中考数学压轴题破解策略专题中点模型
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专题19《中点模型》
破解策略
1.倍长中线
在△ABC中.M为BC边的中点.
图1 图2
(1)如图1,连结AM并延长至点F,使得ME=AM.连结CE.则△ABM≌△ECM.
(2)如图2,点D在AB边上,连结DM并延长至点E.使得MF=DM.连结CE,则△BDM ≌△CEM,
遇到线段的中点问题,常借助倍长中线的方法还原中心对称图形,利用“8”字形全等将题中条件集中,达到解题的目的,这种方法是最常用的也是最重要的方法.
2.构造中位线
在△ABC中.D为AB边的中点,
图1 图2
(1)如图1,取AC边的中点E,连结DE.则DE∥BC,且DF=1
2
B C.
(2)如图2.延长BC至点F.使得CF=B C.连结CD,AF.则DC∥AF,且DC=1
2 AE.
三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来.通常需要再找一个中点来构造中位线,或者倍长某线段构造中位线,
3.等腰三角形“三线合一”
如图,在△ABC中,若AB=A C.通常取底边BC的中点D.则AD⊥BC,且AD平分∠BA C.事实上,在△ABC中:①AB=AC;②AD平分∠BAC;③BD=CD,④AD⊥B C.
对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”.4.直角三角形斜边中线
如图,在△ABC看,∠ABC=900,取AC的中点D,连结BD,则有BD=AD=CD=1
2 AC.
反过来,在△ABC中,点D在AC边上,若BD=AD=CD=1
2
AC,则有∠ABC=900
例题讲解
例1 如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,过点E 作AB 的垂线,过点F 作CD 的垂线,两垂线交于点G ,连结AG 、BG 、CG 且∠AGD =∠BGC ,若AD 、BC 所在直线互相垂直,求AD EF
的值 解 由题意可得△AGB 和△DGC 为共顶点等顶角的两个等腰三角形,
所以△AGD ≌△BGC ,△AGD ∽△EGF .
方法一:如图1,连结CE 并延长到H ,使EH =EC ,连EH 、AH ,则
AH ∥BC ,AH =BC ,而AD =BC ,AD ⊥BC
所以AD =AH ,AD ⊥AH ,连结DH ,则△ADH 为等腰直角三角形,又因为E 、F 分别为CH 、CD
的中点,所以=12
AD AD EF DH =
方法二:如图2,连结BD 并取中点H ,连结EH ,FH .则EH =
12AD ,且EH ∥AD ,FH =12BC , 而AD =BC ,AD ⊥BC ,所以△EHF
为等腰直角三角形,所以2=AD EH EF EF
=
例2 如图,在△ABC 中,BC =22,BD ⊥AC 于点D ,CE ⊥AB 于E ,F 、G 分别是BC 、DE 的中点,若ED =10,求FG 的长.
解:连结EF 、DF ,由题意可得EF 、DF 分别为RT △BEC ,RT △BDC 斜边的中线,所以DF =EF =
12
BC =11,而G 为DE 的中点,所以DG =EG =5,FG ⊥DE ,所以RT △FGD 中,FG
=
例3 已知:在RT △ACB 和RT △AEF 中,∠ACB =∠AEF =900
,若P 是BF 的中点,连结PC 、PE
(1)如图1,若点E 、F 分别落在边AB 、AC 上,请直接写出此时PC 与PE 的数量关系.
(2)如图2,把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转,当点E 落在边CA 的延长线上时,上述结论是否成立若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
解(1)易得PC =PE =12
BF ,即PC 与PE 相等. (2)结论成立.理由如下:
如图4,延长CP交EF的延长线于点D,则BC∥FD,易证△BPC≌△FPD,所以PC=PD,而∠
CED=900,所以PE=1
2
CD=PC
(3)结论仍成立,理由如下:
如图5,过点F作FD∥BC,交CP的延长线于点D,易得PD=PC,FD=BC
所以AE EF EF AC BC FD
==
而∠AFE=∠PBC=∠PFD,所以∠EAC=1800-2∠AFE=∠EFD,
如图,连结CE,ED,则△EAC∽△EFD,所以∠AEC=∠FED,∠CED=∠AEF=900,
所以PE=1
2
CD=PC
例4已知:△ABC是等腰三角形,∠BAC=900,DE⊥CE,DE=CE=1
2
AC,连结AE,M是AE
的中点
(1)如图1,若D在△ABC的内部,连结BD,N是BD的中点,连结MN,NE,求证:MN⊥AE (2)如图2,将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=300,连结BD,N是BD的中
点,连结MN,求MN AC
解:(1)如图3,延长EN至点F,使得NF=NE,连结FB,易证△DEN≌△BFN,从而可得BF∥DE,BF=DE,延长FB,CE交于点G,则∠G=900,从而A、B、G、C四点共圆
所以∠ABF=∠ACE,连结AF,所以△ABF≌△ACE(SAS),所以AF=AE,AF⊥AE,而MN∥
AF所以MN=1
2
AE,MN⊥AE
(2)如图4,同(1)可得,MN=1
2
AE,MN⊥AE,由题意可得AC=2CE,作EH⊥AC于H,则
∠ECH=600,所以CH=1
2
EC=
1
4
AC,EH AC,从而AE AC,所以
MN
AC
进阶训练
1.如图,△ABD和△ACE都是直角三角形,其中∠ABD =∠ACE=90°,且点C在AB上,连结DE,M为DE的中点,连结BM,CM,求证:BM=CM.
