《弧长与扇形面积》课件1
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24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面 积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单 位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm
弧长和扇形面积的计算PPT课件
解:(1)答案不唯一.如:根据垂径定理可以证明 △CBE≌△DBE,得出BC=BD, BC和BD相等, 所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=∠A;由直 径所对的圆周角等于90°,可以得出△ABC是直 角三角形,即BC⊥AC,进而得出OF∥BC;根据 CE⊥BE,由勾股定理可以得出BC2=CE2+BE2.
C.120° D.80°
解析:∵弧长的公式l= n R,∴
180
解得n=160.故选B.
8 n18,09
2.用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形围成一 个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径为( A ) A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm
解析:设此圆锥的底面半径为r cm,根据圆锥的
3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边 所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a, 高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足 r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个 量的情况下求出第三个量.
检测反馈
1.已知一条弧的半径为9,弧长为8π,那么这条 弧所对的圆心角为 ( B ) A.200° B.160°
360
比较扇形面积公式S= n r2 和弧长公式
360
l nr，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
180
扇形的面积公式：
(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇 形的弧长).
(教材168页例)如图所示,☉O的半 径为10 cm.
(1)如果∠AOB=100°,求 AB的长及扇形AOB的
面积.(结果保留一位小数) (2)已知 BC =25 cm,求∠BOC的度数.(结果精 确到1°)
R 3
= 60.
4.已知圆锥的母线长为5 cm,底面半 径为3 cm,那么圆锥侧面展开图中, 扇形的圆心角大小为 216° .
《弧长和扇形面积》课件
面积为______
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
弧长及扇形的面积ppt课件
如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
弧长和扇形面积公式ppt课件
形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件下载(第1课时)
n
180l BC
180 25
143.
πr 3.1410
所以∠BOC约为143° .
总结
扇形的面积公式有两个，若已知圆心角的度数和 半径，则用S扇形＝n3π6r02 ；若已知扇形的弧长和半径， 则用S扇形＝12 lR(l是扇形的弧长)．
1 若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )
= 120π 0.62 - 1 AB OD
360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
1. 弧长公式为 l n • πr nπr .
180 180
2.
扇形的面积计算公式为
S扇形
nπr 2 360
.
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
O
垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
O
∴OD=OC-DC=0.3（m）. ∴OD=DC .
A
D
B
图1
又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 .
C
∴AC=AO=OC . 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 图2
有水部分的面积 S =S扇形OAB -S OAB
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝
4，则 BC 的长为( B )
A. 10 π
3
C. 5 π
9
B. 10 π
9
D. 5 π
18
知识点 2 扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
弧长和扇形面积(公开课)课件
电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
14．(10分)如图，每个小正方形的边长为1 cm，O，A，B都在小正方 形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径．
(1)由图可知，OB＝ 22＋22＝2 2，则弧 AB 的长为90π1×802 2＝ 2π，
∴面积为12×2 2× 2π＝2π
由 20π＝12108π0R，∴R＝30，∴S 侧＝12×20π×30＝300π.S 全 ＝S 侧＋S 底＝300π＋π·102＝400π
11．(XXXX·聊城)把地球看成一个外表光滑的球体，假设沿地球赤道
绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16
cm，那么钢丝大约需要加长( A)
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形， 那么此圆锥的底面圆的半径为_____1___．
9．(3 分)如图，⊙O 中，半径 OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的
扇形围成的圆锥底面圆的半径长是( B )
A．1 5
C.3
4 B.3 D．2
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角 为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
14．(10分)如图，每个小正方形的边长为1 cm，O，A，B都在小正方 形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径．
(1)由图可知，OB＝ 22＋22＝2 2，则弧 AB 的长为90π1×802 2＝ 2π，
∴面积为12×2 2× 2π＝2π
由 20π＝12108π0R，∴R＝30，∴S 侧＝12×20π×30＝300π.S 全 ＝S 侧＋S 底＝300π＋π·102＝400π
11．(XXXX·聊城)把地球看成一个外表光滑的球体，假设沿地球赤道
绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16
cm，那么钢丝大约需要加长( A)
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形， 那么此圆锥的底面圆的半径为_____1___．
9．(3 分)如图，⊙O 中，半径 OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的
扇形围成的圆锥底面圆的半径长是( B )
A．1 5
C.3
4 B.3 D．2
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角 为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
弧长和扇形面积-ppt课件
第二十四章
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=
.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=
.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .
