椭圆基本知识(课堂PPT)

在方程
x2 y2 a2 b2
1
中，令x=±c得|y|= b 2 a
,
在方程
y2 x2 a2 b2 1
中，令y=±c得|x|= b 2 a
,
依题意有 b 2 =3，∴b2=12.
a ∴椭圆的方程为
x2y2 1或y2x2 1.
1612 1612
探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设 法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位 置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要， 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m＞0,n＞0,m≠n)， 由题目所给条件求出m、n即可.
（2）若 a=c ，则集合P为线段；
（3）若 a＜c，则集合P为空集.
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上．
设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直
平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析 点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径， ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. 答案 B
第八章 圆锥曲线
§8.1 椭圆 基础知识 自主学习
要点梳理
1.椭圆的定义
（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的 和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 椭圆 .这 两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做
. 焦距
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中 a＞0,c＞0，且a，c为常数： （1）若 a＞c ，则集合P为椭圆；
圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨 迹方程. 思维启迪 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.
解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1； O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R， 则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5，c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16，
x＝acos θ y＝bsin θ
(θ 为参数)．
基础自测
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离
心率等于
( D)
A. 1
B. 3 C. 1
D. 3
3
解析
设长轴长、3 短轴长分2 别为2a、22b,则2a=4b,
eca2b2 4b2b23.
aa
2b 2
2.设P是椭圆 x2 y2 1 上的点.若F1，F2是椭圆
知能迁移2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且
长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆
的方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称
轴，且经过两点P1( 6 ，1)、P2(- 3 ，- 2 )，
求椭圆的方程.
解
（1）若焦点在x轴上，设方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0).
∵椭圆过P（3，0），∴
题型二 椭圆的标准方程 【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且
P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 思维启迪
a x2 2b y2 21或 b x2 2a y2 21(ab0)
.
解 方法一 设所求的椭圆方程为
a x 2 2 b y 2 2 1 (a b 0 )或 a y 2 2 b x 2 2 1 (a b 0 ),
解析 双曲线x22－y22＝1 的准线方程为 x＝±1. 又椭圆的焦点为(± 4－b2，0)，故 4－b2＝1. ∴b2＝3，∴b＝ 3.
4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为 4 ，则椭圆
5
C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 （C ）
A.9
B.1
C.1或9
D.以上都不对
b 3
源自文库
解析
由题意得
c a
由已知条件得
2a 53
(2c)2
52
, 32
解得a=4,c=2,b2=12.
故所求方程为 x2y2 1或y2x2 1. 1612 1612
方法二
设所求椭圆方程为
x2 a2
by22
1(ab0)
或y2 a2
x2 b2
1(ab0).
两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.
25 16
的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ D ）
A.4
B.5
C.8
D.10
解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.
3．(2009·湖北文，5)已知双曲线x22－y22＝1 的准线过椭
圆x42＋by22＝1(b>0)的焦点，则 b 等于
(C )
A．3
B. 5
C. 3
D. 2
4, 5
∴a=5，c=4.
∴a+c=9，a-c=1.
5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，
且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此
3
椭圆的离心率为 2 .
解析
由已知得∠AF1F2=30°，故cos
30°=
c a
，
从而e= 3 .
2
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义 【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与
2．椭圆的两种标准方程 ax22＋by22＝1，ay22＋bx22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
3.椭圆的几何性质
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
e c (0,1) a
x a2 c
y a2 c
4.参数方程
椭圆xa22＋by22＝1 (a>b>0)的参数方程是
故动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1.
25 16
探究提高 平面内一动点与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在. 知能迁移1 已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，