含参数的一元二次方程的整数解问题

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初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法

初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。

这里经常要用到一些整除性质。

一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。

但其解法仍然是有章可循的。

一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。

解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。

解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。

评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。

二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。

.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。

解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0∴ a x 321-= ax 512-= ∵ 原方程至少有一个整数根，∴ a 的值为3，或5，或1。

例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。

分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数，∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。

一元二次方程整数解问题

一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。

一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。

而整数解，则是指这个方程的解为整数。

给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。

这需要用到判别式Δ=b²-4ac。

如果Δ大于等于0，方程才有解。

得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。

然后我们需要判断这两个根是否为整数。

即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。

如果是，那么这两个解就为整数解。

例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。

可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。

再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。

可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。

通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。

若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。

这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。

一元二次方程整数根问题的解法技巧

6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、利用一元二次方程根与系数的关系求解
・94・重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1. }2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2<0，∴不等式的解集为{x |2}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x a x a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

含参数的一元二次方程整数解

含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

含参一元二次方程计算100题+详解

含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。

主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。

建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。

模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。

一元二次方程的整数根问题讲解

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评（1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1）求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。

一元二次方程整数根问题求解方法导析

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（责任编辑赵良河）
中学生数理化（初中版・初三使用）
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导析：如果我们只把注意力盯在两个方程及 ! 为整数上，很容易钻的牛角尖 ! 进 “设法求出两个方程的根，再去求出 ! 的值” 实际上，由于两个方程都有实数根，所以 ! *!’ ， ! "!’! 这样便躲过一元二次方程的求根公式，直接找到 ! 所在的范围 !
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聚焦一元二次方程的整数解问题

聚焦一元二次方程的整数解问题一元二次方程是一种形式为ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。

求解一元二次方程的整数解问题是数学中的一个重要课题。

在本文中，我们将讨论一元二次方程的整数解问题，并介绍一些解决这类问题的方法和技巧。

要解决一元二次方程的整数解问题，我们需要首先了解整数解的概念。

在数学中，整数解指的是使方程成立的整数。

对于一般的一元二次方程，它可能有零个、一个或两个不同的整数解。

我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法来求解一元二次方程，但是对于整数解问题，我们需要特别注意解的整数性。

对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，为了求解其整数解，可以通过观察其因式分解的形式来选择适当的方法。

首先，我们可以先对系数进行约定，确保a、b、c都是整数。

然后，我们可以考虑方程的因式分解的形式，如(x+d)(x+e)=0，其中d、e为整数。

如果方程确实可以表示为这种形式，那么我们可以利用因式分解的性质来求解。

具体地，当我们观察到方程的系数b和c满足b=-(d+e)和c=de时，我们可以得到(x+d)(x+e)=0的形式。

这时，我们就可以通过考察d和e的不同组合来找到使方程成立的整数解。

我们可以通过列举d和e的可能取值来尝试求解整数解。

例如，当c=6时，我们可以通过列出所有的因子对(1,6)(2,3)(-1,-6)(-2,-3)来尝试求解。

此外，我们还可以通过配方法来求解一元二次方程的整数解问题。

配方法的核心思想是通过添加适当的常数项将方程转化为一个可以因式分解的形式。

具体地，我们可以根据方程的系数来求得配方法的加法因子，然后将方程转化为完全平方的形式。

例如，对于方程x²+9x+18=0，我们可以观察到18=3*6、为了使方程的系数能够与3和6相加，我们可以在方程中添加3²-3²=0这一恒等式，并将方程转化为(x+3)²-9=0的形式。

二次函数与整数根的问题

整数根问题把传统的方程知识与古老的整数理论相结合; 不但涉及解方程、根的判别式等知识，而且又关联着整除、奇数与偶数的性质等整数知识. 整数根也是研究初中数学中的“数”与“形”关联问题的一个非常奇妙的“桥梁”；通过对整数根的探索，能提高学生利用方程建立数学模型来解决问题的能力和综合运用知识的能力.
a 1 2 x2 1 a 1 a 1
利用整除性求解
①从求根入手：若根可用有理式表示，则求出根，结合整除求解；
a 1 = 1, 2
例2
当 m 是什么整数时，关于 x 的
2
一元二次方程 mx 4 x 4 0 与
x2 4mx 4m2 4m 5 0
④巧选主元：当方程中参数次数较低时，选择参数为主元求解;
例 1 已知关于 x 的二次方程
2 a 1 x 2x a 1 0
的根都是整
数，求符合条件的整数 a.