弧长和扇形面积ppt
利用弧度制计算弧长
总结词
利用弧度制计算弧长是一种基于角度的另一种计算方式，通过将角度转换为弧度 ，并利用弧长公式进行计算。
详细描述
在弧度制下，角度和弧长之间的关系可以用公式L=rθ表示，其中θ是以弧度为单位 的角度。通过将角度转换为弧度，我们可以利用这个公式计算出弧长。
利用微积分计算弧长
总结词
利用微积分计算弧长是一种基于微元法的计算方式，通过将圆分割成无数个小的弧段，并求和得到整 个圆的周长。
详细描述
利用微积分计算弧长的基本思想是将圆分割成无数个小的弧段，每个弧段的长度可以近似为弦长。然 后，将这些弦长相加得到整个圆的周长。这个方法可以用来计算任意曲线的长度，包括圆的周长。
03 扇形面积的计算方法
利用圆的性质计算扇形面积
总结词
通过圆的性质，我们可以将扇形面积转化为圆的一部分，从而计算出其面积。
05 弧长和扇形面积的扩展知 识
弧长的变种：曲线的长度
弧长的概念
弧长是曲线的基本属性之一，表示曲线上两点之间的长度。在几 何学中，弧长通常用于描述曲线段的长度。
曲线的长度
除了弧长，曲线的长度也是重要的概念。一条曲线由无数个小的直 线段组成，这些直线段的长度之和就是曲线的总长度。
计算方法
计算曲线的长度通常需要使用微积分的方法，通过求和公式将无数 个小的直线段长度相加，得到曲线的总长度。
04 弧长和扇形面积的应用
在几何学中的应用
弧长公式
弧长公式是计算圆弧或曲线的长度的重要工 具，广泛应用于几何学中。通过弧长公式， 可以确定圆弧的长度，进而用于解决与圆、 椭圆、抛物线等形状相关的几何问题。
扇形面积公式
扇形面积公式是计算扇形面积的基础，对于 解决与圆、椭圆、抛物线等形状相关的几何 问题具有重要意义。通过扇形面积公式，可 以确定扇形的面积，进而用于解决与角度、 弧长等相关的几何问题。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
弧长和扇形面积公式课件
06
习题与答案
习题部分
总结词
弧长和扇形面积公式的基本概念 与计算方法
详细描述
本节旨在帮助学员了解弧长和扇形 面积的概念及计算方法。通过典型 例题的解析，让学员掌握弧长和扇 形面积公式的应用。
题目1
求半径为5的圆中，1/4圆的弧长。
习题部分
分析
本题考察弧长公式的应用， 需注意1/4圆的弧长是圆周 长的一部分。
解答
根据弧长公式，弧长=圆 周长×(弧所对圆心角 /360°)，1/4圆的弧长为 5π×(1/4/360°)。
题目2
求半径为4的圆中，1/6圆 的扇形面积。
习题部分
分析
本题考察扇形面积公式的应用，需注意1/6 圆的扇形是圆面积的一部分。
解答
根据扇形面积公式，面积=(圆半径^2)×(弧 所对圆心角/360°)，1/6圆的扇形面积为 4^2×(1/6/360°)。
常运转。
物理学
在物理学中，弧长和扇形面积被 用来描述和计算各种圆形物体或 粒子的运动轨迹和能量分布等。
04
弧长和扇形面积公式的实践应用
在数学中的运用
弧长公式
弧长公式常用于解决与圆弧或曲线的长 度相关的问题，例如在几何学或解析几 何中。
VS
扇形面积公式
扇形面积公式在解决几何学问题中非常有 用，例如计算多边形的面积或了解星球的 形状和大小。
α=θ/360°×2π，其中θ为 角度制。
角度与弧度转换
1弧度=57.3°，1°=π/180 弧度。
弧长公式的推导
推导过程
由圆的周长公式C=2πR，可得弧长公式L=C×∣θ/360°∣，进一步可得 L=∣α∣×R。
圆周角与圆心角关系
圆周角θ与圆心角α之间的关系为α=θ/360°。
相关主题
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OC=12m，C D 的长度为9πm，求圆弧形弯道 的面积.
解 设∠AOB=n°， ∵ OC=12m，C︵D 的长度为9πm，
∴ 9π=n1π8012,
解得n=135°，即圆心角∠COD=135°.
