力是相互的
2. 作用力和反作用力同生同灭 3. 适用于惯性参考系 4. 作用力和反作用力同性质
思考：马拉车时， 为什么是马把车拉 动，而不是车把马 拉动？
5
大学物理学
2.2 力学中常见的力
2.2.1 万有引力 重力
在自然界中，任何两个质点之间都存在引力，
大学物理学 FN
这种弹性力总是垂直于物
体间的接触面或接触点的公切 面。
FN 挤压弹性力
3、绳子的拉力 有质量的绳子上各处
FT
a
F
的张力不相等。
FT1 FT 2 ma
FT 2
a FT 1
m x
绳子的拉力
9
大学物理学
2.2.3 摩擦力
1、静摩擦力
物体与支承面间有相对运动趋势，则两者的接触面间
存在静摩擦力。
r
大学物理学
Z 例1 求圆柱形容器以 作匀速旋转，液体自由表面形状？
设有质元的N质量m为gm，ma根 据牛顿a第二定2 x律
m 2x tg dz
mg
dx
dz 2x dx
g
z
x 2x
Z
N
dz
0
0
dx g
N
x
z 2 x2
mg
mg
2g
大学物理学
Z
N
2
dz xdx g
z
x 2
d z
滑例块2 从在挡水板平的面一上端有以一初半速径度为v0
R 的圆弧形挡板 S。质量为 m 的小 贴着挡板内侧射入，然后沿挡板作
圆周运动。小滑块与水平面之间是光滑接触，而与挡板侧面间的
滑动摩擦系数为 μ。试求小滑块的运动速度，路程，并证明摩擦
力是个变力，其计算公式
fr
mR( v0 )2 R v0t
2g 4g
查量纲： [ 2]=1/s2 ，[ x ]= m ，[ g ]=m/s2
2
[
r2]
2
[
R2]
2g
4g
(1
/s2 ) m2 m/s 2
m [h] [z] ， 正确。
过渡到特殊情形： = 0，有 z = z0 = h， 正确。
看变化趋势：x 一定时，↑→( z-zo )↑, 合理。
大学物理学
mat
m
dv dt
Fn
ma n
m
v2 R
注意： 1. 反映了力的瞬时效应
2. 指出质量是物体惯性大小的量度 3. 只适用于惯性系 4. 加速度与合外力同向 5. 是矢量式
4
大学物理学
2.1.3 牛顿第三定律
表述：对于每一个作用，总有一个相等的反作用与 之相反；或者说，两个物体对各自对方的相互作用 总是相等的，而且指向相反的方向。
第2章 质点动力学基础
—— 力学三大定律和万有引力定律是 宏观物体运动遵从的基本物理定律
人类文明史上第一次自然科 学的大综合
本章主要是研究物体之 间的相互作用和引起物体运 动状态变化的原因。
1
大学物理学
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律（惯性定律）
表述：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，
速物体；惯性系。
其中：F F1 F2 力的叠加原理
a F m
m称为惯性质量
牛顿第二定律更一般的表述： 物体受到的合外力等于物体动 量对时间的变化率
F dp d(mv) dt dt
3
F ma
分量式
大学物理学
直角坐标系中:
自然坐标系中：
Fx ma x Fy ma y
Fz ma z
Ft
er
万有引力定律
式中 er 为 r 方向的单位矢量
6
大学物理学
万有引力定律
F
G
m1m2 r2
er
引力场
任何具有质量的物体，在他周围都存在着某
种特殊形式的物质，称为引力场。
物体间的万有引力是通过引力场来实现的。
地球表面附近的万有引力场称为重力场。
重力：地球对地面附近物体所作用的万有引力。
W mg
其中：g
xdx
z0
0g
z0
讨论
mg
x
解得：z
2
2g
x2
z0
若已知桶不旋转时水深为h，
桶半径为R ,
zω
R
有： R z 2 π x d x π R2h 0
R (2
0 2g
x2
z0 )2 π
xd
x
π
R2h
可以解得：
z0
h
2R2
4g
z0
z
x
Ox
dx
大学物理学
结果：
z
2
2g
x2
z0
2 x2 2 R2 h
直至其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 这条定律包含以下重要概念:
惯性：物体保持静止状态或匀速直线运动状态的特性。
惯性是维持原运动状态的属性
牛顿第一定律表明：任何孤立物体具有恒定的速度。
惯性系：牛顿第一定律在其中严格成立的参考系。
◆推论：凡相对已知惯性系作静止或匀速直线运动的参考 系也是惯性系，而相对已知惯性系作加速运动的 参考系为非惯性系。
G
me re2
为重力加速度。
重力的大小称为重量。 7
大学物理学
2.2.2 弹性力
弹性力产生在直接接触的物体之间，并以物体的形 变为先决条件。
1、弹簧的弹性力
F kx
其中： k是弹簧的劲度系数 [SI]: Nm-1
k
m
x
o
k
Fm x
ox
k Fm
x
xo
8
2、物体间相互挤压而形成的弹性力 包括压力和支承力
力：物体在惯性系中运动状态发生变化的一个原因。 2
大学物理学
2.1.2 牛顿第二定律
表述：物体受到外力作用时，所获得的加速度a大小与 合外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速 度方向与合外力方向相同。
在SI制中, 其数学表达式为
F ma
单位：牛顿（N） 适用: 宏观、低
1N=1kgms-2
（1） 认物体 （2） 看运动 （3） 分析力
明确问题中所求运动的物体. 考察该物体所受的力和运动的参考系. 分别画出各质点所受的力和运动参考系.