a 1
4a
2
判别式为完全平方，可求根
a 1 x1 1, x2 a 1
转化为分解分式
方程整数根
小专题---有理根、整数根问题（不深入）
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本方法有： ①从求根入手：若根可用有理式表示，则求出根，结合整除求解； ②运用判别式：在二次方程有解的前提下运用判别式求出参数或根的取值范围，通过枚举讨论、不等分析求解；或利用奇偶性求解 ③ 利用韦达定理的关系：有韦达定理得到含参数的关系式，消元参数，利用因数分解、因式分解解含两根的不定方程
整数，求 m.
4 2m 1
判别式非完全平方式，不求根．结合已知列不等式
9 2 m 1 81.

一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ∆=），通过穷举，逼近求解3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。

4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。

1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。

2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a+的值。

3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。

4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。

5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。

6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。

解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2，②当0a =时，136x =（舍）课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。

对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。

现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。

首先，我们需要判断方程是否有整数解。

根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。

因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。

接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。

对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。

如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。

对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。

具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。

需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。

此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。

一元二次方程的整数解问题

张雪云（四川省成都外国语学校　６１１７００）张雪云四川省资阳市人，研究生学历，中学一级，四川省赛课一等奖，主要研究方向：数学学科教学。

含未知参数的一元二次方程无法直接求具体解，即使通过求根公式也只能得到含参数的两个根和判别式，无法得到方程参数的值．但是在若题目中隐含方程有根的条件，可以通过该条件得到判别式不小于零的约束，根据这个约束条件可得方程的未知参数的范围．由于求根公式带有除法运算，如果已知方程的根为整数，那么求根公式的分母必须是分子的约数．通过题目中隐含的这两个条件，通常可得方程的解和未知参数只能是可数的几个值，只需要把这几个值通过枚举的方式列出来就是题目的解．下面就常见题型、常用技巧以及求解问题所用的知识点作细致的讨论．１．分解因式　因式分解是得到含参一元二次方程的根的最快捷的方式．