2020年深国交G1入学考试数学复习资料：综合专题 精讲精练(解析版)

综合专题精讲精练（含答案解析）

1. 在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B 、C. (1)当n ＝1时，如果a=－1，试求b 的值；

(2)当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ，

①试求出当n=3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.

(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1， 由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(1

2

，2)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧1=4a+2b+1，

2=14a+12

b+1.解得⎩⎨⎧a=－4

3，b=83

.

∴所求抛物线解析式为y=－43x2+8

3

x+1；

(3)①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx ，

过C 作CD⊥OB 于点D ，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴OD CD =OC BC =13，

设OD=t ，则CD=3t ， ∵OD 2+CD2=OC2， ∴（3t ）2+ t 2=12，∴ t=110=1010

， ∴C(

1010，310

10)，又B(10，0)， ∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得

⎩⎪⎨⎪⎧0=10a+10b ，310

10=110a+1010b.解得：a=－103；

②a=－

n2+1

n

.

2. 将抛物线c1：y=-3x2+3沿x 轴翻折，得抛物线c2,如图所示.

（1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E. ①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；

②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】

【答案】解：(1)y=3x2-3.

(2)①令-3x2+3=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x 轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m ，0），B （1+m,0）.

当AD=31AE 时，如图①，（-1+m ）-（-1-m ）=31, ∴m=21 当AB=31AE 时，如图②，（1-m ）-（-1-m ）=31, ∴m=2.

∴当m=21

或2时，B ，D 是线段AE 的三等分点.

②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-3）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM 为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(3）2=2, ∴m=1.∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

3. （2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边

长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线

2

y ax bx c

=++经过点

A、B和D（4，

2

3

-

）。

（1）求抛物线的表达式。

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s

的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取5

4时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四

边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。

【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线

2

y ax bx c

=++过A、B、D三点

得

422216432a b c a b c c ++=-⎧⎪⎪++=-⎨

⎪

=-⎪⎩解得16132a b c ⎧=⎪⎪⎪

=-⎨⎪=-⎪⎪⎩

抛物线的表达式为

211

263y x x =

--

（2）①S=PQ2=

22222

(22)584BP BQ t t t t +=-+=-+（0≤t≤1） ②由

255844t t -+=

解得t=12或t=11

10（不合题意，舍去）

此时，P （1，－2），B （2，－2），Q （2，3

2-

）

若以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形，则R （3，32-

）或（1，－5

2）或（1，

32-）

经代入抛物线表达式检验，只有点R （3，3

2-

）在抛物线上

所以抛物线上存在点R （3，3

2-

）使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形。

（3）过B 、D 的直线交抛物线对称轴于点M ，则该点即为所求。 因为如在对称轴上另取一点N ，则

ND －NA=ND －NB

由B （2，－2）、D （4，23-

）求得直线BD 的解析式为

210

33y x =-

1x =时，

83y =-

，故点M 的坐标为（1，8

3-

）