∴ S 扇 形 O A B =1 3 5 3 π 6 0 2 0 2= 1 5 0 π ( m 2 ) .
∴ ∠A=∠DOB.
又∵ ∠AEO=∠ODB=90°，
∴△AEO∽△ODB.
∴
OE BD
=
AO OB
，
∴400r-r2=352-020 ，
∴ r =12，
∴
︵ DE
的长度=
901π8×012=6π .
结束
弧长与扇形面积
动脑筋
如图是某市的摩天轮的示意图. 点O是圆 心，半径r为15m，点A，B是圆上的两︵ 点，圆 心角∠AOB=120°. 你能想办法求出 A B 的长度 吗？说说你的理由.
的因长为是∠圆AO周B长=1的2013°，，因所此以A︵BA︵的B 长为
1 3
× 2π × 15 = 10π (m).
路程长等于
︵
AA
'
的长.
∵ 等边三角形ABC的边长为10cm， ︵
∴ A A ' 所在圆的半径为10cm.
∴
l︵
AA
= ' 120 18 π 0 10=2 3 0π (cm ) .
答：顶点A从开始到结束时所经过的 路程为 230π cm.
圆的一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所围成的图形叫作扇形.
如果∠AOB=n°，你能求出
︵ AB
的长吗？
我们知道圆周长的计算公式为C=2πr， 其中r是圆的半径，即360°的圆心角所对 的弧长就是圆周长C.
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么
它们所对的弧相等. 而一个圆的圆心角为360°，
因此：1°的圆心角所对的弧长为
1· 360
2πr，
n°的圆心角所对的弧长l为
l =n·3160· 2πr.
结论
由此得出以下结论： 半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l为
l=n·2 π r=n π r. 3 6 0 1 8 0
例1 已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角 所对的弧长(精确到0.1cm)
解l=40·π·30 180
≈40×3.14×30 180
≈ 20.9(cm ).
心 E两的点圆，，求分D别︵E切的两长直度角. 边BC，AC于D、
连接OE、OD， ∵⊙O切BC、AC于点D、E， ∴OD⊥BC，OE⊥AC. ∵∠C=90°，
∴四边形OECD为矩形， ∠EOD=90°， OE=OD.
设⊙O的半径为r，即OE=OD=r.
∵∠A+∠B=90°，∠DOB+∠B=90°.
如图，阴影部分是一个扇形， 记作扇形OAB.
我们可以发现，扇形面积与组成扇形的 圆心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角 越大，扇形面积也越大.
探究
如何求半径为r，圆心角为n° 的扇形的面积呢？
我们可以把圆看作是圆心角为360°的扇形，
它的面积即圆面积 S=πr2.因为圆绕圆心旋转任
意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1°的
扇形能够互相重合，从而圆心角为1°的扇形的
面积等于圆面积的
ห้องสมุดไป่ตู้
1 360
，即
πr2 360
.
因此，圆心角为n°的扇形的面积为
n
π 3
r 6
2
0
.
结论
由此得到： 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的 面积S为
S扇形 =n3π6r02 .
又因为扇形的弧长
l
=
nπr 180
，
因此
S扇形 =n3π6r02
=12
nπr 180
r
=12lr .
例3 如图，圆O的半径为1.5cm，圆心角 ∠AOB=58°，求扇形OAB的面积.(精确0.1cm2).
解 因为r=1.5cm，n=58，
所以扇形OAB的面积为
S
=
5 8×
π× 1.52 360
≈ 58× 3.14× 1.5 2 360
≈ 1.1(cm 2).
例4 如下图是一︵条圆弧形弯道，已知OA=20m，
例2 如图所示，一个边长为10cm的等边 三角形木板ABC在水平桌面上绕顶点C 按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置， 求顶点A从开始到结束所经过的路程为
多少.
解 由图可知，由于∠A′CB′ =60°，则等边
三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的
S 扇 形 O C D = 1 2 lr = 1 2 9 π 1 2 = 5 4 π ( m 2 ) .
∴ S S - S 弯道ACDB = 扇形OAB
扇形OCD
= 150π- 54π
=96π(m2).
答：这条圆弧形弯道的面积为 96π m2.
中考 试题
如图，直角三角形ABC的斜边AB=35， 点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆
解 设∠AOB=n°， ∵ OC=12m，C︵D 的长度为9πm，
∴ 9π=n1π8012,
解得n=135°，即圆心角∠COD=135°.