能够因式分解的一元二次方程我们首选因式分解，它的核心在于利用质因数分解或分离常系数法求解，再利用整数的性质及整除性理论解决问题．例１　已知一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－（２ｍ－５）ｘ＋（ｍ－３）＝０的根都是整数，求整数ｍ的值．分析　用因式分解得到两根为１和ｍ－３ｍ－２，题中要求方程的根和参数ｍ都是整数，因此我们对ｍ－３ｍ－２分离常数，用整数的性质及整除性理论即可解决问题．解　根据题意得ｍ≠１且Δ＝１＞０，因式分解，得（ｘ－１）［（ｍ－２）ｘ－（ｍ－３）］＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ－３ｍ－２＝１－１ｍ－２，因为ｍ为整数且根都为整数，所以ｍ－２＝±１，可得ｍ的值为２或０．例２　已知一元二次方程ａ２　ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０至少有一个整数根，求自然数ａ的值．分析　此题相对例１而言，只是方程较为复杂，我们仍然用因式分解分解方程，求出含参解，用整数的性质及整除性理论解决问题．解　因为ａ２　ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０是一元二次方程，所以ａ≠０，因式分解，得［ａｘ－（ａ＋３）］［ａｘ－（３ａ－２）］＝０，解得ｘ１＝１＋３ａ，ｘ２＝３－２ａ，因为ａ为自然数，当ｘ１为整数根时，ａ＝１或３，当ｘ２为整数根时，ａ＝１或２．综上所述，ａ的值为１或２或３．例３　当整数ｍ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ２＋３ｍｘ＋ｍ２＝３有整数解．分析　此题相对例１、例２而言，共同之处是方程左边能因式分解，不同之处是方程的右边是一个不为０的常数３，从而不能解出含参解，针对这种情况，我们对质因数３进行分解，利用参数和根都为整数的条件用枚举的方法一一枚举．解　因式分解，得（ｘ＋ｍ）（２ｘ＋ｍ）＝３，因为ｍ，ｘ都是整数，所以ｘ＋ｍ＝３，２ｘ＋ｍ＝１，｛ｘ＋ｍ＝－３，２ｘ＋ｍ＝－１，｛·１３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版ｘ＋ｍ＝１，２ｘ＋ｍ＝３，｛ｘ＋ｍ＝－１，２ｘ＋ｍ＝－３，｛即ｘ＝－２，ｍ＝５，｛ｘ＝２，ｍ＝－５，｛ｘ＝２，ｍ＝－１，｛ｘ＝－２，ｍ＝１，｛所以ｍ＝±１或±５．注　当方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）可分解为（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）＝ｋ（ｍ，ｎ，ｋ均为整数）时，可以将整数ｋ分解为两个整数ｋ１，ｋ２的乘积形式，即ｘ－ｍ＝ｋ１，ｘ－ｎ＝ｋ２｛或ｘ－ｍ＝ｋ２，ｘ－ｎ＝ｋ１，｛一一枚举求解．例４　关于ｘ的一元二次方程（ｍ２－６ｍ＋８）ｘ２＋（２ｍ２－６ｍ－４）ｘ＋ｍ２－４＝０的两根都是整数，求实数ｍ的值．分析　本题的参数ｍ没有限定为整数的条件，因此我们考虑把参数ｍ消去，列出解的关系式，和例３一样利用质因数分解，通过枚举一一解出答案．解　因式分解，得［（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）］［（ｍ－４）ｘ＋（ｍ－２）］＝０，求得两根为ｘ１＝－１－４ｍ－２，ｘ２＝－１－２ｍ－４．显然ｘ１≠－１且ｘ２≠－１，则ｍ－２＝－４ｘ１＋１，ｍ－４＝－２ｘ２＋１，两式相减，得２＝－４ｘ１＋１＋２ｘ２＋１，整理化简，得ｘ２（ｘ１＋３）＝－２，因为ｘ１，ｘ２为整数，则ｘ１＝－５，ｘ２＝１，｛ｘ１＝－４，ｘ２＝２，｛ｘ１＝－２，ｘ２＝－２，｛ｘ１＝－１，ｘ２＝－１，｛（舍），所以ｍ＝３或６或１０３．２．韦达定理　当方程无法因式分解时，可考虑选择韦达定理进行参数枚举或消去参数．特别注意：用韦达定理一定要检验Δ≥０．例５　已知ａ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２＋（ａ＋１６）ｘ＋４２＝０的根都是整数，求ａ的值．分析　此题无法因式分解，我们可通过韦达定理得到根与系数的关系，利用参数和根为整数的约束条件分解质因数，直接枚举参数的值，从而解决问题．解　设方程的两根为ｘ１，ｘ２，则根据题意，得ｘ１＋ｘ２＝－（ａ＋１６）＜０，ｘ１ｘ２＝４２＞０，｛则ｘ１，ｘ２都是负整数，４２可分解为－１×（－４２）＝－２×（－２１）＝－３×（－１４）＝－６×（－７），所以ｘ１＋ｘ２＝－４３，－２３，－１７，－１３，所以ａ＝２７，７，１，－３，又因为ａ为正整数且Δ≥０，所以ａ＝２７，７，１．