【答案】略
【提示】延长CM,DB交于点F,则∠CBF=90°,△CME≌△FMD,从而BM=1
2
CF=CM.
2.我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”.如图1,AF,BE是△ABC的中
线,且AF⊥BE于点P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.
(1)猜想a 2,b2,c2三者之间的关系,并加以证明;
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,E,F,G分别是AD,BC,CD上的中点.BE⊥EG,
AD=AB=3.求AF的长.
【答案】(1) a 2+b2=5c2,证明略;(2)AF=4.
【提示】(1)如图,连结EF,由中位线定理可得PE
PB
=
PF
PA
=
EF
BA
=
1
2
.在Rt△APB,
Rt△APE和Rt△BPF中,利用勾股定理即可得到a 2+b2=5c2;
(2)如图,取AB的中点H,连结FH,AC,由中位线定理可得FH∥AC∥EG,从而FH ⊥BE,易证△APE≌△FPB,所以AP=FP,所以△ABF是“中垂三角形”从而利用(1)中结论求得AF的长.
3.巳知:△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点.连结DF,CF.
(1)如图,当点D在AB上,点E在AC上时,请直接写出此时线段DF,CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2.在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°.请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3.在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转角α,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,井证明你的判断.
【答案】(1)DF=CF,DF⊥CF;(2)成立;(3)成立.
【提示】(2)延长DF交BC于点G,则△DEF≌△GBF,从而得DF=GF,CD=CG,即得证.
(3)延长CF至点G,使得FG=CF,连结EG,则GE=CB=CA,GE⊥AC,可得∠CAD=∠GE D.连结DG,CD,从而△ADC≌△EDG(SAS).即得证.
4.巳知:P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(不与点A、C重合).分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为E,F,O为AC的中点,如图1.将直线BP绕点B逆时针旋转,当∠OFE= 30°时,如图2所示,请你猜想线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系,并给予证明.
【答案】图1中OE=CF-AE;图2中OE=CF+AE.
【提示】如图1,延长EO交FC于点G,易证OE=OG,AE=CG,从而Rt△GFE中,OF=OG=OE.而∠OFE=30°,所以OE=CF-AE.
如图2,同理可得OE=CF+AE.
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
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(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图,四边形ABCD是平行四边形,ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点,点F是直线CD上的点,连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点,连接MW则MN的最小值为() 2.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足:①点A到直线1的距离为2;②直线1与一条对角线平行;③直线1与菱形ABCD的边有交点,则符合题意的直线1的条数为() 3?如图,在四边形ABCD 中,AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上,则使得APBD的面积为3的点P的个数为() -√3 (第2(第3
4?如图,点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点,过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为( ) A. √T3-2 5?如图,等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。()上的一个动点,ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线,两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点,连接O C, ()D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为( ) 6.如图,在矩形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 在AD 边上,点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是( ) 7.如图,OP 的半径为1,且点P 的坐标为(3, 2),点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点,且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为( ) √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B (第5 (第6 (第7(第8
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中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,此时AD 与BC 相交于E ′点, 如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上 (2)设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3) 图① 图②
E (0,-2)三点,得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 (3)(本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同(1)可得: 1E F E F AB DC ''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ,∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理:S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标; (2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若 4 21h S S =,抛物线 y =ax 2 +bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解](1)解:由已知AM =2,OM =1, 在Rt△AOM 中,AO = 122=-OM AM , ∴点A 的坐标为A (0,1) (2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即b =1 ∴y=x +1 令y =0则x =-1 ∴B(—1,0),