∴ S 扇 形 O A B =1 3 5 3 π 6 0 2 0 2= 1 5 0 π ( m 2 ) .
∴ ∠A=∠DOB.
又∵ ∠AEO=∠ODB=90°，
∴△AEO∽△ODB.
∴
OE BD
=
AO OB
，
∴400r-r2=352-020 ，
∴ r =12，
∴
︵ DE
的长度=
901π8×012=6π .
结束
弧长与扇形面积
动脑筋
如图是某市的摩天轮的示意图. 点O是圆 心，半径r为15m，点A，B是圆上的两︵ 点，圆 心角∠AOB=120°. 你能想办法求出 A B 的长度 吗？说说你的理由.
的因长为是∠圆AO周B长=1的2013°，，因所此以A︵BA︵的B 长为
1 3
× 2π × 15 = 10π (m).
路程长等于
︵
AA
'
的长.
∵ 等边三角形ABC的边长为10cm， ︵
∴ A A ' 所在圆的半径为10cm.
∴
l︵
AA
= ' 120 18 π 0 10=2 3 0π (cm ) .
答：顶点A从开始到结束时所经过的 路程为 230π cm.
圆的一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所围成的图形叫作扇形.
如果∠AOB=n°，你能求出
︵ AB
的长吗？
我们知道圆周长的计算公式为C=2πr， 其中r是圆的半径，即360°的圆心角所对 的弧长就是圆周长C.
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么
它们所对的弧相等. 而一个圆的圆心角为360°，
因此：1°的圆心角所对的弧长为
1· 360
2πr，
n°的圆心角所对的弧长l为
l =n·3160· 2πr.
结论
由此得出以下结论： 半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l为
l=n·2 π r=n π r. 3 6 0 1 8 0
例1 已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角 所对的弧长(精确到0.1cm)
解l=40·π·30 180
≈40×3.14×30 180
≈ 20.9(cm ).
心 E两的点圆，，求分D别︵E切的两长直度角. 边BC，AC于D、
连接OE、OD， ∵⊙O切BC、AC于点D、E， ∴OD⊥BC，OE⊥AC. ∵∠C=90°，
∴四边形OECD为矩形， ∠EOD=90°， OE=OD.
设⊙O的半径为r，即OE=OD=r.
∵∠A+∠B=90°，∠DOB+∠B=90°.
如图，阴影部分是一个扇形， 记作扇形OAB.
我们可以发现，扇形面积与组成扇形的 圆心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角 越大，扇形面积也越大.
探究
如何求半径为r，圆心角为n° 的扇形的面积呢？
我们可以把圆看作是圆心角为360°的扇形，
它的面积即圆面积 S=πr2.因为圆绕圆心旋转任
意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1°的
扇形能够互相重合，从而圆心角为1°的扇形的
面积等于圆面积的
ห้องสมุดไป่ตู้
1 360
，即
πr2 360
.
因此，圆心角为n°的扇形的面积为
n
π 3
r 6
2
0
.
结论
由此得到： 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的 面积S为
S扇形 =n3π6r02 .
又因为扇形的弧长
l
=
nπr 180
，
因此
S扇形 =n3π6r02
=12
nπr 180
r
=12lr .
例3 如图，圆O的半径为1.5cm，圆心角 ∠AOB=58°，求扇形OAB的面积.(精确0.1cm2).
解 因为r=1.5cm，n=58，
所以扇形OAB的面积为
S
=
5 8×
π× 1.52 360
≈ 58× 3.14× 1.5 2 360
≈ 1.1(cm 2).
例4 如下图是一︵条圆弧形弯道，已知OA=20m，
例2 如图所示，一个边长为10cm的等边 三角形木板ABC在水平桌面上绕顶点C 按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置， 求顶点A从开始到结束所经过的路程为
多少.
解 由图可知，由于∠A′CB′ =60°，则等边
三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的
S 扇 形 O C D = 1 2 lr = 1 2 9 π 1 2 = 5 4 π ( m 2 ) .
∴ S S - S 弯道ACDB = 扇形OAB
扇形OCD
= 150π- 54π
=96π(m2).
答：这条圆弧形弯道的面积为 96π m2.
中考 试题
如图，直角三角形ABC的斜边AB=35， 点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