例６　关于ｘ的方程ｋｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋２ｋ－１＝０的根都是整数，求ｋ的值．分析　此题方程类型未明确，因此我们先对ｋ＝０和ｋ≠０两种情况进行讨论．当ｋ＝０时，方程转化为一元一次方程，易判断根的情况，进行取舍；当ｋ≠０时，通过韦达定理得到根的关系式，但此题的参数没有约束条件，和例５的情况不一样，因此我们考虑消去参数得到和、积关系式，对和、积关系式进行变形处理后，利用根为整数的条件分解质因数或分离常数求解．解　（１）当ｋ＝０时，ｘ－１＝０，ｘ＝１成立．（２）当ｋ≠０时，设两根为ｘ１，ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－（２ｋ＋１）ｋ＝－２－１ｋ，ｘ１ｘ２＝２ｋ－１ｋ＝２－１ｋ，烅烄烆①②由②－①，得　ｘ１ｘ２－ｘ１－ｘ２＝４，所以（ｘ１－１）（ｘ２－１）＝５，因为方程的根为整数，所以ｘ１－１＝１，－１，５，－５，ｘ２－１＝５，－５，１，－１，｛所以ｘ１＋ｘ２＝８或－４，·２３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期所以ｋ＝－１１０或１２，当ｋ＝－１１０时，Δ＝４２５＞０，成立；当ｋ＝１２，Δ＝４＞０，成立，所以ｋ＝－１１０或１２．综上所述，ｋ＝－１１０或１２或０．３．判别式法　不能因式分解，也无法用韦达定理消去参数，或者解为有理数时，可选择判别式法，通过计算Δ，若有整数解必然有Δ是个完全平方数，来解出参数．例７　已知整数ｍ，ｎ满足２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０，求ｍ，ｎ的值．分析　可以把已知等式看做以ｍ为主元的一元二次方程，ｎ为其参数，根据方程有解可以得到Δ≥０，然后求解关于ｎ的不等式方程，从而得到参数的取值范围，又根据参数ｎ为整数的条件直接枚举，即可解决问题．解　将２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０看做关于ｍ的一元二次方程，即２ｍ２＋３ｍ＋ｎ２＋ｎ－１＝０，要使方程有实数解，则必有Δ＝－８ｎ２－８ｎ＋１７≥０，所以ｎ＋１２（）２≤１９８，即－１９８槡－１２≤ｎ≤１９８槡－１２，又因为ｎ为整数，所以ｎ＝－２，－１，０，１，当ｎ＝－２时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；当ｎ＝－１时，ｍ无整数解；当ｎ＝０时，ｍ无整数解；当ｎ＝１时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；综上所述，ｍ＝－１，ｎ＝－２或１．注　对于二元方程可看做关于一个元的二次方程，由ｍ，ｎ为实数，则Δ≥０，从而求出ｎ的取值范围，应有“多元转为少元”的意识．例８　已知关于ｘ的方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０的根都是整数，求整数ｎ的值．分析　此题如果我们继续用例７的方法，即Δ≥０，我们发现时ｎ２－８ｎ－１７≥０，解集为ｎ≥槡３３＋４或ｎ≤－槡３３＋４，若用枚举的方法将非常繁琐，因此我们可以令ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ　２，通过配方和因式分解，结合质因数分解来解决问题．解　因为方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０有解，所以Δ＝４ｎ２－３２ｎ－６８≥０，又因为方程的根都是整数，所以Δ＝４（ｎ２－８ｎ－１７）为完全平方数，即ｎ２－８ｎ－１７为完全平方数．设ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ　２，ｔ为自然数，所以（ｎ－４）２－ｔ　２＝３３，即（ｎ－４＋ｔ）（ｎ－４－ｔ）＝３３，注意到ｎ－４＋ｔ≥ｎ－４－ｔ，所以ｎ－４＋ｔ＝３３，ｎ－４－ｔ＝１，｛或ｎ－４＋ｔ＝１１，ｎ－４－ｔ＝３，｛或ｎ－４＋ｔ＝－３，ｎ－４－ｔ＝－１１，｛或ｎ－４＋ｔ＝－１，ｎ－４－ｔ＝－３３，｛解得ｎ＝２１，ｔ＝１６，｛或ｎ＝１１，ｔ＝４，｛或ｎ＝－３，ｔ＝４，｛或ｎ＝－１３，ｔ＝－１６，｛所以ｎ＝２１，１１，－３，－１３．注　当方程存在有理数解时，令Δ＝ｔ　２，其中ｔ为自然数，此时分两种情况：如果判别式Δ为二次式，通过配方和因式分解，结合质因数分解等数论方法求解；如果判别式Δ为一次式，将原参数用ｔ表示，解出两根关于ｔ的表达式，从而求出ｔ．·３３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版。