（4） 列方程
写出运动方程 , 找出有关的几何关系.
（5） 解方程
作必要的近似并求解.
一般解决两类问题:
1. 已知 2. 已知
f ，求 r、v
，
v
求
和
f
其中任一质点所受引力的大小与两质点的质量乘积
成正比，与它们的距离的平方成反比，引力的方向
在两质点的连线上。
万有引力大小：F
G
m1m2 r2
m1 F
r F
万有引力恒量: G 6.671011 N m2 kg2
m2
公式中的质量称为引力质量，是物体与其它物
体相互吸引性质的量度。
矢量式:
F
G
m1m2 r2
FN
最大静摩擦力 Ff max FN
F
Ff 0
0 Ff 0 Ff max 2、滑动摩擦力
W
静摩擦力
物体与支承面间有相对运动，则两者的接触面间
存在摩擦力。
3、黏滞阻力
Ff FN
相对速率较小时 Ff kv
相对速率较大时
Ff
1 C Av2
2
10
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2.3 牛顿运动定律应用示例
研究的是单个质点，只在惯性参考系成立, 多体问题，用隔离法
FAB FBA
A
B
作用与反作用
说明：
FAB
FBA
1. 说明力是相互的
2. 作用力和反作用力同生同灭 3. 适用于惯性参考系 4. 作用力和反作用力同性质
思考：马拉车时， 为什么是马把车拉 动，而不是车把马 拉动？
5
大学物理学
2.2 力学中常见的力
2.2.1 万有引力 重力
在自然界中，任何两个质点之间都存在引力，
大学物理学 FN
这种弹性力总是垂直于物
体间的接触面或接触点的公切 面。
FN 挤压弹性力
3、绳子的拉力 有质量的绳子上各处
FT
a
F
的张力不相等。
FT1 FT 2 ma
FT 2
a FT 1
m x
绳子的拉力
9
大学物理学
2.2.3 摩擦力
1、静摩擦力
物体与支承面间有相对运动趋势，则两者的接触面间
存在静摩擦力。
r
大学物理学
Z 例1 求圆柱形容器以 作匀速旋转，液体自由表面形状？
设有质元的N质量m为gm，ma根 据牛顿a第二定2 x律
m 2x tg dz
mg
dx
dz 2x dx
g
z
x 2x
Z
N
dz
0
0
dx g
N
x
z 2 x2
mg
mg
2g
大学物理学
Z
N
2
dz xdx g
z
x 2
d z
滑例块2 从在挡水板平的面一上端有以一初半速径度为v0
R 的圆弧形挡板 S。质量为 m 的小 贴着挡板内侧射入，然后沿挡板作
圆周运动。小滑块与水平面之间是光滑接触，而与挡板侧面间的
滑动摩擦系数为 μ。试求小滑块的运动速度，路程，并证明摩擦
力是个变力，其计算公式
fr
mR( v0 )2 R v0t
2g 4g
查量纲： [ 2]=1/s2 ，[ x ]= m ，[ g ]=m/s2
2
[
r2]
2
[
R2]
2g
4g
(1
/s2 ) m2 m/s 2
m [h] [z] ， 正确。
过渡到特殊情形： = 0，有 z = z0 = h， 正确。
看变化趋势：x 一定时，↑→( z-zo )↑, 合理。
大学物理学
mat
m
dv dt
Fn
ma n
m
v2 R
注意： 1. 反映了力的瞬时效应
2. 指出质量是物体惯性大小的量度 3. 只适用于惯性系 4. 加速度与合外力同向 5. 是矢量式
4
大学物理学
2.1.3 牛顿第三定律
表述：对于每一个作用，总有一个相等的反作用与 之相反；或者说，两个物体对各自对方的相互作用 总是相等的，而且指向相反的方向。